聚焦中考专题2 开放探究型问题

1、专题二开放探究型问题要点梳理 开放探究型问题的内涵：所谓开放探究型问题是指已知条件、解题依据、解题方法、问题结论这四项要素中，缺少解题要素两个或两个以上，需要通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需求的条件或结论或方法要点梳理 (1)常规题的结论往往是唯一确定的，而多数开放探究题的结论是不确定或不是唯一的，它是给学生有自由思考的余地和充分展示思想的广阔空间；(2)解决此类问题的方法，可以不拘形式，有时需要发现问题的结论，有时需要尽可能多地找出解决问题的方法，有时则需要指出解题的思路等要点梳理 对于开放探究型问题，需要通过观察、比较、分析、综合及猜想，展开发散性思维，充分运用已

2、学过的数学知识和数学方法，经过归纳、类比、联想等推理的手段，得出正确的结论在解开放探究题时，常通过确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题三个解题方法(1)条件开放型问题：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，结合图形挖掘条件，逆向追索，逐步探寻，是一种分析型思维方式它要求解题者善于从问题的结论出发，逆向追索，多途寻因；(2)结论开放型问题：从剖析题意入手，充分捕捉题设信息，通过由因导果，顺向推理或联想、类比、猜测等，从而获得所求的结论；(3)条件和结论都开放型：此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，需将已知的信息集中进行分析，探索问题成立所必

3、须具备的条件或特定的条件应该有什么结论，通过这一思维活动得出事物内在联系，从而把握事物的整体性和一般性1(2014赤峰)直线l过点M(2，0)，该直线的解析式可以写为 (只写出一个即可)yx22(2014绥化)如图，AC，BD相交于点O，AD，请补充一个条件，使AOB DOC，你补充的条件是 (填出一个即可)ABCD3 (2014漳州)双曲线 yk1x所在象限内， y 的值随 x 值的增大而减小，则满足条件的一个数值 k为 3(答案不唯一) 4(2014内江)如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，ADBC，请添加一个条件：_ ，使四边形ABCD为平行四边形(不添加任何辅助线)AB

4、BC(答案不唯一）答案不唯一）5(2014北京)如图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC 的边长为 2.写出一个函数 ykx(k0)， 使它的图象与正方形OABC 有公共点，这个函数的表达式为 条件开放型问题【例1】已知四边形ABCD，ABCD，要得出四边形ABCD是平行四边形的结论，还应具备什么条件？解：如图，当ABCD时，只要具备下列条件之一，便可得出四边形ABCD是平行四边形(1)ADBC；(2)ABCD；(3)AC；(4)BD；(5)AB180【点评】判断一个四边形是平行四边形的基本依据是：平行四边形的定义及其判定定理，而本题告诉的四边形已有一组对边平行的条件，由此可以想到：两

5、组对边分别平行；一组对边平行且相等；一组对边平行，一组对角相等都能得到平行四边形的结论1(2014巴中)如图，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连结BE，CF.(1)请你添加一个条件，使得BEH CFH，你添加的条件是 ，并证明(2)在问题(1)中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请说明理由解：BHCH，EHFH，四边形BFCE是平行四边形(对角线互相平分的四边形为平行四边形)，当BHEH时，则BCEF，平行四边形BFCE为矩形(对角线相等的平行四边形为矩形)EHFH结论开放型问题【例2】(2014襄阳)如图，A，P，B，

6、C是 O上的四个点，APCBPC60，过点A作 O的切线交BP的延长线于点D.(1)求证：ADPBDA；解：(1)证明：作 O的直径AE，连接PE，AE是 O的直径，AD是 O的切线，DAEAPE90，PADPAEPAEE90，PADE，PBAE，PADPBA，PADPBA，ADPBDA，ADPBDA(2)试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；(3)若AD2，PD1，求线段BC的长【点评】解结论开放型问题时要充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、归纳、类比，透彻分析出给定条件下可能存在的结论现象，然后经过论证作出取舍，这是一种归纳类比型思维它要求解题者充分利用条件进行大胆而

7、合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查解题者的发散性思维能力和知识应用能力2(2013杭州)(1)先求解下列两题：如图，点 B，D 在射线 AM 上，点 C，E在射线AN上，且 ABBCCDDE，已知EDM84，求A的度数； 如图，在直角坐标系中，点 A 在 y 轴正半轴上，ACx 轴，点 B，C 的横坐标都是 3，且 BC2，点 D 在 AC 上，且横坐标为 1，若反比例函数 ykx(x0)的图象经过点B，D，求 k 的值 (2)解题后，你发现以上两小题有什么共同点？请简单地写出 解： (1)ABBCCDDE， ABCA， CBDBDC，ECDCED，根据三角形的外角性质 ，ABCA

8、CBD，ACDBECD，ACEDEDM，又EDM 84，A3A84，解得，A21；点 B 在反比例函数 ykx图象上，点 B，C 的横坐标都是3，点 B(3，k3)， BC2，点 C(3，k32)，ACx 轴，点 D 在 AC 上，且横坐标为 1，D(1，k32)，点 D 也在反比例函数图象上，k32k， 解得，k3； (2)用已知的量通过关系去表达未知的量 ，使用转换的思维和方法 【例3】(2014龙东)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，OA，OB的长分别是一元二次方程x27x120的两个根(OAOB)存在开放型问题(1)求点D的坐标(2)

9、求直线BC的解析式(3)在直线BC上是否存在点P，使PCD为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由 存在点P与点B重合时，P1(3，0)，点P与点B关于点C对称时，P2(11，6)【点评】本题是一道典型的“存在性问题”，主要利用了解一元二次方程、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，考查了等腰三角形存在的条件，有一定的开放性3已知一次函数yx4 和反比例函数ykx(k0) (1)k 满足什么条件时， 这两个函数在同一直角坐标系中的图象有两个交点？ (2)设(1)中的两个交点为A，

10、 B， 试问AOB是锐角还是钝角？为什么？ 综合开放型问题【例4】(2012南京)看图说故事请你编一个故事，使故事情境中出现的一对变量x，y满足图示的函数关系式，要求：指出变量x和y的含义；利用图中数据说明这对变量变化过程的实际意义，其中须涉及“速度”这个量解：该函数图象表示小明骑车离出发地的路程y(单位： km)与他所用的时间x(单位： min)的关系小明以400 m/ min的速度匀速骑了5 min，在原地休息了6 min，然后以500 m/ min的速度匀速骑车回出发地(本题答案不唯一)【点评】解决综合开放性问题时，需要类比、试验、创新和综合运用所学知识，建立合理的数学模型，从而使问题得

11、以解决综合开放型问题的解题方法一般不唯一或解题路径不明确，要求解题者不墨守成规，敢于创新，积极发散思维，优化解题方案和过程4已知两数4和8，试写出第三个数，使三个数中，其中一个数是其余两个数的比例中项，则第三个数是 (只需写出一个)试题 在五环图案中，分别填写五个数a，b，c，d，e，如图，其中 a，b，c 是三个连续偶数，abc，d，e 是两个连续奇数，de，且满足 abcde，例如，请你在 0 到 20 之间选择另一组符合条件的数填入图中： 错解 剖析 (1)在 0 到 20 之间，符合条件的答案除例题外，还有两组，因题目要求只画一个图，为了完整准确起见，两组答案都应写出，用“或”字连接； (2)正确