大学工程制图--第4章立体的投影

1、立体立体是由若干个表面所围成的有限空间是由若干个表面所围成的有限空间。表面均为平面的立体表面均为平面的立体称为平面立体。称为平面立体。表面为曲面或曲面与平面的立体表面为曲面或曲面与平面的立体称为曲面立体。称为曲面立体。曲面立体曲面立体平面立体平面立体第第4 4章章 立体的投影立体的投影4.1 4.1 平面立体的投影平面立体的投影4.2 4.2 曲面立体的投影曲面立体的投影4.3 4.3 立体的截交线立体的截交线第第4 4章章 立体的投影立体的投影4.4 4.4 立体的相贯线影立体的相贯线影4.14.1 平面立体的投影平面立体的投影一、棱柱一、棱柱二、棱锥二、棱锥 平面立体是由平面围成，相邻两表

2、平面立体是由平面围成，相邻两表面的交线称为面的交线称为棱线棱线。绘制平面立体的投绘制平面立体的投影影就是就是绘制各表面和各棱线的投影绘制各表面和各棱线的投影。三、平面立体的尺寸标注三、平面立体的尺寸标注底面底面一、一、棱柱棱柱高平齐高平齐投影规律投影规律长对正长对正宽相等宽相等左右反映物体的长度左右反映物体的长度上下反映物体的高度上下反映物体的高度前后反映物体的宽度前后反映物体的宽度正面和水平投影正面和水平投影长长长长高高宽宽宽宽正面和侧面投影正面和侧面投影水平和侧面投影水平和侧面投影高高顶面顶面棱面棱面棱线棱线左左右右上上下下前前后后4.14.1 平面立体的投影平面立体的投影（1）棱柱的投影

3、特性棱柱的投影特性 在棱线在棱线所垂直的投所垂直的投影面上的投影面上的投影为一多边影为一多边形，另两个形，另两个投影面上的投影面上的投影为里面投影为里面有几个并列有几个并列长方形的长长方形的长方形。方形。4.14.1 平面立体的投影平面立体的投影（2）棱柱三面投影图的画法棱柱三面投影图的画法1. 运用运用“高并齐高并齐”先画出顶面和底面先画出顶面和底面的侧面投影位置。的侧面投影位置。2. 运用运用“宽相等宽相等”作出棱线的侧面投作出棱线的侧面投影。影。3. 检查，擦掉多余检查，擦掉多余的图线。的图线。4. 加深图线。加深图线。 实际作图时一般实际作图时一般不画投影轴不画投影轴4.14.1 平面

4、立体的投影平面立体的投影（3）棱柱表面上点和直线的投影图画法棱柱表面上点和直线的投影图画法求点的投影时求点的投影时，首先要，首先要分析点在棱柱的棱线上分析点在棱柱的棱线上还是在棱（表）面上，还是在棱（表）面上，然后运用然后运用“直线上的点直线上的点”或或“平面上的点平面上的点”的投的投影特性来求点的另二个影特性来求点的另二个投影。投影。求直线的投影求直线的投影，也就是，也就是求直线两端点的投影。求直线两端点的投影。若点的投影落在具有积若点的投影落在具有积聚性的投影上，不判断聚性的投影上，不判断可见性，否则要判断可可见性，否则要判断可见性。见性。直线所在的平面不可见，则直线也不可见。直线所在的平

5、面不可见，则直线也不可见。4.14.1 平面立体的投影平面立体的投影ZXYHWVaSbsBsbaAcCb”(c”)s”a”二、二、棱锥棱锥 图示为一正三棱图示为一正三棱锥，它由底面锥，它由底面ABCABC和三个棱面和三个棱面SABSAB、 SBCSBC、 SACSAC所组所组成。成。 其底面为水平其底面为水平面，它的水平投影反面，它的水平投影反映实形，正面和侧面映实形，正面和侧面投影分别积聚成一直投影分别积聚成一直线。线。 棱面棱面SACSAC为为侧垂面，因此侧面投侧垂面，因此侧面投影积聚成一直线，水影积聚成一直线，水平投影和正面投影都平投影和正面投影都是类似形。棱面是类似形。棱面SABSAB

6、和和SBCSBC为一般为一般位置平面，它的三面位置平面，它的三面投影均为类似形。投影均为类似形。 (1) (1) 棱锥的投影分析棱锥的投影分析 在底面所平行的在底面所平行的投影面上的投影轮廓投影面上的投影轮廓为反映棱锥底面实形为反映棱锥底面实形的多边形，其余两投的多边形，其余两投影由三角形线框组成。影由三角形线框组成。棱锥的投影特性：棱锥的投影特性：4.14.1 平面立体的投影平面立体的投影asss”cbbaa”(c”)cb”（2）棱锥三面投影图的画法：）棱锥三面投影图的画法：作图步骤作图步骤: : 先画三棱锥底先画三棱锥底面面ABC ABC 的三面投的三面投影图；影图； 根据三棱锥的根据三棱

7、锥的高度找出锥顶高度找出锥顶S S 的的三面投影；三面投影； 分别连接锥顶分别连接锥顶S S到锥底到锥底ABC ABC 的同面的同面投影；投影； 检查、擦去多余检查、擦去多余线条、加深图线。线条、加深图线。4.14.1 平面立体的投影平面立体的投影aSbsBsbaAcCb”(c”)s”a”mmm”MZXYHWV1122（3 3）棱锥体表面上的点）棱锥体表面上的点 组成棱锥体的表组成棱锥体的表面有特殊位置平面，面有特殊位置平面，也有一般位置平面。也有一般位置平面。上点的上点的投影，可利用该平面投影，可利用该平面投影的投影的直接作直接作图。图。上上点的投影，可通过在点的投影，可通过在平面上作平面上

8、作的方的方法求得。法求得。4.14.1 平面立体的投影平面立体的投影asss”bbaa”(c”)cb”m11nm”（3 3）棱锥体表面上的点）棱锥体表面上的点mc4.14.1 平面立体的投影平面立体的投影 求求M M点的水平点的水平投影和侧面投影投影和侧面投影 辅助线法辅助线法 a: 过点作该平过点作该平面上已知直线的面上已知直线的平行线平行线asss”bbaa”(c”)cb”m22nn”m”（3 3）棱锥体表面上的点）棱锥体表面上的点(n)mnc 如果将已知点如果将已知点加上括号，会是加上括号，会是什么结果？什么结果？4.14.1 平面立体的投影平面立体的投影 求求M M点的水平点的水平投影

