第三章材料力学 河南理工大学龚建

1、第三章第三章 扭扭 转转3-1 扭转的概念扭转的概念一、扭转的概念及实例一、扭转的概念及实例汽车的转向操纵杆汽车的转向操纵杆丝锥、电动机轴丝锥、电动机轴Tm Tm扭矩扭矩3-3 外力偶矩的计算，扭矩及扭矩图外力偶矩的计算，扭矩及扭矩图 设某轮所传递的功率是设某轮所传递的功率是p kW，轴的转速是，轴的转速是 n rpm功：的功率相当于每分钟作kW p1)( 601000=pW外力偶矩 所作的功：mWmn =2 2)(nmp 2=601000 (2)=1)(得kW9554rpmN mppmnnmmNrpmPS7024mnpnpm例：例： 图示传动轴，主动轮图示传动轴，主动轮A输入功率输入功率pA

2、=50 马力，从动马力，从动轮轮B、C、D输出功率分别为输出功率分别为 pB=pC=15马力马力 ，ND=20马马力，轴的转速为力，轴的转速为n=300转转/分。作轴的扭矩图。分。作轴的扭矩图。rpm300=PS20 PS15 PS50nppppDCBA解：解：mN11703005070247024npmAAmN4683002070247024mN3513001570247024npmnpmmCDBCBTmB1351 N mT2702 N mTmD3468N mmmmmABCD1170351468N mN mN mT(N m)TTT123351702468 N mN mN m3-2 薄壁圆筒的

3、扭转实验薄壁圆筒的扭转实验一、薄壁圆筒的扭转应力分析一、薄壁圆筒的扭转应力分析 等厚度的薄壁圆筒等厚度的薄壁圆筒,平均半径为平均半径为 r,壁厚为壁厚为 tmm受扭前在其表面上用圆周线和纵向线画成方格,然后加载。观察到如下现象：观察到如下现象：(1) 纵向线倾斜了同一微小角度(2) 圆周线的形状、大小及圆周线之间的距离没有改变根据以上实验现象,可得结论： 圆筒横截面上没有正应力，只有剪应力。剪应力在截面上均匀分布，方向垂直于半径。mm剪应力在截面上均匀分布，方向垂直于半径TTrATAddAdArATAdrrtT 2Tr t22r根据精确的理论分析根据精确的理论分析,当当tr/10时时,上式的误

4、差不超过上式的误差不超过4.52%,是足够精确的。是足够精确的。二、剪应力互等定理二、剪应力互等定理dxtdy()()t yxt xydddd微元体微元体 单元体单元体剪应力互等定理剪应力互等定理 : 在相互垂直的两个平面上在相互垂直的两个平面上,剪应力一定成对剪应力一定成对出现，其数值相等，方向同时指向或背离两平面的交线。出现，其数值相等，方向同时指向或背离两平面的交线。三、剪切胡克定律三、剪切胡克定律G称为材料的剪切弹性模量。上式关系称为称为材料的剪切弹性模量。上式关系称为剪切胡克定律剪切胡克定律。 G 薄壁圆筒的实验薄壁圆筒的实验, 证实了剪应力与剪应变之间存在着象证实了剪应力与剪应变之

5、间存在着象拉压胡克定律类似的关系拉压胡克定律类似的关系, 即当剪应力不超过材料的剪切即当剪应力不超过材料的剪切比例极限比例极限p时时,剪应力与剪应变成正比剪应力与剪应变成正比GE2 1()对于各向同性材料对于各向同性材料,可以证明可以证明:E、G、 三个弹性常数三个弹性常数之间存在着如下关系之间存在着如下关系 剪切弹性模量剪切弹性模量G材料常数：拉压弹性模量材料常数：拉压弹性模量E 泊松比泊松比3-4 圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形一、圆轴扭转时横截面上的应力一、圆轴扭转时横截面上的应力 变形几何关系变形几何关系从三方面考虑：物理关系从三方面考虑：物理关系 静力学关系静力学关系1

