第4章 41 42 比热的声子模型

1、第四章第四章 晶格振动和固体热性质晶格振动和固体热性质 第二章第二章 化学键和晶体形成化学键和晶体形成第一章第一章 绪论绪论第三章第三章 固体结构和固体结构和X X射线衍射线衍射射第五章第五章 固体电子理论固体电子理论第六章第六章 晶体中电子的输运性质晶体中电子的输运性质第七章第七章 晶体中的缺陷与扩散晶体中的缺陷与扩散本章主要内容：本章主要内容： 基于声子模型，解释固体的热、声性质基于声子模型，解释固体的热、声性质4.2 4.2 爱因斯坦声子模型爱因斯坦声子模型4.3 4.3 德拜声子模型德拜声子模型4.3 4.3 晶格动力学晶格动力学4.4 4.4 声子能谱的中子衍射测定声子能谱的中子衍射

2、测定4.5 4.5 热膨胀和热传导热膨胀和热传导略略4.1 4.1 热现象与热物理发展热现象与热物理发展4.1 4.1 热现象与热物理发展热现象与热物理发展 古希腊的四元素说古希腊的四元素说 伽利略、托里切利：测定温度的温度计伽利略、托里切利：测定温度的温度计 18401840年，年，焦耳定律焦耳定律：P=IP=I2 2R R；18471847年，热功当量系年，热功当量系数：数：1 cal=4.18J1 cal=4.18J 热力学第一定律热力学第一定律：能量守恒：能量守恒 热力学第二定律热力学第二定律：热永远都只能由热处转到冷处，：热永远都只能由热处转到冷处，为物理现象设定了时间箭头。为物理现

3、象设定了时间箭头。 玻耳兹曼统计热物理：玻耳兹曼统计热物理：建立了宏观物理量建立了宏观物理量- -熵与微熵与微观状态的几率之间的联系。观状态的几率之间的联系。 量子物理：量子物理：普朗克提出电磁波的能量必须以普朗克提出电磁波的能量必须以h h 为量子，用为量子，用玻耳兹曼统计原理玻耳兹曼统计原理统一了黑体辐射公式。统一了黑体辐射公式。 19071907年，根据普朗克的辐射振子统计的年，根据普朗克的辐射振子统计的爱因斯坦声子模型爱因斯坦声子模型，定量解释了固体比热容与温度的关系。定量解释了固体比热容与温度的关系。 19111911年，修正了爱因斯坦声子模型的年，修正了爱因斯坦声子模型的德拜模型德

4、拜模型，弥补其在，弥补其在低温情形的不足。得到极低温下固体比热容的低温情形的不足。得到极低温下固体比热容的T T3 3定律（能定律（能斯特低温试验证实）斯特低温试验证实） 声学方面，声学方面，1912-19131912-1913年，波恩、冯年，波恩、冯. .卡门用卡门用分析力学分析力学推导推导计算了固体原子的色散关系计算了固体原子的色散关系- -声子能谱；声子能谱； 19511951年，布洛克豪斯的年，布洛克豪斯的中子非弹性衍射实验中子非弹性衍射实验可测声子能谱。可测声子能谱。理论解释：有波恩、黄昆的理论解释：有波恩、黄昆的晶格动力学晶格动力学。4.2 4.2 晶体比热规律的经典理论和量子理论

5、解释晶体比热规律的经典理论和量子理论解释4.2.1 4.2.1 定容比热的定容比热的定义：定义：VVTEC E-晶体的平均内能晶体的平均内能eVaVVCCC 晶格振动比热晶格振动比热晶体电子比热晶体电子比热aVVCC e通常情况下，通常情况下， 本节本节只讨论晶格振动比热只讨论晶格振动比热。晶体比热的实验规律晶体比热的实验规律 (1) (1)在高温时，晶体的比热为在高温时，晶体的比热为3 3NkNkB B( (N N为晶体中原子的个数为晶体中原子的个数) ) (2) (2)在低温时，晶体的比热按在低温时，晶体的比热按T T3 3趋于零。趋于零。玻尔兹曼常玻尔兹曼常数数k kB B=1.38=1

