随机信号分析_第四章_随机信号通过线性系统

1、第四章第四章 随机信号通过线性系统随机信号通过线性系统内容：内容：一、线性系统的知识一、线性系统的知识二、时间连续和离散线性系统的分析二、时间连续和离散线性系统的分析三、白噪声通过线性系统的分析三、白噪声通过线性系统的分析四、线性系统输出的特性四、线性系统输出的特性4.1 线性系统的基本知识线性系统的基本知识 电子技术中，通常把电子系统分成电子技术中，通常把电子系统分成线性系统（如线性放大器、线性滤波器线性系统（如线性放大器、线性滤波器等）和非线性系统（如检波器、限幅器、等）和非线性系统（如检波器、限幅器、调制解调器等）两大类。调制解调器等）两大类。 系统的输出响应系统的输出响应y(t)与输入

2、信号与输入信号x(t)之间的关系可以用示意图来表示：之间的关系可以用示意图来表示： y(t)Lx(t) L表示对输入信号进行某种运算，称表示对输入信号进行某种运算，称作算子。作算子。4.1.1 时不变线性系统时不变线性系统L*x(t)y(t) 如果系统的输入和输出都是连续时如果系统的输入和输出都是连续时间信号，则称该系统为连续时间系统；间信号，则称该系统为连续时间系统；如果系统的输入和输出都是离散时间信如果系统的输入和输出都是离散时间信号，则称为离散时间系统。号，则称为离散时间系统。 如果输入信号是从如果输入信号是从t = - 开始一开始一直作用于系统，则输入信号称为双侧信直作用于系统，则输入

3、信号称为双侧信号，系统称为双侧系统；而从号，系统称为双侧系统；而从t = 0 开开始作用于系统的输入信号为单侧信号，始作用于系统的输入信号为单侧信号，系统为单侧系统。系统为单侧系统。定义定义 如果系统对于任意的常数如果系统对于任意的常数a和和b、输、输入信号入信号x1(t)和和x2(t)，有：，有： Lax1(t)+bx2(t)= aLx1(t)+b Lx2(t) 则称该系统为线性系统。则称该系统为线性系统。 如果系统的输出和输入信号具有相如果系统的输出和输入信号具有相同的时间位移特性，即：同的时间位移特性，即： y(t-c)Lx(t-c) c为常数，则该系统就被称为时不变系统。为常数，则该系

4、统就被称为时不变系统。定义定义 线性时不变系统可以有多种描述方线性时不变系统可以有多种描述方法，通常有三种：法，通常有三种：1. 输入输出关系法（即用单位冲激输入输出关系法（即用单位冲激响应函数或者传递函数来表示）；响应函数或者传递函数来表示）；2. 常微分方程法；常微分方程法；3. 状态变量法。状态变量法。 其中第其中第1种方法最常用。种方法最常用。描述线性系统的方法描述线性系统的方法 对于连续对于连续时不变线性系统，当输入时不变线性系统，当输入信号为单位冲激函数信号为单位冲激函数(t)的时候，的时候，系统系统的输出的输出h(t)被定义为系统的单位冲激响被定义为系统的单位冲激响应。则对于任意

5、输入信号应。则对于任意输入信号x(t)，系统的，系统的输出输出y(t)可以由卷积积分得到：可以由卷积积分得到：4.1.2 连续时不变线性系统连续时不变线性系统dthxdhtxthtxty)()()()()(*)()( 如果如果x(t)和和h(t)绝对可积，即：绝对可积，即： 则此系统被称为是稳定的。则此系统被称为是稳定的。dtthdttx| )(| )(| 两者的傅利叶变换存在，有：两者的傅利叶变换存在，有： H()被称作连续时不变系统的传被称作连续时不变系统的传递函数，它与递函数，它与h(t)构成一对傅利叶变换构成一对傅利叶变换对，即：对，即：dtethHdtetxXtjtj)()()()(

