弹塑性力学 1 应力分析

1、123作用在物体表面上的力，如接触力、液体压作用在物体表面上的力，如接触力、液体压力等。用力等。用 Fx， Fy， Fz 表示。单位：表示。单位：N/m2。分布在物体整个体积内部的力，如重力、惯分布在物体整个体积内部的力，如重力、惯性力等。用性力等。用 fx， fy，fz 表示。单位：表示。单位：N/m3。：当面积趋于零时，面力的合力。用：当面积趋于零时，面力的合力。用 P、F 表示。单位：表示。单位：N。应力状态应力状态外力：构件外物体作用在构件上的力。外力：构件外物体作用在构件上的力。4内力：由于外力作用，在构件内各部分之间引起的内力：由于外力作用，在构件内各部分之间引起的相互作用力。相互

2、作用力。 内力的特点：内力的特点： 1. 随外力的变化而变化，是随外力的变化而变化，是“附加内力附加内力”。 2. 内力是分布力系，常用其主矢量和主矩表示。内力是分布力系，常用其主矢量和主矩表示。 内力的求法：截面法。内力的求法：截面法。应力状态应力状态截面法的基本步骤：截面法的基本步骤：截开；截开； 5F1FnF3F2应力状态应力状态平均应力：平均应力：全应力：全应力：APpdAdAlim0APPp。全应力分解为：全应力分解为：ANANAddlim0ATATAddlim0垂直于截面的应力称为垂直于截面的应力称为“正应力正应力”：位于截面内的应力称为位于截面内的应力称为“剪应力剪应力”： 应力

3、状态应力状态 A Pp M 应力状态的表示应力状态的表示单元体单元体： 一点的应力状态：一点的应力状态： 过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态（称为这点的应力状态（State of Stress at a a Given Point）。）。xyz x z y xy yx单元体的性质单元体的性质 a a、任一面上，应力均布；、任一面上，应力均布； b b、平行面上，应力相等。、平行面上，应力相等。 单元体：构件内点的代表物，是包围被研究点的无限小单元体：构件内点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，常用

4、的是正六面体。的几何体，常用的是正六面体。 应力状态应力状态8xyz x xy yx z y xz zx zy yz yz y yx单元体上的应力分量：单元体上的应力分量：应力状态应力状态 x y z正应力：正应力：剪应力：剪应力： xy yx yz zy zx xz2 剪应力互等定理（剪应力互等定理（Theorem of Conjugate Shearing Stress): ): zyyz 应力状态应力状态yxxy zxxz xyz xy yx x z y xz zx zy yz 过一点的两个正交面上过一点的两个正交面上, ,如果有与相交边垂直的剪应力如果有与相交边垂直的剪应力分量分量,

5、,则两个面上的这两个剪应力分量一定等值、方向相对则两个面上的这两个剪应力分量一定等值、方向相对或相离。或相离。321单向应力状态（单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。一个主应力不为零的应力状态。 二向应力状态（二向应力状态（Plane State of Stress）： 一个主应力为零的应力状态。一个主应力为零的应力状态。三向应力状态（三向应力状态（ ThreeDimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。三个主应力都不为零的应力状态。 x x zx x x xz等价等价 x x

6、y yxyzxy x xy yO应力状态分析：应力状态分析： x xy yz z y zx斜截面上的应力斜截面上的应力主应力主应力最大剪应力最大剪应力平面应力状态：平面应力状态：设：斜截面面积为设：斜截面面积为S，由分离体平衡得由分离体平衡得： Fn00cossinsinsincoscos22 SSSSSyxyxyx二、平面应力状态分析二、平面应力状态分析xy x xy yO xy x y n 2sin2cos22xyyxyx 2cos2sin2xyyx 考虑剪应力互等和三角变换，得：考虑剪应力互等和三角变换，得：同理：同理：1.1. 任意斜截面上的应力任意斜截面上的应力 2cos2sin22

7、sin2cos22xyyxxyyxyx222222xyyxyx 对上述方程消去参数（对上述方程消去参数（2 2 ），得：），得：2. 2. 应力圆（应力圆（ Stress Circle）此方程曲线为圆此方程曲线为圆应力圆应力圆（或莫尔圆，（或莫尔圆，由德国工程师：由德国工程师：Otto Mohr引入）引入）xy x xy yO y xy x xyOn建立应力坐标系，如下图所示，建立应力坐标系，如下图所示，（注意选好比例尺）（注意选好比例尺）v 应力圆的画法应力圆的画法在在坐标系内画出点坐标系内画出点A( ( x， xy)和和B( y，- - yx) AB与与 轴的交点轴的交点C便是圆心。便是圆