6、.38 1010-23-23J J K K-1-14.2.2 4.2.2 杜隆杜隆- -珀替定律珀替定律 根据能量均分定理，每一个自由度的平均能量是根据能量均分定理，每一个自由度的平均能量是k kB BT T, ,若晶若晶体有体有N N个原子，则总自由度为：个原子，则总自由度为：3 3N N。 故故TNkEB3 VVTEC B3Nk 但是，低温时经典理论不再适用。金刚石、石墨晶体室温但是，低温时经典理论不再适用。金刚石、石墨晶体室温时的比热容也与预测不符合。时的比热容也与预测不符合。 1820 1820年，杜隆年，杜隆- -珀替预测比热是一个珀替预测比热是一个与温度无关的常数与温度无关的常数5

7、.96 cal/(mol5.96 cal/(molK)K)。经典理论用气体分子运动论进行解释：经典理论用气体分子运动论进行解释：4.2.3 4.2.3 晶格振动的量子理论解释晶格振动的量子理论解释 晶格振动的量子理论，可以很好地解释低晶格振动的量子理论，可以很好地解释低温时的固体比热容问题。其简化模型有温时的固体比热容问题。其简化模型有爱因斯爱因斯坦模型和德拜模型。坦模型和德拜模型。爱因斯坦模型：爱因斯坦模型：假定所有振动模频率相等，声假定所有振动模频率相等，声子能量分立，可定性解释低温比热趋近于零的子能量分立，可定性解释低温比热趋近于零的问题，但定量上不正确；问题，但定量上不正确；德拜模型：

8、德拜模型：以连续介质中的弹性波代替晶体中以连续介质中的弹性波代替晶体中的格波，在低温下很好地解释实验给出的的格波，在低温下很好地解释实验给出的T T3 3规规律。律。 晶格晶格振动振动格波格波简谐简谐近似近似独立的振动独立的振动模式模式由玻恩由玻恩- -卡门卡门边界条件边界条件分立分立值值声子声子晶格振动能量晶格振动能量量子化量子化受普朗克对能量量子化的启发，爱因斯坦首先对原子振动的受普朗克对能量量子化的启发，爱因斯坦首先对原子振动的能量进行量子化，得到准粒子能量进行量子化，得到准粒子-声子。声子。晶格振动的能量量子晶格振动的能量量子-声子。声子。 声子声子不是真实的粒子，称为不是真实的粒子，

9、称为“准粒子准粒子”，它反映的是晶格原，它反映的是晶格原子集体运动状态的激发单元。子集体运动状态的激发单元。1.1.声子是晶格振动的能量量子，其能量为声子是晶格振动的能量量子，其能量为： 2. 2.一个格波一个格波( (一种振动模式一种振动模式) )，称为一种声子，称为一种声子( (一个一个 就是一就是一种声子种声子) )，当这种振动模式处于，当这种振动模式处于 本征态时，称为本征态时，称为有有n ni i个声子，个声子，n ni i为这种声子的声子数为这种声子的声子数。iin 21 3. 3.由于晶体中可以激发任意个相同声子，由于晶体中可以激发任意个相同声子，声子遵循玻色统计声子遵循玻色统计

10、（针对整数自旋基本粒子的量子统计）。（针对整数自旋基本粒子的量子统计）。1e1B Tkiin 声子遵循的规则如下：声子遵循的规则如下： 4. 4.电子电子( (或光子或光子) )与晶格振动相互作用时，交换能量以与晶格振动相互作用时，交换能量以 为单位为单位，若电子从晶格获得，若电子从晶格获得 能量，称为吸收一个声子，能量，称为吸收一个声子，若电子给晶格若电子给晶格 能量，称为发射一个声子。能量，称为发射一个声子。 5.5.在简谐近似下，声子间无相互作用在简谐近似下，声子间无相互作用。而非简谐作用可以而非简谐作用可以引入声子间的相互碰撞，保证了声子气体能够达到热平衡状引入声子间的相互碰撞，保证了