6、deHthtj)(21)( 如果如果Y()是输出是输出y(t)的傅利叶变换，的傅利叶变换，则有：则有： 在实际分析中，通常用在实际分析中，通常用s=+j代代替替j来表示复频率，上式可以写成拉普来表示复频率，上式可以写成拉普拉斯变换的形式：拉斯变换的形式：)()()(HXY)()()(sHsXsY H(s)与与h(t)构成一对拉氏变换对，构成一对拉氏变换对，即：即：dtethsHst)()(jjstdsesHjth)(21)( 如果系统的单位冲激响应满足：如果系统的单位冲激响应满足： h(t)0，当，当t0的时候的时候 则该系统被称为是因果系统。所有实际则该系统被称为是因果系统。所有实际存在的物

7、理可实现系统都是因果的。那存在的物理可实现系统都是因果的。那么对于物理可实现系统来说，么对于物理可实现系统来说，tdthxdhtxthtxty)()()()()(*)()(0 物理可实现的稳定系统传递函数物理可实现的稳定系统传递函数H(s)的所有极点都位于的所有极点都位于s平面的左半平平面的左半平面（不包含虚轴）。面（不包含虚轴）。 对于离散对于离散时不变线性系统，时不变线性系统，系统的系统的输出输出y(n)与输入与输入x(n)之间的关系为：之间的关系为： h(n)为单位冲激响应。为单位冲激响应。4.1.3 离散时不变线性系统离散时不变线性系统kkknhkxkhknxnhnxny)()()()

8、()(*)()( 如果如果x(n)和和h(n)绝对可和，即：绝对可和，即： 则此系统被称为是稳定的。则此系统被称为是稳定的。nnnhnx| )(| )(| 两者的离散傅利叶变换存在，设两者的离散傅利叶变换存在，设T=1，有：有： njnnjnenhHenxX)()()()( H()被称作离散时不变系统的频率被称作离散时不变系统的频率响应或者传递函数，它的傅利叶反变换响应或者传递函数，它的傅利叶反变换就是就是h(n) 。 如果如果Y()是输出是输出y(n)的离散傅利叶变的离散傅利叶变换，则有：换，则有：deHnhnj)(21)()()()(HXY 如果取如果取z=ej，上式可以写成：，上式可以写

9、成： 式中式中Y(z),X(z),H(z)分别代表的是分别代表的是y(n), x(n) 和和 h(n)的的Z变换。变换。)()()(zHzXzY h(n)和和H(z)构成一对构成一对Z变换。即：变换。即： 式中式中l表示表示H(z)zn-1包含所有极点的包含所有极点的单位圆。单位圆。lnnndzzzHjnhznhzH1)(21)()()( 如果系统的单位冲激响应满足：如果系统的单位冲激响应满足： h(n)0，当，当n=0 其中其中|r|1。求输出。求输出Y(n)的自相关函数。的自相关函数。 例例4.10 P259解：解： 根据几何级数求和公式：根据几何级数求和公式： 对于非负的对于非负的m，得

10、到输出的自相关，得到输出的自相关函数：函数：1|,|11|0rrrkk22022020021)()(rrrrrrjkmrrmRmkkmkkmkkjjkY 同理，对于负的同理，对于负的m，有：，有： 2202220021)()(rrrrrrjkmrrmRmkkmmkkmkkjjkY 可以统一写成：可以统一写成： 输出的平均功率为：输出的平均功率为：2|21)(rrmRmY2221)0()(rRnYEY 根据上面的讨论，若离散根据上面的讨论，若离散时不变线时不变线性系统的输入随机信号是宽平稳的，则性系统的输入随机信号是宽平稳的，则系统的输出也是宽平稳的。可以借助于系统的输出也是宽平稳的。可以借助于

11、Z变换或者离散傅利叶变换来分析系统变换或者离散傅利叶变换来分析系统输出的统计特性。输出的统计特性。 设设H(z)为为h(n)的的Z变换，变换，RY(m)与与SY(z)互为互为Z变换对（其它类似），将前变换对（其它类似），将前面讨论的几个式子求面讨论的几个式子求Z变换，则有：变换，则有：4.3.2 频域分析法频域分析法)()()()()()()()()()()()()()(| )(|)()(1111010zSzHzSzHzSzHzHzSzSzHzSzSzHzSzHmzkhmkhmmYXXYXYXYXXXYzXkzkXkXY 如果将如果将z=ej代入，可以得到离散傅代入，可以得到离散傅利叶变换的形