6、.变形几何关系变形几何关系观察到下列现象观察到下列现象:(1)各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距离没有变化各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距离没有变化(2)纵向线仍近似为直线纵向线仍近似为直线, 但都倾斜了同一角度但都倾斜了同一角度平面假设：平面假设： 变形前为平面的横截面变形后仍为平面，它像刚性变形前为平面的横截面变形后仍为平面，它像刚性平面一样绕轴线旋转了一个角度。平面一样绕轴线旋转了一个角度。d ddx ddx在外表面上rxdd G剪应力方向垂直于半径剪应力方向垂直于半径2. 物理关系物理关系 GxdddAdAo AATdAGxATdddGxATAddd2令 IApA2d则ddx

7、TG IpIApA2d极惯性矩3.静力学关系静力学关系ddxTG Ip GxddmaxmaxTIp GTG IpTIpPTWmaxpPIW抗扭截面模量max pPTTIWmaxmaxdoIApA2dpPIW下面求极惯性矩 和抗扭截面模量 2022dd/2302dd/2244dd432maxpPIWIdp2d316IApA2d对于空心圆，外径为 ，内径为Dd 2222ddD/()Dd4432maxpPIWIDp2D34161 ()D44132()极惯性矩：实心圆：Idp432空心圆：IDdDp()()444432321抗扭截面模量：实心圆：316PdW空心圆：34(1)16PDWmaxPTWPT

8、IdAdAo AATdAGxATdddGxATAddd2令 IApA2d则ddxTG IpIApA2d极惯性矩3.静力学关系静力学关系二、圆轴扭转时的变形二、圆轴扭转时的变形dddxTGIpddTGIxpTGIxpld若，则TT lG IpconstAElFlN圆轴扭转时的强度条件和刚度条件圆轴扭转时的强度条件和刚度条件强度条件：max PTW刚度条件：dd xTGIp TGIp180 rad m/mmax316PTTdWT lG IT lGdp432例：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半时，横截面的最大例：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半时，横截面的最大剪应力是原来的剪应力是原来的 倍？圆

9、轴的扭转角是原来的倍？圆轴的扭转角是原来的 倍？倍？816例：内外径分别为例：内外径分别为20mm和和40mm的空心圆截面轴，受扭矩的空心圆截面轴，受扭矩T=1kNm作用，计算横截面上作用，计算横截面上A点的剪应力及横截面上的点的剪应力及横截面上的最大和最小剪应力。最大和最小剪应力。解：解：AApTI100000150043210544.(.) 6366.MPamaxPTW10000041610534.(.) 8488.MPaminmax.10204244MPa例：一厚度为例：一厚度为30mm、内直径为、内直径为230mm 的空心圆管，承的空心圆管，承受扭矩受扭矩T=180 kNm 。试求管中

10、的最大剪应力，使用：。试求管中的最大剪应力，使用： (1)薄壁管的近似理论；薄壁管的近似理论； (2)精确的扭转理论。精确的扭转理论。解：解：(1) 利用薄壁管的近似理论可求得利用薄壁管的近似理论可求得maxTr t22max()TD34161(2) 利用精确的扭转理论可求得利用精确的扭转理论可求得18010029161230290334. 622 . MPa18010201300332. 565 . MPa解：由解：由TDTD132341616108(.)DD214311081192.得：得： 一直径为一直径为D1的实心轴，另一内外径之比的实心轴，另一内外径之比=d2D2=0.8的空心轴，若

11、两的空心轴，若两轴横截面上的扭矩相同，且最大剪应力相等。求两轴外直径之比轴横截面上的扭矩相同，且最大剪应力相等。求两轴外直径之比D2/D1解：设实心轴的直径为解：设实心轴的直径为 d1 ，由，由TdT.)Dd11022 .得：得：AADd空实2212410540783(.).0.81.1920.80.512例：在强度相同的条件下，用例：在强度相同的条件下，用d/D=0.5的空心圆轴取代实心圆轴的空心圆轴取代实心圆轴，可节省材料的百分比为多少，可节省材料的百分比为多少?0.8一空心圆轴，内外径之比为一空心圆轴，内外径之比为=0.5，两端受扭转力偶矩作用，两端受扭转力偶矩