9、和侧面投影投影和侧面投影 辅助线法辅助线法 b: 过点和平面过点和平面上的一已知点作上的一已知点作一直线一直线三、平面立体的尺寸标注三、平面立体的尺寸标注141061410816121078 164.14.1 平面立体的投影平面立体的投影61212141414 1413412616136128三、平面立体的尺寸标注三、平面立体的尺寸标注4.14.1 平面立体的投影平面立体的投影4.24.2 曲面立体的投影曲面立体的投影一、一、 圆柱体圆柱体二、二、 圆锥体圆锥体三、三、 圆球圆球 机件中常见的曲面立体是回转体。机件中常见的曲面立体是回转体。回转面回转面是是由一条母由一条母线（直线或曲线）围绕轴

10、线回转而形成线（直线或曲线）围绕轴线回转而形成。回转面上任一位。回转面上任一位置的母线称为置的母线称为素线素线，母线上任一点的运动轨迹均为垂直于，母线上任一点的运动轨迹均为垂直于轴线的圆，称为轴线的圆，称为纬圆纬圆。 由回转面或回转面与平面所围成的立体，由回转面或回转面与平面所围成的立体，称为回转体称为回转体。 四、四、 圆环圆环五、五、 回转体的尺寸回转体的尺寸标注标注 轴线轴线H H 面，所面，所以在以在H H 面上的投影积面上的投影积聚为一点，用两条互聚为一点，用两条互相垂直的点画线的交相垂直的点画线的交点来表示；轴线点来表示；轴线/V V面和面和W W 面，所以在面，所以在V V面与面

11、与W W 面的投影反映面的投影反映实长。实长。 从左向右看在从左向右看在W W面的投影是一个矩形：面的投影是一个矩形：上下两条水平线分别上下两条水平线分别是顶圆和底圆的投影，是顶圆和底圆的投影，长度为圆周的直径。长度为圆周的直径。左右两条直线为圆柱左右两条直线为圆柱面面W W面投影的外形线面投影的外形线（最前和最后素线），（最前和最后素线），也是左半圆柱面和右也是左半圆柱面和右半圆柱面的分界线。半圆柱面的分界线。 从前往后看在从前往后看在V V面的投影是一个矩形：面的投影是一个矩形：上下两条水平线分别上下两条水平线分别是顶圆和底圆的投影，是顶圆和底圆的投影，长度为圆周的直径。长度为圆周的直径。

12、左右两条直线为圆柱左右两条直线为圆柱面面V V面投影的外形线面投影的外形线（最左和最右素线），（最左和最右素线），也是前半圆柱面和后也是前半圆柱面和后半圆柱面的分界线。半圆柱面的分界线。一、圆柱一、圆柱轴线轴线母线母线素线素线1 1、圆柱的投影分析、圆柱的投影分析 从上往下看在从上往下看在H H 面上的投影为一面上的投影为一个圆周：它既是圆个圆周：它既是圆柱面的顶圆和底圆柱面的顶圆和底圆的重合投影，反映的重合投影，反映顶圆和底圆的实形，顶圆和底圆的实形，又是圆柱面的积聚又是圆柱面的积聚投影。投影。 一直线（母一直线（母线）绕与其平行的线）绕与其平行的轴线旋转一周，形轴线旋转一周，形成圆柱面。成

13、圆柱面。4.24.2 曲面立体的投影曲面立体的投影（2 2）圆柱三面投影图的画法）圆柱三面投影图的画法轴线与轴线与H面垂直面垂直轴线与轴线与V面垂直面垂直轴线与轴线与W面垂直面垂直前前左左圆柱体三视图的特点：在轴线所垂直的投影面上的圆柱体三视图的特点：在轴线所垂直的投影面上的投影为一圆周，另二个投影为大小相同的矩形。投影为一圆周，另二个投影为大小相同的矩形。4.24.2 曲面立体的投影曲面立体的投影ZXYHWVmmm”M（3 3）圆柱体表面上的点）圆柱体表面上的点当圆柱轴线当圆柱轴线垂直垂直于侧面时，于侧面时，圆柱圆柱面的面的侧面投影具侧面投影具有积聚性，有积聚性，圆柱圆柱面上点的侧面投面上点

14、的侧面投影一定影一定重影在侧重影在侧面圆周上，面圆周上，因此因此利用圆柱表面的利用圆柱表面的积聚性就能求出积聚性就能求出圆柱表面上的点圆柱表面上的点投影。投影。4.24.2 曲面立体的投影曲面立体的投影mm”m(n)(n)kn”(k)k”n（3 3）圆柱体表面上的点）圆柱体表面上的点4.24.2 曲面立体的投影曲面立体的投影1 1、圆锥的投影分析、圆锥的投影分析 从上往下看从上往下看在在H面上的投影为面上的投影为一个圆：圆周是底一个圆：圆周是底圆的投影，反映了圆的投影，反映了底圆的实形；圆周底圆的实形；圆周以及圆周之内的整以及圆周之内的整个圆是圆锥面的投个圆是圆锥面的投影；锥顶在影；锥顶在H面

15、的面的投影即为这个圆的投影即为这个圆的圆心。圆心。 从前往后看在从前往后看在V V面上的投影为一面上的投影为一个等腰三角形：底个等腰三角形：底边是底圆的积聚投边是底圆的积聚投影，长度为底圆的影，长度为底圆的直径；两腰为圆锥直径；两腰为圆锥面上的外形线（最面上的外形线（最左和最右素线），左和最右素线），也是前半圆锥面和也是前半圆锥面和后半圆锥面的分界后半圆锥面的分界线。线。轴线轴线母线母线素线素线 从左往右看在从左往右看在W面上的投影为一面上的投影为一个等腰三角形：底个等腰三角形：底边是底圆的积聚投边是底圆的积聚投影，长度为底圆的影，长度为底圆的直径；两腰为圆锥直径；两腰为圆锥面上的外形线（最面