8、心。以以C为圆心，以为圆心，以AC为半径画为半径画圆圆应力圆；应力圆； x xy yxyOn O CA( x , xy)B( y ,- yx)O CA( x , xy)B( y ,- yx)x2 nD( , ) )v 单元体与应力圆的对应关系单元体与应力圆的对应关系 面上的面上的应力应力( ( ， ) 应力圆上一点应力圆上一点( ( ， ) 面的法线面的法线 应力圆的半径应力圆的半径两面夹角两面夹角 两半径夹角两半径夹角2 ；且转向一致。且转向一致。 x xy yxyOn 223122xyyxyx ）（3. 3. 主应力和最大剪应力主应力和最大剪应力半半径径R minmax OC A( x ,

9、 xy)B( y ,- yx)x2 1 1minmax2 0 0 1 2 3xyx 10tg半径半径ROC 31 231minmax 22minmax2xyyx ）（ABCxyzO三、三、 空间空间应力状态应力状态1 1、斜截面上的应力、斜截面上的应力xyz x xy yx z y xz zx zy yzOABC y yx yz z zy zx xy xz xpxpypzNl=cos(N,x)m=cos(N,y)n=cos(N,z)S ABC=S S OBC=lS S OAC=mS S OAB=nS 1 1、斜截面上的应力、斜截面上的应力ABC y yx yzxyzO z zy zxpx xy

10、 xz xpypzNS ABC=S S OBC=lS S OAC=mS S OAB=nS Fx00 nSmSlSSpzxyxxx zxyxxxnmlp zyyxyynmlp zyzxzznmlp xzxyxxFnml yzyyxyFnml zzyzxzFnml v当斜面为边界时，可得到应力边界条件：当斜面为边界时，可得到应力边界条件：v Fx、Fy、Fz 为边界上的面力分量。为边界上的面力分量。2 2、主应力、主应力ABCxyzOpxpypzvzxyxxxnmlp zyyxyynmlp zyzxzznmlp v设设 v 表示主应力的方位表示主应力的方位 v =0 vvxlp vymp vznp

11、 0)( zxyxvxnml 0)( zyvyxynml 0)( vzyzxznml 1222 nml0 vzyzxzzyvyxyyzyxvx v 表示主应力表示主应力则：则：2 2、主应力、主应力0 vzyzxzzyvyxyyzyxvx 032213 IIIvvv 321 zyxI 12222zxyzxyxzzyyxI 22232xyzzxyyzxzxyzxyzyxI 应力状态不变量应力状态不变量3211 I1332212 I3213 I3 3、应力圆、应力圆ABCxyzOpxpypzzxyxxxnmlp zyyxyynmlp zyzxzznmlp zyxvnpmplp zxyzxyzyxv

12、nlmnlmnml 222222 322212 nmlv pv v v2222zyxvPPPP 222vvvP 232222212 nml 2232222212vnml 3 3、应力圆、应力圆1222 nml322212 nmlv 22322222122vvnml )()(32213222 vvvl)()(12321322 vvvm)()(23132122 vvvn321 0)(322 vvv0)(132 vvv0)(212 vvv232223222 vv231223122 vv221222122 vv 2 1xyz 3123v v 232223222 vv231223122 vv221222

13、122 vv232 231 221 254 4、最大剪应力、最大剪应力232223222 vv232223222 vv)()(32213222 vvvl0 l 1 2 3),cos(1 Nl 2321 主剪应力主剪应力22, 0 nml264 4、最大剪应力、最大剪应力 1 2 32321 最大最大剪应力剪应力 1 2 3 1 2 32213 2312 231max 27例例1：已知某点的应力状态为：已知某点的应力状态为：求：主应力和最大剪应力。求：主应力和最大剪应力。aaaazxyzxyzyx , 0 , 0 , , ,解：解：032213 III aIzyx 12222zxyzxyxzzy

14、yxI 22232xyzzxyyzxzxyzxyzyxI 222222aaaaa 033 aa02223 aa0)(2( aa aa 321 , 0 ,2 23231maxa 28例例2：已知某点的应力状态为：已知某点的应力状态为：求：作用于过该点，方程为求：作用于过该点，方程为 的平面外的平面外 侧的正应力和剪应力。侧的正应力和剪应力。20 , 0 ,10 ,10 ,20 , 0 zxyzxyzyx 解：解：2:3:3: nml1222 nml1233 zyx43 l43 m21 nzxyxxxnmlp zyyxyynmlp zyzxzznmlp 00.2016.1633.14 zyxppp

