1.2三重积分的概念及计算ppt课件

1、定义 设f(x y z)是空间有界闭区域上有定义将任意分割成n个互不重叠的小区域i在 上任取一点 作积分和i,iiix y z1,2, .in1,niiiiif x y zV其中表示小区域 的体积iVi1max.ii n 令的直径若对区域的任意一种分割法i以及中间点的任意取法，积分和的极限,iiix y z01lim,niiiiifx y zV总存在，则称此极限为在区域上的三重积分，, ,f x y z记作, ,f x y z dV或, ,f x y z dxdydz7-3 三重积分的概念与计算三重积分的概念与计算01lim,niiiiifx y zV当极限当极限 存在时存在时,称称 在在区域

2、区域 上可积上可积. , ,f x y z, ,f x y z dV三重积分三重积分 中的各部分的名称中的各部分的名称 积分号积分号 积分区域积分区域 f(x y z)被积函数被积函数f(x y z)dv被积表达式被积表达式dv 体积元素体积元素 x y z积分变量 有界闭区域有界闭区域 上的连续函数或分块连续函数在上的连续函数或分块连续函数在 上是可积的上是可积的.),(dvzyxM若一物体占有空间位置若一物体占有空间位置，又其体密度为，又其体密度为 则该则该物体的质量为物体的质量为),(zyx当当f(x,y,z)=1,V表示表示的体积，那么的体积，那么.dvV1 在直角坐标下的计算在直角坐

3、标下的计算 （积分区域是一个柱面，而其底与顶可以是 曲面 12, ,|,x y zx yD zx yzzx y 及在上连续1,z x y2,z x yD其中, ,f x y z在上连续在上连续, ,f x y z dxdydz21, ,.zx yzx yDdxdyfx y z dzD那那么么),(yx穿入点穿入点穿出点穿出点穿入点的竖坐标：),(1yxzz 穿出点的竖坐标：).,(2yxzz ),(),(21yxzyxz上页下页铃结束返回首页 先将x,y看作定值，将f(x,y,z)看成z的函数，在上积分，其结果是x,y的函数，记为),(),(21yxzyxz),(),(21. ),(),(yx

4、zyxzdzzyxfyxF然后计算F(x,y)在D上的二重积分DdyxF),( Dyxzyxzddzzyxf),(),(21.),(bxa , )()(:21xyyxyD设baxyxyyxzyxzdzzyxfdydxdvzyxf)()(),(),(2121 .),(),(于是有 公式把三重积分化为先对z、次对y、最后对x的三次积分或 累次积分.D),(yx穿入点穿入点穿出点穿出点上页下页铃结束返回首页其中 为三个坐标补例补例 计算三重积分计算三重积分,dddzyxx12zyx所围成的闭区域 .1xyz121解解:zyxxddd)1(01021d)21 (dxyyxxxyxz210d1032d)

5、2(41xxxxyxz210)1(021xy10 x )1(021dxy10d xx481面及平面上页下页铃结束返回首页 例例1 求三重积分求三重积分,)cos(dxdydzzxyI.2, 0, 0围成及柱面由平面其中xyzxzy解解为顶的曲顶住体，是以平面2zxxyz22oD平面它在oxy可表为上的投影区域D200 xxyxz20:xy 020 x DydxdydzzxI20)cos(ydxdyzxDx20| )sin(上页下页铃结束返回首页ydxdyxD)sin1 (200:xxyDxydyxdx020)sin1 (20)sin1 (21dxx).18(212（2先二重积分后定积分的方法先

6、二重积分后定积分的方法 一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分一个定积分 设积分区域为设积分区域为(x y z)|(x y)Dz azb 其中其中Dz是竖坐标为是竖坐标为z的平面截空间闭区域的平面截空间闭区域 所得到的一个平所得到的一个平面闭区域面闭区域 那么那么 , ,f x y z dv, ,.zbaDdzf x y z dxdy即所谓的即所谓的“先二后一法先二后一法.应满足下列条件：说明：说明：区域用“先二后一法”积分az 要介于平面.之间及bz zbazZ,平面且任取.Dz的交集是一个闭区域与abxyzzzD上页下页铃

