基于几何画板在中考探究题教学中的研究

1、基于几何画板在中考探究题基于几何画板在中考探究题教学中的研究教学中的研究江西省赣州中学江西省赣州中学 张仁华张仁华理论基础 义务教育数学课程标准（义务教育数学课程标准（2011版）指出：信版）指出：信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及教学方式产生了很大的影响及教学方式产生了很大的影响.数学课程的设计与数学课程的设计与实施应根据实际情况合理地运用现代化信息技术，实施应根据实际情况合理地运用现代化信息技术，要注意信息技术与课程内容的整合，注重实效要注意信息技术与课程内容的整合，注重实效.要要充分考虑信息技术对数学学习内容和方式的影响，充分考虑信息

2、技术对数学学习内容和方式的影响，开发并向学生提供丰富的学习资源，把现代信息开发并向学生提供丰富的学习资源，把现代信息技术作为技术作为 学生学习数学和解决问题的有力工具，学生学习数学和解决问题的有力工具，有效地改进教与学的方式，使学生乐意并有可能有效地改进教与学的方式，使学生乐意并有可能投入到现实的、探索性的数学活动中去投入到现实的、探索性的数学活动中去. 著名数学家、数学教育家波利亚曾精著名数学家、数学教育家波利亚曾精辟地指出：辟地指出：“数学有两个侧面，一方面它数学有两个侧面，一方面它是欧几里德式的严谨科学，从这个方面看，是欧几里德式的严谨科学，从这个方面看，数学像一门系统的演绎科学；但另一

3、方面，数学像一门系统的演绎科学；但另一方面，创造过程中的数学，看起来却像一门实验创造过程中的数学，看起来却像一门实验性的归纳科学性的归纳科学.”.”几何画板几何画板提供了一个提供了一个十分理想的展现数学发现过程并让学生积十分理想的展现数学发现过程并让学生积极探索问题的极探索问题的“做数学做数学”的环境的环境. . 理论基础运用几何画板展现数形结合 最明显地表现是利用直角坐最明显地表现是利用直角坐标系将几何问题与代数问题结合联系起来标系将几何问题与代数问题结合联系起来, ,这种这种思想是近年来中考的热点之一思想是近年来中考的热点之一. .例例1.如图所示，如图所示，C为线段为线段BD上一动点，分

4、别过点上一动点，分别过点B、D作作ABBD，EDBD，连接，连接AC、EC已知已知AB=5，DE=1，BD=8；设；设CD=x.(1)用含用含x的代数式表示的代数式表示AC+CE的长；的长；(2)请问点请问点C满足什么条件时，满足什么条件时，AC+CE的值最小的值最小?(3)根据根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式中的规律和结论，请构图求出代数式 的最小值的最小值 224129xx例题赏析 例例2.如图如图1,若抛物线若抛物线L1的顶点的顶点A在抛物线在抛物线L2上上,抛物线抛物线L2的的顶点顶点B也在抛物线也在抛物线L上上(点点A与点与点B不重合不重合),我们把这样的两我们把这样的两抛

5、物线抛物线L1、L2互称为互称为“友好友好”抛物线抛物线,可见一条抛物线的可见一条抛物线的“友好友好”抛物线可以有多条抛物线可以有多条. （1）如图）如图2,已知抛物线已知抛物线L3： 与轴交于点与轴交于点C,试试求出点求出点C关于该抛物线对称轴对称的对称点关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标；的坐标；例题赏析2284yxx（2）请求出以点）请求出以点D为顶点的为顶点的L3的的“友好友好”抛物线抛物线L4的解析式的解析式,并指出并指出L3与与L4中同时随增大而增大的自变量的取值范围；中同时随增大而增大的自变量的取值范围； （3）若抛物线）若抛物线 的任意一条的任意一条“友好友好”抛物线抛物线

6、的解析式为的解析式为 ,请写出请写出 与与 的关系式的关系式,并说并说明理由明理由. 例题赏析21()ya xmn22()ya xhk1a2a 例例3.已知二次函数已知二次函数 ： 与轴交于与轴交于A、B两点（点两点（点A在点在点B的左边），的左边），与轴交于点与轴交于点C （1）写出）写出A、B点坐标；点坐标；（2）二次函数）二次函数 : 顶点为顶点为P直接写出二次函数直接写出二次函数 与二次函数与二次函数 有关图象的有关图象的两条相同的性质；两条相同的性质；是否存在实数，使是否存在实数，使ABP为等边三角形，如存为等边三角形，如存在，请求出的值；如不存在，请说明理由；在，请求出的值；如不存