15、44.292222 zyxNPPPPv 15v 17（1）（）（3）83.922 NNNP zxyzxyzyxNnlmnlmnml 222222 75.27 N 30 12 应力张量及分解应力张量及分解一、应力张量一、应力张量张量：张量：在数学上，如果某些量依赖于坐标轴的选择，并在在数学上，如果某些量依赖于坐标轴的选择，并在坐标变换时，按某种指定的形式变化，则称这些量坐标变换时，按某种指定的形式变化，则称这些量的总体为张量。的总体为张量。应力张量：应力张量：应力分量应力分量 x 、 y 、 z 、 xy 、 yx 、 yz 、 zy 、 zx 、 xz满足上述性质，构成应力张量。满足上述性质，

16、构成应力张量。 xy yx yz zy zx xz zzyzxyzyyxxzxyxij 应力张量为二阶张量。应力张量为二阶张量。应力张量为对称张量。应力张量为对称张量。一点的应力状态完全一点的应力状态完全由应力张量确定。由应力张量确定。31一、应力张量一、应力张量 zzyzxyzyyxxzxyxij 在塑性力学中平均应力只引起体积改变，而不引起形在塑性力学中平均应力只引起体积改变，而不引起形状改变，故可将应力张量进行分解。状改变，故可将应力张量进行分解。zyxI 12222zxyzxyxzzyyxI 22232xyzzxyyzxzxyzxyzyxI 应力张量不变量应力张量不变量30zyxm 3

17、321 32二、应力张量的分解二、应力张量的分解 zzyzxyzyyxxzxyxij 000000000 000 zzyzxyzyyxxzxyxijijS 0符符号号Kroneckerjijiij 01 0000000000 ij应力球张量：应力球张量：（静水应力状态）（静水应力状态） 任意截面上的应力均等于任意截面上的应力均等于 0 。 与坐标轴选择无关。与坐标轴选择无关。 与材料体积变形有关。与材料体积变形有关。33二、应力张量的分解二、应力张量的分解 000 zzyzxyzyyxxzxyxijS应力偏张量：应力偏张量： 与材料形状变形有关，即与塑性变形有关。与材料形状变形有关，即与塑性变

18、形有关。 应力偏张量为对称张量。应力偏张量为对称张量。 与应力张量不变量相对，应力偏张量也有三个不变量。与应力张量不变量相对，应力偏张量也有三个不变量。 zzyzxyzyyxxzxyxsss 34三、应力偏张量不变量、三、应力偏张量不变量、 剪应力强度剪应力强度 000 zzyzxyzyyxxzxyxijS zzyzxyzyyxxzxyxsss 01 zyxsssJ2222zxyzxyxzzyyxssssssJ 22232xyzzxyyzxzxyzxyzyxssssssJ ) ) ) ) ) ) ) ) 2222222661zxyzxyxzzyyxJ ) ) ) ) ) ) 213232221

19、61 2J 剪应力强度剪应力强度 （等效剪应力）（等效剪应力）35例例1：已知某点的应力状态为：已知某点的应力状态为：将该应力状态写成张量形式并分解。将该应力状态写成张量形式并分解。0 ,70 ,150 , 0 ,500 ,1000 zxyzxyzyx 解：解： zzyzxyzyyxxzxyxij 07007050015001501000 500000500000500ij 50030 zyx 500700700150015050036 13 等倾面上的应力、应力状态参数等倾面上的应力、应力状态参数一、等倾面上的应力一、等倾面上的应力1. 应力空间应力空间 各向同性材料，力学性质与方向无关。各

20、向同性材料，力学性质与方向无关。 应力状态可由三个主应力和三个主方向确定。应力状态可由三个主应力和三个主方向确定。 3 2 1oP( 1, 2, 3)v 应力空间内一点的应力空间内一点的坐标完全确定应力坐标完全确定应力状态。状态。37一、等倾面上的应力一、等倾面上的应力2. 等倾面等倾面 3 2 1ov 正八面体正八面体lmn 的斜截面的斜截面1222 nml31 nml4454arccos0 l383. 等倾面上的应力等倾面上的应力31 nml3222128 nml 23222221228 nmlP 9)(32321232221282828 P33218 与塑性变形无关与塑性变形无关08 8