12、式，有：利叶变换的形式，有： SXY()=H(ej) SX() SYX()=H(e-j) SX() SY() =H(ej) H(e-j) SX() =| H(ej) |2 SX()解：解： 系统函数为：系统函数为：例例4.11 P261（例（例4.10 的频域计算）的频域计算）cos21| )(|)()(11)(|,11)()(2222210rreHSSreeHrzrzzkhzHjYXjjkk又4.4 白化滤波器白化滤波器 一个线性系统的输入为具有单位一个线性系统的输入为具有单位功率谱密度的白噪声激励下，其输出功率谱密度的白噪声激励下，其输出的功率谱密度为：的功率谱密度为： SY(s)=H(s

13、)H(-s)或者或者SY()=|H()|2 SY(z)=H(z)H(z-1)或者或者SY()=|H(ej)|2 根据第三章的讨论，对于实平稳根据第三章的讨论，对于实平稳连续时间随机信号，其功率谱密度可连续时间随机信号，其功率谱密度可以写为：以写为： SY(s)= S-Y(s) S+Y(s) 其中其中S-Y(s) 为有理函数，它的极点全为有理函数，它的极点全部在部在s平面的左平面、零点全部在左平面的左平面、零点全部在左平面或者虚轴上。我们可以令平面或者虚轴上。我们可以令 H(s) S-Y(s) 同理，对于实平稳离散时间随机同理，对于实平稳离散时间随机信号，可以令信号，可以令 H(z) S-Y(z

14、) 其中其中S-Y(z)为有理函数，它的零、极点为有理函数，它的零、极点全部在全部在z平面的单位圆内。平面的单位圆内。 我们就可以设计一个系统，使其我们就可以设计一个系统，使其输入为具有单位功率谱密度的白噪声输入为具有单位功率谱密度的白噪声情况下，输出为实平稳的随机信号。情况下，输出为实平稳的随机信号。 设计一个稳定的线性系统，使其设计一个稳定的线性系统，使其在具有单位谱的白噪声激励下，输出在具有单位谱的白噪声激励下，输出信号的功率谱为信号的功率谱为例例4.13 P2709104925)(242YS解：解： 系统函数用系统函数用s复频域表达为：复频域表达为：)3)(1(75)()()3)(1)

15、(3)(1()57)(75(9102549)(242ssssSsHssssssssssSYY 在实际问题的分析中，还可以遇在实际问题的分析中，还可以遇到将输入的有色噪声变成白噪声的情到将输入的有色噪声变成白噪声的情况。完成这一功能的系统称为白化滤况。完成这一功能的系统称为白化滤波器。其实现方法可以根据前面的讨波器。其实现方法可以根据前面的讨论，令系统的传递函数为：论，令系统的传递函数为： H(s) 1/S-Y(s) 连续时间连续时间 H(z) 1/S-Y(z) 离散时间离散时间 该系统也是稳定的因果系统。该系统也是稳定的因果系统。 设计一个物理可实现的白化滤波设计一个物理可实现的白化滤波器，可

16、以使具有功率谱为器，可以使具有功率谱为 的有色噪声输入时，输出白噪声。的有色噪声输入时，输出白噪声。例例4.14 P27125. 1cos04. 1cos4 . 0)(XS解：解： 系统函数用系统函数用z表达为：表达为：2 . 05 . 0)(1)(5 . 02 . 05 . 02 . 0)(5 . 024. 1)(2 . 004. 1)()(5 . 024. 1)(2 . 004. 1)(1111zzzSzHzzzzzzzzzSeeeeSXXjjjjX4.5 白噪声通过线性系统的分析白噪声通过线性系统的分析 实际中很多平稳随机信号都可实际中很多平稳随机信号都可以看作是受白噪声激励的线性系统以