7、在，请说明理由；若直线若直线 与抛物线与抛物线 交于点交于点E、F，请问，请问线段线段EF的长度是否发生变化，如果不会，求的长度是否发生变化，如果不会，求EF的的长度；如果会，说明理由长度；如果会，说明理由243yxx1L2L243 (0)y kxkxkk2L8yk1L例题赏析“以形助数，用数解形以形助数，用数解形”教学策略有助于激发学生的学习的兴趣激发学生的学习的兴趣 增强学生对知识的理解增强学生对知识的理解 促进学生的思维的发展促进学生的思维的发展强化学生强化学生数形结合思想数形结合思想“由数思形，由形探数由数思形，由形探数”运用几何画板进行开放探究运用几何画板进行开放探究 开放探究型问题

8、是近年中考比较常见的开放探究型问题是近年中考比较常见的题目，解答这类问题的关键是牢固掌握基本题目，解答这类问题的关键是牢固掌握基本知识，需要有较强的发散思维能力、创新能知识，需要有较强的发散思维能力、创新能力力.具体做题时，要仔细分析题目的有关信具体做题时，要仔细分析题目的有关信息、合情推理、联想，并要运用类比、归纳、息、合情推理、联想，并要运用类比、归纳、分类讨论等数学思想全面考虑问题，有时还分类讨论等数学思想全面考虑问题，有时还借助图形、实物或实际操作来打开思路借助图形、实物或实际操作来打开思路. 结论开放探索问题是指题目中的结论不确定或题目中的结论需类比、引申、拓广，或改变题目的条件，探

9、究原有的结论是否成立，或题目给出特例，要求探究归纳总结出一般性的结论，常与化归思想方法结合应用.结论开放探究型结论开放探究型 例例4.如图，正方形如图，正方形ABCD与正三角形与正三角形AEF的的顶点顶点A重合将重合将AEF绕其顶点绕其顶点旋转，在旋转，在旋转过程中，当旋转过程中，当BE=DF时，则时，则BAE的大的大小可以是小可以是 . 例题赏析例例5.如图，矩形如图，矩形ABCD中，中，BC:AB= ,在在BC上取两点上取两点E、F（E在在F左边），以左边），以EF为边作等边三角形为边作等边三角形PEF，使顶点使顶点P在在AD上，上，PE、PF分别交分别交AC于点于点G、H.求求PEF的边

10、长的边长;若若PEF的边的边EF在线段在线段BC上移动上移动.试猜想试猜想PH与与BE有何数量关系有何数量关系?并证明你猜想的结论并证明你猜想的结论.3例题赏析例例6.数学复习课上数学复习课上,张老师出示了如下框中的问题：张老师出示了如下框中的问题：问题思考问题思考 (1)经过独立思考经过独立思考,同学们想出了多种正确的证明思路同学们想出了多种正确的证明思路,其中有位同学的思路如下：如图其中有位同学的思路如下：如图1,过过B作作 交交CD的延长线于点的延长线于点E,请你据这位同学的思路提示请你据这位同学的思路提示证明上述框中问题证明上述框中问题.例题赏析BEAC方法迁移方法迁移 (2)如图如图

11、2,在在Rt中中, ,点点D为为AB中点中点,点点E是线段是线段AC上一动点上一动点, 连接连接DE, 线段线段DF始终与始终与DE垂直且交垂直且交BC于点于点F.猜想线段猜想线段AE、EF、BF的数量关系并加以证明的数量关系并加以证明.拓展延伸拓展延伸(3)如图如图3,在在Rt中中, ,点点D为为AB中点中点,点点E是线段是线段AC延长线上一动点延长线上一动点, 连接连接DE,线段线段 DF始终与始终与DE垂直且交垂直且交CB的延长线于点的延长线于点F,试问试问第第 (2)中线段中线段AE、EF、FB的数量关系会发生改变吗的数量关系会发生改变吗?若会若会, 请说明理由；若不会请说明理由；若不

12、会,请证明之请证明之.例题赏析“执因索果执因索果,顺藤摸瓜顺藤摸瓜”解题策略有助于 培养学生综合分析问题和解决问题的能力培养学生综合分析问题和解决问题的能力 提高逻辑思维能力和发展创造性思维能力提高逻辑思维能力和发展创造性思维能力充分提升学生充分提升学生类比思想与转化化归的思想类比思想与转化化归的思想 条件开放问题是指题目的结论明确，条件不完备，要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括.它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求.它有利于培学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程.条件