16、上的外形线（最前和最后素线），前和最后素线），也是左半圆锥面和也是左半圆锥面和右半圆锥面的分界右半圆锥面的分界线。线。 轴线轴线H面，面，所以在所以在H面上的投面上的投影积聚为一点，用影积聚为一点，用两条互相垂直的点两条互相垂直的点画线的交点来表示；画线的交点来表示；轴线轴线/V面和面和W面，面，所以在所以在V面与面与W面的面的投影反映实长。投影反映实长。 一直线（母一直线（母线）与轴线相交，线）与轴线相交，并绕该轴线旋转并绕该轴线旋转一周，则形成圆一周，则形成圆锥面。锥面。二、圆锥二、圆锥4.24.2 曲面立体的投影曲面立体的投影圆锥体三视图的特点：在轴线所垂直的投影面上的投圆锥体三视图的特

17、点：在轴线所垂直的投影面上的投影为一圆周，另二个投影为大小相同的等腰三角形。影为一圆周，另二个投影为大小相同的等腰三角形。2 2、圆锥三面投影图的画法、圆锥三面投影图的画法轴线与轴线与H面垂直面垂直轴线与轴线与V面垂直面垂直轴线与轴线与W面垂直面垂直前前左左最左素线最左素线最右素线最右素线最前素线最前素线最后素线最后素线4.24.2 曲面立体的投影曲面立体的投影ZXYHWVaSsss”a”c”caACcmmm”3 3、圆锥体表面上的点、圆锥体表面上的点M方法二：辅助素线法方法一：辅助圆法（纬圆法）4.24.2 曲面立体的投影曲面立体的投影ss”s3232mmm”nn”11n( )作图步骤作图步

18、骤: : 辅助圆法求辅助圆法求M点：点： 过过m点作水平线点作水平线23，它的水平投影为，它的水平投影为一直径等于一直径等于23的圆，的圆，圆心为圆心为s，由，由m作作OX的的垂线，与辅助圆的交点垂线，与辅助圆的交点即为即为m。然后再按点的。然后再按点的投影规律由投影规律由m和和m作出作出m”。 辅助素线法求辅助素线法求M点：点： 连接连接sm，并延长，并延长到与底面的正面投影到与底面的正面投影相交于相交于1，求得，求得s1；再；再由由m根据点在线上的根据点在线上的投影规律，求出投影规律，求出m；然；然后再由后再由m和和m求出求出m”。 求求N点点: 由于由于N点在圆锥的点在圆锥的最后素线上，

19、故不需最后素线上，故不需用上述两种方法，直用上述两种方法，直接根据点在线上的投接根据点在线上的投影原理便可求得。影原理便可求得。3 3、圆锥体表面上的点、圆锥体表面上的点4.24.2 曲面立体的投影曲面立体的投影ZXYHWVacbacbc”a”b”A（平行于（平行于V面）面）（主视轮廓线）（主视轮廓线）B（平行于（平行于H面）面）（俯视轮廓线）（俯视轮廓线）C（平行于（平行于W面）面）（左视轮廓线）（左视轮廓线）三、圆球三、圆球4.24.2 曲面立体的投影曲面立体的投影1 1、圆球的投影分析、圆球的投影分析2 2、圆球三面投影图的画法、圆球三面投影图的画法前前上上左左左左前前上上前后半球的分界

20、线前后半球的分界线前后半球的分界线前后半球的分界线前后半球的分界线前后半球的分界线上下半球的分界线上下半球的分界线上下半球的分界线上下半球的分界线上下半球的分界线上下半球的分界线左右半球的分界线左右半球的分界线 左右半球的分界线左右半球的分界线左右半球的分界线左右半球的分界线4.24.2 曲面立体的投影曲面立体的投影3 3、圆球表面上的点、圆球表面上的点mm”m(n)k”M注意：圆球注意：圆球表面求点只表面求点只能用辅助圆能用辅助圆法！法！4.24.2 曲面立体的投影曲面立体的投影mm”m(n)k”M注意：圆球注意：圆球表面求点只表面求点只能用辅助圆能用辅助圆法！法！3 3、圆球表面上的点、圆

21、球表面上的点4.24.2 曲面立体的投影曲面立体的投影mm”m(n)(n)k”(n”)kkM注意：圆球注意：圆球表面求点只表面求点只能用辅助圆能用辅助圆法！法！3 3、圆球表面上的点、圆球表面上的点4.24.2 曲面立体的投影曲面立体的投影最左、最右素线最左、最右素线（平行于（平行于V面）面）（主视轮廓线）（主视轮廓线）最大、最小纬圆最大、最小纬圆（平行于（平行于H面）面）（俯视轮廓线）（俯视轮廓线）最前、最后素线最前、最后素线（平行于（平行于W面）面）（左视轮廓线）（左视轮廓线）母线母线轴线轴线最高、最底纬圆最高、最底纬圆（平行于（平行于H面）面）（主、左视轮廓线）（主、左视轮廓线） 圆环面

22、是圆环面是以以圆为母线圆为母线，绕，绕不不通过圆心但在同通过圆心但在同一平面上的轴线一平面上的轴线旋转而形成的。旋转而形成的。四、圆环四、圆环1 1、圆环的投影分析、圆环的投影分析4.24.2 曲面立体的投影曲面立体的投影2 2、圆环三面投影图的画法、圆环三面投影图的画法4.24.2 曲面立体的投影曲面立体的投影3 3、圆环表面上的点、圆环表面上的点4.24.2 曲面立体的投影曲面立体的投影3 3、圆环表面上的点、圆环表面上的点4.24.2 曲面立体的投影曲面立体的投影五、回转体的尺寸标注五、回转体的尺寸标 16 164.24.2 曲面立体的投影曲面立体的投影二、平面

