用初等变换求逆矩阵学习教案

1、会计学1用初等变换求逆矩阵用初等变换求逆矩阵(j zhn)第一页，共11页。定理1：设A是n阶方阵(fn zhn)，则如下的命题等价：（1）A是可逆的 ；（2）AE，E是n阶单位矩阵；（3）存在(cnzi)n阶初等矩阵12,lP PP12.lAPPP使（4）A可经过有限次初等变换化为E.证明1 （1）（2）易证明(见书上证明)（2）（3） 因为A E，APPEPPPlrr 121再由矩阵那么，把E变为A的初等变换lPPP21,即有：lPPPA21 等价的对称性，有 E A 。所对应的初等矩阵为，所以 第1页/共11页第二页，共11页。（3）（4）lPPPA21 ，由 有 11121lPP P

2、AE由于(yuy) 11121,lPPP仍是初等矩阵，上式说明(shumng)对A 实施有限(yuxin)次初等行变换可化为E， 列的情形类似可得。（4）（1）设A可经有限次初等行变换可化为E，则存在初等矩阵12,lQ QQ，使12lQQQ AE由于初等矩阵12,lQ QQ可逆，所以A可逆。证毕。第2页/共11页第三页，共11页。分析(fnx): A 可逆 )(21为初等矩阵ilPPPPA1111PPAl)(1为初等矩阵ilQQQ AQQl1EBQQl1BA1)()(11BAEBAQQl上式表明(biomng): 若 )()(XEBAr, 则 A 可逆, 且 X 即为AX = B 的解 X =

3、 A1B. 特别(tbi), 若 )()(1 AEEAr即如何求 X = A1B ? 左侧的意义： 对A、B 作相 同的行变换 11lQQA即有 第3页/共11页第四页，共11页。 2152327300210011A，试用(shyng)初等变换法求.1 A解： 2152327300210011 1000010000100001 13123,rrrr142rr 2130324000100011 1002010300110001 23214,rrrr243rr 2100320000100001 1031014100110012 43rr 3200210000100001 0141103100110

4、012 342rr 1000210000100001 2121103100110012第4页/共11页第五页，共11页。 342rr 1000210000100001 2121103100110012 4) 1(r 1000210000100001 2121103100110012 432rr 1000010000100001 2121321100110012所以(suy) 1A 2121321100110012第5页/共11页第六页，共11页。 1111145212142121B问B是否(sh fu)可逆？解法(ji f)1. 1111145212142121 100001000010000

5、1 3230369096902121 10010102001400012314rr 0000369096902121100102001400013131若可逆，求其逆阵 B 1。13122,4rrrr14rr 可见(kjin)B不可逆不可能化为 单位阵第6页/共11页第七页，共11页。1111145212142121B1111145212142121B000132323234323132332332301312,rccc14cc B不可逆一、二两行(lin xn)相同 ！第7页/共11页第八页，共11页。332340022021332340010110.010312022,AXAAX其中解:

6、原方程(fngchng)变形为 AXEA)(110110312302022021)(AEA32rr 122rr 234rr 312100010110022021312100 ) 1(3r第8页/共11页第九页，共11页。312100010110022021212rr 31210062200130201032rr 可见(kjin) A E 可逆, 且AEAX1)(312302622注: 若要求(yoqi) CAY 解解思考: 设 A, B 可逆, 如何解矩阵(j zhn)方程 AXB=C ?方法一：r)(CA)(1CAEY注意：这个 r2 是新的结果1, CAY有有CAY 由由方法二：CAY 由由CAY ）有（有（,CYA 即有即有,第9页/共11页第十页，共11页。1. 矩阵(j zhn)的初等变换与初等矩阵(j zhn) 2. 用初等变换法求矩阵(j zhn)的逆 : 作业 P64. 25(1), （2）注意: 初等矩阵可逆, 其逆矩阵为同类型初等矩阵 用初等矩阵右乘 A 对A 作列变换 )()(1AEEAr3. 用初等变换法求