13、开放探究型条件开放探究型例例7.如图甲，在如图甲，在ABC中，中，ACB为锐角点为锐角点D为射为射线线BC上一动点，连接上一动点，连接AD，以，以AD为一边且在为一边且在AD的的右侧作正方形右侧作正方形ADEF解答下列问题：解答下列问题：（1）如果）如果AB=AC，BAC=90 当点当点D在线段在线段BC上时（与点上时（与点B不重合），如图乙，不重合），如图乙，线段线段CF、BD之间的位置关系为之间的位置关系为 ，数量，数量关系为关系为 例题赏析当点当点D在线段在线段BC的延长的延长线上时，如图丙，中线上时，如图丙，中的结论是否仍然成立，的结论是否仍然成立，为什么？为什么？（2）如果）如果AB

14、AC，BAC90，点，点D在线段在线段BC上上运动试探究：当运动试探究：当ABC满足一个什么条件时，满足一个什么条件时，CFBC（点（点C、F重合除外）？画出相应图形，重合除外）？画出相应图形，并说明理由（画图不写作法）并说明理由（画图不写作法） 例题赏析例题赏析例例8.如图如图1,RtACB中中,AC=3,BC=4,有一过点有一过点C的动圆的动圆 O与与 斜边斜边AB相切于动点相切于动点P,连接连接CP.(1)当当 O与直角边与直角边AC相切时相切时,如图如图2,求此时求此时 O的半径的半径r的长；的长；(2)随着切点随着切点P的位置不同的位置不同,弦弦CP的长也会发生变化的长也会发生变化,

15、试求出弦试求出弦CP的长的取值范围；的长的取值范围；(3)当切点当切点P在何处时在何处时, O的半径的半径r有最大值？试求出这个最大有最大值？试求出这个最大值值.“执果索因执果索因,逆水行舟逆水行舟”解题策略有助于 培养学生发现研究问题和解决问题的能力培养学生发现研究问题和解决问题的能力 提高逻辑推理能力和发展发散性思维能力提高逻辑推理能力和发展发散性思维能力充分提升学生观察分析与比较概括的能力充分提升学生观察分析与比较概括的能力 规律开放探索问题是指根据已知条件或所提供的若干特例,通过观察、类比、归纳，揭示和发现题目所蕴含的本质规律与特征，得到一般性结论的一类探索性问题.考查的问题一般包括数

16、学命题、式子、图形等，探究的结果一般要求能运用代数式、方程、函数等进行描述.规律开放探究型规律开放探究型例例9.如下图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆上如下图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆上（该圆周长为（该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字上了数字0、1、2）上：先让原点与圆周上）上：先让原点与圆周上0所对应的点重所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1、2、3、4、所对应的点分别与圆周上所对应的点分别与圆周上1、2、0、1、所所对应的点重合。这样，正

17、半轴上的整数就与圆周上的数字对应的点重合。这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系建立了一种对应关系.（1）圆周上数字）圆周上数字a 与数轴上的数与数轴上的数5对应，则对应，则a_；（2）数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周）数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n圈（圈（n为正整数）为正整数） 后，并落在圆周上数字后，并落在圆周上数字1所对应的位置，这个整数是所对应的位置，这个整数是 _（用含（用含n的代数式表示）的代数式表示）.例题赏析“特例入手特例入手,类比一般类比一般”解题策略有助于 培养学生的能力观察类比归纳总结能力培养学生的能力观察类比归纳总结能力提升学生从提升学生从特殊到一般思想

18、特殊到一般思想应用的意识应用的意识存在性开放探究型存在性开放探究型 存在性探索问题是指在某种题设条件下,判断具有某种性质的数学对象是否存在的一类问题,探索存在性时,常遵循从特殊(特殊点、特殊值、特殊图形、特殊位置）到一般的规律.例例10( 例例3变式变式).已知二次函数已知二次函数 ： 与轴交于与轴交于A、B两点（点两点（点A在点在点B的左边），的左边），与轴交于点与轴交于点C （1）写出）写出A、B点坐标；点坐标；（2）二次函数）二次函数 : 顶点为顶点为P直接写出二次函数直接写出二次函数 与二次函数与二次函数 有关图象的有关图象的两条相同的性质；两条相同的性质；若直线若直线 与抛物线与抛物