23、与平面立体相交二、平面与平面立体相交三、平面与曲面立体相交三、平面与曲面立体相交四、综合举例四、综合举例五、切割体的尺寸标注五、切割体的尺寸标注4.3 4.3 立体的立体的截交线截交线一、概述一、概述 构成零件的基本形体，常是一些不完整的棱柱、棱锥、构成零件的基本形体，常是一些不完整的棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等。通常是基本体被平面截取一部分所得。圆柱、圆锥、球等。通常是基本体被平面截取一部分所得。4.3 4.3 立体的立体的截交线截交线 平面与立体表面相交而产生的交线称为平面与立体表面相交而产生的交线称为截交线截交线，截交线，截交线所围成的平面图形称为所围成的平面图形称为截断面截断面。截切立

24、体的平面称为。截切立体的平面称为截平面截平面。截交线截交线截平面截平面截断面截断面一、概述一、概述二、二、平面与平面与平面立体相交平面立体相交 平面与平面立体相交所得截交线是一个平面与平面立体相交所得截交线是一个平平面多边形面多边形，多边形的顶点是，多边形的顶点是平面立体的棱线或底平面立体的棱线或底边与截平面的交点边与截平面的交点。因此，求平面立体的截交线，。因此，求平面立体的截交线，应先求出立体上各棱线及底边与截平面的交点，应先求出立体上各棱线及底边与截平面的交点，然后再连线，连线时必须是位于同一个棱面或底然后再连线，连线时必须是位于同一个棱面或底面上的两个点才能连接。面上的两个点才能连接。

25、1. 1. 平面与棱柱体相交平面与棱柱体相交2. 2. 平面与棱锥体相交平面与棱锥体相交 如图所示三棱柱被正垂面如图所示三棱柱被正垂面P P截断，由于截平面截断，由于截平面P P是正垂面，是正垂面，正面迹线正面迹线P PV V有积聚性，因此位于正垂面上的截交线正面投影必然有积聚性，因此位于正垂面上的截交线正面投影必然位于截平面的正面迹线位于截平面的正面迹线P PV V上，而且三条棱线与上，而且三条棱线与P PV V的交点的交点11、22、33就是截交线的三个顶点。就是截交线的三个顶点。 又由于三棱柱的棱面都是铅垂面，其水平投影有积聚性，又由于三棱柱的棱面都是铅垂面，其水平投影有积聚性，因此，位

26、于三棱柱棱面上的截交线水平投影必然落在棱面的积聚因此，位于三棱柱棱面上的截交线水平投影必然落在棱面的积聚投影上。投影上。 至于截交线的侧面投影，只须通过至于截交线的侧面投影，只须通过11、22、33点向右作投影点向右作投影连线即可在对应的棱线上找到连线即可在对应的棱线上找到1”1”、2”2”、3”3”，将此三点依次连成三，将此三点依次连成三角形，就得到截交线的侧面投影。最后，擦去切掉部分图线（或用双角形，就得到截交线的侧面投影。最后，擦去切掉部分图线（或用双点画线代替），完成截断后三棱柱的三面投影图。点画线代替），完成截断后三棱柱的三面投影图。 截交线投影分析：截交线投影分析：1.1.平面与棱

27、柱体相交平面与棱柱体相交PVbac213ea(d)(3)df(1)c(f)b(e)b”1”3”2”d”(f”)a”(c”)e”ABCEDFP(2)1. 1. 平面与棱柱体相交平面与棱柱体相交【例【例4-14-1】完成棱柱切割体的水平投影和侧面投影。】完成棱柱切割体的水平投影和侧面投影。作作图图步步骤骤 标出切口正面投影的各交点，补出完整三棱柱的俯、左视图；标出切口正面投影的各交点，补出完整三棱柱的俯、左视图； 根据棱柱表面的积聚性，找出各交点的水平投影根据棱柱表面的积聚性，找出各交点的水平投影 ； 利用交点的正面投影和水平投影，作出各交点的侧面投影；利用交点的正面投影和水平投影，作出各交点的侧

28、面投影； 擦去切掉部分的图线（或用双点画线画出）检查并加深。擦去切掉部分的图线（或用双点画线画出）检查并加深。 11“(3”)12(3)4(2)4(5)5(3)5”4”2“ 求出完整六棱柱求出完整六棱柱的左视图。的左视图。 求截交线的投影。求截交线的投影。 完成被截断的六棱完成被截断的六棱柱的三视图。柱的三视图。 【例【例4-24-2】已知】已知六棱柱被一正垂面所截，完成三六棱柱被一正垂面所截，完成三视图视图。作图步骤作图步骤投影分析投影分析正垂面的正垂面的六边形六边形1.1.平面与棱柱体相交平面与棱柱体相交 截交线的水平投影和侧面投影，可以通过平面上取点取截交线的水平投影和侧面投影，可以通过

29、平面上取点取线的方法求出截交线上顶点的水平投影和侧面投影并连线，最线的方法求出截交线上顶点的水平投影和侧面投影并连线，最后擦去切掉部分图线（或用双点画线代替），加深未切部分的后擦去切掉部分图线（或用双点画线代替），加深未切部分的图线，即完成截断后三棱锥的三面投影图。图线，即完成截断后三棱锥的三面投影图。 13232. 2. 平面与棱锥体相交平面与棱锥体相交121”3”2”bacssas”bb”a”(c”) 如图所示为三棱锥被正垂面如图所示为三棱锥被正垂面P P截断，截平面截断，截平面P P是正垂是正垂面，所以截交线的正面投影位于截平面的正面迹线面，所以截交线的正面投影位于截平面的正面迹线P P

30、V V上，上，各棱线与截平面交点的正面投影各棱线与截平面交点的正面投影11、22、33可直接得可直接得到。到。PVACBSP截交线投影分析：截交线投影分析：cPQ【例【例4-34-3】完成四棱锥切割体的水平投影和侧面投影。】完成四棱锥切割体的水平投影和侧面投影。作图作图步骤步骤 标出截交线正面投影的各交点标出截交线正面投影的各交点 ； 按投影规律求出各交点的水平投影和侧面投影并连线；按投影规律求出各交点的水平投影和侧面投影并连线； 检查并加深，擦去切掉部分的图线，完成作图。检查并加深，擦去切掉部分的图线，完成作图。 142(3)6(5)PVQV123451”64”2”5”6”3”2. 2. 平

