第二章_刚体转动(新版)

1、第二章第二章 刚体转动刚体转动 2战国时期开始，辘轳在作战器械、井中提水、战国时期开始，辘轳在作战器械、井中提水、生产劳动中广泛应用，它们的生产劳动中广泛应用，它们的共同特征共同特征是什么呢？是什么呢？引言引言 3转动转动在生活、生产上的应用。在生活、生产上的应用。引言引言 4转动转动在军事、生活中的应用。在军事、生活中的应用。引言引言 5同学们请思考：杆和木板处于同学们请思考：杆和木板处于平衡平衡时需满足什么时需满足什么条件？条件？引言引言 6 这章学习方法这章学习方法: : 对比法对比法（对比质点力学对比质点力学） 刚体：形状与大小都不变刚体：形状与大小都不变的物体的物体(理想模型理想模型

2、) 刚体是刚体是特殊的质点系特殊的质点系-质点之间的质点之间的距离距离与相与相对对位置位置都保持都保持不变不变。因此因此, 第第1章的章的质点系的所有规律都可用于刚体质点系的所有规律都可用于刚体！引言引言 7目录目录2-1 转动的描述转动的描述2-2 力矩与转动定律力矩与转动定律 2-3 角动量与角动量守恒定律角动量与角动量守恒定律 2-4 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理2-5 工程中的刚体转动工程中的刚体转动 82-1 转动的描述转动的描述石磨是中华文明的古老象征石磨是中华文明的古老象征之一，它也是人类进化史上之一，它也是人类进化史上智慧的结晶，一些边远的农智慧的结晶，一些

3、边远的农村山区目前还在使用。村山区目前还在使用。当人们轻松推磨磨面的时候当人们轻松推磨磨面的时候，谁能想到这古老的装置中，谁能想到这古老的装置中却蕴含着许多物理规律，其却蕴含着许多物理规律，其中转动是石磨能实现其功能中转动是石磨能实现其功能的根本原因。的根本原因。虽然石磨不是百分之百的刚体，但在研究其转动时，和虽然石磨不是百分之百的刚体，但在研究其转动时，和很多实际物体一样可以近似地看成刚体。很多实际物体一样可以近似地看成刚体。 9刚体的运动形式：平动刚体的运动形式：平动、转动转动。2-1 转动的描述转动的描述参考线一、平动与转动一、平动与转动1、平动、平动刚体中刚体中所有点的运动轨迹都是完全

4、相同所有点的运动轨迹都是完全相同，或刚，或刚体内体内任意任意两点的两点的连线连线总是总是平行平行于它们的初始位于它们的初始位置的置的连线连线。 102-1 转动的描述转动的描述 平动：平动：刚体中所有刚体中所有点的点的运动轨迹完全相同运动轨迹完全相同。 特点：各点运动状特点：各点运动状态一样态一样，如：，如： 等等都相同。都相同。a、v刚体作平动运动时，可将刚体作平动运动时，可将刚体看成质点刚体看成质点，刚体平刚体平动运动看成质点运动动运动看成质点运动。 11刚体中刚体中所有质点都绕同一直线所有质点都绕同一直线做圆周运动做圆周运动。 转动又分转动又分定轴转动定轴转动和和非定轴转动非定轴转动。

5、2、转动、转动2-1 转动的描述转动的描述 12 一般情况下，刚体的运动既有一般情况下，刚体的运动既有平动平动，又有，又有转动转动，转轴本身的位置或方向都在随时发生变化转轴本身的位置或方向都在随时发生变化。 如汽车行驶过程中车轮的运动。在这种情况下，如汽车行驶过程中车轮的运动。在这种情况下，刚体的运动可以看成是刚体的运动可以看成是平动和转动的叠加运动平动和转动的叠加运动。 2-1 转动的描述转动的描述 132-1 转动的描述转动的描述刚体的刚体的一般运动可看作：一般运动可看作：随随质心的平动质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+的的合成合成 14x二、刚体转动的角速度和角加速度二、刚体转动的角速

