固体物理 03-08晶体热容的量子理论

1、固体物理 Solid State Physics西南科技大学 3.8 晶体热容的量子理论晶体热容的量子理论 第三章第三章 晶格振动晶格振动固体物理 Solid State Physics西南科技大学晶体的热容晶体的热容固体的定容热容固体的定容热容VVTEC)(E 固体的平均内能固体的平均内能固体内能固体内能 晶格振动的能量和电子热运动的能量晶格振动的能量和电子热运动的能量实验结果实验结果 低温下金属的热容低温下金属的热容3ATTCV 温度不是太低的情况，忽略电子对比热的贡献温度不是太低的情况，忽略电子对比热的贡献T 电子对比热的贡献电子对比热的贡献3AT 晶格振动对比热的贡献晶格振动对比热的贡

2、献固体物理 Solid State Physics西南科技大学晶格振动对热容的贡献晶格振动对热容的贡献 经典理论经典理论 一个简谐振动平均能量一个简谐振动平均能量TkBN个原子，总的平均能量个原子，总的平均能量TNkEB3摩尔固体热容摩尔固体热容VVTEC)(RkNCBAV33 杜隆珀替定律杜隆珀替定律实验表明实验表明 在低温时热容量随温度迅速趋于零在低温时热容量随温度迅速趋于零 ! 能量均分定律能量均分定律固体物理 Solid State Physics西南科技大学 一个频率为一个频率为 j的的振动模对热容的贡献振动模对热容的贡献/jBjBjjnk Tnk TnnPee1()2jjjEn频率

3、为频率为 j的的振动模由一系列量子能级振动模由一系列量子能级 组成组成 子体系子体系/jBjEk TnPCe子体系处于量子态子体系处于量子态 的的概率概率1()2jjjEn/(1)jjBjBjnk Tk TnPee1)1 (xxnn晶格振动对热容的贡献晶格振动对热容的贡献 量子理论量子理论固体物理 Solid State Physics西南科技大学 与晶格振动频率和温度有关与晶格振动频率和温度有关 VjVdTEdC)( 一个振动模对热容贡献一个振动模对热容贡献/121jBjjk TejjjnjnEP E一个振动模的平均能量一个振动模的平均能量/(1)jjBjBjnk Tk TnPee1()2j

4、jjEn2(1)nnxnxx零点能零点能平均热能平均热能/2/2()(1)jBjBk TjVBk TBeCkk Te固体物理 Solid State Physics西南科技大学jBTkBVkC p高温极限高温极限/2/2()(1)jBjBk TjVBk TBeCkk Te/211()2jBk TjjBBek Tk T 一个振动模对热容贡献一个振动模对热容贡献 忽略不计忽略不计222(1)()1()2jjBVBjjBBBk TCkk Tk Tk T固体物理 Solid State Physics西南科技大学jBTkBVkC 高温极限高温极限 与杜隆珀替定律相符与杜隆珀替定律相符222(1)()1

5、()2jjBVBjjBBBk TCkk Tk Tk T 这一结果在量子理论的基础上说明了在较高温度时这一结果在量子理论的基础上说明了在较高温度时杜隆珀替定律成立（杜隆珀替定律成立（CV与经典值与经典值kB一致）的原因一致）的原因 （当振子的能量当振子的能量kBT远大于能量的量子远大于能量的量子 时，量时，量子化的效应就可以忽略子化的效应就可以忽略）j固体物理 Solid State Physics西南科技大学jBTk2/1()jBjVBk TBCkk Te0T0VCp低温极限低温极限1/TkBje 与实验结果相符与实验结果相符/2/2()(1)jBjBk TjVBk TBeCkk Te 一个振

6、动模对热容贡献一个振动模对热容贡献固体物理 Solid State Physics西南科技大学低温极限低温极限 从物理意义上看：由于振动能量是量从物理意义上看：由于振动能量是量子化的，在子化的，在 时，振动被时，振动被“冻结冻结”在基态，很难被热激发，因而对热容的贡献在基态，很难被热激发，因而对热容的贡献趋向于趋向于0。jBTk2/1()jBjVBk TBCkk Te0T0VC可知：当可知：当T时，时，CV，且当，且当 时，时，固体物理 Solid State Physics西南科技大学 晶体中有晶体中有3N个振动模，总的能量个振动模，总的能量NjjTETE31)()(NjjVVCC3131(

