材料力学(刘鸿文)第五章 弯曲应力

1、伽利略伽利略 Galilei (1564-1642)此结论是否正确？此结论是否正确？回顾与比较内力内力AF应力公式及分布规律应力公式及分布规律PITFAyFSM?均匀分布均匀分布线形分布线形分布5-2 5-2 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力5-3 5-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力 强度条件强度条件5-4 5-4 弯曲切应力弯曲切应力5-6 5-6 提高梁强度的措施提高梁强度的措施5-1 5-1 纯弯曲纯弯曲一、纯弯曲一、纯弯曲梁段梁段CDCD上，只有弯矩，没有剪力上，只有弯矩，没有剪力梁段梁段ACAC和和BDBD上，既有弯矩，又有剪力上，既有弯矩，又有剪力5-1 5-1 纯弯曲纯

2、弯曲纯弯曲纯弯曲横力弯曲横力弯曲FsMFaFaFF纯弯曲实例纯弯曲实例5-2 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力1、变形几何关系、变形几何关系2、物理关系、物理关系3、静力学关系、静力学关系纯弯曲的内力纯弯曲的内力剪力剪力Fs=0横截面上没有切应力横截面上没有切应力只有正应力。只有正应力。弯曲正应力的弯曲正应力的分布规律分布规律和和计算公式计算公式1、变形几何关系、变形几何关系（一）实验观察现象：（一）实验观察现象：施加一对正弯矩，观察变形施加一对正弯矩，观察变形观察到纵向线与横向线有何变化？观察到纵向线与横向线有何变化？纵向线纵向线由直线由直线曲线曲线横向线横向线由直线由直线直线直线相对旋转一

3、个角度后，相对旋转一个角度后，仍然与纵向弧线垂直。仍然与纵向弧线垂直。变化的是：变化的是：1 1、纵向线的长度、纵向线的长度2 2、两横截面的夹角、两横截面的夹角各纵向线的长度还相等吗？各纵向线的长度还相等吗？各横向线之间依然平行吗？各横向线之间依然平行吗？3 3、横截面的宽度、横截面的宽度横截面绕某一轴线发生了偏转。横截面绕某一轴线发生了偏转。（二）提出假设：（二）提出假设：1、平面假设：、平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面；变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面；于于16951695年提出梁弯曲的平面假设年提出梁弯曲的平面假设瑞士科学家瑞士科学家Jacob.贝努力贝努力纵向纤

4、维之间没有相互挤压，纵向纤维之间没有相互挤压，2、假设：、假设：观察纵向纤维之间有无相互作用力观察纵向纤维之间有无相互作用力各纵向纤维只是发生了简单的轴向拉伸或压缩。各纵向纤维只是发生了简单的轴向拉伸或压缩。凹入凹入一侧纤维一侧纤维凸出凸出一侧纤维一侧纤维观察纵向纤维的变化观察纵向纤维的变化在正弯矩的作用下，在正弯矩的作用下，偏上的纤维偏上的纤维缩短，缩短，偏下的纤维偏下的纤维伸长。伸长。缩短；缩短；伸长。伸长。纤维长度不变纤维长度不变中性层中性层中性层中性层LL000LL=0=0既不伸长也不缩短既不伸长也不缩短中性轴中性轴中性轴上各点中性轴上各点=0各横截面绕各横截面绕 中性轴发生偏转。中性

5、轴发生偏转。中性轴的位置中性轴的位置过截面形心过截面形心中性轴的特点：中性轴的特点：平面弯曲时梁横截面上的中性轴平面弯曲时梁横截面上的中性轴它与外力作用面垂直；它与外力作用面垂直；中性轴是与外力作用面相垂直的中性轴是与外力作用面相垂直的形心主轴。形心主轴。一定是形心主轴；一定是形心主轴；关于中性层的历史关于中性层的历史1620年，荷兰物理学家、力学家比克门首先发现中性层；年，荷兰物理学家、力学家比克门首先发现中性层；英国科学家胡克于英国科学家胡克于1678年也阐述了同样现象，年也阐述了同样现象，但没有涉及中性轴的位置问题；但没有涉及中性轴的位置问题；法国科学家纳维于法国科学家纳维于1826年，

6、出版年，出版材料力学材料力学讲义，讲义，给出结论：给出结论： 中性轴中性轴 过截面形心。过截面形心。观察建筑用的预制板的特征，并给出合理解释观察建筑用的预制板的特征，并给出合理解释P为什么开孔？为什么开孔？为什么加钢筋？为什么加钢筋？施工中如何安放？施工中如何安放？孔开在何处？孔开在何处？可以在任意位置随便开孔吗？可以在任意位置随便开孔吗？你能解释一下托架开孔合理吗？托架会不会破坏？你能解释一下托架开孔合理吗？托架会不会破坏？（三）理论分析：（三）理论分析：y y的物理意义的物理意义纵向纤维到中性层的距离；纵向纤维到中性层的距离；点到中性轴的距离。点到中性轴的距离。zy两直线间的距离两直线间的

