大学物理上册第九章4

1、大学物理学第九章第九章 机械振动和机械波机械振动和机械波三、平面波的波动方程三、平面波的波动方程)(cos),(0 uxtAtxy平面简谐波的波函数：平面简谐波的波函数：分别分别 对对 t 和和 x 求二阶偏导，可得：求二阶偏导，可得：平面波波动方程平面波波动方程 任何物理量任何物理量 ，只要它与时间和坐标关系满足波，只要它与时间和坐标关系满足波动方程，则这一物理量就按波的形式传播。动方程，则这一物理量就按波的形式传播。222221tyuxy )(cos02222 uxtuAxy )(cos0222 uxtAty比较两式，可得比较两式，可得 推广推广: :2222222221tuzyx 四、波

2、的能量四、波的能量1、波的能量波的能量以横波为例以横波为例, ,其波函数为其波函数为: :)(cos0 uxtAy任取一线元任取一线元x， 其质量其质量1） 质元质元的动能的动能: :221mvEk )(sin210222 uxtxA)(sin0 uxtAtyv2）质元的势能质元的势能 : :势能的变化和动能的变化势能的变化和动能的变化“步调一致步调一致”。)(sin210222 uxtxAEP可以证明：各质元的势能为可以证明：各质元的势能为xm xyOx 为质量密度为质量密度3）总机械能总机械能pkEEE )(sin0222 uxtxA4）能量密度能量密度( ( 单位体积中的能量单位体积中的

3、能量 ) )VEw )()(sin0222tuxtA 5）平均能量密度平均能量密度( ( 在一个周期内的能量密度的平均值在一个周期内的能量密度的平均值) ) TtwTw0d1 TtuxtAT00222d)(sin1 2221 A 22, A 1）任一质元的动能、势能的相位、大小均相同。）任一质元的动能、势能的相位、大小均相同。 ( ( 注意与振动能量相区别注意与振动能量相区别 ) )3）能量以波度）能量以波度 u 传播。传播。平衡位置（平衡位置（y = 0） E k 、 E p 最大。最大。振幅处（振幅处（y = A） E k 、 E p 为为 0。xyO2）总机械能不守恒，）总机械能不守恒，

4、随时间作周期性变化随时间作周期性变化。tyO 2、波的能流密度、波的能流密度（描述波的能量传播的物理量描述波的能量传播的物理量）1）能流能流 :单位时间内垂直通过波传播方向上某一面积的能量。单位时间内垂直通过波传播方向上某一面积的能量。wStuE w 为截面所在位置的能量密度。为截面所在位置的能量密度。)(sin222uxtAuSwSutEP 设波速为设波速为u ，在，在 时间内通过垂直于波速截面时间内通过垂直于波速截面 的能量的能量:St 能流为：能流为：2）平均能流：在一个周期内能流的平均值称为平均能流。平均能流：在一个周期内能流的平均值称为平均能流。wSuP 3）能流密度：能流密度：通过

5、垂直于波动传播方向通过垂直于波动传播方向单位面积单位面积的的平均平均 能流能流，称为，称为能流密度能流密度或或波的强度波的强度。uStu wuSPI uAI2221 能流密度是矢量能流密度是矢量，其方向与波速方向相同。其方向与波速方向相同。单位单位: W / m 2 波在媒质中传播时，媒质总要吸收一部分能量。波在媒质中传播时，媒质总要吸收一部分能量。吸收吸收的能量转换为其他形式的能量。的能量转换为其他形式的能量。因此，波的振幅要减小、因此，波的振幅要减小、波的强度将减弱，这种现象称为波的强度将减弱，这种现象称为波的吸收波的吸收。4） 波的吸收：波的吸收：为吸收系数，取决于媒质的性质和波的频率为

6、吸收系数，取决于媒质的性质和波的频率xeII 20 uAI2221 9.6 波的叠加原理波的叠加原理 波的干涉波的干涉 一、一、波的叠加原理波的叠加原理通过对各种波动相遇现象的观察和研究，可总结如下规律：通过对各种波动相遇现象的观察和研究，可总结如下规律：波的叠加原理对强冲击波不成立。波的叠加原理对强冲击波不成立。 几列波相遇之后，几列波相遇之后， 各列波仍将保持其原有的特征（频各列波仍将保持其原有的特征（频、 波长、振幅、振动方向等）不变，继续沿原来的传播方向波长、振幅、振动方向等）不变，继续沿原来的传播方向 前进，好象没有遇到过其他波一样前进，好象没有遇到过其他波一样 。 波传播的独立性波

