两个自由度体系的自由振动教程文件

1、 多自由度体系多自由度体系 4-1 两个两个(lin )自由度体系的自由振自由度体系的自由振动动第一页，共35页。多层房屋多层房屋(fngw)振振动动不等高排架振动不等高排架振动。多自由度体系多自由度体系(tx)(tx)简化简化(j(jiinhnhuu) )多自由度体系多自由度体系建立运动方程建立运动方程刚度法（刚度法（平衡方程平衡方程）柔度法柔度法（位移协调）（位移协调）第二页，共35页。1.1.刚度刚度(n (n d)d)法法无阻尼自由无阻尼自由(zyu)(zyu)振动微振动微分方程分方程取质量取质量(zhling) (zhling) 和和 作隔离体作隔离体 1m2m隔离体隔离体 1.1.

2、惯性力惯性力 和和11m y22m y2.2.弹性力弹性力 和和 1r2r第三页，共35页。根据根据(gnj)(gnj)达朗伯原理，列平衡方程达朗伯原理，列平衡方程 图图10-30c10-30c中，结构所受的力中，结构所受的力 、 与结构的位移与结构的位移 、 之间满之间满足刚度足刚度(n d)(n d)方程。方程。11122200m yrm yr(a)(a)1r2r1y2y11111222211222rk yk yrk yk y(b)(b) 式（式（b b） 式（式（a a）, ,得：得：ijk 是结构是结构(jigu)(jigu)的刚度系数（图的刚度系数（图10-10-30d30d）代入代

3、入1111112222211222( )( )( )0( )( )( )0m y tk y tk y tm y tk y tk y t(4-1)(4-1)第四页，共35页。1111112222211222( )( )( )0( )( )( )0m y tk y tk y tm y tk y tk y t(4-1)(4-1)两个自由度无阻尼体系两个自由度无阻尼体系(tx)(tx)的自由振动微分方程的自由振动微分方程求解求解(qi (qi ji)ji)：假设两个质点假设两个质点(zhdin)(zhdin)为简谐振动，则式为简谐振动，则式(4-1)(4-1)的解可设：的解可设：1122( )sin(

4、)( )sin()y tYty tYt(c)(c)式式(c)所示运动的特点所示运动的特点: :1)1)在运动过程中，两质点具有相同的频率和相同的相位在运动过程中，两质点具有相同的频率和相同的相位角，角， 和和 是位移幅值；是位移幅值；2 2）两质点的位移在数值上随时间而变化，但二者比值）两质点的位移在数值上随时间而变化，但二者比值始终保持不变。始终保持不变。1Y2Y第五页，共35页。即即1122( )( )y tYy tY常数 这种结构位移形状保持这种结构位移形状保持(boch)(boch)不变的振动形式不变的振动形式称为主振型或振型。称为主振型或振型。 式（式（c c）代入式（）代入式（4-

5、14-1），得：），得：21111122221 12222()0()0km Yk Yk Ykm Y(4-2)(4-2) 和和 不全为零的解答不全为零的解答(jid)(jid)，则：，则：1Y2Y211121kmDk(4-3a)(4-3a)式式(4-3a)(4-3a)称为频率称为频率(pnl)(pnl)方程或特征方程，可求方程或特征方程，可求频率频率(pnl)(pnl)。1222220kkm第六页，共35页。将式（将式（4-3a4-3a）展开）展开(zhn ki)(zhn ki)：221112221221()()0kmkmk k（4-3b)4-3b)2221122112212211212()0k

6、kk kk kmmm m2211221122112212211212121122kkkkk kk kmmmmm m（4-4)4-4)可见可见(kjin)(kjin)：具有两个自由度的体系有两个自振频率。：具有两个自由度的体系有两个自振频率。 其中最小的圆频率，称为第一其中最小的圆频率，称为第一(dy)(dy)圆频率或基本圆频圆频率或基本圆频率。率。 ：第二圆频率。：第二圆频率。12第七页，共35页。由自振圆频率由自振圆频率 和和 ，确定它们各自，确定它们各自(gz)(gz)相应的频率相应的频率。121代入代入（4-24-2）21111122221 12222()0()0km Yk Yk Ykm

7、 Y11122211111YkYkm 这个比值确定的振动形式：第一圆频率这个比值确定的振动形式：第一圆频率 相对应相对应的振型，称为的振型，称为(chn wi)(chn wi)第一振型或基本振型。第一振型或基本振型。 1第一(dy)振型中质点1的振幅第一振型中质点2的振幅同样，由同样，由（4-5a4-5a）12122221121YkYkm 第二振型中质点1的振幅2得：得：（4-5b4-5b）第二振型中质点2的振幅第八页，共35页。求出的两个求出的两个(lin )(lin )振型分别如图振型分别如图10-31b10-31b、c c 在一般情况下，两个自由振动在一般情况下，两个自由振动(zhndn