6、度和角加速度z参考平面参考平面)(t)()(ttt2. 2. 角位移角位移)(t 1. 1. 角坐标角坐标约定：约定：沿沿逆时针方向逆时针方向转动转动 沿沿顺时针方向顺时针方向转动转动 tttddlim03.3.角速度角速度参考轴参考轴角速度角速度大小大小：沿沿逆时针方向逆时针方向转动转动 沿沿顺时针方向顺时针方向转动转动 0000000 m1 )，滑滑轮轮 m、R, 可看成质量均匀的圆盘可看成质量均匀的圆盘, 设绳轻，设绳轻，且不伸长，且不伸长，绳与滑轮无相对滑动绳与滑轮无相对滑动。求求: 物体的物体的加速度加速度及及绳中张力绳中张力。2-2 力矩与转动定律力矩与转动定律 442T 对对m1

7、有有对对 m2有有以以加速度方向为正方向加速度方向为正方向，列出两式列出两式设出各量如图所示。设出各量如图所示。【解】【解】分别对分别对m1,，m2， m 看运动、分析力，看运动、分析力， T1 - m1g = m1a -（1） m2g - T2= m2 a -（2）gm11Tagm22Ta1TR2-2 力矩与转动定律力矩与转动定律 45对滑轮对滑轮 m， 由转动方程得：由转动方程得：-（3） Raat - （4）联立式联立式(1)-(4)解得：解得：21221mRJRTRTM合外力矩2T1T Rmmmgmma212112222211211mmmgmmmagmT因为因为绳与轮无相对滑动绳与轮无

8、相对滑动，所以，所以2-2 力矩与转动定律力矩与转动定律 46222212122mmmgmmmagmT讨论讨论 当当不计滑轮质量不计滑轮质量时时: m = 0，gmmmma1212 由上式得：由上式得：gmmmmTT2121212 （与中学作过的一致！）（与中学作过的一致！）21TT2-2 力矩与转动定律力矩与转动定律 47补例补例 已知：如图，已知：如图，R=0.2m，m=1kg，vo=o，h=1.5m，匀加速匀加速下落时间下落时间 t =3s, 、绳与轮无相对绳与轮无相对滑动滑动，轴光滑轴光滑。求：轮对转轴的求：轮对转轴的转动惯量转动惯量J=？定轴定轴0Rthmv0= 0绳绳设出各量如图所

9、示。设出各量如图所示。【解】【解】分别对物体分别对物体m 和轮和轮 看运动、分析力，看运动、分析力，RmamgTT2-2 力矩与转动定律力矩与转动定律 48（1）221tahRaat2212mRhgtJ）（JTRM合外力矩maTgmRmgmTTa （2）（3）（4）联立式联立式(1),(2),(3),(4)(1),(2),(3),(4)解得解得转动惯量转动惯量：对滑轮对滑轮 m，由转动方程得由转动方程得对物体对物体 m，由牛由牛2方程得方程得2-2 力矩与转动定律力矩与转动定律因为因为绳与轮无相对滑动绳与轮无相对滑动，所以，所以 m由静止出发作由静止出发作匀加速运动匀加速运动，下落的距离为，下

10、落的距离为 49 补例补例. 质量为质量为 物体物体 A 静止在光滑水平面上，和一质静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质量为、质量为 的圆柱形滑轮的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为，并系在另一质量为 的物体的物体 B 上。上。滑轮与绳索间没有滑动滑轮与绳索间没有滑动， 且滑轮与轴承间的且滑轮与轴承间的摩擦力可略摩擦力可略去不计去不计。求：求：（1） 两物体的线两物体的线加速度加速度为多少？为多少？ 水平和水平和竖直两段绳索的竖直两段绳索的张力张力各为多少？（各为多少？（2） 物体物体 B 从静止落从静止落下距离下距离 时，其