11、声子气体能够达到热平衡状态。态。 1905年的5篇论文：u 关于分子运动论分子运动论（布朗运动）的研究（博士论文）。u 提出光子光子概念u 狭义相对论狭义相对论：分别引入力学和电磁学必须遵从的极限速度c，和提出质能关系E=mc2，解释辐射能量来源。 1907年，提出声子声子概念来解释比热容，获得1921年诺贝尔物理学奖。 1912年，提出光化学基本定律光化学基本定律。 1913-1916年，发展了广义相对论广义相对论（物质引起空间曲率变化，引力将对空间形状和时间流动产生影响） 1917年，从宇宙静态模型到“新宇宙学新宇宙学”宇宙大爆炸理论。 1917年，提出自发辐射以外，还有受激发射受激发射激

12、光的基础理论。4.3 4.3 爱因斯坦声子模型爱因斯坦声子模型爱因斯坦的贡献爱因斯坦的贡献(1)(1)晶体中原子振动的能量是相互独立的，所有原子都具晶体中原子振动的能量是相互独立的，所有原子都具有同一频率有同一频率 ，E=nE=nh h ；(2)(2)系统服从基本统计物理原理系统服从基本统计物理原理- -玻耳兹曼原理。玻耳兹曼原理。1.模型模型1907年，根据普朗克的热辐射振子统计和光子概念，年，根据普朗克的热辐射振子统计和光子概念，爱因爱因斯坦提出声子模型斯坦提出声子模型，定量解释了固体比热容与温度的关系。，定量解释了固体比热容与温度的关系。爱因斯坦声子模型爱因斯坦声子模型 晶体可以看成是一

13、个热力学系统，在简谐近似下，晶格中晶体可以看成是一个热力学系统，在简谐近似下，晶格中原子的热振动可以看成是相互独立的简谐振动。原子的热振动可以看成是相互独立的简谐振动。据量子力学，据量子力学，每个谐振子的能量都是量子化的。每个谐振子的能量都是量子化的。iiinE 21第第i i个谐振子的个谐振子的能量为：能量为： 其中，其中，n ni i是是频率为频率为 i i的谐振子的平均声子数，符合的谐振子的平均声子数，符合玻色玻色- -爱因斯坦统计爱因斯坦统计规律：规律：1e1B Tkiin iTkiiiE 211eB 第第i i个谐振子的个谐振子的能量为：能量为：2.计算 由由N N个原子组成的晶体中

14、包含个原子组成的晶体中包含3 3N N个简谐振动，总振动能为个简谐振动，总振动能为 211e3BTkN NiiinE3121 （4-4）2B2B1ee3BB TkNkTkTk TECV TkfNkBB3根据固体比热容的定义：根据固体比热容的定义： 通常用通常用爱因斯坦温度爱因斯坦温度 E代替频率代替频率 ，定义为，定义为 E= /kB ，22E1ee3EETTBVTNkC其中，爱因斯坦比热函数：其中，爱因斯坦比热函数：爱因斯坦温度爱因斯坦温度 E如何确定呢？如何确定呢？ 选取合适的选取合适的 E值，可使得在比热显著改变的温度范围内，值，可使得在比热显著改变的温度范围内，理论曲线与试验数据符合得

15、相当好。理论曲线与试验数据符合得相当好。对于大多数固体材料，对于大多数固体材料， E在在100300k的范围内。的范围内。（4-5）221ee)(TTfETTEEE22EE1eeEE TTTTf 12212EE2E TTT 高温情况，当高温情况，当T E时，时，(1)2222EEEEEeeee TTTTT ! 3! 21e32xxxx2EE2E)21()21(1 TTT 3.高、低温极限讨论B3NkCV因此因此 杜隆杜隆-珀替定律珀替定律（4-6）TTTTTTfEEEe1ee2E22EE(2) 低温情况，当低温情况，当T D时，时，x11 xxTTfTxxd1ee34023DDD xxTTxxdee13402223DD 3.高低温极限情况讨论1d22134023DDxxxxTT ! 3! 21e32x