经典竞赛几何题

1、绝密启用前2022年05月17日张朋松的初中数学组卷试卷副标题考试范围：xxx;考试时间：100分钟；命题人：xxx题号一总分得分考前须知：1 答题前填写好自己的、班级、考号等信息2 请将答案正确填写在答题卡上第I卷选择题请点击修改第I卷的文字说明评卷人 得分一 解答题共50小题1. ABC是等边三角形，D是BC边上的一个动点点 D不与B, C重 合 ADF是以AD为边的等边三角形，过点F作BC的平行线交射线AC于 点E,连接BF.1如图 1,求证： AFBA ADC;2请判断图1中四边形BCEF的形状，并说明理由；3假设D点在BC边的延长线上，如图2,其它条件不变，请问2中2. 在厶ABC中

2、，AH丄BC于H，D，E，F分别是BC, CA, AB的中点如下列图.求证：/ DEF玄 HFE3在 ABC中，/ B=60°, / A,/ C的角平分线AE, CF相交于点O,1如图1,假设AB=BC求证：OE=OF2如图2,假设ABMBC,试判断线段OE与OF是否相等，并说明理由.4.如图,在厶ABC中,BD是/ ABC的平分线,在厶ABC外取一点E,使得/ A的平分线AD交BC于D,过B作BE垂/ BAC=60, / BDC=120 ,求证：AD=BDCD.题 答 内 线 订 装 在 要 不 请EAB=/ ACB AE=DC并且线段ED与线段AB相交，交点记为K,问线段EK 与

3、DK有怎样的大小关系？并说明理由.7如图 ABC, D是厶ABC内的一点，延长 BA至点E,延长DC至点F,使 得AE=CF G，H，M分别为BD, AC, EF的中点，如果G，H，M三点共线，8如图，在正方形 ABCD中，取AD, CD的边的中点E, F,连接CE BF交 于点G,连接AG,试判断AG与AB是否相等，并说明理由.9.如图，设点 M是等腰RtAABC的直角边AC的中点，AD丄BM于E, AD 交BC于D.求证：/ AMB=Z CMD请用两种不同的方法证明10.如图，在四边形 ABCD中, AD=BC E F分别是DC及AB的中点，射线 FE与AD及BC的延长线分别交于点H及G.

4、试猜测/ AHF与/BGF的关系， 并给出证明.提示：假设猜测不出/ AHF与/ BGF的关系，可考虑使四边形 ABCD为特殊 情况.如果给不出证明，可考虑下面作法，连结 AC,以F为中心，将 ABC 旋转180°,得到 ABP.11.如图，D为仏ABC中线AM的中点，过M作AB、AC边的垂线，垂足分 别为P、Q,过P、Q分别作DP、DQ的垂线交于点N.1求证:PN=QN;2求证：MN丄BC.12. 在 ABC中，D为AB的中点，分别延长 CA CB到点E、F,使DE=DF, 过E、F分别作CA CB的垂线相交于P，设线段PA PB的中点分别为M、N.求证：厶DEMA DFN;/ P

5、AEW PBF.题 答 内 线 订 装 在 要 不 请13. 如图：AB/ DC,/ BAD和/ADC的平分线相交于点 E,过点E的直 线分别交AB DC于B、C两点.猜测线段AD、AB、DC之间的数量关系，并 证明.14. 如图， ABC中，AB=BC=CA D、E、F分别是AB、BC CA的中点,G是BC上一点， DGH是等边三角形.求证：EG=FHABE G C15. 如图，CD是RTABC斜边上的高，/ A的平分线交CD于H,交/BCD的平分线于G，/ ABC=90.点E是CD的中点，过点E作CD的垂线交AB于点P,交CB的延长线于点M .点F在线段ME 上，且满足 CF=AD MF=

6、MA.1假设/ MFC=120，求证：AM=2MB;2试猜测/ MPB与/ FCM数量关系并证明.17.如图，在 ABC中AC>BC, E、D分别是 AC、BC上的点，且/ BAD=ZABE, AE=BD 求证：/ BADp/ C.18A, C, B在同一条直线上， ACE BCF都是等边三角形，BE交CF于N, AF交CE于M , MG丄CN,垂足为G.求证：CG=NG19.如下列图，在 ABC中，/ ABC=2Z C, AD为BC边上的高，延长 AB到E 点，使BE=BD过点D、E引直线交AC于点F,请判定AF与FC的数量关系，20.如图,腰三角形,连接MN, ABC是边长为I的等边