11、时，其速率速率是多少？是多少？BmCmyAmABCAmBmCm2-2 力矩与转动定律力矩与转动定律 501FAmagmBBmamFA1amFgmB2BJRFRFM12合外力矩Ra 解：解：（1）隔离物体分别）隔离物体分别对物体对物体A、B 及滑轮作受及滑轮作受力分析。力分析。 2F1F对对mA , mB , 由牛顿定律由牛顿定律得得对对mC , 由转动定律由转动定律得得（1）（2）（4）（3）2-2 力矩与转动定律力矩与转动定律因为因为绳与轮无相对滑动绳与轮无相对滑动，所以，所以2FaRR 512CBABmmmgma2CBABA1mmmgmmF2)2(CBABCA2mmmgmmmF如如轮质量为

12、零轮质量为零 ，可得，可得0CmBABA21mmgmmFF(2) B由静止出发作由静止出发作匀加速运动匀加速运动，下落的速率，下落的速率2/22CBABmmmgymayv联立式联立式(1),(2),(3),(4)(1),(2),(3),(4)解得：解得：2-2 力矩与转动定律力矩与转动定律 52哪种握法哪种握法转动惯量转动惯量大？大？2-2 力矩与转动定律力矩与转动定律思考题思考题3 53第第4次作业（次作业（第第2章作业）章作业） P.17一一 选择题选择题 1, 2, 5，6，72填空题填空题 3, 4, 5, 7, 9教材教材一、分析题一、分析题1，2, 3，4三、综合题三、综合题2，3

13、，5，6 54目录目录2-1 转动的描述转动的描述2-2 力矩与转动定律力矩与转动定律 2-3 角动量与角动量守恒定律角动量与角动量守恒定律 2-4 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理2-5 工程中的刚体转动工程中的刚体转动 552-3 角动量与角动量守恒定律角动量与角动量守恒定律众所周知，一个恒星系中，行星会绕恒星做椭圆轨道运众所周知，一个恒星系中，行星会绕恒星做椭圆轨道运动，地球也因太阳的万有引力存在于太阳系中。芭蕾舞动，地球也因太阳的万有引力存在于太阳系中。芭蕾舞演员通过展示各种优美的动作，使人们心旷神怡。在星演员通过展示各种优美的动作，使人们心旷神怡。在星系与芭蕾舞演员之

14、间似乎很难看得出有什么联系，事实系与芭蕾舞演员之间似乎很难看得出有什么联系，事实上两者的运动都遵从相同的物理规律。上两者的运动都遵从相同的物理规律。 562-3 角动量与角动量守恒定律角动量与角动量守恒定律为什么行星总能保持同样的运动轨道、并总能在轨为什么行星总能保持同样的运动轨道、并总能在轨道上的某一点按时出现呢？道上的某一点按时出现呢？芭蕾舞演员又是怎样做到动作变换的？两者存在着芭蕾舞演员又是怎样做到动作变换的？两者存在着怎样的联系呢？怎样的联系呢？ 57力在时间上的积累力在时间上的积累效应效应：平动平动冲量冲量动量的改变动量的改变转动转动冲量矩冲量矩角动量的改变角动量的改变 力力的时间累

15、积效应的时间累积效应 冲量、动量、动量定理。冲量、动量、动量定理。 力矩力矩的时间累积效应的时间累积效应 冲量矩、角动量、冲量矩、角动量、角动量定理。角动量定理。2-3 角动量与角动量守恒定律角动量与角动量守恒定律一、角动量一、角动量1、质点的角动量、质点的角动量 58v)vrmprL(vrLLrpmo例如质点以角速度例如质点以角速度 作半作半径为径为 的圆运动，的圆运动，对圆心对圆心的角动量为的角动量为rJmrL2Lrxyzom 质量为质量为 的质点以速度的质点以速度 在空间运动，某时刻在空间运动，某时刻对原对原点点 O 的位矢的位矢为为 ，质点，质点对对于原点于原点O的角动量的角动量为为m