7、传播的独立性 在其相遇区域内，任一质元的振动为各个波单在其相遇区域内，任一质元的振动为各个波单独存在时所独存在时所 引起的振动的矢量和。引起的振动的矢量和。 波的叠加原理波的叠加原理二、二、波的干涉波的干涉 在一定条件下，在一定条件下，两波相遇时，两波相遇时，使某使某些点的振动始终加些点的振动始终加强，而另一些点的强，而另一些点的振动始终减弱或完振动始终减弱或完全抵消的现象，称全抵消的现象，称为为波的干涉现象波的干涉现象。产生干涉的条件：产生干涉的条件： 频率相同。频率相同。 振动方向相同。振动方向相同。 相位相同或相位相同或相位差恒定。相位差恒定。干涉加强、减弱条件干涉加强、减弱条件设有两个

8、频率相同的波源设有两个频率相同的波源S 1 和和S 2 。2r1r1s2sp)cos(),(1010110 tAtsy)cos(),(2020220 tAtsy传播到传播到 P 点引起的振动为：点引起的振动为： )2cos(1101rtA )2cos(2202rtA )(cos),(10111 urtAtpy)(cos),(20222 urtAtpy在在 P 点的振动为点的振动为同方向同频率同方向同频率振动的合成。振动的合成。P 点合振动：点合振动：)cos(21 tAyyy cos2212221AAAAA)(2)(121020rr 干涉加强的条件：干涉加强的条件：21maxAAAA 干涉减弱

9、的条件：干涉减弱的条件：|21minAAAA 当两波源的当两波源的初相位相同初相位相同时，相干条件可写为：时，相干条件可写为：,.3,2,1 ,012 kkrr ,.3 , 2 , 1 , 02)12(12 kkrr 为为波波程程差差 ,.3,2, 1 ,02 kk 干涉加强干涉加强干涉减弱干涉减弱 cos2212221AAAAA,.3 , 2 , 1 , 0)12( kk )(2)(121020rr 1、驻波驻波: 两列两列振幅相同振幅相同的的相干波相干波，在同一直线上沿在同一直线上沿相反方向相反方向 传播传播时叠加而形成的一种特殊的干涉现象。时叠加而形成的一种特殊的干涉现象。三、驻波三、驻

10、波（驻波是干涉的特例驻波是干涉的特例） 设有两列相干波，设有两列相干波，振幅相同振幅相同，分别沿，分别沿 x 轴正、负方向轴正、负方向传播，选初相位均为零的表达式为：传播，选初相位均为零的表达式为：)2cos(1xtAy )2cos(2xtAy 2、驻波的形成、驻波的形成 :)2cos()2cos(21xtAxtAyyy 其合成波称为驻波，其表达式其合成波称为驻波，其表达式txA cos2cos2 v 各点作频率相同、振幅不同的简谐振动各点作频率相同、振幅不同的简谐振动 。v 振幅为振幅为 xA2cos2 1）振幅）振幅 随随 x 而异，与时间无关。而异，与时间无关。 xA2cos23、驻波的

11、特征：、驻波的特征：波节：振幅为零的点称为波节：振幅为零的点称为波节。波节。0|2cos2| xA 2)12(2 kx波节的位置为：波节的位置为：.2, 1, 04) 12( kkx 波腹：振幅最大的点称为波腹：振幅最大的点称为波腹。波腹。1|2cos| x 波腹的位置为：波腹的位置为：.2, 1, 02 kkx kx 2xyo2 2 2）相邻两波节之间的质元相位相同，波节两侧振动相位）相邻两波节之间的质元相位相同，波节两侧振动相位 相反，在相反，在波节波节处产生处产生 的的相位跃变相位跃变 .44 x434 xxyo2 2 02cos xt 2相相位位为为： t2相相位位为为：02cos x

12、例：例：为波节为波节4 x3）驻波中的能量不传播。）驻波中的能量不传播。 “驻驻”uAI2221 能流密度：能流密度：txA 2cos2cos2 当一列波从当一列波从波疏媒质波疏媒质入射到入射到波密媒质波密媒质的分界面时的分界面时，在反射，在反射点出现点出现波节波节的现象。这相当于反射波在反射点有的现象。这相当于反射波在反射点有的相位突变的相位突变，等效于波多走或少走半个波长的波程，因此称为等效于波多走或少走半个波长的波程，因此称为半波损失。半波损失。四、四、半波损失半波损失理论分析理论分析反射点是波反射点是波腹腹uu)2cos(11rtAy )2cos(12rtAy 0 若反射点是波节若反射

13、点是波节 2 )2cos(11rtAy )2(2cos12 rtAy即即u界面处是界面处是波节波节波波疏疏媒质媒质波波密密媒质媒质界面处是界面处是波腹波腹波波疏疏媒质媒质波波密密媒质媒质实验实验结果结果半波损失半波损失无半波损失无半波损失u2 34cos01. 0 xty 例题例题2 在弹性介质中有一沿在弹性介质中有一沿Ox轴正向传播的平面波，其波轴正向传播的平面波，其波函数为函数为 （S1），若在），若在x = 5.00m处有处有一介质分界面，且在分界面处反射波有半波损失，波的强度一介质分界面，且在分界面处反射波有半波损失，波的强度不衰减试写出反射波的波函数不衰减试写出反射波的波函数oxx5

