2017年广州市普通高中毕业班综合测试一理科数学试题

1、绝密启用前2017年广州市普通高中毕业班综合测试(一)理科数学注意事项：1 .本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自 己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应 位置填涂考生号。2 .回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。3 .回答第n卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。、选择题：本小题共 12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(1)复数1的共轲复

2、数是(A) 1 i(B)(C)(D)1 i(2)若集合M(A) M N(B)(C)(3)已知等比数列an的各项都为正数1,且a3,一%启4成等差数列, 2则a3 a5的值是a4a65 1(A)2(B)3 、5 (C).(D)(4)阅读如图的程序框图.若输入n5,则输出k的值为1 22 33 4站束22(5)已知双曲线C：x2 -y- 1的一条渐近线方程为 2x 3y 0,F1,F2分别 a 4是双曲线C的左，右焦点，点P在双曲线C上，且PF1 7,则PF2等于(A) 1(B) 13(C) 4或 10(D 1 或 13(6)如图，网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直

3、角三角形)和侧视图，且该几何体的体积为 8,则该几何体的俯视图可以是 3(7)五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币.若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着.那么，没有相邻的两个人站起来的概率为(A)/、15(B)32/、 11(C32(D)51622已知',F2分别是椭圆C :占yr1 aa b的左，右焦点，椭圆C上存在点P使F1PF2为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围是(A),1(B)-,1(C)0,222-1(D)02(9)已知 p： x 0,ex ax1成立，q:函数f xxa 1是减函数，则p是q的(A)充分不

4、必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(10)九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖月需.若三棱锥P ABC为鳖月需,PA，平面ABC,PA AB 2, AC 4,三棱锥P ABC的四个顶点都在球 。的球面上，则球。的表面积为(A) 8(B) 12(C) 20(D) 24(11)若直线y 1与函数f x2sin 2x的图象相交于点 P xl,y1 , Q x2, y2 ,一2，一 ，一且x1 x2y,则线段PQ与函数(A) 2 73(B)-乖3 o 3(12)已知函数f x x - x - x24

5、(A) 0(B) 504f x的图象所围成的图形面积是(C) 73 2(D) - 33 23312016 k- 则 f的值为8，k 12017(C) 1008(D) 2016本卷包括必考题和选考题两部分。第1321题为必考题，每个考生都必须作答。第2223题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本小题共 4题，每小题5分。(13)已知 a 1, bJ2,且 a(a b)，则向量a与向量b的夹角是n-3(14) 3 x的展开式中各项系数和为64,则x3的系数为 (用数字填写答案), 一21 x. x 0, _(15)已知函数f x ,若f a 2 则实数a的取值范围是.1 log2 x, x

6、0,'*(16)设Sn为数列 an的前n项和，已知& 2,对任意p,q N,都有ap q ap aq ,S 60*则f nSn(n N )的最小值为.n 1三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。如图，在4ABC中，点P在BC边上， PAC(17)(本小题满分12分)(n)若 APB的面积是 亚3,求sinBAP.(I)求 ACP;(18)(本小题满分12分)近年来，我国电子商务蓬勃发展.2016年“618”期间，某网购平台的销售业绩高达 516亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统.从该评价系统中选出 200次成功交易，并对其

7、评价进行统计，网购者对商品的满意率为,对服务的满意率为，其中对商品和服务都满意的交易为80次.(I )根据已知条件完成下面的 2 2列联表，并回答能否有 99%勺把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”？对服务满意对服务不满意合计对商品湫1息80对商品不满意合计200(n)若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的3次购物中，设对商品和服务都满意的次数为随机变量 X ,求X的分布列和数学期望 EX .附：2K2 n ad bc (其中n a b c d为样本容量)abcd a c b dP K2 kk(19)(本小题满分12分)如 图 1, 在 直 角 梯 形 ABCD 中AD BC

8、 AB BC BD DC E BC ABD BD ABD BCD AEACDE)求证:AB，平面 ADC ;(n )若 AD 1,二面角 C ABD的平面角的正切值为.6求二面角BAD E的余弦值.(20)(本小题满分12分)2过点P a, 2作抛物线C:x 4y的两条切线,切点分别为A Xi,y1，B K» .(i)证明：X1X2 y1y2为定值；(n)记 PAB的外接圆的圆心为点M,点F是抛物线C的焦点，对任意实数a,试判断以PM为直径的圆是否恒过点 F?并说明理由.(21)(本小题满分12分)已知函数f x ln x a a 0 . x(I)若函数f X有零点，求实数a的取值范