7、距离公式推导公式推导线应变的变化规律线应变的变化规律与纤维到中性层的距离成正比。与纤维到中性层的距离成正比。从横截面上看：从横截面上看： 点离开中性轴越远，点离开中性轴越远，该点的线应变越大。该点的线应变越大。2、物理关系、物理关系虎克定律虎克定律EyE弯曲正应力的分布规律弯曲正应力的分布规律a、与点到中性轴的距离成正比；、与点到中性轴的距离成正比；c、正弯矩作用下，、正弯矩作用下，上压下拉；上压下拉；当当 5的细长梁，的细长梁，用纯弯曲正应力公式计算横力弯曲正应力，用纯弯曲正应力公式计算横力弯曲正应力，误差误差2%满足工程中所需要的精度。满足工程中所需要的精度。zIMymaxmax弯曲正应力

8、公式适用范围弯曲正应力公式适用范围弯曲正应力公式弯曲正应力公式 ZIMy1 1、纯弯曲或细长梁的横力弯曲、纯弯曲或细长梁的横力弯曲; ;2 2、横截面惯性积、横截面惯性积 I IYZYZ=0;=0;3 3、弹性变形阶段、弹性变形阶段; ; 推导弯曲正应力计算公式的方法总结推导弯曲正应力计算公式的方法总结（1 1）理想模型法：）理想模型法：纯弯曲（剪力为零，弯矩为常数）纯弯曲（剪力为零，弯矩为常数）（2 2）“实验实验观察观察假设假设” ” ：梁弯曲假设梁弯曲假设（3）外力外力内力内力变形几何关系变形几何关系物理关系物理关系静力学关系静力学关系（4 4）三关系法）三关系法积分积分应力合成内应力合

9、成内力力横力弯曲横力弯曲应力法应力法（5 5）数学方法）数学方法注意注意（1 1）计算正应力时，必须清楚所求的是）计算正应力时，必须清楚所求的是哪个截面哪个截面上上的应力，的应力，（3 3）特别注意正应力）特别注意正应力沿高度呈线性分布沿高度呈线性分布；从而确定该截面上的从而确定该截面上的弯矩弯矩及该截面对中性轴的及该截面对中性轴的惯性矩；惯性矩；（2）必须清楚所求的是该截面上）必须清楚所求的是该截面上哪一点哪一点的正应力，的正应力，（4）中性轴中性轴上正应力上正应力为零为零，并确定该并确定该点到中性轴的距离点到中性轴的距离，而在梁的上下边缘处分别是最大拉应力和最大压应力。而在梁的上下边缘处分

10、别是最大拉应力和最大压应力。以及该点处以及该点处应力的符号应力的符号（6 6）熟记矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩的计算式。）熟记矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩的计算式。（5 5）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压; ;注意注意正应力的正正应力的正 负号（拉或压）可根据负号（拉或压）可根据弯矩的正负弯矩的正负及及梁的变形状态梁的变形状态来来 确定。确定。作弯矩图，寻找最大弯矩的截面作弯矩图，寻找最大弯矩的截面分析：分析：非对称截面，非对称截面，例例1 T1 T型截面铸铁梁，截面尺寸如图。型截面铸铁梁，截面尺寸如图。求最大拉应力、最大压应力。求最大拉应力、最大压应力。6

11、47.64 10 mzI计算最大拉应力、最大压应力计算最大拉应力、最大压应力zc52889KN1m1m4KN1mACB要寻找中性轴位置；要寻找中性轴位置；（2 2）计算应力：）计算应力：33,max64 1052 1027.2MPa7.64 10t33,max64 1088 1046.1MPa7.64 10c（1 1）求支反力，作弯矩图）求支反力，作弯矩图B B截面应力分布截面应力分布9KN1m1m4KN1mACBFAFBFA=2.5KN2.5KNm4KNmMzIMy应用公式应用公式zc5288（3 3）结论）结论MPa1 .46max,cC C截面应力计算截面应力计算33,max62.5 1

12、088 1028.8MPa7.64 10tMPa8 .28max,t2.5KNm4KNmM9KN1m1m1mACBFAFB4KNC C截面应力分布截面应力分布zIMy应用公式应用公式zc528830zy180120K1、C 截面上截面上K点正应力点正应力2、C 截面上最大正应力截面上最大正应力3 3、全梁上最大正应力、全梁上最大正应力4、已知、已知E=200GPa，C 截面的曲率半径截面的曲率半径例例2：矩形截面简支梁承受均布载荷作用：矩形截面简支梁承受均布载荷作用,如图所示如图所示1m3mq=60KN/mACB1、截面几何性质计算、截面几何性质计算1218. 012. 03123ZbhI 4

13、5m10832. 5确定形心主轴的位置确定形心主轴的位置z确定中性轴的位置确定中性轴的位置180120确定形心的位置确定形心的位置q=60KN/m1m3mACB2. 2. 求支反力求支反力kN90AyFkN90ByFmkN605 . 0160190CMZKCKIyM （压应力）（压应力）3、C 截面上截面上K点正应力点正应力30zy180120K53310832. 510601060MPa7 .614、C 截面上最大正应力截面上最大正应力ZmaxmaxIyMCC53310832. 510901060MPa55.92弯矩弯矩公式公式MxFSx作内力图作内力图kN90AyFkN90ByFq=60K