7、 )NjjdE TdT晶体总的热容晶体总的热容/32/21()(1)jBjBk TNjVBk TjBeCkk Te( )VdE TCdT固体物理 Solid State Physics西南科技大学1、根据以上的分析与讨论可以看出，温度、根据以上的分析与讨论可以看出，温度T由由0高温时，高温时，CV由由03NkB，这与试验结，这与试验结果符合，这说明晶格振动的量子理论是成果符合，这说明晶格振动的量子理论是成功的。功的。结论：结论：2、由经典理论只能证明、由经典理论只能证明CV=3NkB（常数），（常数），这只与高温实验结果相符合，而与低温的结这只与高温实验结果相符合，而与低温的结果不符合。果不符

8、合。固体物理 Solid State Physics西南科技大学 上面我们讨论了频率为上面我们讨论了频率为 的振子对热容的贡的振子对热容的贡献，晶体中包含献，晶体中包含3N个简正振动。个简正振动。NjjTETE31)()(31( )NjjdE TdT总的热容：总的热容：/32/21()(1)jBjBk TNjBk TjBekk Te总的能量：总的能量：jNjjVVCC31固体物理 Solid State Physics西南科技大学)(30TkfNkCBBBV1 爱因斯坦模型爱因斯坦模型 N个原子构成的晶体，所有原子以相同的频率个原子构成的晶体，所有原子以相同的频率 0振动振动 VVTEC)(0

9、00/3321Bk TNNe3/11()21jBNjjk TjEe2/20) 1()(300TkTkBBBBeeTkNk热容热容总能量总能量固体物理 Solid State Physics西南科技大学爱因斯坦温度爱因斯坦温度EBk0BEk02/2) 1()(3TTEBVEEeeTNkC 选取合适的选取合适的 E值，在较大温度变化的范围内，理值，在较大温度变化的范围内，理论计算的结果和实验结果相当好地符合论计算的结果和实验结果相当好地符合 大多数固体大多数固体KKE3001002/200) 1()()(00TkTkBBBBBeeTkTkf 爱因斯坦热容函数爱因斯坦热容函数固体物理 Solid S

10、tate Physics西南科技大学金刚石金刚石KE1320理论计算和实验结果比较理论计算和实验结果比较 10/20固体物理 Solid State Physics西南科技大学22/2/2/)(1) 1(TTTTEEEEeeee22)()22(1EEETTTBVNkC3温度较高时温度较高时 10TkB/2/23()(1)EETEVBTeCNkTeTE 与杜隆与杜隆 珀替定律相符珀替定律相符0BEk 晶体热容晶体热容/212ETEeT 固体物理 Solid State Physics西南科技大学温度非常低时温度非常低时10TkBTETkBBVBeTkNkC020)(31/TEeT0时，时，0VC

11、0BEk 2/2) 1()(3TTEBVEEeeTNkC晶体热容晶体热容与实验符合与实验符合固体物理 Solid State Physics西南科技大学在极低温时，实验测得在极低温时，实验测得3ATCV 爱因斯坦模型在低温时，爱因斯坦模型在低温时，CV值比值比T3更更快地趋于快地趋于0，即：温度，即：温度0时，时，CV减小的速减小的速度快于实验值，与实验结果有较大差别，度快于实验值，与实验结果有较大差别，如下图所示。如下图所示。 爱因斯坦模型的缺陷爱因斯坦模型的缺陷固体物理 Solid State Physics西南科技大学固体物理 Solid State Physics西南科技大学1）和经典

12、理论相比，爱因斯坦模型（理论）和经典理论相比，爱因斯坦模型（理论）的改进是十分明显的，理论能够反映出在低温的改进是十分明显的，理论能够反映出在低温下降的基本趋势。但是在低温时，爱因斯坦理下降的基本趋势。但是在低温时，爱因斯坦理论值下降很陡，与实验不符。论值下降很陡，与实验不符。结论：结论：固体物理 Solid State Physics西南科技大学a.爱因斯坦把晶体中的各原子看作具有相同的振爱因斯坦把晶体中的各原子看作具有相同的振动频率动频率 的谐振子，显然是一种过于简化的假的谐振子，显然是一种过于简化的假设。设。b.在爱因斯坦模型中，在爱因斯坦模型中， 是这样选取的：使得是这样选取的：使得比

13、热在较大的温度范围内，理论曲线与实验曲线比热在较大的温度范围内，理论曲线与实验曲线尽可能的符合，这样的频率一般在红外线范围。尽可能的符合，这样的频率一般在红外线范围。因此，这样的频率是较高，由于忽略了低频的作因此，这样的频率是较高，由于忽略了低频的作用，从而使用，从而使CV下降得较快。下降得较快。2）产生偏离的原因：）产生偏离的原因：00固体物理 Solid State Physics西南科技大学 主要在于证明了机械谐振子也必须主要在于证明了机械谐振子也必须量子化，就如普朗克把辐射谐振子量子量子化，就如普朗克把辐射谐振子量子化一样，从而使他得到的理论结果与实化一样，从而使他得到的理论结果与实验