16、rvsinvrmL 大小大小 的的方向符合右手方向符合右手法则法则。L2-3 角动量与角动量守恒定律角动量与角动量守恒定律 592、刚体的角动量、刚体的角动量刚体是刚体是特殊质点系特殊质点系，根据，根据质点的角动量定义得质点的角动量定义得刚体刚体绕定轴转动的角动量为质绕定轴转动的角动量为质点系的角动量的和点系的角动量的和，即，即2-3 角动量与角动量守恒定律角动量与角动量守恒定律OirimivziiiiiiirmrmL)(2vJL 角动量角动量方向方向垂直垂直圆面，圆面，不变。不变。质点的同一运动，质点的同一运动，对不同的点的角动量不同对不同的点的角动量不同！ 60?dd,ddtLFtpptr

17、tprprttLdddd)(ddddtLMdd合外力矩作用于质点的作用于质点的合力对参考点合力对参考点 O 的力矩的力矩 ，等于，等于质点对质点对该点该点 O 的的角动量角动量随时间的变化随时间的变化率率。MFrtprtLdddd0,ddptrvv1、质点的角动量定理、质点的角动量定理prL二、角动量定理二、角动量定理2-3 角动量与角动量守恒定律角动量与角动量守恒定律 61冲量矩冲量矩：tMttd21合外力矩质点的角动量定理：质点的角动量定理：对对参考点参考点 O ，质点所受的，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增加量冲量矩等于质点角动量的增加量。LLLtMtt12d21合外力矩tLMdd合外

18、力矩LdtMd合外力矩合外力矩对时间积分合外力矩对时间积分2、刚体的角动量定理、刚体的角动量定理2-3 角动量与角动量守恒定律角动量与角动量守恒定律积分积分 62将质点的角动量定理推广到刚体上得将质点的角动量定理推广到刚体上得刚体定轴刚体定轴转动的角动量定理为转动的角动量定理为LLLJJtMtt121221d合外力矩非刚体定轴非刚体定轴转动的角动量定理为转动的角动量定理为LLLJJtMtt12112221d合外力矩tJtLMd)(ddd合外力矩2-3 角动量与角动量守恒定律角动量与角动量守恒定律非刚体的角动量定理：非刚体的角动量定理：非刚体所受的非刚体所受的冲量矩等冲量矩等于非刚体角动量的增加

19、量于非刚体角动量的增加量。积分积分 63质点所受对质点所受对参考点参考点 O 的合外力矩为零时的合外力矩为零时，质点，质点对对该参考点该参考点 O 的角动量为一恒矢量的角动量为一恒矢量。 恒矢量21LL三、角动量守恒定律三、角动量守恒定律1、质点的角动量守恒定律、质点的角动量守恒定律2、刚体和非刚体的角动量守恒定律、刚体和非刚体的角动量守恒定律质点的角动量定理为质点的角动量定理为0合外力矩M当当合力矩为零合力矩为零 时时，有，有2-3 角动量与角动量守恒定律角动量与角动量守恒定律LLLtMtt12d21合外力矩 64非刚体非刚体受受合外力矩为零时合外力矩为零时, 非刚体非刚体的角动量为恒量的角

20、动量为恒量。 恒量21LL非刚体非刚体的角动量定理为的角动量定理为0合外力矩M当当合外力矩为零合外力矩为零 时时，有，有1122JJ或或2-3 角动量与角动量守恒定律角动量与角动量守恒定律 尽管角动量守恒定律是由刚体转动得出的，但也可以推尽管角动量守恒定律是由刚体转动得出的，但也可以推广到广到非刚体非刚体的情况。当非刚体的情况。当非刚体受合外力矩为零时受合外力矩为零时，非刚体非刚体的角动量守恒的角动量守恒。人是典型的非刚体，当人旋转时，通过变。人是典型的非刚体，当人旋转时，通过变化自己的动作，来化自己的动作，来改变人体的转动惯量改变人体的转动惯量，进而达到变化进而达到变化旋旋转速度转速度的目的