8、g)(zhndng)体系的自由振体系的自由振动动(zhndng)(zhndng)可看作是两个频率及其主振型的组合振可看作是两个频率及其主振型的组合振动动(zhndng)(zhndng)，即，即，11 11112 122221 211122222( )sin()sin()( )sin()sin()y tAYtAYty tAYtAYt方程(fngchng)（4-1）的全解第九页，共35页。从以上的讨论从以上的讨论(toln)(toln)中，归纳：中，归纳：（1）在两个（多个）自由度体系自由振动问题中，主要问题是确定体系）在两个（多个）自由度体系自由振动问题中，主要问题是确定体系 的全部的全部(qu

9、nb)自振频率及其相应的主振型。自振频率及其相应的主振型。（2）两个（多个）自由度体系）两个（多个）自由度体系(tx)的自振频率不止一个，其个数与自由度的自振频率不止一个，其个数与自由度 的个数相等。自振频率可由特征方程求出。的个数相等。自振频率可由特征方程求出。（3）每个自振频率有自己相应的主振型。主振型就是多自由度体系）每个自振频率有自己相应的主振型。主振型就是多自由度体系 能够按单自由度振动时所具有的特定形式。能够按单自由度振动时所具有的特定形式。 （4）与单自由度系统相同，多自由度的自振频率和主振型也是本身的）与单自由度系统相同，多自由度的自振频率和主振型也是本身的 固有性质固有性质。

10、 第十页，共35页。例例4-1 图图10-32a所示两层刚架、其横梁为无限刚性。设质量集中在所示两层刚架、其横梁为无限刚性。设质量集中在楼层楼层(lu cn)上，第一、第二层的质量分别为上，第一、第二层的质量分别为m1、m2。层间侧移。层间侧移刚度分别为刚度分别为k1 、k2,即层间产生单位相对侧移时候所施加的力，如图即层间产生单位相对侧移时候所施加的力，如图10-32b所示。试求刚架水平振动时的自振频率和主振型。所示。试求刚架水平振动时的自振频率和主振型。解：由图解：由图10-32c和和d可求可求 出结构的刚度出结构的刚度(n d)系数：系数：1112212122222kkkkkkkkk 将

11、刚度将刚度(n d)系数系数代入到代入到式（式（4-3b）,得：得：222121222()()0kkmkmk（a）分两种情况讨论：分两种情况讨论：（1）当）当 时，时，212,mm kkk第十一页，共35页。222(2)()0km kmk由此求得：由此求得：2122(35)0.381972(35)2.618032kkmmkkmm此时此时(c sh)式（式（a）变为）变为120.618031.61803kmkm第十二页，共35页。求主振型时，可由式（求主振型时，可由式（4-5a）和（）和（4-5b）求出振幅）求出振幅(zhnf)比值，从而比值，从而画出振型图。画出振型图。1121120.3819

12、71.618YkYkk1222122.618030.618YkYkk 第一(dy)主振型第二(d r)主振型如图10所示-33第十三页，共35页。（2）当）当 时，时，代入代入式（式（4-5a）和（）和（4-5b），可求出主振型：），可求出主振型：1212,mnm knk由此求得：由此求得：22222222(1)()0nknmknmk此时此时(c sh)式（式（a）变为）变为2212221141(2)2knnnm211124YnY如当如当n=90时，时，1112212211,109YYYY 由此可知，当顶部质量和刚度突然由此可知，当顶部质量和刚度突然变小时，顶部位移变小时，顶部位移(wiy)比

13、下部位比下部位移移(wiy)大很多。建筑结构中，这大很多。建筑结构中，这种因顶部质量和刚度突然变小，在种因顶部质量和刚度突然变小，在振动中引起巨大反响的现象，称为振动中引起巨大反响的现象，称为鞭稍效应。鞭稍效应。第十四页，共35页。2.柔度法柔度法思路：在自振运动中的任一时刻思路：在自振运动中的任一时刻 ，质量，质量(zhling) 、 的位的位移移 、 应当等于体系在当时惯性力应当等于体系在当时惯性力 、 作用下所产生的静力位移。据此可列方程如下：作用下所产生的静力位移。据此可列方程如下：t1m2m1( )y t2( )y t11( )m y t22( )m y t1111122122112