7、三角形， BDC是顶角/ BDC=120的等 以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB于M，交AC于N, 形成一个三角形，求证： AMN的周长等于2.A题 答 内 线 订 装 在 要 不 请21. 如图，在四边形 ABCD中，AC平分/ BAD, CE1 AB于E,且AB+AD求证：/ B与/ D互补.22. 如图， ABC 中，/ A=90°, AB=AC / 仁/ 2, CEL BD 于 E.求证:23. AD是厶ABC的角平分线，M是BC的中点，FM/ AD交AB的延长线于F,交AC于E1求证：CE=BF2探索线段CE与AB+AC之间的数量关系，并证明.24 .如

8、图，AD 是厶 ABC的中线，AB=AE AC=AF / BAE=Z FAC=90.判断线段AD与EF数量和位置关系.25. 如图，四边形ABCD中，BC=DC对角线AC平分/ BAD,且AB=21, AD=9,BC=DC=10 求 AC 的长.26. 如图，线段AB的同侧有两点 C D满足/ ACB=/ ADB=60 , Z ABD=90DBC 求证：AC=AD.27. 如图，正方形 ABDE和 ACFG是以厶ABC的AB AC为边的正方形，P、Q为它们的中心，M是BC的中点，试判断MP、MQ在数量和位置是有什么关28.如图，在 ABC中，AD为/BAC的平分线，BP丄AD，垂足为 P.AB

9、=5, BP=2, AC=9.试说明/ ABC=3/ ACB题 答 内 线 订 装 在 要 不 请29.如图，在 ABC中，/ B=90°, M为AB上一点，使得 AM=BC, N为BC它们交于点0,1求：/ A0C的度数;2求证：AC=AE+CD.31. 如图， ABC中AB>AC, P是角平分线 AD上任一点，求证：AB-32. 如图，在 ABC中，D为BC的中点，点E、F分别在边AC AB上，并且/ABE=Z ACF，BE CF交于点0.过点0作OP丄AC, 0Q丄AB，P、Q为垂 足.求证：DP=DQ33. 如图厶 ABC中，AB=AC / ABD=60，且/ ADB=

10、90Z BDC，求证:34. 如图，点 C在线段 AB上, DA丄AB, EB丄AB, FC丄AB,且 DA=BC EB=ACFC=AB Z AFB=51°,求Z DFE度数.35如图， ABC是等腰直角三角形，/ C=90°,点M、N分别是边AC和BC的中点，点D在射线BM上，且BD=2BM.点E在射线NA上，且NE=2NA36.如图， ABC中，BD为/ ABC的平分线；1假设/ A=100o，/ C=50,求证：BC=BAAD;2假设/ BAC=100，Z C=40,求证：BC=BBAD.37.如图， ABC中，/ ACB=90，/ CAD=30，AC=BC=AD 求

11、证：BD=CD题 答 内 线 订 装 在 要 不 请的值.38 .如下列图，在 ABF 中， BC=CE=EJF / BACK CAD=Z DAE=45，求汁39.如图，过厶ABC的顶点A,在/ BAC内部任意作一条射线，过 B C 分别作此射线的垂线段 BD CE, M为BC边中点.求证：MD=ME.OO线线OO订号 考订O级 班O装校 学装OO外内OO40.，如图，在正方形 ABCD中,DH丄AF于点H,交AC于点G, DH延长线交AB于点E_-求证：0违随.41.：在 ABC中，/ A=90°, AB=AC D 为 AC中点，AE丄BD于 E,延E为AB中点,CD=2EC43.

12、如图，在 ABC中，BD=CD AG平分/ DAC, BF丄AG,垂足为H,与AD 交于E,与AC交于F,过点C的直线CM交AD的延长线于 M，且/ EBD=ZMCD, AC=AM. 求证：DEfCF题 答 内 线 订 装 在 要 不 请44如图，BE CF是厶ABC的高，它们相交于点 0,点P在BE上，Q在CF 的延长线上且BP=AC CQ=AB1求证： ABPA QCA2AP和AQ的位置关系如何，请给予证明.45. 如图，在厶ABC中，/ACB=90，CD丄AB于D，AF平分/ BAC交CD于E， 交BC于 F，EG/ AB交BC于G,说明BG=CF的理由.46. 在厶ABC中，/ ACB

13、=90, D是AB上一点，M是CD的中点，假设/ AMD= / BMD，求证：/ CDA=2/ ACD.47. 如图，：四边形 ABCD中，AD=BC E、F分别是DC、AB的中点, 直线EF分别与BC AD的延长线相交于 G、H.求证：/ AHF=Z BGF线48.如图，在等腰直角 ABC中，AD=AE AF丄BE交BC于点F,过F作FG丄CD交BE延长线于G,求证：BG=AI+FG.RFC49. ABC / C=90°, AC=BC M 为 AC中点，延长 BM 到 D,使 MD=BM;N为BC中点，延长NA到E,使AE=NA 连接ED,求证：ED± BD.50.如图，