31、面与棱锥体相交平面与棱锥体相交【例【例4-44-4】补全四棱锥被正垂面和水平面】补全四棱锥被正垂面和水平面割掉一块后的三面投影图。割掉一块后的三面投影图。2. 2. 平面与棱锥体相交平面与棱锥体相交三、平面与三、平面与曲面立体相交曲面立体相交 平面与曲面立体相交所得截交线的形状可以是平面与曲面立体相交所得截交线的形状可以是曲线围成的平面图形，或者曲线和直线围成的平面曲线围成的平面图形，或者曲线和直线围成的平面图形，也可以是平面多边形。图形，也可以是平面多边形。 截交线是截平面与曲面立体表面的截交线是截平面与曲面立体表面的共有线共有线，截，截交线上的点也都是它们的交线上的点也都是它们的共有点共有

32、点。因此，求截交线的。因此，求截交线的实质实质就是利用曲面立体表面定点的方法就是利用曲面立体表面定点的方法求出一系列共求出一系列共有点有点，然后把这些点的同面投影光滑连接地连接起来。，然后把这些点的同面投影光滑连接地连接起来。1.1.平面与圆柱相交平面与圆柱相交2.2.平面与圆锥相交平面与圆锥相交3.3.平面与圆球相交平面与圆球相交4.4.平面与任意回转面相交平面与任意回转面相交1.1.平面与圆柱相交平面与圆柱相交 由于截平面与圆柱轴线的相对位置不同，由于截平面与圆柱轴线的相对位置不同，截交线有三种不同的形状截交线有三种不同的形状。垂直垂直倾斜倾斜平行平行P【例【例4-54-5】求正垂面与圆柱

33、的截交线。】求正垂面与圆柱的截交线。164827315(6)3(4)7(8)2482735156Pv作图作图步骤步骤 找出椭圆长短轴的四个端点找出椭圆长短轴的四个端点 ； 利用表面取点法求若干个椭圆上的中间点；利用表面取点法求若干个椭圆上的中间点； 光滑连接各点并加深轮廓，擦去多余线段，完成作图。光滑连接各点并加深轮廓，擦去多余线段，完成作图。 1.1.平面与圆柱相交平面与圆柱相交【例【例4-64-6】由截切圆柱的轴测图画出它的三面】由截切圆柱的轴测图画出它的三面投影图。投影图。1.1.平面与圆柱相交平面与圆柱相交2.2.平面与圆锥相交平面与圆锥相交根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截交线有

34、五种形状。根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截交线有五种形状。直线直线过锥顶过锥顶倾斜于轴线倾斜于轴线平行于轴线平行于轴线= 0= 0平行于一条素线平行于一条素线 =垂直于轴线垂直于轴线= 90= 90圆圆椭圆椭圆抛物线抛物线双曲线双曲线ss”1(3)22313”s1”2”【例【例4-74-7】完成圆锥切割体的水平投影和侧面投影。】完成圆锥切割体的水平投影和侧面投影。s2.2.平面与圆锥相交平面与圆锥相交34783(4)1221123456785(6)7(8)56P【例【例4-84-8】求正垂面与圆锥的截交线。】求正垂面与圆锥的截交线。Pv2.2.平面与圆锥相交平面与圆锥相交投影分析投影分析

35、 截平面是正平截平面是正平面，与轴线平行，面，与轴线平行，截交线为截交线为双曲线双曲线，j截交线的截交线的侧面投侧面投影和水平投影影和水平投影均为均为直线直线。1323121”(3”)2”4”(5”)45456”(7”)6767【例【例4-94-9】求正平面与圆锥的截交线。】求正平面与圆锥的截交线。作图步骤作图步骤 求特殊点求特殊点 求一般点求一般点 光滑连接各点光滑连接各点并加深轮廓。并加深轮廓。 利用利用辅助纬圆辅助纬圆法法或或辅助素线法辅助素线法求点求点2.2.平面与圆锥相交平面与圆锥相交【例【例4-104-10】完成圆锥被正垂面截断后的三】完成圆锥被正垂面截断后的三面投影。面投影。2.

36、2.平面与圆锥相交平面与圆锥相交【例【例4-114-11】补全具有切口圆锥的三面投影。】补全具有切口圆锥的三面投影。：正垂面：正垂面与轴线倾斜与轴线倾斜：正垂面：正垂面通过锥顶通过锥顶：水平面：水平面与轴线垂直与轴线垂直：侧平面：侧平面与轴线平行与轴线平行2.2.平面与圆锥相交平面与圆锥相交 圆球被任意方向的平面截切，其圆球被任意方向的平面截切，其截交线都是圆。截交线都是圆。3.3.平面与圆球相交平面与圆球相交 当截平面为投影面当截平面为投影面平行面平行面时，截交线在所平行的投时，截交线在所平行的投影面上的投影为一影面上的投影为一圆圆，其余两面投影积聚为，其余两面投影积聚为直线直线，该直该直线

37、的长度等于圆的线的长度等于圆的直径直径，其直径的大小与截平面至球心，其直径的大小与截平面至球心的的距离距离B有关。有关。 B3.3.平面与圆球相交平面与圆球相交【例【例4-134-13】完成开槽半圆球的三面投影。】完成开槽半圆球的三面投影。211323(4)41”2”4”3”【例【例4-144-14】求正垂面与圆球的截交线。】求正垂面与圆球的截交线。3.3.平面与圆球相交平面与圆球相交 利用利用辅助纬圆辅助纬圆法法或或辅助素线法辅助素线法求点求点【例【例4-154-15】求正平面与任意回转面的截交线。】求正平面与任意回转面的截交线。4.4.平面与任意回转面相交平面与任意回转面相交1“投影分析投

38、影分析 轴线垂直于轴线垂直于H 面，又截平面是正面，又截平面是正平面，所以截交线平面，所以截交线的的侧面投影和水平侧面投影和水平投影投影均为均为直线直线。作图步骤作图步骤 求特殊点求特殊点 求一般点求一般点 光滑连接各点光滑连接各点并判别可见性。并判别可见性。 112“(3”)23234“(5”)45456“(7”)6767439(8”)四、综合举例四、综合举例1(10)2(9)3(7)(8)1654102687510” 1”2” 3”7”5”6”9”(4”)【例【例4-164-16】完成铣床顶针的三面投影图。】完成铣床顶针的三面投影图。作图步骤作图步骤 作完整立体的侧面投影和作完整立体的侧面