14、12222( )( )( )( )( )( )y tm y tm y ty tm y tm y t （4-6）柔度系数(xsh)第十五页，共35页。下面下面(xi mian)求微分方程（求微分方程（4-6）的解。仍设解为如下形式：）的解。仍设解为如下形式：这里，假设多自由度体系按某一主振型象单自由度体系那样这里，假设多自由度体系按某一主振型象单自由度体系那样(nyng)作自由振动，作自由振动， 和和 是两质点的振幅（图是两质点的振幅（图10-24c）.有式（有式（a）可知两质点的惯性力为：）可知两质点的惯性力为：1122( )sin()( )sin()y tYty tYt（a）1Y2Y2111

15、122222( )sin()( )sin()m y tmYtm y tmYt （b）质点(zhdin)惯性力的振幅( )( )ab代入式（4-6）2211 11122122221 1212222()()()()YmYm YYmYm Y（4-7）第十六页，共35页。2211 11122122221 1212222()()()()YmYm YYmYm Y（4-7）主振型的位移(wiy)幅值12()YY、主振型惯性力幅值 作用下所引起(ynq)的静力位移。221 122()mYm Y、111112222211 1222221010mYm YmYmY（c）第十七页，共35页。111112222211

16、1222221010mYm YmYmY（c）120YY11112222112222101mmDmm11122212221122110mmmm第十八页，共35页。11122212221122110mmmm212111222112212122112()()0mmm mm m 2111222111222112212211212()()4()2mmmmm m (4-8)11221112式式(c)11122211112112122221112211YmYmYmYm 主振型(4-9)(4-9)第十九页，共35页。例例4-2试求图试求图10-35a所示等截面简支梁的自振频率和主振型。设梁在三所示等截面简支梁

17、的自振频率和主振型。设梁在三分点分点1和和2处有两个相等的集中处有两个相等的集中(jzhng)质量质量m解：解：先求柔度系数。为此先求柔度系数。为此(wi c)，作，作 图如图图如图10-35b、c所示。由图乘法求所示。由图乘法求得：得：12MM、31122312214=2437=486lEIlEI然后然后(rnhu)代入式代入式(4-8)，得：，得：31111232111215()486()486mlmEImlmEI第二十页，共35页。从而从而(cng r)求得两个自振圆频率：求得两个自振圆频率：123312115.69,22EIEImlml最后最后(zuhu)求主振型。由式（求主振型。由式

18、（4-9a、b）,得得1112212211,11YYYY第一(dy)主振型对称第二主振型反对称第二十一页，共35页。3. 主振型的正交性主振型的正交性现以图现以图10-37所示体系的两个所示体系的两个(lin )主振型为例来主振型为例来说明。说明。图图10-37a为第一主振型，频为第一主振型，频率为率为 ，振幅为，振幅为 ，其，其值正好值正好(zhngho)等于相应等于相应惯性力惯性力 所产生的静位移所产生的静位移。 11121()YY、2211 111221()mYm Y、图图10-37b为第二主振型，频率为为第二主振型，频率为 ，振幅为，振幅为 ，其值正好，其值正好(zhngho)等于相应

19、惯性力等于相应惯性力 所产生的静位移。所产生的静位移。 21222()YY、2221 112222()mYm Y、上述两种静力平衡用功的互等定理，可得：上述两种静力平衡用功的互等定理，可得：222211 111212212221 1211222221()()()()mYYm YYmYYm YY22121 11 12221 22()()0mY Ym Y Y121 11 12221 220mY Ym Y Y两主振型关于质量的正交关系第二十二页，共35页。4-2 两个自由度体系在简谐荷两个自由度体系在简谐荷载载(hzi)下的强迫振动下的强迫振动第二十三页，共35页。1.1.刚度刚度(n (n d)d

20、)法法图图10-3810-38所示两个所示两个(lin )(lin )自由度体系为例，在在动荷载下的振动自由度体系为例，在在动荷载下的振动方程：方程：111111221222112222( )( )( )( )( )( )( )( )ppm y tk y tk y tFtm y tk y tk y tFt(4-10)1111112222211222( )( )( )0( )( )( )0m y tk y tk y tm y tk y tk y t(4-1)如果如果(rgu)(rgu)荷载是简谐荷荷载是简谐荷载，即：载，即：1122( )sin( )sinppppFtFtFtFt(a) 则在平稳

21、振动阶段，各质点也作则在平稳振动阶段，各质点也作简谐震动：简谐震动：1122( )sin( )siny tYty tYt(b)第二十四页，共35页。将式将式(a)(a)和和(b)(b)代入（代入（4-104-10），消去），消去(xio q)(xio q)公因子公因子 后，后，得：得：(4-11)(4-12)将式将式(4-11)(4-11)的位移的位移(wiy)(wiy)幅值代回到式幅值代回到式(b)(b)，即得任意时刻，即得任意时刻t t的位移的位移(wiy)(wiy)。sin t211111221221 122222()()ppkm Yk YFk Ykm YF121200,DDYYDD位移