12、作用，最大许可扭矩为，若将轴的横截面面积增加一倍，内外，最大许可扭矩为，若将轴的横截面面积增加一倍，内外径之比仍保持不变，则其最大许可扭矩为的多少倍？（按径之比仍保持不变，则其最大许可扭矩为的多少倍？（按强度计算）。强度计算）。解：设空心圆轴的内、外径原分别为解：设空心圆轴的内、外径原分别为d、D，面积增大一倍，面积增大一倍后内外径分别变为后内外径分别变为d1 、D1 ，最大许可扭矩为最大许可扭矩为1由TDTD113434161161()() 由得DDDD1222214105241052(.)(.)得TTDD1133/222828 . 图示阶梯状圆轴，图示阶梯状圆轴，AB段直径段直径d1=12

13、0 mm，BC段直径段直径d2=100 mm。扭转力偶矩。扭转力偶矩MA =22 kNm，MB =36 kNm，MC =14 kNm，材料的许用切应力，材料的许用切应力t =80 MPa。试校核该轴的强。试校核该轴的强度。度。BC段内MPa3 .71Pa103 .71 m1010016mN101463332p2max, 2WTAB段内MPa8 .64Pa108 .64 m1012016mN102263331p1max, 1WT解：解：1. 绘扭矩图3. 校核强度 需要指出的是，阶梯状圆轴在两段的连接处仍有应力集中现象，在以上计算中对此并未考核。 2,max 1,max，但有2,max = 80

14、MPa，故该轴满足强度条件。解：解：60955495542291.76 N m250Pmn由mDD34346161229176161084010().(.)得D 791 . mm,.d 633 mm 一空心轴一空心轴=d/D=0.8，转速，转速n=250r/m, 功率功率P=60kW，=40MPa，求轴的外直径，求轴的外直径D和内直径和内直径d。解：解：由500016301036d得d 947 . mm由50008010321800594d.得 d 924 . mm 传动轴传递外力偶矩传动轴传递外力偶矩5kNm,材料的材料的=30MPa, G=80GPa, =0.5/m,试选择轴的直径。试选择

15、轴的直径。解：解：180(1)pTlGImax(2)PTW( )( )12得：maxpPIGlW618080100059010296. 233.m 已知一直径已知一直径d=50mm的钢制圆轴在扭转角为的钢制圆轴在扭转角为 6时，轴时，轴内最大剪应力等于内最大剪应力等于90MPa，G=80GPa。求该轴长度。求该轴长度。解解: 1. 按强度条件求所需外直径D有由因 ,161516116pmaxmax343pWTDDWm10109Pa10401615mN1056. 916161516363max33TD 由45号 钢制成的某空心圆截面轴，内、外直径之比 = 0.5 。已知材料的许用切应力 = 40

16、 MPa，切变模量G= 80 GPa。轴的横截面上扭矩的最大者为Tmax = 9.56 kNm，轴的许可单位长度扭转角=0.3 ()/m。试选择轴的直径。2. 按刚度条件求所需外直径D有由因180 ,161532132pmax444pGITDDIm105 .125m/ )(3 . 011801615Pa1080mN1056. 9321180161532393max44GTDmm75.62d3. 空心圆截面轴所需外直径为D125.5 mm(由刚度条件控制)，内直径则根据 = d/D = 0.5知 水平面上的直角拐，水平面上的直角拐，AB段为圆轴，直径为段为圆轴，直径为 d，在端点，在端点C受铅垂