19、线 交于点交于点E、F，与，与 交于点交于点D、H，请问是否存在这样的请问是否存在这样的 值，使点值，使点D、H 恰好是恰好是EF的三等分点；如果存在，求出的三等分点；如果存在，求出 ,若若不存在不存在,说明理由说明理由243yxx1L2L1L243 (0)y kxkxkk2L8ykkk1L例题赏析“假设存在假设存在,迂回论证迂回论证”解题策略有助于 锻炼学生的思维的严谨性锻炼学生的思维的严谨性培养学生的推理论证能力培养学生的推理论证能力“一题多解一题多解,一题多改一题多改”教学策略有助于 培养学生分析问能力题和解决问题的能力培养学生分析问能力题和解决问题的能力 提高逻辑思维能力和发展创造性思

20、维能力提高逻辑思维能力和发展创造性思维能力训练学生揭示各方面知识内在联系和规律训练学生揭示各方面知识内在联系和规律加深知识的理解和应用并使知识融会贯通加深知识的理解和应用并使知识融会贯通“一题多变一题多变,一题多问一题多问”利用几何画板进行分类讨论 分类讨论问题就是将要研究的数学对象按照分类讨论问题就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的情形，然后再逐类一定的标准划分为若干不同的情形，然后再逐类进行研究和求解的一种数学解题思想对于因存进行研究和求解的一种数学解题思想对于因存在一些不确定因素、解答无法或者结论不能给予在一些不确定因素、解答无法或者结论不能给予统一表述的数学问题，我们们

21、往往将问题划分为统一表述的数学问题，我们们往往将问题划分为若干类或若干个局部问题来解决分类思想方法若干类或若干个局部问题来解决分类思想方法实质上是按照数学对象的共同性和差异性，将其实质上是按照数学对象的共同性和差异性，将其区分为不同的种类的思想方法，其作用是克服思区分为不同的种类的思想方法，其作用是克服思维的片面性，防止漏解要注意，在分类时，必维的片面性，防止漏解要注意，在分类时，必须按同一标准分类，做到不重不漏须按同一标准分类，做到不重不漏例例11.如图如图1，在等腰梯形，在等腰梯形ABCD中，中，ADBC，E是是AB的中点，过的中点，过E点作点作EFBC交交CD于点于点FAB=4，BC=6

22、，B=60.（1）求点）求点E到到BC的距离；的距离； 例题赏析（2）点）点P为线段为线段EF上的一个动点，过上的一个动点，过P作作PMEF交交BC于点于点M，过，过M作作MNAB交折线交折线ADC于点于点N，连结连结PN，设，设EP=x. 当点当点N在线段在线段AD上时（如图上时（如图2），），PMN的形的形状是否发生改变？若不变，求出状是否发生改变？若不变，求出PMN的周长；的周长；若改变，请说明理由；若改变，请说明理由；例题赏析 当点当点N在线段在线段DC上时（如图上时（如图3），是否存在点），是否存在点P，使使PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满为等腰三角形？若存在，请求出所有满足

23、要求的足要求的x的值；若不存在，请说明理由的值；若不存在，请说明理由.例题赏析“合理分类，分级讨论合理分类，分级讨论”教学策略有助于 培养学生思维的完备性培养学生思维的完备性增强学生思维的深刻性增强学生思维的深刻性“标准统一，不漏不重标准统一，不漏不重”利用几何画板进行动态分析 利用利用几何画板几何画板工具把静态的知识动态化，工具把静态的知识动态化，抽象的知识具体化，改变了教师一贯的解决例题抽象的知识具体化，改变了教师一贯的解决例题教学方法，让学生亲身体验，自主探索，在学中教学方法，让学生亲身体验，自主探索，在学中做，在做中学，激发学生的创新思维，同时培养做，在做中学，激发学生的创新思维，同时

24、培养学生主动探索研究、动手操作实践的能力，培养学生主动探索研究、动手操作实践的能力，培养学生创新精神和创造能力，学生创新精神和创造能力， 提升了思维活动的层提升了思维活动的层次，培养了数学学习的基本素质次，培养了数学学习的基本素质.触类旁通，学习触类旁通，学习方法的迁移也将有助于其它内容的学习，从而整方法的迁移也将有助于其它内容的学习，从而整体地提高学生的学习能力体地提高学生的学习能力.例例12.如图，已知正三角形如图，已知正三角形ABC的高为的高为9厘米，厘米， O的半径为的半径为r厘米，当圆心厘米，当圆心O从从点点A出发，沿线路出发，沿线路ABBCCA运动，运动，回到点回到点A时，时， O