14、N/m1m3mACB90kN90kNm67.5kN8/2ql5 5、全梁上最大正应力、全梁上最大正应力mkN5 .67maxMZmaxmaxWMMPa17.10453310832. 51090105 .67危险截面危险截面公式公式ZmaxmaxmaxIyMmkN60CMq=60KN/m1m3mACB6、已知、已知E=200GPa，C 截面的曲率半径截面的曲率半径45m10832. 5zIm4 .194CZCMEIEIM1359106010832. 510200练习练习1：计算下图中：计算下图中11截面上、两点的正应截面上、两点的正应力，并求梁内的最大正应力，画危险面上正应力，并求梁内的最大正应

15、力，画危险面上正应力的分布规律。已知矩形截面的宽为力的分布规律。已知矩形截面的宽为75毫毫米，高米，高150毫米。毫米。101.2m1m1m1-1P=8KN40ab练习练习2：圆型截面梁的横截面直径为：圆型截面梁的横截面直径为D50毫米，受力如图。毫米，受力如图。计算最大正应力并画危险面上的正应力分布规律。计算最大正应力并画危险面上的正应力分布规律。q=10KN/m1m练习练习3：求下图中：求下图中11截面上点的正应力、此截截面上点的正应力、此截面上的最大正应力、此梁上的最大正应力。已面上的最大正应力、此梁上的最大正应力。已知矩形截面的宽为知矩形截面的宽为120毫米，高毫米，高180毫米。毫米

16、。q=60KN/m1m2m1-130a三、弯曲正应力强度条件三、弯曲正应力强度条件弯曲正应力弯曲正应力的分布规律的分布规律危险点：危险点：距离中性轴最远处；距离中性轴最远处；分别发生分别发生最大拉应力最大拉应力与与最大压应力最大压应力；zmaxmaxmaxIyM1、塑性材料、塑性材料抗拉压强度相等抗拉压强度相等无论内力图如何无论内力图如何梁内最大应力梁内最大应力 IyMzmaxmaxmax其强度条件为其强度条件为通常将梁做成矩形、圆形、工字形等通常将梁做成矩形、圆形、工字形等对称于中性轴对称于中性轴的截面；的截面；此类截面的最大拉应力与最大压应力相等。此类截面的最大拉应力与最大压应力相等。因此

17、：因此： 强度条件可以表示为强度条件可以表示为 wMzmaxmax无论截面形状如何，无论截面形状如何，a但对于塑性材料，但对于塑性材料，b2.2.离中性轴最远处。离中性轴最远处。要综合考虑弯矩要综合考虑弯矩M与截面形状与截面形状Iz1.1.弯矩的绝对值最大的截面上；弯矩的绝对值最大的截面上；塑性材料塑性材料c、塑性材料制成的、塑性材料制成的变截面梁变截面梁总之，总之， 梁内最大应力发生在：梁内最大应力发生在： wMzmaxmax3 .强度条件为强度条件为2、脆性材料、脆性材料抗拉压强度不等。抗拉压强度不等。内力图形状有关。内力图形状有关。梁内最大拉应力与最大压应力分别发生在梁内最大拉应力与最大

18、压应力分别发生在最大应力通常与截面形状，最大应力通常与截面形状，通常将梁做成通常将梁做成T T形、倒形、倒T T形等形等 关于关于中性轴不对称中性轴不对称的截面。的截面。离中性轴最远的最上边缘与最下边缘。离中性轴最远的最上边缘与最下边缘。由于脆性材料抗压不抗拉，由于脆性材料抗压不抗拉，a a脆性材料的最大应力与截面形状有关脆性材料的最大应力与截面形状有关MM或者或者 脆性材料梁的危险截面与危险点脆性材料梁的危险截面与危险点上压下拉上压下拉上拉下压上拉下压b b脆性材料的最大应力与内力图有关脆性材料的最大应力与内力图有关危险截面只有一个。危险截面只有一个。tzttIMymax,czccIMyma

19、x,危险截面处分别校核：危险截面处分别校核：二个强度条件表达式二个强度条件表达式M危险截面有二个；危险截面有二个；每一个截面的最上、最下边缘均是危险点；每一个截面的最上、最下边缘均是危险点； 脆性材料梁的危险截面与危险点脆性材料梁的危险截面与危险点tzttIMymax,czccIMymax,各危险截面处分别校核：各危险截面处分别校核：四个强度条件表达式四个强度条件表达式zMwmax zwmaxM弯曲正应力强度计算的三个方面弯曲正应力强度计算的三个方面1、强度校核、强度校核tzttIMymax,czccIMymax,2、设计截面、设计截面3、确定许可载荷、确定许可载荷例例1 1：图示为机车轮轴的