14、基本符合一致，证明了引入声子概念验基本符合一致，证明了引入声子概念的正确性。的正确性。3） 爱因斯坦模型的意义：爱因斯坦模型的意义：固体物理 Solid State Physics西南科技大学2 德拜模型德拜模型 1912年德拜提出以连续介质的弹性波来代表格波年德拜提出以连续介质的弹性波来代表格波 将布喇菲晶格看作是各向同性的连续介质将布喇菲晶格看作是各向同性的连续介质 有有1个纵波和个纵波和2个独立的横波个独立的横波ltC qFor LongitudinalWaveC qFor TransverseWave 不同不同q的纵波和横波，构成了晶格的全部振动模的纵波和横波，构成了晶格的全部振动模

15、不同的振动模，能量不同不同的振动模，能量不同色散关系色散关系固体物理 Solid State Physics西南科技大学频率在频率在 之间振动模式的数目之间振动模式的数目 ddgdn)( 频率也近似于连续取值频率也近似于连续取值 振动频率分布函数振动频率分布函数，或者振动模的，或者振动模的态密度态密度函数函数 )(g一个振动模的热容一个振动模的热容 /2/2()(1)jBjBk TjjBk TBeCkk TeltC q andC q振动频率分布函数振动频率分布函数固体物理 Solid State Physics西南科技大学晶体总的热容晶体总的热容 /2/20()( )(1)mBBk TVBk

16、TBeCkgdk Te 振动频率分布函数振动频率分布函数 和和 m的计算的计算)(g一个振动模的热容一个振动模的热容 /2/2()(1)jBjBk TjjBk TBeCkk Te固体物理 Solid State Physics西南科技大学三维晶格，态密度三维晶格，态密度 V: 晶体体积晶体体积3)2(V 波矢波矢q允许的取值在允许的取值在q空间形成了均匀分布的点子空间形成了均匀分布的点子体积元态的数目体积元态的数目qdV3)2( q是准连续变化的是准连续变化的dqqV234)2(状态数目状态数目dqqq球层球层固体物理 Solid State Physics西南科技大学频率在频率在 之间，之间

17、，纵波数目纵波数目ddqqV234)2(lCqdCVl2322频率在频率在 之间，之间，格波数目格波数目d22322tVdC频率在频率在 之间，之间，横波数目横波数目d波矢的数值在波矢的数值在 之间的振动方式的数目之间的振动方式的数目dqqqlCddqdVCCtl22332)21(固体物理 Solid State Physics西南科技大学频率分布函数频率分布函数2233( )2VgC333213tlCCC格波总的数目格波总的数目dVCCtl22332)21(频率在频率在 间，格波数目间，格波数目dmdgN0)(321/36()mNCV固体物理 Solid State Physics西南科技大

18、学deeTkkCVTkTkBBBBm22/2032) 1()(23晶体总的热容晶体总的热容 /2/20()( )(1)mBBk TVBk TBeCkgdk Te21/36()mNCV固体物理 Solid State Physics西南科技大学deeTkkCVCTkTkBBVBBm22/2032) 1()(23德拜温度德拜温度BmDk/4320()3 3()(1)DTVDDTTeCRde晶体总的热容晶体总的热容 TkB令令mDmBk TT21/36()mNCV)(3)/(TRfTCDDDV固体物理 Solid State Physics西南科技大学DT1TkB1eTDDDDdTTf/023) 1

19、()( 3)(1RCV3（1）在高温）在高温极限下：极限下： 与杜隆珀替定律一致与杜隆珀替定律一致TDDDDdeeTTf/0243) 1()( 3)(德拜热容函数德拜热容函数BDmk )(3)/(TRfTCDDDV晶体总的热容晶体总的热容 固体物理 Solid State Physics西南科技大学（2）低温）低温极限：极限：DT TDDVDdeeTRTC/0243) 1()(9)/(4312(/)()15VDDTCTR T3成正比成正比 德拜定律德拜定律 温度愈低时，德拜模型近似计算结果愈好温度愈低时，德拜模型近似计算结果愈好 温度很低时，主要的只有长波格波的激发温度很低时，主要的只有长波格波的激发0243) 1()(9deeTRD1Bk TBDmk 晶体热容晶体热容 晶体热容晶体热容 固体