14、在 ABC中，/ BAC=90, AB=AC D是厶ABC内一点，且/ DAC=BD=BA题 答 内 线 订 装 在 要 不 请2022年05月17日张朋松的初中数学组卷参考答案与试题解析一 解答题共50小题1. ABC是等边三角形，D是BC边上的一个动点点 D不与B, C重 合 ADF是以AD为边的等边三角形，过点F作BC的平行线交射线AC于 点E,连接BF.1如图 1,求证： AFBA ADC;2请判断图1中四边形BCEF的形状，并说明理由；3假设D点在BC边的延长线上，如图2,其它条件不变，请问2中 结论还成立吗？如果成立，请说明理由.【分析】1利用有两条边对应相等并且夹角相等的两个三角

15、形全等即可证明厶 AFBA ADC;2四边形BCEF是平行四边形，因为 AFBA ADC,所以可得/ ABFN C=60°，进而证明/ ABFN BAC,那么可得到FB/ AC,又BC/ EF,所以四边形 BCEF是平行四边形；3易证 AF=AD, AB二AC / FADN BAC=60,可得/ FAB=/ DAC,即可证 明厶AFBA ADC;根据 AFBA ADC 可得/ ABFN ADC,进而求得/ AFB= / EAF,求得BF/ AE,又BC/ EF,从而证得四边形BCEF是平行四边形.【解答】证明：1.上ABC和厶ADF都是等边三角形， AF=AD, AB=AC / FA

16、D=/ BAC=60 ,又/ FAB=/ FAD- / BAD , / DAC=/ BAC-Z BAD,/ FAB=Z DAC在厶AFB和厶ADC中, ZBAK=ZCAB輕二AC AFBAADCSAS;2由得 AFBA ADC,/ ABFN C=60. 又/ BACK C=60,/ ABFN BAC, FB/ AC,又 BC/ EF,四边形BCEF是平行四边形;3成立，理由如下： ABC和 ADF都是等边三角形， AF=AD, AB二AC / FAD玄 BAC=60 ,又/ FABN BAC-Z FAE / DACN FAD-/ FAE/ FAB=Z DAC,在厶AFB和厶ADC中,rAF=A

17、D ZBAF=ZCAD,tAB-AC AFBAADCSAS;Z AFB=Z ADC.又 tZ ADC+Z DAC=60 , Z EAF+Z DAC=60 , Z ADC=Z EAF, Z AFB=Z EAF, BF/ AE,又 BC/ EF,四边形BCEF是平行四边形.【点评】此题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及平行 四边形的判定，熟练掌握性质、定理是解题的关键.2. 在厶ABC中,AH丄BC于H , D , E, F分别是BC, CA AB的中点如下列图.求证：Z DEF=Z HFEEF/ BC,又因为/ HFE和/ FHB, / DEF和/ CDE分别为一组平行线的对角，

18、所以相等；转化成求证/ FHBN CDE【解答】证明：E, F分别为AC, AB的中点， EF/ BC,根据平行线定理，/ HFEN FHB,Z DEFK CDE 同理可证/ CDEK B,/ DEFK B.又 AH丄BC,且F为AB的中点， HF=BF/ B=Z BHF,/ HFEN B=Z DEF即/ HFEN DEF.【点评】此题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定，直角三角形 中斜边的中线为斜边边长的一半.3. 在 ABC中，/ B=60°, / A,Z C的角平分线AE, CF相交于点0,1如图1,假设AB=BC求证：0E=0F2如图2,假设ABM BC,试判断线段0

19、E与0F是否相等，并说明理由.【分析】1可证明 ACFA CAE再由角平分线的性质得出/ 0ACN 0CA 从而得出0E=0F2过点0作0H丄AC, 0M丄BC, 0N丄AB,垂足分别为 H, M , N,连接0B根据角平分线的性质定理以及逆定理可推得点 0在/B的平分线上，从而得出/ OBN=Z 0BM=3° ,由得出/ OEM=Z OFN,能证明RtA OFN Rt OEM，贝U OE=OF成立.【解答】证明：11vZ B=60°, AB=BC./ A=Z C=60, AECF分别平分/ A,Z C,/ OAC=Z OCA=30,OA=OC ACFA CAEASA,.A

20、E=CFOE=OF2过点O作OH丄AC, OM丄BC, ON丄AB ,垂足分别为 H , M , N ,连接OB.点O在/ A, / C的平分线上，ON=OH, OH=OM,从而 OM=ON ,点O在/ B的平分线上1分/ OBN=Z OBM=3° , ON=OM 2 分又/OE心/吨/ A/ OFN=Z/ A+Z C180° 60° 4Z A=604- Z A. Z OEM=Z OFN. 2 分 RtAOFN RtAOEMAAS , 1 分 OE=OF 1 分3图2召【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质以及角平分线的性质，注意一 题多解以及方法的简单性.4.