20、简图。试校核轮轴的强度。：图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。,kN5 .62,m16. 0,m267. 0,1302Fbammd材料的许用应力材料的许用应力.MPa60mm1601d分析分析（2 2）危险截面：危险截面：（3 3）危险点危险点 zWMmaxmax截面关于中性轴对称截面关于中性轴对称M弯矩弯矩 最大的截面最大的截面zW抗弯截面系数抗弯截面系数 最小的截面；最小的截面；危险截面的最上、下边缘处。危险截面的最上、下边缘处。（1）轮轴为塑性材料）轮轴为塑性材料,公式公式（1 1）计算简图）计算简图（2 2）绘弯矩图）绘弯矩图MFaFbFbB B截面，截面，C C截面截面（3）危险

21、截面危险截面（4 4）强度校核）强度校核B B截面：截面：zBBWMmaxzCCWMmaxC C截面：截面：（5 5）结论）结论MFaFbFb316. 0322675 .623231dFaMPa5 .413232dFbMPa4 .46313. 0321605 .62mmd1302.MPa60mm1601dm267. 0am16. 0b,kN5 .62F轮轴满足强度条件轮轴满足强度条件例例2 2：某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦：某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦材料的许用应力材料的许用应力MPa,140kN,7 . 61F,kN502F起重量起重量跨度跨度m,5

22、. 9l试选择工字钢的型号。试选择工字钢的型号。自重自重分析分析（2 2）确定危险截面）确定危险截面（5 5）计算）计算maxM（6 6）计算）计算 ，选择工字钢型号，选择工字钢型号zW zWMmaxmax（3 3）截面为关于中性轴对称）截面为关于中性轴对称（1 1）简化为力学模型）简化为力学模型（4 4）应力计算公式）应力计算公式FFFkN,7 . 61F,kN502Fm,5 . 9l（1 1）计算简图）计算简图（2 2）绘弯矩图）绘弯矩图MFL/4 zWMmaxmax（3 3）危险截面）危险截面KNmM45 . 910)507 . 6(3max maxMWz3cm962（4 4）强度计算）

23、强度计算（5 5）选择工字钢型号）选择工字钢型号36c36c工字钢工字钢3cm962zWF=F1+F2MPa140例例3 3：T T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。试校核梁的强度。试校核梁的强度。 MPa,60,MPa30ct9KN1m1m4KN1mACB2080120205 5、作弯矩图，确定危险截面、作弯矩图，确定危险截面 ccttmax,max,6 6、确定危险点，进行强度校核、确定危险点，进行强度校核分析：分析：非对称截面；非对称截面；确定形心主轴位置；确定形心主轴位置；1、脆性材料，、脆性材料，2、寻找形心、寻找形心3、确定中性轴位置；、确定中性轴位置；4

24、、计算图形对中性轴的主惯性矩、计算图形对中性轴的主惯性矩危险截面与内力图有关危险截面与内力图有关mm522012020808020120102080cy（2 2）求截面对中性轴）求截面对中性轴z z的惯性矩的惯性矩1220803zI（1 1）求截面形心）求截面形心z152208012020yz2281202012120203242208046m1064. 7（4 4）确定危险截面）确定危险截面33,max64 1052 1027.2MPa7.64 10t33,max64 1088 1046.1MPa7.64 10c（3 3）求支反力，作弯矩图）求支反力，作弯矩图B B截面应力强度计算截面应力强

25、度计算9KN1m1m4KN1mACBFAFBFA=2.5KN2.5KNm4KNmMzIMy应用公式应用公式zc5288 t c MPa30tMPa,60c46m1064. 7zI（5 5）结论）结论C截面强度计算截面强度计算33,max62.5 1088 1028.8MPa7.64 10tzIMy应用公式应用公式zc5288 MPa30tMPa,60c46m1064. 7zI2.5KNm4KNmM9KN1m1m1mACBFAFB4KN t cMPac171064. 71052105 . 2633max,满足强度条件满足强度条件例例4：一简支梁受力如图所示。已知：一简支梁受力如图所示。已知 ，空

26、心圆截面，空心圆截面的内外径之比的内外径之比 ，试选择截面直径，试选择截面直径D；若外径若外径D增加增加一倍，比值一倍，比值 不变，则载荷不变，则载荷 q 可增加到多大？可增加到多大？8 . 0DdMPa12L=4mABq=0.5KN/mzWMmax3 3、作弯矩图，确定危险截面；、作弯矩图，确定危险截面；分析：分析：对称截面；对称截面；1、塑性材料，、塑性材料，2、已知图形对中性轴的主惯性矩、已知图形对中性轴的主惯性矩5、公式、公式MPa124 4、确定危险点，进行强度校核、确定危险点，进行强度校核8 . 0DdMPa12L=4mABq=0.5KN/m1、求支座反力，并作弯矩图、求支座反力，

27、并作弯矩图FAFBFA=FB=ql/2M281qL2、确定危险截面、确定危险截面2max81qLMmN.100 . 13强度计算强度计算)1 (3243DWzmaxMmD113. 0若外径若外径D增加一倍，增加一倍，,226. 0mD 2max81qLMzW)1 (3243DmKNq.0 . 48 . 0DdMPa12zWM8 . 0Dd不变不变zWM例例5： 已知已知 材料的材料的 ，由，由M图知：图知： ，试校核其强度。，试校核其强度。mNM.102 . 15maxMPa7016281448单位：cmzIMymax5 5、确定危险点，进行强度校核、确定危险点，进行强度校核分析：分析：非对称