21、，这是利用的目的，这是利用角动量守恒定律角动量守恒定律。 LLLJJtMtt12112221d合外力矩 652-3 角动量与角动量守恒定律角动量与角动量守恒定律芭蕾舞蹈演员跳舞时，他或她张开两臂，并绕通过足尖的垂直芭蕾舞蹈演员跳舞时，他或她张开两臂，并绕通过足尖的垂直转轴以旋转，当迅速把转轴以旋转，当迅速把两臂和腿向内收拢两臂和腿向内收拢，这时由于，这时由于转动惯量转动惯量变小变小，演员的，演员的角速度会增大角速度会增大，因而快速旋转，表演出优美的旋，因而快速旋转，表演出优美的旋转动作。再如跳水运动员进行高台跳水比赛时，运动员在空中转动作。再如跳水运动员进行高台跳水比赛时，运动员在空中蜷缩身体

22、，蜷缩身体，使人体转动惯量变小使人体转动惯量变小，导致他在空中的，导致他在空中的翻转加速翻转加速，有尽可能多的时间调整姿态和节奏，而当运动员快入水时，他有尽可能多的时间调整姿态和节奏，而当运动员快入水时，他则舒展身体，则舒展身体，增加自身的转动惯量增加自身的转动惯量，尽量停止翻转使身体能垂，尽量停止翻转使身体能垂直入水。直入水。 66例例4 4. . 彗星绕太阳作椭圆轨道运动，太阳位于椭彗星绕太阳作椭圆轨道运动，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上。圆轨道的一个焦点上。问：（问：（1 1）系统的角动量系统的角动量是否守恒？（是否守恒？（2 2）近日点与远日点的速度谁大？）近日点与远日点的速度谁大？太阳

23、彗星解解：在彗星绕太阳轨道运转过程中，只受万有引：在彗星绕太阳轨道运转过程中，只受万有引力作用，力作用，万有引力不产生外力矩万有引力不产生外力矩，系统角动量守系统角动量守恒恒。2-3 角动量与角动量守恒定律角动量与角动量守恒定律引F F0合外力矩MBALL 67太阳彗星ArBrAv vBv v近日点近日点远日点远日点AB0合外力矩M引F FBALL由质点的角动量定义得：由质点的角动量定义得：BBBAAAmvrmvrsinsin90BABBAAvrvr即即常量rvrv12-3 角动量与角动量守恒定律角动量与角动量守恒定律 68补例补例 已知人造地球卫星的已知人造地球卫星的近地点近地点和和远地点远

24、地点的的高度分别高度分别为为h1和和h2。求此卫星的近地点和远地点的速度求此卫星的近地点和远地点的速度v1， v2。Rh2h1v2=?v1=?解：解： 有有能量能量，角动量（对地心）守恒：角动量（对地心）守恒：2221212121hRGmMmvhRGmMmvee 2211)()(mvhRmvhR 两方程联立可解出：两方程联立可解出：;)2)(221121hhRhRhRGMve 1212vhRhRv 2-3 角动量与角动量守恒定律角动量与角动量守恒定律 69补例补例 一长为一长为l 的的轻质杆轻质杆端部固结一端部固结一小球小球m1，另，另一一小球小球m2以水平速度以水平速度v0碰杆中部并与杆碰杆

25、中部并与杆粘合粘合。碰撞时碰撞时重力和轴力都通过转轴重力和轴力都通过转轴O，2222102lmlllmml vlmmm021242v 解：解： 选（选（m1+ m2+杆）为系统杆）为系统求：碰撞后杆的角速度求：碰撞后杆的角速度。对对O 合外力矩为零合外力矩为零, 故角动量守恒故角动量守恒。lm1Ov0m2 解得：解得：思考思考 （m1m2 ）的水平）的水平动量是否守恒动量是否守恒？有有存在水平轴力存在水平轴力 由结果验算！由结果验算！2-3 角动量与角动量守恒定律角动量与角动量守恒定律 70补例补例 转盘上站立一人，沿边缘行走一周。转盘上站立一人，沿边缘行走一周。求求: 转转盘转过的角度盘转过