9、围21(n)证明：当a - , b 1时，f in b .eb请考生在第2223题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。(22)(本小题满分10分)选修4一4:坐标系与参数方程x 3 t 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为,(t为参数).在以坐标原点为极y 1 t,与八、,x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C :2亚cos(I)求直线l的普通方程和曲线 C的直角坐标方程(n)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值.(23)(本小题满分10分)选修45:不等式选讲已知函数f x x a 1 x 2a .(I)若f 13,求实数a的取值范围；(n)若 a i,x R ,求证：f x

10、2.2017年广州市普通高中毕业班综合测试(一)理科数学试题答案及评分参考评分说明：1 .本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题 的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2 .对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3 .解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4 .只给整数分数.选择题不给中间分.、选择题B(2) C(3) A(4 ) B(5) D(6) DC(8) A(9)

11、B(10 ) C(11) A(12 ) B(14)5401(15)，U 8,29(16) (1)(13)24二、填空题三、解答题(17)解:(I )在 APC中，因为PAC 60,PC 2, APAC 4,由余弦定理得PC2AP2AC22 AP AC cos PAC ,所以22 AP242AP2 AP 4 AP cos60整理得AP2 4AP4 0,解得AP 2 .所以AC 2.所以 APC是等边三角形.所以 ACP 60.(n)法1：由于 APB是 APC的外角，所以APB120因为 APB的面积是3.31,所以 一 AP PB sinAPB3.32所以PB 3.在 APB 中，AB2_22

12、_ AP PB 2 AP PB cos APB法2:所以AB在 APB所以sin，语.22 32 2 2 3 cos12019,中，由正弦定理得Bap 3sin12019作AD BC,垂足为D ,10分ABPB11sin APBsin BAP3、. 573812因为 APC是边长为2的等边三角形，所以 PD 1,AD 、,3, PAD因为 APB的面积是3旦2所以PB 3.所以BD 4.在RtAADB 中,AB30 .13；3所以一 AD PB 22. BD2 AD2.19 ,所以sinBADBDAB4,cos 、19BADAD所以sinBAPsinBAD 30sinBAD cos30cos4

13、19.33219357AB 19 -BAD sin301110(18)解：(D2 2列联表:2 200 80 10 40 70 2K2 150 50 120 8011,111,因为 11.111 6.635,所以能有99%勺把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系” 4(n)2 一 ，-一，一每次购物时，对商品和服务都满意的概率为2,且X的取值可以是0, 1, 2, 3.527 一；P125c354一；125_ 2X 2C336 .125,C30_8_12510分X的分布列为:X0123P2754368125125125125对服务满意对服务不满意合计对商品满息8040120对商品不满

14、意701080合计1505020011分所以EX27125125沮3 212512512分12分或者：由于X : B 3,2 ,则EX 3 2 -. 55 5(19)解：(I)因为平面 ABD，平面BCD ,平面ABD I平面BCD BD又BD，DC ,所以DC，平面ABD.因为AB 平面ABD，所以DC，AB .又因为折叠前后均有 AD ± AB , DC n AD所以AB，平面ADC .(n)由(I)知 AB，平面ADC ,所以二面角 C AB D的平面角为/ CAD .又DC，平面ABD , AD 平面ABD，所以DC，AD .依题意 tan CAD CD 6.AD因为AD 1

15、 ,所以CD J6 .设 AB x x 0 ,则 BD Vx2 1 .依题意4 ABD匕BDC，所以也 空，即3AD BD 1解得 x 72,故 AB /,BD 73, BC JBD2 CD2 3.法1：如图所示，建立空间直角坐标系 D xyz ,则D(0,0,0), B(j3,0,0), C(0, J6,0),所以能位后022uuurDA由(I)知平面BAD的法向量n(0,1,0).设平面ADE的法向量m(x, y,z)ir ,m 由irmuuir DE uuu DA0,得0,y 0,z 0.所以 m ( . 6, . 3, ,3).所以cos n, m由图可知二面角所以二面角B过点因为所以

16、过点所以10 分11:因为DC1nlimIB AD E的平面角为锐角,AD E的余弦值为，平面ABD ,E 作 EF DC BD F EF ABDAD 平面ABD,EF ± AD .F作FG，AD于G ,连接GEAD，平面 EFG ,因此 AD ± GE .所以二面角 B AD由平面几何知识求得EF所以所以12E的平面角为EGF .1CD也 22FG1AB 2EG EF2 FG2cos/所以二面角(20)解:(I)法1：由2.EGF =-FG EGAD E的余弦值为11121 2，4y,得y -x ,所以y411-x.所以直线PA的斜率为一X.22因为点A % , y1和B