28、截面；非对称截面；确定形心主轴位置；确定形心主轴位置；1、塑性材料，、塑性材料，2、寻找形心、寻找形心3、确定中性轴位置；、确定中性轴位置；4、计算图形对中性轴的主惯性矩、计算图形对中性轴的主惯性矩MPa706、公式、公式（1 1）确定中性轴的位置）确定中性轴的位置1082628) 514(108141628cm13（2 2）计算截面对形心主轴的惯性矩）计算截面对形心主轴的惯性矩ASyzC16281448单位：cmzyzCy32816121zI31081212)1314(28162)1319(1018426200cm（4）正应力校核）正应力校核zIMymax所以结构安全。所以结构安全。问题：问

29、题：若材料为铸铁，截面这样放置是否合理若材料为铸铁，截面这样放置是否合理？mNM.102 . 15maxMPa7082510262001015102 . 1MPa65.68426200cmIz28zzCy1、已知、已知T型截面的惯性矩为型截面的惯性矩为IZC10-6m4，材料的，材料的许用拉应力为许用拉应力为t30MP，许用压应力，许用压应力c60MP，校核梁的强度。，校核梁的强度。3KN1m1m9KNm1mzc52882、AB梁为梁为10号工字钢，在号工字钢，在B点用圆杆支撑，点用圆杆支撑， BC杆的直径为杆的直径为D20毫米，梁与杆采用同种材料，毫米，梁与杆采用同种材料，许用应力为许用应力

30、为160MP，求许用载荷？，求许用载荷？q2m1mABC3、图示中的梁由二根槽钢组成，许用应力为、图示中的梁由二根槽钢组成，许用应力为120MP，选择槽钢的型号。，选择槽钢的型号。q=5KN/m3mM=7.5KNm4、矩形截面悬臂梁的跨度为、矩形截面悬臂梁的跨度为L4米，截面的高、宽比米，截面的高、宽比为为3：2，均布载荷的集度为，均布载荷的集度为10KN，许用应，许用应力为力为10MP，确定矩形截面的尺寸。，确定矩形截面的尺寸。bhq=10KN/m5、已知、已知T型截面的惯性矩为型截面的惯性矩为IZC21.7610-6m4，材，材料的许用拉应力料的许用拉应力t= 30MP，许用压应力，许用压

31、应力c=60MP，设计载荷？，如果截面倒置，设计载荷？，如果截面倒置？q4m2mzc601006、20工字钢，许用应力为工字钢，许用应力为160MP，求载，求载荷荷P。P1m1m1mP7、已知、已知T型截面的惯性矩为型截面的惯性矩为IZC10000cm4，材料，材料的许用拉应力为的许用拉应力为t40MP，许用压应力，许用压应力c160MP，h196.4，求力，求力P？。？。P2P1.4m0.6m250h18、许用应力为60MP，校核强度。10KNm30KNm1m1m1m60120120609 9、2525号槽钢，许用应力为号槽钢，许用应力为120MP120MP，求，求M M？，画危险面的正应力

32、的分布规律。？，画危险面的正应力的分布规律。2m3mM10、球墨铸铁材料，采用、球墨铸铁材料，采用T型截面，惯性矩为型截面，惯性矩为IZC30000cm4，画危险面上的正应力的分布规律，并，画危险面上的正应力的分布规律，并求梁内的最大拉应力、最大压应力。求梁内的最大拉应力、最大压应力。q=20KN/m4mM=20KNm1206011、已知、已知T型截面的惯性矩为型截面的惯性矩为IZC2010-6m4，材，材料的许用拉应力为料的许用拉应力为t32MP，许用压应力，许用压应力c75MP，校核强度。，校核强度。9KN1m4KN1m1mzc306012、AB梁的跨度为梁的跨度为L6米，当力米，当力P直

33、接作用在梁直接作用在梁的中点时，梁的最大正应力超过许用应力的的中点时，梁的最大正应力超过许用应力的30。为消除过载的影响，增加一辅助梁。为消除过载的影响，增加一辅助梁CD。求。求辅助梁的跨度？辅助梁的跨度？PaL13、在、在200200的矩形截面上左右对称地挖去直的矩形截面上左右对称地挖去直径为径为160的半圆。作梁的内力图，并求梁内的的半圆。作梁的内力图，并求梁内的最大正应力。最大正应力。5KN/m8KNm4m1m14、已知工字型截面梁的惯性矩为、已知工字型截面梁的惯性矩为IZC104cm4，材，材料的许用拉应力为料的许用拉应力为t40MP，许用压应力，许用压应力c100MP，y1=100m