39、投影和水平投影；水平投影； 分段求出截交线上的点并分段求出截交线上的点并光滑连线；光滑连线；加深轮廓线，注意判断可加深轮廓线，注意判断可见性，擦去多余线条。见性，擦去多余线条。【例【例4-174-17】完成连杆头的三面投影图。】完成连杆头的三面投影图。四、综合举例四、综合举例11232”3”作图步骤作图步骤 作完整立体的正面投影；作完整立体的正面投影；求出圆台截交线上的点并求出圆台截交线上的点并连线；连线； 求出圆柱及圆球截交线；求出圆柱及圆球截交线；加深截交线及轮廓线，注加深截交线及轮廓线，注意判断可见性。意判断可见性。17五、切割体的尺寸标注五、切割体的尺寸标注SRR9五、切割体的尺寸标注

40、五、切割体的尺寸标注4.44.4 立体的相贯线立体的相贯线二、平面与平面立体相交二、平面与平面立体相交三、平面与曲面立体相交三、平面与曲面立体相交四、两曲面立体相交四、两曲面立体相交五、立体表面交线的分析五、立体表面交线的分析一、概述一、概述六、复合相贯举例六、复合相贯举例七、相贯线的简化画法七、相贯线的简化画法八、相贯体的尺寸注法八、相贯体的尺寸注法 立体与立体相交，在立体的表面产生交线，称为立体与立体相交，在立体的表面产生交线，称为相贯线相贯线。 根据立体的几何性质不同，两立体相交可分为：根据立体的几何性质不同，两立体相交可分为： 两平面立体相交；两平面立体相交； 平面立体与曲面立体相交平

41、面立体与曲面立体相交; ; 两曲面立体相交。两曲面立体相交。 相贯线是相贯线是相交两立体表面的共有线相交两立体表面的共有线，由两立体表面的一系，由两立体表面的一系列共有点构成，列共有点构成，其投影其投影必在两立体投影必在两立体投影重叠部分的范围重叠部分的范围内。内。一、概述一、概述二、两平面立体相交二、两平面立体相交 两平面立体相交的相贯线一般为两平面立体相交的相贯线一般为由直线段组成由直线段组成的空间折线的空间折线。 两平面立体的两平面立体的相对位置相对位置影响影响相贯线的形状相贯线的形状，当，当一个平面立体一个平面立体完全穿过另一立体的同一棱面完全穿过另一立体的同一棱面时，相时，相贯线为贯

42、线为平面多边形平面多边形。相贯线投影的可见性判别：相贯线投影的可见性判别： 只有位于两立体的投影都可只有位于两立体的投影都可见的表面上的相贯线段，它的投见的表面上的相贯线段，它的投影才是可见的。影才是可见的。注意点：注意点：相贯体是一个实心的相贯体是一个实心的整体，所以相贯体的每个表面整体，所以相贯体的每个表面只要画到相贯线为止，即轮廓只要画到相贯线为止，即轮廓线画到相贯线为止。线画到相贯线为止。 相贯线是空间折线，每一线段是相贯线是空间折线，每一线段是某两个棱面的交线，某两个棱面的交线，折折点是一个立体的棱线与另一个立体表面的贯穿点。点是一个立体的棱线与另一个立体表面的贯穿点。 求作两平面立

43、体相交的相贯线的方法有：求作两平面立体相交的相贯线的方法有： 求两平面立体求两平面立体相应棱面的交线；相应棱面的交线； 求求第一个立体各棱线第一个立体各棱线与第二个立体的与第二个立体的贯穿点贯穿点以及以及第二第二个立体各棱线个立体各棱线与第一个立体的与第一个立体的贯穿点，贯穿点，再将贯穿点依次相连。再将贯穿点依次相连。二、两平面立体相交二、两平面立体相交【例【例4-184-18】求作三棱柱与三棱锥的相贯线。】求作三棱柱与三棱锥的相贯线。分析分析 相贯线的水平投影与三棱柱的相贯线的水平投影与三棱柱的水平投影重合，为一折线。水平投影重合，为一折线。 三棱锥上棱线三棱锥上棱线SB、SA与三棱与三棱柱

44、的左右棱面相交，交点为柱的左右棱面相交，交点为、；三棱柱最前面的棱线与三棱锥三棱柱最前面的棱线与三棱锥的两棱面的两棱面SAB、SAC相交，交点相交，交点为为、。作图步骤作图步骤 根据点在线上的投影特性根据点在线上的投影特性直接求出直接求出1、2、3、4； 根据点在面上的投影特性，作根据点在面上的投影特性，作辅助线辅助线K、K，求出，求出5、6；连接各点，注意判断可见性。连接各点，注意判断可见性。二、两平面立体相交二、两平面立体相交【例【例4-194-19】完成相贯体的三面投影。】完成相贯体的三面投影。当相贯体为柱体时，相贯当相贯体为柱体时，相贯线的投影一定与柱体具有线的投影一定与柱体具有积聚性

45、的投影重合。积聚性的投影重合。二、两平面立体相交二、两平面立体相交【例【例4-204-20】完成相贯体的三面投影。】完成相贯体的三面投影。二、两平面立体相交二、两平面立体相交【例【例4-214-21】完成相贯体的三面投影。】完成相贯体的三面投影。二、两平面立体相交二、两平面立体相交 相贯线是由若干段平面曲线围成的空间曲相贯线是由若干段平面曲线围成的空间曲线，线，每段平面曲线都是平面立体表面与回转立每段平面曲线都是平面立体表面与回转立体所产生的截交线体所产生的截交线，两平面曲线的交点即是平，两平面曲线的交点即是平面立体棱线与回转体表面所产生的交点。面立体棱线与回转体表面所产生的交点。 作图方法：