26、的角度。解解 ：系统：人转盘。系统：人转盘。对转轴的合外对转轴的合外力矩为零力矩为零，对，对地的地的转轴转轴Z的的角动量守恒：角动量守恒：02122MRmR 解得解得 22221MRmRmRtdt0 相对运动相对运动角速度变换角速度变换： 222220MmmdtMmmt mMRz,2-3 角动量与角动量守恒定律角动量与角动量守恒定律盘地人盘人地地地 71目录目录2-1 转动的描述转动的描述2-2 力矩与转动定律力矩与转动定律 2-3 角动量与角动量守恒定律角动量与角动量守恒定律 2-4 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理2-5 工程中的刚体转动工程中的刚体转动 72力力的的空间累

27、积效应空间累积效应 力对位移力对位移积分积分 力矩作功、转动动能、转动动能定理、力矩作功、转动动能、转动动能定理、机械能守恒。机械能守恒。力作功、力作功、 动能、动能、 动能定理、机械能守恒。动能定理、机械能守恒。力矩力矩的的空间累积效应空间累积效应 力力矩矩对角位移对角位移积分积分 2-4 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理 73MdrFsFrFWddddtt一、力矩作功一、力矩作功 orvFxvFoxrtFrdd微小位移微小位移 ，力作元功力作元功为：为：d合外力矩MdW 刚体从角坐标刚体从角坐标 转到转到 ，力作功力作功为：为： 122121ddW合外力矩MWrdddrs

28、2-4 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理 74上式称为上式称为外力矩作的功外力矩作的功。合外力矩合外力矩MtMtWPdddd二、力矩的功率二、力矩的功率orvFxvFoxrtFrdd上式称为上式称为外力矩的功率外力矩的功率。2-4 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理三、转动动能三、转动动能 75211)(21iininikikrmEE四、刚体转动的动能定理四、刚体转动的动能定理212)(21niiirm221JEk刚体的刚体的转动动能等于转动动能等于n个质点个质点动能之和动能之和为：为：Oirimivz刚体由刚体由n个质点构成，个质点构成，各质点做圆周运动。各质点

29、做圆周运动。任意任意质点质点i的动能的动能为为22)2121i(rviiikimmEniiirmJ12转动转动惯量惯量2-4 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理 76)21(212122122JJJW合外力矩刚体转动的动能定理：刚体转动的动能定理：合外力合外力矩矩对刚体对刚体作功等于刚体转动动作功等于刚体转动动能的增加量能的增加量。21222121dddddd21212121JJJtJJMW合外力矩合外力矩Oirimivz刚体从角坐标刚体从角坐标 转到转到 ，力作功力作功为：为： 12五、刚体定轴转动的机械能守恒定律五、刚体定轴转动的机械能守恒定律刚体由刚体由n个质点构成。个质点

30、构成。任意任意质点质点i的的重力势能重力势能为为2-4 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理 77刚体的刚体的重力势能重力势能等于等于n个质点个质点重力势能重力势能之和之和为：为：niiiniighmEE11pp hc-质心的高度质心的高度刚体是特殊质点系刚体是特殊质点系，根据，根据一般一般质点系的功能原理：质点系的功能原理：若若W外力外力+W非保守内力非保守内力=0，则，则 Ek+Ep=常量常量。-刚体的刚体的机械能守恒定律机械能守恒定律cpmghECiiimghmhmmgW外力外力+W非保守内力非保守内力=（Ek2+Ep2）（Ek1+Ep1）mimchihciiighmEp2-

31、4 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理 78只有重力产生力矩，且重只有重力产生力矩，且重力矩随摆角变化而变化。力矩随摆角变化而变化。重力矩作功为：重力矩作功为：900dMW合外力矩重900cos2dlmgmgl21g gmolm,解：解：以杆为研究对象，以杆为研究对象，例例5 5 一细杆质量为一细杆质量为m，长度为，长度为l，一端固定在轴上，静止从水平位置一端固定在轴上，静止从水平位置摆下。摆下。求细杆摆到铅直位置时的角求细杆摆到铅直位置时的角速度速度。2-4 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理 79始末两态动能：始末两态动能： 212JEk由动能定理：由动能定理：