34、m，y2=220mm，L=1m，求，求载荷集度载荷集度？zc21qLLqL22L15、槽形截面梁受力如图，材料为铸铁。对本身截、槽形截面梁受力如图，材料为铸铁。对本身截面形心轴的惯性矩为面形心轴的惯性矩为IZC=1.729109mm4，许用拉，许用拉应力为应力为t=40Mpa,许用压应力为许用压应力为C=80MPa，求，求梁的许可载荷梁的许可载荷P。P2P0.6m1.4mZC18331716、铸铁制成的槽形截面梁，、铸铁制成的槽形截面梁， 材料的材料的t=40MPa, C=150MPa, 对截面形心轴的惯性矩为对截面形心轴的惯性矩为IZ4010-6m4，y1=0.14m，y2=0.06m，校核

35、梁的强度，校核梁的强度1m1m2mP=30KNq=15N/my1y217、图示结构，、图示结构，AB为为T形铸铁梁，形铸铁梁，y1=140mm，y2=60mm，惯性矩为惯性矩为IZ4107毫米毫米4。CD为直径为为直径为d=30毫米的圆截面钢毫米的圆截面钢杆，载荷杆，载荷P可在梁上自由移动。已知可在梁上自由移动。已知AC2米，米，CB1米，铸米，铸铁的许用拉应力为铁的许用拉应力为 t=35MPa，许用压应力为，许用压应力为c=140MPa，钢材的许用应力为钢材的许用应力为=160MPa，确定系统的许可载荷，确定系统的许可载荷P。（不考虑（不考虑CD杆的稳定性杆的稳定性)PABCDy2y1ZC5

36、-4 弯曲切应力弯曲切应力横力弯曲横力弯曲横截面上内力横截面上内力 既有弯矩又有剪力；既有弯矩又有剪力；横截面上应力横截面上应力 既有正应力又有切应力。既有正应力又有切应力。切应力切应力分布规律和计算公式分布规律和计算公式FAFBFA=FB=PFsMPPPaPPaaLCA观察观察AC段内力段内力Fs=P =+=+常量常量+M线性规律上升线性规律上升横截面上的切应力合成剪力横截面上的切应力合成剪力横截面上的剪力产生切应力横截面上的剪力产生切应力关于切应力的两点假设关于切应力的两点假设目标：目标：距离中性轴为距离中性轴为y的直线上各点切应力计算公式的直线上各点切应力计算公式?y距中性轴等远距中性轴

37、等远的各点处切应的各点处切应力大小相等力大小相等。1、在、在AC 段取长为段取长为dx的微段的微段FsMPPPa2、分析微段上的应力、分析微段上的应力zIMy1zIydMM)(23、切开微段分析、切开微段分析4、分析微段的平衡条件、分析微段的平衡条件0)(12sFFFdAFA1225、计算右侧截面正应力形成的合力、计算右侧截面正应力形成的合力11)(AzdAIydMM11)(AzdAyIdMM*)(ZSIdMMz同理同理*1ZSIMFzzbISdxdMZ*6、微元体的平衡方程、微元体的平衡方程012bdxFF*2)(ZSIdMMFz*1ZSIMFz0* bdxSIdMZzzsbISFZ*zsb

38、ISFZ*距离中性轴为距离中性轴为y y的直的直线上点的切应力计线上点的切应力计算公式算公式7、切应力计算公式、切应力计算公式zsybISFZ*zsybISFZ*各项的物理意义各项的物理意义1、Fs欲求切应力的点所在截面的剪力；欲求切应力的点所在截面的剪力；2、Iz欲求切应力的点所在截面对中欲求切应力的点所在截面对中性轴的惯性矩；性轴的惯性矩；3、b欲求切应力的欲求切应力的点处截面的宽度点处截面的宽度；4、Sz*横截面上距离中性轴为横截面上距离中性轴为y y的的横线以外部分横线以外部分的面积的面积A A1 1对中性轴的静矩。对中性轴的静矩。16281448208012020AFS23 8、切应

39、力分布规律、切应力分布规律max切应力沿截面高度按切应力沿截面高度按抛物线抛物线规律变化。规律变化。中性轴处中性轴处最大正应力所最大正应力所在的点在的点工字形截面梁切应力沿高度的分布规律工字形截面梁切应力沿高度的分布规律maxzsybISFZ*计算公式计算公式切应力危险点切应力危险点中性轴处中性轴处fsAFmax最大切应力最大切应力腹板上的切应力呈抛物线变化；腹板上的切应力呈抛物线变化；腹板部分的切应力合力占总剪力的腹板部分的切应力合力占总剪力的9597%9597%。工字形截面的翼缘工字形截面的翼缘)(z翼缘部分的水平切应力沿翼缘翼缘部分的水平切应力沿翼缘宽度按宽度按直线规律直线规律变化；变化

40、；翼缘部分的切应力强度计算时一般不予考虑。翼缘部分的切应力强度计算时一般不予考虑。并与腹板部分的竖向剪力并与腹板部分的竖向剪力形成形成“剪应力流剪应力流” 。)(ysFT形截面梁切应力形截面梁切应力沿高度沿高度的分布规律的分布规律zsybISFZ*计算公式计算公式中性轴处中性轴处maxT形截面梁切应力流形截面梁切应力流)(ysF圆形截面梁切应力的分布规律圆形截面梁切应力的分布规律1 1、边缘上各点的切应力与圆周相切。、边缘上各点的切应力与圆周相切。AB不能假设总切应力与剪力同向；不能假设总切应力与剪力同向；sF2 2、同一高度各点的切应力汇交于一点。、同一高度各点的切应力汇交于一点。中性轴处中