21、 如图，在 ABC中，BD是Z ABC的平分线，在 ABC外取一点E,使得ZEAB=/ ACB AE=DC并且线段ED与线段AB相交，交点记为K,问线段EK与DK有怎样的大小关系？并说明理由.证明 EAMA DCFS得出DH=DF进而【解答】解：结论：EK=DK2分理由：过点E作EI丄AB,过点D作DH丄AB于H, DF丄BC于F, 在厶EAI和厶DCF中三酣B二/蚯B,陋二 CD EAMA DCFAAS, 2 分 EI=DF2 分 BD是/ABC的平分线， DH=DF, 2 分 DH=E|在厶EKI和厶DKH中，'ZEKIZDKH灯旣ZDHK二,leh=ei EKMA DKHAAS

22、,2 分 EK=DK2 分【点评】此题主要考查了三角形全等证明方法，根据题意作出EI丄AB, DH丄AB,从而利于全等证明是解决问题的关键.5. 如图，AC=BC / C=90°, / A的平分线AD交BC于D,过B作BE垂 直AD于E,求证：BE= AD.【分析】延长AC、BE交于点M，易证得厶ACD BCM,可得AD二BM, 可证得 AEMA AEB可得EM=BE即BM=2BE，由即可得结论.【解答】解：如图，延长AC BE交于点M ,vZ A的平分线AD, BE垂直AD于E,/ MAE=Z BAE Z AEM=Z AEB=90 ,v AE=AE AEMAAEBASA， EM二B

23、E 即 BM=2BE；vZ A 的平分线 AD , AC=BC Z C=90 ,Z CAD=Z DAB=22.5 ° Z ABC=45 ,v BE垂直AD于E, Z DABZ ABC+Z DBE=90 ,即Z DBE=22.5, Z CAD=Z DBE又 v AC=BC 且Z ACBN BCM=90 , ACDA BCMASA, AD二BM；由得AD=2BE【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，涉及到等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，正确作出辅助线是解题的关键.6. 如图, AB=AC Z BAC=60 , Z BDC=120 ,求证：AD=BDCD.【分析】先

24、延长DB,使BE=CD连接AE, BC,根据条件得出A, B, D, C四点共圆，得出/ ACB=/ ADE,再根据等边三角形的性质得出厶ABC是等 边三角形，在 ABE和厶ACD中，根据SAS得出厶ABEAACD,得出 ADE 是等边三角形，得出 AD=DE再根据DE=BDBE,即可证出AD=BD+CD.【解答】解：延长DB,使BE=CD连接AE, BC,/BAG/ACD+/ BDOZ ABD=360 , / BAC=60,/ BDC=120,/ ABD+/ ACD=180, A, B, D, C四点共圆，/ ACB=Z ADE,/ ABD+/ ABE=180,/ ABE=Z ACD, AB

25、=AC ABC是等边三角形，/ ACB=60,/ ADE=60,在厶ABE和厶ACD中，ZABE>ZACDBECD 5 ABEA ACD : SAS , AE=AD, ADE是等边三角形, AD=DE DE=BDBE,-AD=BDCD.【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，用到的知识点是等边三角形 的性质，全等三角形的判定与性质和三角形内角和定理，关键是根据题意作 出辅助线.7如图 ABC, D是厶ABC内的一点，延长 BA至点E,延长DC至点F,使 得AE=CF G, H, M分别为BD, AC, EF的中点，如果G, H, M三点共线，【分析】由三角形的中位线得，MS/ AE,

26、MS=】AE, HS/CF, HS= CF,由得HS=SM 从而得出/ SHM=Z SMH,那么得出/ TGHN THG, GT=TH 最后不难看出AB=CD【解答】证明：取BC中点T, AF的中点S,连接GT, HT, HS, SM, GHM分别为BD, AC, EF的中点， MS/ AE, MSAE, HS/ CF, HS= CF, GT/ CD , HT/ AB, GT= CD, HT= AB, GT/ HS, HT/ SM , / SHM=Z TGH, / SMH=Z THG,/ TGH=Z THG GT=TH AB=CD【点评】此题考查了三角形的中位线定理以及平行线的性质.8如图，在