14、解法解法1)34cos(01.0 xty 4340 u x = 5m 处的振动方程为：处的振动方程为：)3164cos(01.0)354cos(01.0 tty 反射波在该点引起的振动方程为：反射波在该点引起的振动方程为：)3134cos(01.0)3164cos(01.0 tty 反射波的波函数为：反射波的波函数为：313)(4cos01. 0 uxty313)5(4cos01. 0 uxt)344cos(01.0 xt法法2)34cos(01.0 xtyoxx5 O点的振动方程为：点的振动方程为：)34cos(01.0 ty 反射波到达反射波到达x 处引起的振动方程处引起的振动方程 即波函

15、数为：即波函数为：3)(4cos01.0 uxty3)55(4cos01.0 uxt34104cos(01.0 xt344cos(01.0: xtor324cos(01.0: xtor9.8 多普勒效应多普勒效应 一、多普勒效应一、多普勒效应1、定义：因波源或观察者相对于媒质运动，而使、定义：因波源或观察者相对于媒质运动，而使观察者接受观察者接受 到的频率到的频率不同于不同于波源的频率波源的频率现象称为现象称为多普勒效应。多普勒效应。当波源或观察者相对于媒质运动时，三者可能互不相同。当波源或观察者相对于媒质运动时，三者可能互不相同。波源频率：波源频率：单位时间内波源振动的次数或单位时间内单位时

16、间内波源振动的次数或单位时间内 发出的发出的 完整波完整波 的个数。的个数。s 观察者接受到的频率：观察者接受到的频率：观察者在单位时间内接受到的观察者在单位时间内接受到的完整完整 波波的个数。的个数。R 波的频率：波的频率：单位时间内通过媒质中某点的单位时间内通过媒质中某点的完整波完整波 的数目。的数目。 注意区别下面三种频率注意区别下面三种频率: :1、波源不动，、波源不动， 观察者相对于媒质以速度观察者相对于媒质以速度VR 沿二者连线运动：沿二者连线运动： 观察者接收到的频率（单位时间内接收到完整波的个数）观察者接收到的频率（单位时间内接收到完整波的个数）: 观察者以速度观察者以速度VR

17、 接近接近S ：uVuuVuVuRRRR )(设波源的频率为设波源的频率为 ； 波长为波长为 , 波在媒质中的传播速度为波在媒质中的传播速度为u 。二、三种不同情况下频率的变化二、三种不同情况下频率的变化观察者以速度观察者以速度 VR 离开离开S ：sRRuVu 表明表明: 观察者接收到的观察者接收到的频率提高频率提高。同理可得观察者接受到的频率：同理可得观察者接受到的频率：sRRuVu 特例：特例：。时时当当0, RRuV 即观察者与波面同速运动，接受不到声波。即观察者与波面同速运动，接受不到声波。表明表明: 观察者接收到的观察者接收到的频率降低频率降低。2、观察者不动，波源相对于媒质以速度

18、、观察者不动，波源相对于媒质以速度Vs 沿二者连线运动沿二者连线运动若若波源波源S 以速度以速度V s 接近接近观察者：观察者：ssVuuu 波在媒质中的波长：波在媒质中的波长：SSSVuTVu )(波的频率为：波的频率为：S0suTSSTVSVSSRVuu 观察者接收到的频率：观察者接收到的频率：频率升高频率升高3、波源和观察者同时相对媒质运动：、波源和观察者同时相对媒质运动：SVPSRVSSRRVuVu 若若波源波源S 以速度以速度Vs 离开离开观察者观察者, 则：则：频率降低频率降低SSRVuu 观察者接受到的频率为：观察者接受到的频率为：1）交通上测量车速；）交通上测量车速；2）医学上用于测量血流速度）医学上用于测量血流速度3）卫星跟踪系统等。）卫星跟踪系统等。多普勒效应的应用多普勒效应的应用 例题例题1 利用多普勒效应监测汽车行驶的速度利用多普勒效应监测汽车行驶的速度. 一一固定波源固定波源发出发出频率为频率为100kHz的超声波。的超声波。 当当汽车汽车迎着波源驶来时。迎着波源驶来时。 与波源安装与波源安装在一起的在一起的接受器接受器接收到从汽车反射回来的超声波的频率为接收到从汽车反射回来的超声波的频率为110KHz。 已知空气中声速为已知空气中声速为 330 m /s。 求：汽车行驶的速率。