41、性轴处maxAFs34max3 3、竖直分量竖直分量沿截面宽度均匀分布；沿截面宽度均匀分布；圆形截面梁切应力圆形截面梁切应力沿高度沿高度的分布规律的分布规律zsybISFZ*计算公式计算公式沿高度呈抛物线规律变化。沿高度呈抛物线规律变化。y max= 2.0FsA圆环截面的最大切应力圆环截面的最大切应力zymaxsF切应力的危险点切应力的危险点能否说：能否说：“切应力的最大值一定发生在中性轴上切应力的最大值一定发生在中性轴上”？当中性轴附近有尺寸突变时当中性轴附近有尺寸突变时最大切应力不发生在中性轴上；最大切应力不发生在中性轴上；当中性轴附近没有尺寸突变时当中性轴附近没有尺寸突变时最大切应力最

42、大切应力发生在中性轴发生在中性轴上；上；切应力强度条件切应力强度条件)(maxmax,maxzzSbISF对于等宽度截面，对于等宽度截面， 发生在中性轴上；发生在中性轴上；max在进行梁的强度计算时，需注意以下问题在进行梁的强度计算时，需注意以下问题：（1 1）对于细长梁的弯曲变形，正应力的强度条件是主要的，剪应）对于细长梁的弯曲变形，正应力的强度条件是主要的，剪应 力的强度条件是次要的。力的强度条件是次要的。max对于宽度变化的截面，对于宽度变化的截面， 不一定不一定发生在中性轴上。发生在中性轴上。一般情况下，一般情况下，以正应力设计为主，以正应力设计为主， 切应力校核为辅；切应力校核为辅；

43、(2) 对于对于较粗短较粗短的梁，当的梁，当集中力较大集中力较大时，时，注意注意(4) 薄壁截面梁薄壁截面梁时，也需要校核切应力。时，也需要校核切应力。截面上的剪力较大，需要校核切应力强度条件。截面上的剪力较大，需要校核切应力强度条件。(3) 载荷离支座较近载荷离支座较近时，时， 截面上的剪力较大；截面上的剪力较大；(5) 木梁顺纹木梁顺纹方向，抗剪能力较差方向，抗剪能力较差;(6) 工字形工字形截面梁，要进行切应力校核截面梁，要进行切应力校核;注意注意例题例题1 1：悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为：悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为1 1m m。胶合胶合面的许可切应力为面的许可切应力为0.3

44、40.34MPaMPa，木材的木材的= 10 = 10 MPaMPa， =1MPa=1MPa，求许可载荷求许可载荷F F。100505050lFzWMmaxmax1.1.画梁的剪力图和弯矩图画梁的剪力图和弯矩图2.2.按正应力强度条件计算许可载荷按正应力强度条件计算许可载荷 lbhF621AFS2/3max3.3.按切应力强度条件计算许可载荷按切应力强度条件计算许可载荷 kN013/22bhFxFsxMFFLF 216bhlF3.75kN bhF2/32 gZZSbISF*g4.4.按胶合面强度条件计算许按胶合面强度条件计算许可载荷可载荷 3.825kN3F5.5.梁的许可载荷为梁的许可载荷为

45、 minminkN825. 3kN10kN75. 3iFF 100505050 xFsxMFFLF gbbhF12505010033 3.75kNF例例2铸铁梁的截面为铸铁梁的截面为T字形，受力如图。已知材料许用拉应力字形，受力如图。已知材料许用拉应力为为 ，许用压应力为，许用压应力为 ， 。试校核梁的正应力强度和剪应力强度。若将梁的截面倒置，情试校核梁的正应力强度和剪应力强度。若将梁的截面倒置，情况又如何？况又如何？MPa35MPa100MPa40AB2m1m3mP=20KNCDq=10KN/m20030200302003020030(a) (a) 确定中性轴的位置确定中性轴的位置23201

46、02035 .21203ASyzCcm75.1546013 cm23)1075.15(203203121zI23 5 . 1)75.1520(320320121(c) (c) 最大静矩：最大静矩：88. 775.153max,zS3372 cmzzC(b) 计算图形对形心主轴的惯性矩计算图形对形心主轴的惯性矩(1) 平面图形几何性质计算平面图形几何性质计算157.5（2 2）绘剪力图、弯矩图）绘剪力图、弯矩图计算约束反力：计算约束反力：,30KNFAy,10KNFByAB2m1m3mCDP=20KNq=10KN/mFAyFBy作内力图作内力图FsM10KN10KN.m20KN.m20KN10K

47、N（3 3）正应力强度计算）正应力强度计算对于对于A A截面：截面：z82max10013. 610) 325. 4()(AAMMPa1 .2482max10013. 61075.15)(AAMMPa4 .52P=20KNq=10KN/mFAyFByFs10KN20KN10KNM10KN.m20KN.m20030zC157.546013 cmIzMPa100MPa40（3 3）正应力强度计算）正应力强度计算对于对于D D截面：截面：zP=20KNq=10KN/mFAyFByFs10KN20KN10KNM10KN.m20KN.m20030zC157.546013 cmIzMPa100MPa408