46、作图方法：把平把平面立体上与回转立体面立体上与回转立体表面相交的表面相交的棱面棱面看成看成是截平面是截平面，用求截交用求截交线的方法求出每条截线的方法求出每条截交线交线。三、平面立体与曲面立体相交三、平面立体与曲面立体相交 分析分析 三棱柱的三个棱面三棱柱的三个棱面与圆锥相交，相贯线与圆锥相交，相贯线由三条截交线组成，由三条截交线组成，分别是分别是圆、直线、椭圆、直线、椭圆，圆，且且相贯线的正面相贯线的正面投影与棱柱重合投影与棱柱重合。作图步骤作图步骤 逐步求出每条逐步求出每条截交线另两面投截交线另两面投影，最后注意判影，最后注意判别可见性。别可见性。三、平面立体与曲面立体相交三、平面立体与曲

47、面立体相交 【例【例4-224-22】完成相贯体的三面投影。】完成相贯体的三面投影。【例【例4-234-23】完成相贯体的三面投影。】完成相贯体的三面投影。圆圆直线直线椭圆椭圆三、平面立体与曲面立体相交三、平面立体与曲面立体相交 【例【例4-244-24】完成相贯体的三面投影。】完成相贯体的三面投影。此八个点此八个点即为相贯即为相贯线上的点线上的点三、平面立体与曲面立体相交三、平面立体与曲面立体相交 【例【例4-254-25】完成相贯体的三面投影。】完成相贯体的三面投影。最低点最低点三、平面立体与曲面立体相交三、平面立体与曲面立体相交 相贯线在一般情况下是封闭的空间曲线（一相贯线在一般情况下是

48、封闭的空间曲线（一条或两条）。在特殊情况下，也可能是平面曲线条或两条）。在特殊情况下，也可能是平面曲线或直线。或直线。空间曲线空间曲线平面曲线平面曲线 求两曲面立体求两曲面立体的相贯线实质是的相贯线实质是求求出两曲面立体表面出两曲面立体表面的一系列共有点的一系列共有点。求共有点的方法有：求共有点的方法有：积聚性法和辅助平面法积聚性法和辅助平面法。四、两曲面立体相交四、两曲面立体相交 1. 1. 用用积聚性法积聚性法求相贯线。求相贯线。 当两圆柱轴线正当两圆柱轴线正交，且分别垂直于投交，且分别垂直于投影面时，相贯线的两影面时，相贯线的两面投影具有积聚性，面投影具有积聚性，此时可按表面取点的此时可

49、按表面取点的方法作出共有点的第方法作出共有点的第三面投影。三面投影。作图步骤作图步骤: : 求特殊点；求特殊点； 求一般点；求一般点； 连曲线。连曲线。投影分析：投影分析：四、两曲面立体相交四、两曲面立体相交 圆柱外表面与圆柱内表面相交，交线的形圆柱外表面与圆柱内表面相交，交线的形状及作图方法与前例相同。状及作图方法与前例相同。四、两曲面立体相交四、两曲面立体相交 圆柱内表面与内表面相交，交线的形状及作图圆柱内表面与内表面相交，交线的形状及作图方法也与前例相同，但所求相贯线的可见性不同。方法也与前例相同，但所求相贯线的可见性不同。四、两曲面立体相交四、两曲面立体相交 假设作一辅助平面与相假设作

50、一辅助平面与相贯的两回转体相交，得到两贯的两回转体相交，得到两组截交线，这两组截交线均组截交线，这两组截交线均处于辅助平面内，它们的交处于辅助平面内，它们的交点为辅助平面与两回转体表点为辅助平面与两回转体表面的共有点（三面共点），面的共有点（三面共点），即为相贯线上的点。即为相贯线上的点。 应选取特殊位置平面作为辅助平面，并使辅助应选取特殊位置平面作为辅助平面，并使辅助平面与两回转体的投影为最简图形（直线或圆）。平面与两回转体的投影为最简图形（直线或圆）。 三面三面共点共点三面三面共点共点 2. 2. 用用辅助平面法辅助平面法求相贯线。求相贯线。四、两曲面立体相交四、两曲面立体相交 . . 已

51、知相贯线的一面投影，用辅助已知相贯线的一面投影，用辅助平面法（三面共点）求相贯线。平面法（三面共点）求相贯线。三面三面共点共点四、两曲面立体相交四、两曲面立体相交 52113”234”46(8)7865(7)5”(6”)7”(8”)3(4)PVQV【例【例4-264-26】圆柱与圆锥正交，求作相贯线的投影。】圆柱与圆锥正交，求作相贯线的投影。作图步骤作图步骤 求特殊点；求特殊点； 求一般点；求一般点； 由于两轴线垂直由于两轴线垂直正交，相贯线是一条正交，相贯线是一条前后、左右对称的封前后、左右对称的封闭的空间曲线。其侧闭的空间曲线。其侧面投影为圆弧，与圆面投影为圆弧，与圆柱的侧面投影重合，柱的

52、侧面投影重合，需作出水平投影和正需作出水平投影和正面投影。面投影。投影分析投影分析 连曲线。连曲线。1”(2”)四、两曲面立体相交四、两曲面立体相交 由于相贯体前后对称，由于相贯体前后对称，相贯线是一条前后对称的封相贯线是一条前后对称的封闭的空间曲线。其侧面投影闭的空间曲线。其侧面投影为圆，与圆柱的侧面投影重为圆，与圆柱的侧面投影重合，需作出水平投影和正面合，需作出水平投影和正面投影。投影。1”2”3”4”5”6”7”8”123(4)5(6)67(8)(2)1345 (7)(8)【例【例4-274-27】求圆柱与半球相交的相贯线投影。】求圆柱与半球相交的相贯线投影。作图步骤作图步骤 求特殊点；

53、求特殊点；求一般点；求一般点；连曲线。连曲线。投影分析投影分析四、两曲面立体相交四、两曲面立体相交 1. 相贯线的特殊情况相贯线的特殊情况 （1）两同轴回转面的相贯线）两同轴回转面的相贯线是是垂直于轴线的圆垂直于轴线的圆。 当轴线当轴线平行于平行于某一投影面时，某一投影面时，相贯线在该投影面上的投影积相贯线在该投影面上的投影积聚为聚为垂直于轴线的直线段垂直于轴线的直线段。五、立体表面交线的分析五、立体表面交线的分析 （2）轴线相交的两回转面）轴线相交的两回转面公切于一个球面公切于一个球面时，其相贯时，其相贯线是线是平面曲线平面曲线椭圆椭圆。 若两轴线若两轴线平行于平行于同一投影同一投影面，则相