27、正方形 ABCD中，取AD, CD的边的中点E, F,连接CE BF交 于点G,连接AG,试判断AG与AB是否相等，并说明理由.【分析】延长CE BA交于P,易证BCF可得/ CFB" DEC,即可求得CELBF,进而可以求证 PA0A PBC,可得PA=AB根据直角三角形斜 边中线等于斜边一半性质即可解题.【解答】解：延长CE BA交于P,C序V二AFABrEE=CK在 CDEffiA BCF 中,ZCDE 二上 BCF,BCF SAS/ CFB=/ DECvZ FCG/DEC=90,/ FCG/ CFB=90,CE± BF, PA0A PBCPB BC2' A是

28、PB的中点，即 AB=LPB,2 RTA BPG中,AG= PB.2 AG=AB【点评】此题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性 质，此题中求证 CDEA BCF是解题的关键.9.如图，设点 M是等腰RtA ABC的直角边 AC的中点，AD丄BM于E, AD交BC于 D.求证：z/ AMB=Z CMD请用两种不同的方法证明使得CF丄AC,得出/ ABM=Z DAC，再根据AB=AC CF丄 AC,得出 ABMA CAF,从而证出/ BMA=Z F, AM=CF,再根据所给的条件得出 FCDA MCD,即可得出/ AMB=Z F=Z CMD;法2先作/ BAC的平分线交BM于N

29、 ,得出/ ABN=Z CAE再根据/ BAN=/ C=45 , AB=AC 证出 BANA ACD,得出 AN=CD,证出 NAMA DCM,即可得出/ AMB=Z CMD.【解答】证明：法1如图，延长AD至F,使得CF丄AC, AB丄AC, AD丄BM,/ ABM=Z DAC,又 AB=AC CF丄AC, ABMA CAF,/ BMA=Z F, AM=CF,vZ BCA=Z BCF=45 , AM=CM=CF DC=DC FCDA MCD ,/ AMB=Z F=Z CMD;法2AD交BM于E,作/ BAC的平分线交BM于N, AEL BM, BA丄 AC,/ ABN=Z CAEvZ BAN

30、=Z C=45, AB=AC BANA ACD. AN=CD,vZ NAM= Z C=45, AM=MC NAMDCM,Z AMB=Z CMD.【点评】此题考查了解等腰直角三角形；解题的关键是根据题意画出图形, 再根据解等腰直角三角形的性质和相似三角形的判断与性质进行解答即可.10.如图，在四边形 ABCD中, AD=BC E F分别是DC及AB的中点，射线 FE与AD及BC的延长线分别交于点H及G.试猜测Z AHF与ZBGF的关系， 并给出证明.提示：假设猜测不出Z AHF与Z BGF的关系，可考虑使四边形 ABCD为特殊 情况.如果给不出证明，可考虑下面作法，连结 AC,以F为中心，将 A

31、BC 旋转180°,得到 ABP.【分析】方法一：连AC,取其中点为M，连EM和FM,根据三角形的中位 线平行于第三边并且等于第三边的一半可得 EM / AD, 2EM=AD,同理FM / BC, 2FM=BC再根据两直线平行，内错角相等可得/ AHF=Z MEF,两直线平 行，内错角相等可得/ BGF=Z MFE,从而得证；方法二：作法，连结 AC,以F为中心，将 ABC旋转180°,得到 ABP,根 据独角戏互相平分的四边形的平行四边形可得 APBC是平行四边形，根据平 行四边形对边相等可得AP=BC=AD连结AP,根据等边对等角可得/ APD=Z ADP,根据三角形的

32、中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF/ DP根据两直线平行，同位角相等可得/ AHF=Z ADP,根据两边互相平行的两个 角相等或互补可得/ BGF=/ APD,然后等量代换即可得证.【解答】答：/ AHF=/ BGF.证明：方法一：连 AC,取其中点为M，连EM和FM, EM是厶ACD的中位线， EM/ AD, 2EM=AD,同理 FM/ BC, 2FM=BC EM=FM,/ MEF=/ MFE,/ AHF=/ MEF,/ BGF=/ MFE,/ AHF=/ BGF；方法二：作法，连结 AC,以F为中心，将 ABC旋转180°,得到 ABP, F是AB的中点， APBC是