22、(wiy)幅值2201112221221212221122222111112()()()()ppppDkmkmk kDkm Fk FDk Fkm F 例例4-3 4-3 设例设例10-410-4中的图中的图10-32a10-32a所示刚架在底层横梁上作用简谐荷载所示刚架在底层横梁上作用简谐荷载 （图（图10-3910-39）. .试画出第一、二层横梁的振幅试画出第一、二层横梁的振幅 与荷载频率与荷载频率之间之间的关系曲线。设的关系曲线。设11( )sinppFtFt12YY、1212,mmm kkk第二十五页，共35页。解：刚度解：刚度(n d)(n d)系数为系数为荷载荷载(hzi)(hzi

23、)幅值为：幅值为：(c)代入式（代入式（4-124-12）和式）和式（4-11），得），得111212212222,kkk kkk kk 12,0pppFFF21020()PPkm FYDkFYD其中其中(qzhng)(qzhng)，222012122()()Dkkmkmk(d)将式（将式（d d）和例）和例4-14-1中的特征方程相比，可知：中的特征方程相比，可知：2422222220123()()Dmkmkm第二十六页，共35页。其中两个其中两个(lin )(lin )频率频率 和和 已由例已由例4-14-1求出：求出：因此因此(ync)(ync)式（式（c)c)可写成：可写成：(e)图图

24、10-4010-40所示为振幅所示为振幅(zhnf)(zhnf)参数参数 与荷载频率参数与荷载频率参数 之间的关系曲线。之间的关系曲线。 122212(35)(35),22kkmm212222122222212(1)(1)(1)1(1)(1)PPmFkYkFYk12PPFFYYkk、km第二十七页，共35页。Y1趋于无穷大Y2趋于无穷大第二十八页，共35页。2.2.柔度法柔度法 图图10-42a10-42a所示两个自由度体系，受简谐荷载作用，在任一时刻所示两个自由度体系，受简谐荷载作用，在任一时刻t t，质点，质点1 1、2 2的位移的位移y1y1和和y2y2，可以由体系惯性力，可以由体系惯性

25、力 和动力和动力(dngl)(dngl)荷载共同作用下的位移，通过叠加写出（荷载共同作用下的位移，通过叠加写出（10-42b10-42b） 1122m ym y、11111221212112122222()()sin()()sinppym ym ytym ym yt (4-13)设平稳设平稳(pngwn)(pngwn)振动阶段振动阶段的解为：的解为： 1122( )sin( )siny tYty tYt(a)第二十九页，共35页。将式（将式（a a）代入式（）代入式（4-13),4-13),消去消去(xio q)(xio q)公因子公因子 后，得：后，得： (4-14)由此可解得位移由此可解得

26、位移(wiy)(wiy)的幅值的幅值为：为： sin t2211112122122121 122222(1)0(1)0ppmYmYmYmY 121200,DDYYDD(4-15)式中：式中： 221112120221212222121212222221111221212(1)(1)()()(1)(1)()()ppppmmDmmmDmmDm (4-16)第三十页，共35页。在求得位移在求得位移(wiy)幅值幅值Y1、Y2后，可得到各质点的位移后，可得到各质点的位移(wiy)和和惯性力。惯性力。位移位移(wiy(wiy) )： 1122( )sin( )siny tYty tYt惯性力惯性力： 2

27、111122222sinsinm ymYtm ymYt 因为因为(yn wi)(yn wi)位移、惯性力和动力荷载同时到幅值，动内力也在振幅位位移、惯性力和动力荷载同时到幅值，动内力也在振幅位置达到幅值。动内力幅值可以在各质点的惯性力幅值和动力荷载幅值共同置达到幅值。动内力幅值可以在各质点的惯性力幅值和动力荷载幅值共同作用下按静力分析方法求得。如任一截面的弯矩幅值，可由下式求出：作用下按静力分析方法求得。如任一截面的弯矩幅值，可由下式求出： max1 122( )PM tM IM IM121212=1=1PIIM MIIM、 分别为质点1、2惯性力幅值；、 分别为单位惯性力、作用时，任一截面的弯矩值；为动力荷载幅值静力作用下同一截面的弯矩值。第三十一页，共35页。例例4-4 试求图试求图10-42a所示体系的动位移所示体系的动位移(wiy)和动弯矩的幅值图。已知和动弯矩的幅值图。已知：m1=m2=m, EI=常数，常数，=0.61解：解：（1 1）例）例4-24-2中已经求出柔度系数中已经求出柔度系数