54、贯线在该投影面上的面，则相贯线在该投影面上的投影积聚为投影积聚为两相交的直线段两相交的直线段。五、立体表面交线的分析五、立体表面交线的分析（3 3）两圆柱轴线平行或两圆锥共顶时）两圆柱轴线平行或两圆锥共顶时 相贯线为直线相贯线为直线 五、立体表面交线的分析五、立体表面交线的分析2. 影响相贯线形状的因素影响相贯线形状的因素 （1）圆柱与圆柱圆柱与圆柱轴线正交，当其中轴线正交，当其中一相贯体的尺寸发一相贯体的尺寸发生改变时生改变时，相贯线形状的变化趋势。，相贯线形状的变化趋势。向大圆柱向大圆柱轴线弯曲轴线弯曲向大圆柱向大圆柱轴线弯曲轴线弯曲五、立体表面交线的分析五、立体表面交线的分析 （2）圆柱

55、与圆锥圆柱与圆锥轴线正交时，当轴线正交时，当其中一相贯体尺寸发其中一相贯体尺寸发生改变时生改变时，相贯线形状的变化趋势。，相贯线形状的变化趋势。2. 影响相贯线形状的因素影响相贯线形状的因素五、立体表面交线的分析五、立体表面交线的分析 （3）圆柱与圆柱圆柱与圆柱相交，若尺寸不变，但它们的相交，若尺寸不变，但它们的相对相对位置发生改变时位置发生改变时，相贯线形状的变化情况。，相贯线形状的变化情况。2. 影响相贯线形状的因素影响相贯线形状的因素五、立体表面交线的分析五、立体表面交线的分析 （4）圆柱与圆锥圆柱与圆锥相交，若尺寸不变，但它们的相交，若尺寸不变，但它们的相对位相对位置发生改变时置发生改

56、变时，相贯线形状的变化情况。，相贯线形状的变化情况。2. 影响相贯线形状的因素影响相贯线形状的因素 综上所述，影响综上所述，影响相贯线形状的因素有：相贯线形状的因素有：两相贯体表面的两相贯体表面的几何性质、两相贯体的相对尺寸大小和相对位置的变化情况几何性质、两相贯体的相对尺寸大小和相对位置的变化情况。五、立体表面交线的分析五、立体表面交线的分析 机件往往是由机件往往是由多个基本体构成的组合体多个基本体构成的组合体，它们，它们相交时产生的相交时产生的表面交线可能是相贯线，也可能是截表面交线可能是相贯线，也可能是截交线交线形成综合相交。画组合体的投影时，必须先进形成综合相交。画组合体的投影时，必须

57、先进行形体分析，找出存在截交和相贯关系的表面，应行形体分析，找出存在截交和相贯关系的表面，应用截交线和相贯线的基本作图方法，逐一作出各条用截交线和相贯线的基本作图方法，逐一作出各条交线的投影。交线的投影。相贯线相贯线截交线截交线六、复合相贯举例六、复合相贯举例【例【例4-284-28】完成如图所示组合体的正面投影和侧面投影。】完成如图所示组合体的正面投影和侧面投影。分析分析 该组合体由该组合体由三段圆柱三段圆柱、组合而成，其组合而成，其中中、是同轴圆柱。是同轴圆柱。 圆柱圆柱与圆柱与圆柱、均为轴线垂直相交，且均为轴线垂直相交，且圆圆柱柱与圆柱与圆柱是等直径相是等直径相交交，属于特殊相贯的情况，

58、属于特殊相贯的情况，所以需分别求相贯线。所以需分别求相贯线。 圆柱圆柱的顶面截割圆的顶面截割圆柱柱，产生截交线。，产生截交线。作图步骤作图步骤(1) 求作圆柱求作圆柱和圆柱和圆柱的相贯线，因是特殊情的相贯线，因是特殊情况，可直接作出。况，可直接作出。(2) 求作圆柱求作圆柱顶面与圆顶面与圆柱柱相交的截交线。相交的截交线。(3) 求作圆柱求作圆柱与圆柱与圆柱的相贯线。的相贯线。(4) 整理轮廓线，完善全整理轮廓线，完善全图。图。六、复合相贯举例六、复合相贯举例 【例【例4-29】完成如图所示组合体的正面投影】完成如图所示组合体的正面投影和水平投影。和水平投影。分析分析 该组合体由两个圆筒该组合体

59、由两个圆筒和半球组合而成，两圆和半球组合而成，两圆筒轴线互相垂直，且都筒轴线互相垂直，且都通过球心。具体的组合通过球心。具体的组合过程如下：过程如下：六、复合相贯举例六、复合相贯举例 1. 1. 轴线垂直于投影面的两正交不等径圆柱轴线垂直于投影面的两正交不等径圆柱相贯线投影的简化画法相贯线投影的简化画法作图步骤作图步骤1. 以大圆柱的半径以大圆柱的半径为半径，以两圆柱轮为半径，以两圆柱轮廓素线的交点为圆心廓素线的交点为圆心画圆弧，与小圆柱的画圆弧，与小圆柱的轴线交点两点。轴线交点两点。2. 以离大圆柱轴线远的交以离大圆柱轴线远的交点为圆心，大圆柱半径为点为圆心，大圆柱半径为半径画圆弧，所画圆弧即半径画圆弧，所画圆弧即为相贯线的投影。为相贯线的投影。七、相贯线的简化画法七、相贯线的简化画法【例【例4-304-30】完成相贯体的三面投影。】完成相贯体的三面投影。 【例【例4-314-31】完成相贯体的三面投影。】完成相贯体的三面投影。七、相贯线的简化画法七、相贯线的简化画法2 2. 圆柱与圆锥正交圆柱与圆锥正交型型相贯线的简化画法相贯线的简化画法相贯线