32、0kkEEW021212Jmgl231mlJ22)31(2121mlmgllg30 0kE, ,g gmolm,本题可用机械能守恒定律计算本题可用机械能守恒定律计算2-4 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理得：得： 80vovoompTR圆圆锥锥摆摆子子弹弹击击入入杆杆ov子弹和杆为系统子弹和杆为系统机械能不守恒机械能不守恒。角动量守恒角动量守恒；动量不守恒动量不守恒；子弹和沙袋为系统子弹和沙袋为系统动量守恒动量守恒；角动量守恒角动量守恒；机械能不守恒机械能不守恒。圆锥摆系统圆锥摆系统动量不守恒动量不守恒；角动量守恒角动量守恒；机械能守恒机械能守恒。子子弹弹击击入入沙沙袋袋细细绳

33、绳质质量量不不计计2-4 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理补例：补例： 81补例补例 一长为一长为 l , 质量为质量为 的竿可绕支点的竿可绕支点O自由转动。自由转动。一质量为一质量为 、速率为、速率为 的子弹射入竿内距支点为的子弹射入竿内距支点为 处，处，使竿的偏转角为使竿的偏转角为30。求子弹的初速率为多少求子弹的初速率为多少 ?vamm解：系统：子弹解：系统：子弹+竿竿。子弹射入竿的。子弹射入竿的瞬间瞬间，合外合外力矩为零力矩为零，系统角动量守恒系统角动量守恒。)31(22malmamvoamv302233malmamv解得解得2-4 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转

34、动的动能定理 82oamv30mamalmmalmg6)3)(2)(32(22v222)31(21malm)30cos1 (2lgm)30cos1 (mga射入竿后，射入竿后，系统为子弹系统为子弹、细杆和细杆和地球地球 。只有重力作功只有重力作功，机械能守机械能守恒恒：2233malmamv解得解得2-4 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理 83目录目录2-1 转动的描述转动的描述2-2 力矩与转动定律力矩与转动定律 2-3 角动量与角动量守恒定律角动量与角动量守恒定律 2-4 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理2-5 工程中的刚体转动工程中的刚体转动 842-5

35、工程中的刚体转动工程中的刚体转动一、航天器的方向控制器一、航天器的方向控制器旅行者旅行者2号（号（Voyager 2）是是美国国家航空航天局美国国家航空航天局在在1977年年8月月20日发射的无人日发射的无人星际太空船，星际太空船，1981年它通过年它通过土星的引力区域后加速飞往土星的引力区域后加速飞往天王星和海王星，之后以约天王星和海王星，之后以约15.493公里公里/秒的速度离开秒的速度离开太阳系太阳系.对旅行者对旅行者2号的观测中发现，在号的观测中发现，在1986年它经过天王星时，船身不年它经过天王星时，船身不时地发生转动，使飞船的运动轨迹出现一定的偏离，科学家们时地发生转动，使飞船的运

36、动轨迹出现一定的偏离，科学家们觉得很奇怪，这是什么原因导致的呢？觉得很奇怪，这是什么原因导致的呢？ 852-5 工程中的刚体转动工程中的刚体转动 研究发现，飞船的异常转动与飞船中的打印机高速旋转有研究发现，飞船的异常转动与飞船中的打印机高速旋转有关。如果将飞船船体和打印机视为一个系统，该系统几乎不关。如果将飞船船体和打印机视为一个系统，该系统几乎不受外力矩的作用，系统角动量守恒，在打印机工作时打印机受外力矩的作用，系统角动量守恒，在打印机工作时打印机磁鼓快速转动，打印机产生一个角动量的增量，飞船就会自磁鼓快速转动，打印机产生一个角动量的增量，飞船就会自动向打印机磁鼓转动的反方向转动，以保持整个