7、结束返回首页例例2 求三重积分求三重积分,2dveIz.122围成及平面由曲面其中zyxz解解,1 , 0z任取得截面，轴的垂直平面截作z即,D(z)22zyx：区域.D(z)z的面积：)(102zDzdxdyedzI102dzzez10|22ze).1 (21ezDyxz1DO上页下页铃结束返回首页 判定是否可以用此方法的具体步骤是：根据积分区域和被积函数的特点，如果用垂直于某坐标轴如z轴的平面去截区域得截面面积是该坐标轴如z轴的函数，而被积函数也仅是该坐标变量如z的函数，或可化为仅是该坐标变量如z的函数，则有)(11)(),(zDccdxdydzzFdvzyxf21)()(),(bbyDd

8、zdxdyyGdvzyxf)(21)(),(xDaadydzdxxHdvzyxf同理得:同理得:同理得同理得:上页下页铃结束返回首页.平面对称关于假如积分区域oxy).,(),(),(2),(),(),(0),(1zyxfzyxfdvzyxfdvzyxfzyxfzyxfdvzyxf.0,),( | ),(1zzyxzyx其中区域上页下页铃结束返回首页dvzxyzxyzyxI)222(222例例3 求三重积分求三重积分dvzyxI2)().0, 0, 0(1:222222cbaczbyax其中解解是奇函数，所以关于平面对称，而关于由于zzxyzoxy2 ,2yzdv2, 02zxdv是奇函数，故

9、关于平面对称，而关于同理，xxyoyz2. 02xydv于是dvzyxI)(222xyzabczDz上页下页铃结束返回首页xyzabczDz),|(|1: )(222222czczbyaxzD2222221czbyax椭圆：两个半轴是：,122cza.122czbdvz2dxdyzdzzDcc)(2cdzczabz0222)1 (2.1543abcdvy2,1543cab同理dvx2).(154222cbaabcI故,1543cab空间点的柱面坐标空间点的柱面坐标 2 在柱坐标下的计算公式在柱坐标下的计算公式 设设M(x y z)为空间内一点为空间内一点 并设点并设点M在在xOy面上的面上的投

10、影投影P 的极坐标为的极坐标为P(r ) 则这样的三个数则这样的三个数r、 、z就就叫做点叫做点M的柱面坐标的柱面坐标 这里规定这里规定、 、z的变化范围为的变化范围为 0r 02 z 直角坐标与柱面坐标的关系直角坐标与柱面坐标的关系 xrcos yrsin zz 上页下页铃结束返回首页常数r圆柱面常数半平面常数z平面坐标面分别为如下图, 在柱面坐标系中体积元素为zrrvddddoxyzoz),(zyxMr)0 ,(yxzrzdrddrxyzorrdd三重积分在柱面坐标下的计算公式是dvzyxf),(dvzrrf),sin,cos(.),sin,cos( | ),(zrrzr其中上页下页铃结束

11、返回首页 (1) 是一个正的柱体，在oxy平面上的投影的极坐标 区域 为D，其低曲面与顶曲面用柱坐标分别表示为).,(),(rzrz与那么dxdydzzyxf),(.),sin,cos(),(),(rrDdzzrrfdrdo oxyz2例例 4 求三重积分求三重积分dvzyxI)(22.2222围成及平面是由曲面其中zyxz上页下页铃结束返回首页o oxyz2解解)(2122yxz2z),(yx4:22 yxD2222zyxz422yx.2)(21, 4| ),(2222zyxyxzyx.221, 20 ,20| ),(2zrrzrdvzyxI)(22dzrdrdzr224sincosDrzd

12、zdrdr222252sincosDdrdrr)414(21sincos422520542022)414(sincos21drrrd上页下页铃结束返回首页15256)cos1 (cos22022d15256)22143221(2.1532,)20)2(之间（与介于半平面相截得平面的任意一半平面与，且极角为),(D平面闭区域则有计算公式：dvzyxf),(.),sin,cos()(Drdrdzzrrfd)(Dxyzo上页下页铃结束返回首页例例 5 求三重积分求三重积分,)2(222zyxdvI.1, 1122所围及两平面由柱面其中zzyx解解为矩形：，对于)(),20D,10 , 11| ),(