33、平行四边形， AP=BC=AD连结 AP,那么/ APD=/ ADP, EF > CDP的 中位线， EF/ DP,/ AHF=Z ADP, GF/ DP, GB/ AP,/ BGF=Z APD,【点评】此题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的判定与性质，难点 在于作辅助线构造出三角形的中位线.11.如图，DABC中线AM的中点，过M作AB AC边的垂线，垂足分别为P、Q,过P、Q分别作DP、DQ的垂线交于点N.1求证：PN=QN;2求证：MN丄BC.【分析】1要证明PN=QN只有证明这两条线段所在的三角形全等就可以 了，连接DN,利用斜边直角边对应相等的两个三角形全等就可以了.2A

34、BPM和厶CQM是直角三角形，由条件知道 MB=CM,取BM、CM的 中点S T,连接PS QT可以得到PS=QT利用角的关系证明/ SPN=/ TQN, 再证明 SPNATQN,从而得到NS=NT利用等腰三角形的三线合一的性质 证明MN丄BC.【解答】证明：1方法一：连接DNV DABC中线AM的中点 AD=MD, MB=CMV MP丄 AB, MQ 丄 AC/ APM=Z AQM=9° APM、A AMQ是直角三角形 PD=-AM, QDjAM2 2 PD=QD RtADPN RtADQN HL NP=PQ方法二：V MP丄 AB, MQ 丄 AC/ APM=Z AQM=9

35、76; ,所以/ APM+Z AQM=18°，所以四边形APMQ为圆内接四边形.V D为AM的中点，二PD, DQ为以D为圆心的四边形APMQ内接圆的半径.V PN丄 PD, QN丄QD, PN, NQ为圆的两条切线， PN=NQ2取 BM、CM 的中点 S T,连接 SP SN TQ TNSP=rBM-MC=TQ/ SPN=90 -Z BPS / NPM=9° -Z B-Z DPA=90 -Z B-Z BAM=90 - / AMC=9° -Z DMQ -Z QMT=9° -Z DQM -Z MQT=Z TQN SPNA TQN.SN=TNvSM=TM.

36、NM 丄 BCA【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等 于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质.12在 ABC中，D为AB的中点，分别延长 CA、CB到点E、F,使DE=DF, 过E、F分别作CA CB的垂线相交于P,设线段PA PB的中点分别为M、N. 求证：厶DEMA DFN;/ PAE=/ PBF.【分析】要证 DEMA DFN,由D、M、N分别是AB、AP、BP的中点,所以 EM=-AP=DN, FN所以DM=BP, DN=AP,再有过E、F分别作CA、CB的垂线相交于P，BP=DM.又 DE=DF所以厶 DEMA DFN.由得/ EMD=/ FND,由/ A

37、MD=/ BND=/ APB所以/ AME=/ BNF,那么 / PAE吉180° / AME/ PBF吉180° / BNF即/ PAE/ PBF.【解答】证明：如图，在 ABP中， D、M、N分别是AB AP、BP的中点, DM=BP, DN=-AP,又 PE±AE, BF丄 PF EMAP=DN, FN=-BP=DM, DE=DF DEMADFNSSS;由结论 DEMA DFN可知/ EMD=Z FND,v DM / BP, DN / AP,/ AMD=Z BND=Z APB,/ AME=Z BNF又 v PEI AE, BF丄 PF, AEP和 BFP都为

38、直角三角形，又M , N分别为斜边PA与PB的中点， AM=EM二二AP, BN=NF丄BP,2 2/ MAE=Z MEA,Z NBF=Z NFB,/ PAE= 180° / AME/ PBF= 180° / BNF即/ PAE/ PBF,【点评】此题考查了线段之间的关系，和全等三角形的判定和性质，同学们 应该熟练掌握.13. 如图：AB/ DC, / BAD和/ADC的平分线相交于点 E ,过点E的直 线分别交AB DC于B、C两点.猜测线段AD、AB、DC之间的数量关系,并【分析】在AD上截取AF=AB连接EF,根据SASffiA BAEA FAE推出/B=/ EFA求

39、出/ C=/ EFD,证厶CDEA FDE推出DC=DF即可得出答案.答: AD=ABhDC,证明：在AD上截取AF=AB连接EF,v AE 平分/ BAF,/ BAEK FAE在 BAE和厶FAE中Zbae=Zfae BAEA FAE SAS,/ B=Z EFA AB/ DC,/ B+Z C=180,vZ EFDfZ EFA=180,Z C=Z EFDv DE 平分Z CDA Z CDE=Z FDE在厶 CDEftA FDE中rZCZEFD ZCDE>ZFDE CDEA FDEAAS , DC=DF AD=AF+DF=ABfDC.【点评】此题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，