17、 x2,y2在抛物线1 212C 上，所以y1x-yx.442所以直线PA的方程为y -x124因为点P a, 2在直线PA上,LL,、，-1212所以 2 4一x1a x1 ,即 X 2axi 8 0. 2分42同理，x； 2ax2 8 0.所以x，x2是方程x2 2ax 8 0的两个根.所以xx28.1x、x216所以xx2y1y24为定值.法2：设过点P a, 2且与抛物线 C相切的切线方程为y 2 k x a由，2 2 k x a，消去 y 得 x2 4kx 4ka 8 0, x 4y,由16k2 4 4ak 80,化简得 k2 ak 2 0.分所以 k1k22 .分由x2 4y,得y

18、1 21-x ,所以 y - x.42一，r，11所以直线PA的斜率为k1x1，直线PB的斜率为k2-x2.221-所以一x1x22 ,即 x1x28 .4分又 yy2及上工£ 4, 4416所以%乂2%丫24为定值.(n)分法1 ：直线PA的垂直平分线方程为y1 2XiX1a2由于y11 22-x1 , x1 8 2ax1,所以直线PA的垂直平分线方程为axi同理直线PB的垂直平分线方程为XiX12ax24X2X23由解得x -a 2一一 3所以点M -a,1210分抛物线C的焦点为0.1mir 则MF32a，uiu,PF a,3 .uuir uur 3a2 由于MF PF 2uu

19、ir ulu 所以MF PF.3a20,11分所以以PM为直径的圆恒过点F.12分另法法2:以PM为直径的圆的方程为3a2x a x a y 2 y 1 0.2211分把点F所以以设点M0,1代入上方程，知点F的坐标是方程的解.PM为直径的圆恒过点F.12分的坐标为 m, n ,则 PAB的外接圆方程为由于点 A X1, Yf ,B x2, y2在该圆上,r ,2则x1m2V1n2x2 m2V2 n两式相减得X1X2X1X22mViy2y1 y2 2n0,由（I）知为x22a, x1x28,V14X1，y21 2一x2，代入上式得3x1 x2 4a 4m a 4a 2an 0, 8 分当 x1

20、 x2 时，得 8a 4m a3 2an 0,mir uur假设以PM为直径的圆恒过点 F,则MF PF,即 m,n 1 g a, 30,得ma 3 n 10, 9分31 o由斛得m a, n 1 - a , 10分22 .31 2所以点M3a,11a2. 11分22当 x x2 时，则 a 0,点 M 0,1 .所以以PM为直径的圆恒过点 F. 12分(21)解:(I)法1：函数fx lnx亘的定义域为0,. xa1ax a由 f x In x-,倚 f x-22-xxxx分因为a 0,则x0,a 时，f x 0; x a,时，f x 0.所以函数f x在0,a上单调递减，在a,上单调递增

21、分当 x a 时, f x In a 1. 3min分1 一当In a 1 0,即0 a 一时，又f 1 In1 a a 0,则函数f x有夺点.4 e分所以实数a的取值范围为0,1 . 5分，e法2：函数f x lnx旦的定义域为0,. xa由 f x In x - 0 ,得 a xln x In x 1,1八 ，1八当x 0,时，g x 0；当x -, 时，g x 0. ee所以函数g x在0,1上单调递增，在1,上单调递减 2分，ee，,11111一故x一时，函数g x取信取大值g_ln . 3eee e e分a1因而函数 f x In x 一有手点，则0 a -. 4xe分所以实数a的取值范围为0,1 . 5分，e(n)令 h x xln x a ,则 h x In x 1.1 .1 .当 0 x 一时，f x 0;当 x -时，f x 0.ee所以函数h x在0,1上单调递减，在1 ee上单调递增1当x 一时,min于是，当a 2时，h xe分xx x .x e xe e 1 x当0 x 1时，f x0;当 x 1 时，f x 0.所以函数 x在0,1上单调递增，在1,上单调递减当x 1时,xmax1.e是，当x 0时， x 1e显然，不等式、中的等号不能同时成立故当 x 0, a 2 时，x In x aexxe10因为b 1,所以Inb 0.所以In b I