37、系统的角动动向打印机磁鼓转动的反方向转动，以保持整个系统的角动量不变。量不变。 根据旅行者根据旅行者2号飞船异常转动的分析，使科学家意识到可号飞船异常转动的分析，使科学家意识到可以利用类似的原理来控制飞船的行驶方向，于是制造出了飞船以利用类似的原理来控制飞船的行驶方向，于是制造出了飞船的方向控制器。的方向控制器。 86飞飞轮轮x如图示为固定地装有一个如图示为固定地装有一个飞轮飞轮的宇宙飞船的宇宙飞船2-5 工程中的刚体转动工程中的刚体转动x方向控制器的核心部件是方向控制器的核心部件是一个可以一个可以旋转的飞轮旋转的飞轮。若。若人们需要将人们需要将飞船运动方向飞船运动方向向逆时针方向调整角度向逆

38、时针方向调整角度 ，即即从方向从方向 转向方向转向方向 ，就启动方向控制器中的就启动方向控制器中的飞飞轮轮，并使其，并使其沿顺时针旋转沿顺时针旋转。 因为因为系统角动量守恒系统角动量守恒，飞船船体将，飞船船体将向逆时针方向转动向逆时针方向转动，当当飞船转过飞船转过 后，再停止方向控制器中飞轮转动，这后，再停止方向控制器中飞轮转动，这样就实现了改变飞船前进方向的目的。样就实现了改变飞船前进方向的目的。xxx 872-5 工程中的刚体转动工程中的刚体转动假设假设飞轮的转动惯量飞轮的转动惯量为为 AJ飞船（除开飞轮）的转动惯量飞船（除开飞轮）的转动惯量为为 BJ飞船正常飞行时，飞船正常飞行时，系统中

39、不存在转动系统中不存在转动，则，则飞船系统飞船系统的总角动量为零的总角动量为零。 当当飞轮顺时针旋转转动飞轮顺时针旋转转动，而飞船船体将，而飞船船体将逆时针方向转逆时针方向转动动时，时，系统的角动量系统的角动量为为BABBLJJ宇宙飞船宇宙飞船+飞轮形成一个孤立系统飞轮形成一个孤立系统角动量守恒角动量守恒0BABBJJABABJJABABJJ 882-5 工程中的刚体转动工程中的刚体转动上式为飞船调整的角度上式为飞船调整的角度 与方向控制器中飞轮与方向控制器中飞轮需要旋转的角度需要旋转的角度 的关系，由此可以精确地控的关系，由此可以精确地控制飞船的方向。制飞船的方向。 AB 89 水库大坝水库

40、大坝一般一般都被设计为储水面都被设计为储水面陡峭、背水面平缓陡峭、背水面平缓的的梯形梯形形状。当然形状。当然在实际设计过程中，在实际设计过程中，因为具体情况，各因为具体情况，各个大坝的梯度不尽个大坝的梯度不尽相同，工程师这样相同，工程师这样设计大坝的设计大坝的目的和目的和原因原因是什么呢？是什么呢？ 2-5 工程中的刚体转动工程中的刚体转动二、水库大坝的设计二、水库大坝的设计 902-5 工程中的刚体转动工程中的刚体转动工程师的主要目的有四个：（工程师的主要目的有四个：（1）水库大坝的形状要最）水库大坝的形状要最有利于大坝的稳定，（有利于大坝的稳定，（2）保证大坝对蓄水的压力有足）保证大坝对蓄

41、水的压力有足够的承受能力，（够的承受能力，（3）在保证大坝性能的前提下，节约）在保证大坝性能的前提下，节约大坝修建成本，（大坝修建成本，（4）在同样建设成本下，尽可能增加）在同样建设成本下，尽可能增加储水空间。储水空间。 912-5 工程中的刚体转动工程中的刚体转动水库中蓄的水会对大水库中蓄的水会对大坝储水面产生坝储水面产生强大的强大的压力压力 , 的的力矩使力矩使大坝出现向右倾斜的大坝出现向右倾斜的趋势趋势，大坝可能的，大坝可能的转转轴为大坝背水面的底轴为大坝背水面的底线线 。FFMN如果大坝发生如果大坝发生倾斜倾斜，大坝的，大坝的重力也会产生力矩重力也会产生力矩，并与，并与该该力矩方向相反力矩方向相反，于是大坝自己具有了，于是大坝自己具有了抗倾斜的能力抗倾斜的能力 。这种横截面设