40、角平分线定 义等知识点的应用，关键是能正确作辅助线.14. 如图， ABC中，AB=BC=CA D、E、F分别是AB、BC CA的中点, G是BC上一点， DGH是等边三角形.求证：EG=FH【分析】连接DE、DF，根据三角形中位线定理及等边三角形的性质，可证明 DEG DFH,即可得结论.【解答】证明：连接DE、DF,如图D、E、F是各边中点， DE平行且等于亠AC, DF平行且等于1 BC,2 2 AB=BC=CA./ A=Z B=Z C=60, DE=DF, / EDFW DFAW C=60等边 DHG,.DG=DH / HDG=60 = Z EDF/ EDF- / FDG=/ HDG-

41、Z FDQ 即/ 仁/ 2 ,. DEGA DFHSAS ,.FH=EG【点评】此题考查了三角形全等的判定及性质，涉及到三角形中位线定理、 等边三角形的性质等知识点，熟练掌握三角形全等判定方法是解题的关键.15. 如图,CD是RTAABC斜边上的高,/ A的平分线交CD于H ,交/ BCD的平分线于G,求证：HF/ BC.【分析】根据角平分线性质作辅助线连接 FE进而证得HCEF是菱形从而证得.【解答】证明：连接FE, CD是RtAABC斜边上的高，./ A=/ DCB又 AE平分/ A , CF平分/ BCD,./ DCF/ DAE,又/ AHD=/ CHE / ADH=90度，/ CGE=

42、90度，在三角形ACF中, AE是高，中线，角平分线， CF丄 HE, CG=FG CH=FH CE=EF CF是厶CHE的高，中线，角平分线， CH=CE CH=HF=EF=CE四边形HCEF是菱形，【点评】此题考查了角平分线性质以及其应用，问题有一定难度.16. ：如图，在四边形 ABCD中, AD/ BC,Z ABC=90.点E是CD的中 点，过点E作CD的垂线交AB于点P,交CB的延长线于点M .点F在线段 ME 上，且满足 CF=AD MF=MA.1假设/ MFC=120，求证：AM=2MB;2试猜测/ MPB与/ FCM数量关系并证明.AD/ACBMP=Z FMD=Z【分析】1连接

43、MD，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可 得MD=MC,然后利用 边边边证M明厶MFC与厶MAD全等，根据全等三角 形对应角相等可得/ MAD=Z MFC,根据两直线平行，同旁内角互补求出/ BAD,然后求出/ BAM=30 ,然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜 边的一半证明；2丨根据全等三角形对应角相等和轴对称的性质可得/DMA,然后用/ BMP表示出/ FCM,再根据直角三角形两锐角互余列式整理即可得解.【解答】1证明：连接MD ,点E是CD的中点，ME丄D, MD=MC,在 MFC 与 MAD 中，叮 “ i,ICF=AD MFCA MAD SSS,/ MA

44、D=Z MFC=120 , AD/ BC,Z ABC=90,/ BAD=180 -Z ABC=180 -90°90°,/ BAM=Z MAD -Z BAD=120 - 90°30°,vZ ABM=90 , AM=2MB;2解：2 Z MPB+Z FCM=180 .理由如下：由1可知Z BMP=Z FMD=Z DMA, vZ FCM=Z ADM=Z DMC=2Z BMP,Z BMP丄Z FCM,2 ，vZ ABC=90, Z MPB+Z BMP=90 , Z MPB+1 Z FCM=90 ,2【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到

45、两 端点的距离相等的性质，直角三角形两锐角互余，熟记各性质并作辅助线构 造出全等三角形是解题的关键.17. 如图，在 ABC中AC>BC, E、D分别是 AC BC上的点，且Z BAD=ZABE AE=BD【分析】作/OBF=Z OAE交AD于F,由条件用“ASAT判定 AOEABOF,所以 AE=BF 再有条件 AE=BD得 BF=BD 所以/ BDF=Z BFD,再利用三角形的外角关系证得/ BOF=Z C ,又因为/ BOF=/ BAC+Z ABE=2/BAD,所以：Z BAD= Z C.【解答】证明：作Z OBF=/ OAE交AD于F ,vZ BAD=Z ABE, OA=OB又Z

46、 AOE=Z BOF, AOEA BOFASA. AE=BFvAE=BD BF=BDZ BDF=Z BFD.vZ BDF=Z C+Z OAE,Z BFD=Z BOF+Z OBF, Z BOF=Z C.vZ BOF=Z BAD+Z ABE=2/ BAD,【点评】此题考查了全等三角形的判断和性质， 常用的判断方法为：SAS SSSAAS ASA常用到的性质是：对应角相等，对应边相等.在证明中还要注意图形中隐藏条件的挖掘如：此题中的对顶角Z AOE=Z BOF.18. A, C, B在同一条直线上， ACE BCF都是等边三角形，BE交CF于N, AF交CE于 M , MG丄CN,垂足为G.求证：C