48、2max10013. 61075.15)(DDMMPa2 .2682max10013. 61025. 7)(DDMMPa12MpaMPaD402 .26)(maxmaxMpaMPaD1004 .52)(maxmax正应力强度足够正应力强度足够。结论结论（4 4）切应力强度校核）切应力强度校核在在A A截面左侧：截面左侧：zzSbISFmax,max,max56310013. 603. 0103721020MPa12. 4切应力强度足够切应力强度足够。P=20KNq=10KN/mFAyFByFs10KN20KN10KNM10KN.m20KN.m20030zC157.546013 cmIz3372

49、cmSzMPa35危险截面危险截面计算公式计算公式（5 5）若将梁的截面倒置）若将梁的截面倒置此时强度不足会导致破坏。此时强度不足会导致破坏。yczzcyP=20KNq=10KN/mFAyFByFs10KN20KN10KNM10KN.m20KN.mz82max10013. 61075.15)(AAMMPa4 .52MPa401、求图示梁上、求图示梁上1-1截面上、二点的切应力，截面上、二点的切应力，及梁内最大的切应力。及梁内最大的切应力。101.2m1m1m1-1P=8KN40ab2、求图示梁内最大正应力、最大切应力，并画、求图示梁内最大正应力、最大切应力，并画出正应力与切应力的分布规律。出正

50、应力与切应力的分布规律。q=10KN/m1mD=503、矩形截面简支梁由三根宽为、矩形截面简支梁由三根宽为150、高为、高为60的矩形的矩形板胶合而成。已知胶合面上的许用剪应力为板胶合而成。已知胶合面上的许用剪应力为 胶合胶合0.5MP，梁的许用应力为：，梁的许用应力为：10MP， 2MP。校核梁的强度。校核梁的强度。q=2KN/m2m1506060604、矩形截面简支梁、矩形截面简支梁24100，许用剪应，许用剪应力为力为60MP，校核梁的剪切强度。，校核梁的剪切强度。P=10KN5m5mbh5、P200KN，均布载荷的集度为，均布载荷的集度为q=10KN/m，梁的，梁的跨度为跨度为L2米，

51、集中力到支座的距离米，集中力到支座的距离a0.2米。米。梁的许用应力为：梁的许用应力为：160MP， 100MP，选择工字钢型号。选择工字钢型号。q=10KN/mPPaaL6、矩形截面简支梁、矩形截面简支梁24100，梁的许用，梁的许用应力为：应力为：120MP，许用剪应力为，许用剪应力为 100MP，校核梁的强度。，校核梁的强度。2m2m2mq=1KN/mP=4KN241007、矩形截面简支梁，高：宽、矩形截面简支梁，高：宽3：2，梁的许用，梁的许用应力为：应力为：8MP， 0.7MP，设计矩，设计矩形截面的尺寸、。形截面的尺寸、。hbq=2KN/m1mP=4KN1m8、矩形截面简支梁，宽、

52、矩形截面简支梁，宽50，高，高160，梁的，梁的许用应力为：许用应力为：MP， 1MP，求，求梁的许可载荷。梁的许可载荷。hb1m5-6 5-6 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施ZmaxmaxWM max maxMmaxzzyI W zI zW11、合理布置支座、合理布置支座一、一、 降低降低 Mmax 22、合理布置载荷、合理布置载荷降低降低 Mmax FL/65FL/36安装齿轮安装齿轮靠近轴承一侧；靠近轴承一侧；33、集中力分散、集中力分散降低降低 Mmax F二、梁的合理截面二、梁的合理截面maxyIWzzdAyIz2ZmaxmaxWM增大抗弯截面系数增大抗弯截面系数y截面面积几乎

53、不变的情况下，截面面积几乎不变的情况下，截面的大部分分布在截面的大部分分布在远离中性轴远离中性轴的区域的区域1、合理设计截面合理设计截面抗弯截面系数抗弯截面系数WWZ Z越大、横截面面积越大、横截面面积A A越小，越小，截面越合理。截面越合理。AWz来衡量截面的经济性与合理性来衡量截面的经济性与合理性合理截面合理截面合理截面合理截面伽利略伽利略16381638年年关于两种新科学的对话和证明关于两种新科学的对话和证明“空心梁能大大提高强度，而无须增加重量，空心梁能大大提高强度，而无须增加重量，所以在技术上得到广泛应用。所以在技术上得到广泛应用。在自然界就更为普遍了，在自然界就更为普遍了，这样的例子在这样的例子在鸟类的骨骼鸟类的骨骼和各种和各种芦苇芦苇中可以看到，中可以看到，它们它们既轻巧既轻巧而又而又对弯曲和断裂具有相当高的抵抗能力对弯曲和断裂具有相当高的抵抗能力。“矩形截面中性轴附近的材料未充矩形截面中性轴附近的材料未充分利用，工字形截面更合理。分利用，工字形截面更合理。根据应力分布的规律：根据应力分布的规律：解