13、rzrz)(2220)2(DzrrdrdzdI102211)2(2zrrdrdz112|)2|)2(1(2dzzz.8)310ln() 12ln(1032).ln(2121222222axxxaxdxxa注：上页下页铃结束返回首页解解所求体积为dxdydzV1)(20Drdrdzddzrdrd是下列区域其中)(D.)(| ),(222zarzr例例 6 设设 是是(y,z)坐标平面上的圆盘坐标平面上的圆盘)0()(222azay绕z轴旋转一周得到的区域，试求体积V.DrdrdzV22222)()(2araraadzrdraadrarr22)(22.222a上页下页铃结束返回首页 3 在球坐标下

14、的计算公式在球坐标下的计算公式 设P(x y z)为空间内一点P到原点的距离计作 ，向径 与Z轴正向的夹角计作 ( ),P在Oxy平面上的投影点 的极角计作 ( ),则数组( )与点P 有一一对应关系，称( )为点P 的球坐标.OP01P20,0200cossinxsinsinycoszsinrcosz直角坐标与球面坐标的关系1PPoxyzzr上页下页铃结束返回首页坐标面分别为常数球面常数半平面常数锥面),(rM如下图, 在球面坐标系中体积元素为dddsind2rv xyzodddd因此有zyxzyxfddd),(),(Fdddsin2其中)cos,sinsin,cossin(),(fF上页下

15、页铃结束返回首页,)20(之间及介于当积分区域的变相截得平面区域的平面与且任一极角为,)(D),换范围则有计算公式：,)(D,21为：区域特别地，若对任一)0, 0(212121），常数，其中常数简化为：则有公式)8 . 7(dvzyxf),(.sin)cos,sinsin,cossin()(2Dddfd)8 . 7(dvzyxf),(.sin)cos,sinsin,cossin(22121dfdd)9 . 7(上页下页铃结束返回首页例例 7 求三重积分求三重积分.2| ),(,2222zzyxzyxdvy其中yzxzzyx2222o12解解.2 , 0）的变化范围为由图可见,)(,2 , 0

16、总是一个半圆）任意固定D的球面方程2cos)20 ,20(2cos)(轴及曲线的边界曲线为zD.20(）因此有dvy2dddsind2rrv dddcos204203202sinsin.154ddd234sinsin上页下页铃结束返回首页例例 8 求三重积分求三重积分,)()(22222dvzyxzyxI所围的与抛物面有球面其中2222234yxzzyx.0部分的闭区域zxyzo解解平面对称，所以关于由于Oyzdvzyxxy2222)(2. 0)(22222dvzyxxz. 0)(22222dvzyxyz同理上页下页铃结束返回首页dvzyxzyxI2222222)(.1222dvzyxxyzo

17、322sincos3,sincos322由交线.3解得,20），任意固定从图可以看出，)30(2)(轴及两曲线的边界由zD.)23(sincos32组成和z222sincos3oy3上页下页铃结束返回首页dddsin122dvzyx2221203020sinddd2sincos302320sinddd2330sincos3sin22dd30| )cos2(223| )sinln3().23ln31 (2z222sincos3oy3dvzyxf),(.sin)cos,sinsin,cossin(22121dfdd4. 在一般变量变换下的计算公式在一般变量变换下的计算公式定理定理3 设函数设函数

18、在有界闭区域在有界闭区域 上连续上连续,又设变换又设变换, ,f x y z, , , ,xx u v wyy u v wzz u v w, ,u v w, ,0, ,xxxuvwD x y zyyyJD u v wuvwzzzuvw在在 上连续上连续,有连续的偏导数有连续的偏导数,将将 一一对应地变到一一对应地变到 ,且变换的雅可比行列式且变换的雅可比行列式那那么么 , , , , ,.f x y z dVf x u v w y u v w z u v wJ dudvdw上页下页铃结束返回首页球坐标变换cossinxsinsinycosz的雅可比行列式),D(z)y,x,DJ（0sincoscossincoscossinsinsinsincoscoscossin22222332sinsincoscossincossin.sin2上页下页铃结束返回首页柱面坐标变换cosrx sinry zz 的雅可比行列式.),D(z)y,x,DJrrr（ 因而，前面讲的球坐标及柱面坐标计算