25、随着点随着点O的运动而停止的运动而停止.（1）当）当r=9厘米时，厘米时， O在移动过程中在移动过程中与与ABC三边有几个切点？三边有几个切点？（2）当）当r=2厘米时，厘米时， O在移动过程中与在移动过程中与ABC三边三边有几个切点？有几个切点？（3）猜想不同情况下）猜想不同情况下,r的取值范围及相应的切点个数的取值范围及相应的切点个数.例题赏析例题赏析(动点类动点类) 例例13.如图，点如图，点P是菱形是菱形ABCD的对角线的对角线AC上的上的一个动点，过点一个动点，过点P垂直于垂直于AC的直线交菱形的直线交菱形ABCD的边于的边于M、N两点设两点设AC2，BD1，APx，AMN的面积为的

26、面积为y，则，则y关于关于x的函数的函数图象大致形状是图象大致形状是【 】例题赏析例题赏析( (动线类动线类) ) 例例14. 如图，在如图，在RtPMN中，中，P=900，PM=PN，MN=8，矩形，矩形ABCD的长和宽分别为的长和宽分别为8和和2，C点点和和M点重合，点重合，BC和和MN在一条直线上令在一条直线上令RtPMN不不动，矩形动，矩形ABCD沿沿MN所在直线向右以每秒所在直线向右以每秒1的速度的速度移动，直到移动，直到C点与点与N点重合为止设移动点重合为止设移动x秒后，矩形秒后，矩形ABCD与与PMN重叠部分的面积为重叠部分的面积为y2求求y与与x之间之间的函数关系式的函数关系式

27、例题赏析例题赏析(动图形类动图形类) 例例15.已知，纸片已知，纸片 的半径为，如图，沿弦的半径为，如图，沿弦AB折叠操作折叠操作 （1）如图）如图2，当折叠后的，当折叠后的 经过圆心经过圆心O时，求时，求 的长；的长； （2）如图）如图3，当弦，当弦AB=2时，求折叠后的时，求折叠后的 所在圆所在圆的圆心的圆心O到弦到弦AB的距离；的距离； （3）在图中，再将纸片）在图中，再将纸片 沿弦沿弦CD折叠操作折叠操作 如图如图4，当，当ABCD时，折叠后的时，折叠后的 与与 所在所在圆分别运动为外切于点圆分别运动为外切于点P时，设点时，设点O到弦到弦AB、CD的距离之和为的距离之和为d，求，求d的

28、值；的值；ABABABABCD例题赏析(折图形类)如图如图5，当，当AB与与CD不平行时，折叠后的不平行时，折叠后的 与与 所在圆外切于点所在圆外切于点P时，设点时，设点为为AB的中点，点的中点，点为为CD的中点，试探究四边形的形状，并证明你的的中点，试探究四边形的形状，并证明你的结论结论CDAB图1图2图2图3图4图5例题赏析(折图形类)“关注全程关注全程,落足临界落足临界”教学策略有助于 培养学生完整分析问题和解决问题的能力培养学生完整分析问题和解决问题的能力增强学生以运动的观点来观察事物的能力增强学生以运动的观点来观察事物的能力“化动为静化动为静,以静制动以静制动”加强学生从加强学生从特

29、殊到一般的思想方法特殊到一般的思想方法的认识的认识例例16.如图如图1，正方形，正方形ABCD和正三角形和正三角形EFG的边的边长都为长都为1，点，点E、F分别在线段分别在线段AB、AD上滑动，上滑动，设点设点G到到CD的距离为的距离为x，到，到BC的距离为的距离为y，记，记HEF为为 （当点（当点E、F分别与分别与B、A重合时，重合时，记记 =0） 用几何画板追踪点的轨迹0153045607590 xy0.0300.290.290.130.03（1）当）当=0时（如图时（如图2所示），求所示），求x，y的值（结果保留根号）；的值（结果保留根号）；（2）当）当为何值时，点为何值时，点G落在对角线落在对角线AC上？请说出你的理由，并求出此时上？请说出你的理由，并求出此时x，y的值（结果保留根号）；的值（结果保留根号）；（3）请你补充完成下表（精确到）请你补充完成下表（精确到0.01）：）： 例题赏析（4）若将）若将“点点E,F分别在线段分别在线段AB,AD上滑动上滑动”改为改为“点点E,F分别在正方形分别在正方形ABCD边上滑动边上滑动”当滑动当滑动一周时，请使用（一