47、G=NG得到MC=MN,有条件MG垂直于NC而得到结论.得到/ AFC/ ABE 再证 FMCA BNC【解答】证明： ACE BCF都是等边三角形, AC=EC FC=BC / ACE=/ BCF=60, / ECN=60,/ BCE/ ACF, ACFA ECB / AFC/ ABE,/ FCM=/ BCN=60 , CF=CB FMCA BNC,CM=CN/ ECN=60 , CNMN是等边三角形, CM=MN , MG 丄 NC,【点评】此题考查了等边三角形的性质，通过两次全等得到 GC=GNMC=MN ,通过MG垂直于NC得到结论.19. 如下列图，在 ABC中，/ ABC=2/ C

48、, AD为BC边上的高，延长 AB到E 点，使BE=BD过点D、E引直线交AC于点F,请判定AF与FC的数量关系，【分析】根据等边对等角可得/ E=Z BDE然后根据三角形的一个外角等于 与它不相邻的两个内角的和求出/ ABC=2/ BDE从而求出/ C=Z BDE再求 出/ C=/ CDF然后根据等角对等边求出DF=FC再根据等角的余角相等求出/ CAD=/ ADF,根据等角对等边求出 DF=AF即可得到AF=FC【解答】解：AF=FC理由如下： BE=BD/ E=/ BDE/ ABC=Z E+/ BDE=2/ BDE / ABC=2/ C，/ C=/ BDE又/ BDE=/ CDF，/ C

49、=/ CDF， DF=FC AD为BC边上的高，/ CDF+/ADF=/ ADC=90，/ C+/ CAD=180 - 90°90° ,/ CAD=/ ADF, DF=AF AF=FC【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质，等角的余角相等的性质，熟 记性质与判定并准确识图是解题的关键.20. 如图， ABC是边长为I的等边三角形， BDC是顶角/ BDC=120的等 腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB于M，交AC于N，连接MN，形成一个三角形， 求证： AMN的周长等于2.【分析】可在AC延长线上截取CMi=BM,得RtA BDM RtACD

50、Mi,得出边 角关系，再求解厶MDNA MiDN,得MN=NMi，再通过线段之间的转化即 可得出结论.【解答】证明：如图，在AC延长线上截取CMi=BM， ABC是等边三角形， BDC是顶角/ BDC=120的等腰三角形，/ ABC=Z ACB=60，Z DBC=Z DCB=30，/ ABD=Z ACD=90,/ DCMi=90° BD=CD在 BDM和厶CDMi中，rSD=CD眄二鈕 BDMA CDMi SAS，得 MD=MiD，Z MDB=Z MiDC,/ MDMi=i20°-Z MDB+Z MiDC=i2C°,/ NDMi=6C°在厶MDN和厶Mi

51、DN中， DM 二 IgD1 ?ldn=dm MDNMiDNSAS, MN=NMi, 故厶 AMN 的周长=AM+MN+AN=AM+AN+NMi=AM+AMi=ABAC=2【点评】此题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，能够通过线段之间 的转化进而求解一些简单的结论.21. 如图，在四边形 ABCD中，AC平分/ BAD, CEL AB于E,且AE=【分析】可在AB上截取AF=AD,可得 ACFA ACD,得出/AFCK D,再 由线段之间的关系AEAB+AD得出BC=CF进而通过角之间的转化即可£得出结论.【解答】证明：在AB上截取AF=AD,连接CF, AC平分/ BAD,/

52、BACK CAD,又 AC=AC ACFAACDSAS , AF=AD, / AFCK D , AE= AB+AD， EF=BE又 v CEL AB, BC=FC/ CFBK B ,/ B+D=Z CFBfZ AFC=180 ,即/ B与/ D互补.【点评】此题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等腰三角形的判定及 性质问题，能够熟练运用三角形的性质求解一些简单的计算、证明问题.22. 如图， ABC中，/ A=90°, AB=AC / 仁/2, CEL BD于 E.求证: BD=2CE【分析】延长CE、BA交于F,根据角边角定理，证明BEC进而得到CF=2CE勺关系.再证明/ ACFW 1根据角边角定理证明 ACFAABD, 得到BD=CF至此问题得解.【解答】证明：如图，延长CE BA交于F.v CE± B