17、力受铅垂力P作用，材料的剪切弹性模量为作用，材料的剪切弹性模量为G，不计，不计BC段变段变形。求形。求C点的铅垂位移。点的铅垂位移。解：解：CVABaP a lG Iap3224Pa lGd 圆截面橡胶棒的直径圆截面橡胶棒的直径d=40mm,受扭后受扭后,原来表面上的圆原来表面上的圆周线和纵向线间夹角由周线和纵向线间夹角由 90变为变为 88。如杆长。如杆长 l=300mm，试求两端截面间的扭转角；如果材料的剪变模量试求两端截面间的扭转角；如果材料的剪变模量G=2.7MPa，试求杆横截面上最大剪应力和杆端的外力偶矩。，试求杆横截面上最大剪应力和杆端的外力偶矩。解：由解：由ld2得ld22300

18、24030max G272180. 009425.MPaPWmmax009425100041663.118.N m解：解： 1. 各段轴的横截面上的扭矩：mN637 ,mN95521TT 图示钢制实心圆截面轴，已知：M1=1 592 Nm，M2 = 955 Nm，M3 = 637 Nm，lAB = 300 mm，lAC = 500 mm，d = 70 mm ，钢的切变模量G = 80 GPa。试求横截面C相对于B的扭转角CBrad1069. 1m107032Pa1080m10500mN63734393P2GIlTACCA3. 横截面C相对于B的扭转角：rad1017. 0rad1069. 1r

19、ad1052. 1333CAABCBrad1052. 1m107032Pa1080m10300mN95534393P1GIlTABAB2. 各段轴的两个端面间的相对扭转角： 现分析单元体内垂直于前、后两平面的任一斜截面 ef (如图)上的应力。斜截面上的应力斜截面上的应力分离体上作用力的平衡方程为0sinsindcoscosdd, 00cossindsincosdd, 0AAAFAAAF利用 ，经整理得2cos,2sin由此可知： (1) 单元体的四个侧面( = 0和 = 90)上切应力的绝对值最大； (2) =-45和 =+45截面上切应力为零，而正应力的绝对值最大；min45max45，如

20、图所示。2cos,2sin例：图示铸铁圆轴受扭时，在例：图示铸铁圆轴受扭时，在 面上发生断裂，其面上发生断裂，其破坏是由破坏是由 应力引起的。在图上画出破坏的截面。应力引起的。在图上画出破坏的截面。45 螺旋螺旋最大拉最大拉 例：两端固定的圆截面等直杆例：两端固定的圆截面等直杆AB，在截面，在截面C受外力偶矩受外力偶矩m作用，试求杆两端的支座反力作用，试求杆两端的支座反力偶矩。偶矩。解：解：mmmAB静力平衡方程为：静力平衡方程为：ABACCB 0变形协调条件为：变形协调条件为：maG ImbG IApBp0即：即： 例：一圆钢管套在一实心圆钢轴上，长度均例：一圆钢管套在一实心圆钢轴上，长度均

21、为，钢管与钢轴材料相同，先在实心圆轴两为，钢管与钢轴材料相同，先在实心圆轴两端加外力偶矩，使轴受扭后，在两端把管与端加外力偶矩，使轴受扭后，在两端把管与轴焊起来，去掉外力偶矩。求此外管与内轴的轴焊起来，去掉外力偶矩。求此外管与内轴的最大剪应力。最大剪应力。解：外管与内轴承受的扭矩相等，设为解：外管与内轴承受的扭矩相等，设为Tmm lG Ip内T lG IT lG Ipp内外3-6 等直圆杆扭转时的应变能等直圆杆扭转时的应变能纯剪切应力状态下的应变能密度zyxxyzWddd21ddd21d21dddddd21ddddzyxzyxVWVVv2222GvGv或lAVxAvVvVddd 在扭矩T为常量时，长度为 l 的等直圆杆所蓄积的应变能为p222p22p22d2dd21dd2GIlTAITGlAITxGxAGVAAlAl p22GIlTV 由 可知，亦有pGITl2p2lGIV niiiniiilGIVGIlTV12p1p22,2亦即p22121GIlTTWV 图示AB、CD 为等直圆杆，其扭转刚度均为GIp，BC 为刚性块， D截面处作用有外力偶矩 Me 。试求：（1）杆系内的应变能；（2）利用外力偶矩所作功在数值上等于杆系内的应变能求D 截面的扭