17、看作是受白噪声激励的线性系统的输出。因此对白噪声通过线性系的输出。因此对白噪声通过线性系统的研究就等价于对这些平稳随机统的研究就等价于对这些平稳随机信号的研究。信号的研究。 设连续线性系统的传递函数为设连续线性系统的传递函数为H()，其输入是功率谱密度为其输入是功率谱密度为SX()N0/2的白的白噪声，则系统输出的功率谱密度为：噪声，则系统输出的功率谱密度为： SY()|H() |2N0/2 输出的自相关函数为：输出的自相关函数为：0020)()(2| )(|4)(duuhuhNdeHNRjY4.5.1 白噪声通过线性系统白噪声通过线性系统 输出的平均功率为：输出的平均功率为： 表明输出随机信

18、号的功率谱密度主要由表明输出随机信号的功率谱密度主要由系统的幅频特性系统的幅频特性|H() |决定。决定。0202| )(|2)(dHNtYE 如果如果H()比较复杂，直接计算系统比较复杂，直接计算系统输出的统计特性比较困难。通常用一个输出的统计特性比较困难。通常用一个理想系统来等效，这个理想系统的带宽理想系统来等效，这个理想系统的带宽就被称为是等效噪声带宽，用就被称为是等效噪声带宽，用e来表来表示。等效的原则是：理想系统与实际系示。等效的原则是：理想系统与实际系统在同一个白噪声激励下，两个系统的统在同一个白噪声激励下，两个系统的输出功率相等且理想系统的增益等于实输出功率相等且理想系统的增益等

19、于实际系统的最大增益。际系统的最大增益。Ke|H()|HI()|H()|max|H(0)|00实际低通系统实际低通系统 理想低通系统理想低通系统 如果系统输入白噪声的功率谱密度如果系统输入白噪声的功率谱密度为为N0/2 ，输出负载为单位电阻，则系统，输出负载为单位电阻，则系统输出的总平均功率为：输出的总平均功率为： 实际系统的等效噪声带宽为：实际系统的等效噪声带宽为：2max020| )(|22HNKNee022max| )(| )(|1dHHe 系统输出信噪比的定义：系统输出信噪比的定义： S/N输出信号平均功率输出信号平均功率/输出噪声平均功率输出噪声平均功率 求例求例4.1中中RC电路的

20、等效噪声带宽。电路的等效噪声带宽。解：解： RC电路的传递函数为：电路的传递函数为： 可得可得|H()|max =H(0)=1例例4.15 P275RCbjbbH1,)(RCfbbarctgbdbbdHHeee4122/| )/(| )(| )(|100222022max一、白噪声通过理想低通线性系统一、白噪声通过理想低通线性系统 理想低通线性系统的幅频特性为：理想低通线性系统的幅频特性为：othersAH, 02/|,| )(|4.5.2 白噪声通过理想线性系统白噪声通过理想线性系统A /20| H ( ) | /2- 设输入白噪声的物理谱设输入白噪声的物理谱SX()N0，则系统输出的物理谱

21、为：则系统输出的物理谱为：othersANSHSXY, 02/0,)(| )(|)(202系统输出的自相关函数（物理可观测）为：系统输出的自相关函数（物理可观测）为：系统输出的平均功率为：系统输出的平均功率为：)2(4cos)(21)(200SaANdSRYY4)(202ANtYE输出的相关系数：输出的相关系数：输出的相关时间：输出的相关时间：)2()0()()0()()(SaRRKKrYYYYYfdrY21)(00二、白噪声通过理想带通线性系统二、白噪声通过理想带通线性系统 理想带通系统的幅频特性为理想带通系统的幅频特性为 其它, 02/|,| )(|0AH 设输入白噪声的物理谱设输入白噪声的物理谱SX()N0，则系统输出的物理谱为：则系统输出的物理谱为：othersANSHSXY, 02/|,)(| )(|)(0202系统输出的自相关函数（物理可观测）为：系统输出的自相关函数（物理可观测）为：)2(2)(cos)(cos)2(2