21、 8 8p ) ) ) ) ) ) 2132322212891 ) ) ) ) ) )213232221831 3 2o 12832J 与塑性变形有关与塑性变形有关39二、应力强度二、应力强度 ) ) ) ) ) )213232221831 823 i ) ) ) ) ) ) 21323222121 iv 应力强度（等效应力）应力强度（等效应力）v 应力强度的一般公式：应力强度的一般公式： ) ) ) ) ) ) ) ) 222222621zxyzxyxzzyyxi 1 11 i40三、应力三、应力 Lode 参数参数表征应力状态的参量表征应力状态的参量2311 MP222312 MP12MP

22、MP 123232 231 221 P1P2P3M应力应力 Lode 参数：参数：313122 v 常见应力状态的应力常见应力状态的应力 Lode 参数参数单向拉伸：单向拉伸： 2 3 0 0 1 1231312 单向压缩：单向压缩： 1 2 0 0 3 1 纯剪切：纯剪切： 1 ， 2 0 0， 3 0 11 42例例2：已知某点的应力状态为：已知某点的应力状态为：求：主应力、八面体应力和应力强度。求：主应力、八面体应力和应力强度。0 ,20 , 0 ,50 ,10 ,50 zxyzxymyxss 解：解：0 zyxsss40 xyzsss100 xmxs 40 ymys 10 zmzs 0

23、32213 III 1501 zyxI 2222zxyzxyxzzyyxI 022223 xyzzxyyzxzxyzxyzyxI 5000 0500015023 0 ,50 ,100321 43例例2：已知某点的应力状态为：已知某点的应力状态为：求：主应力、八面体应力和应力强度。求：主应力、八面体应力和应力强度。0 ,20 , 0 ,50 ,10 ,50 zxyzxymyxss 解：解：0 ,50 ,100321 33218 50 28.40 ) ) ) ) ) )213232221831 ) ) ) ) ) ) 21323222121 i59.86 44一、直角坐标系一、直角坐标系xyz x

24、 xz xy z zx zy y yx yz z zx zydxxxyxy dxxxzxz dyyyxyx dyyyzyz dyyyy dxxxx dzzzz dzzzxzx dzzzyzy dxdydzv 考虑一点附近的应力状态考虑一点附近的应力状态v 应力分量应力分量 x 、 y 、 z 、 xy 、 yx 、 yz 、 zy 、 zx 、 xz为点的坐标（为点的坐标（x,y,z）的）的函数。函数。 v 体力分量为：体力分量为：fx 、 fy 、 fz0 xFdxdzdxdzdyydydzdydzdxxyxyxyxxxx )()(0)( dxdydzfdxdzdxdzdzzxzxzxzx

25、0 xzxyxxfzyx 450 xzxyxxfzyx 0 yzyyxyfzyx 0 zzyzxzfzyx xyz x xz xy z zx zy y yx yz z zx zydxxxyxy dxxxzxz dyyyxyx dyyyzyz dyyyy dxxxx dzzzz dzzzxzx dzzzyzy dxdydzxy x xydxxxx y yxdxxxyxy dyyyy dyyyxyx fxfy0 xyxxfyx 0 yyxyfyx 0 yzxzz 46二、柱坐标系二、柱坐标系xyzorq qdrdzd dq qrd dq qdrdz rdrrrr drrrr q qq q drrr

26、zrz rq q rz q qr q qz q q01 rrzrrrfrzrrq qq q q q 01 zrzzzrzfrzrr q q q q021 q qq qq qq qq q q q frzrrrzrx ry q q y r q q47平面问题极坐标系平面问题极坐标系d dq qxy rdrrrr drrrr q qq q q qr q q01 rrrrfrrrq qq q q q 021 q qq qq qq q q q frrrrrx ry q q y r q qq qq q q qq qdzz rq qq qq q q qq qd 0 q q zrzz轴对称平面问题：轴对称平面

27、问题：无无关关。均均与与，q q q qq q , 0r r0 rrrfrdrdq q 48三、球坐标系三、球坐标系球对称问题：球对称问题：的的函函数数。只只是是无无关关均均与与rrr, , , 0r q q q q q q q q 0)(2 rrrfrdrdq q 坐标坐标：r，q , q , 应力分量应力分量： r , q q , , rq q， qq , , r 49四、应力边界条件四、应力边界条件xzxyxxFnml yzyyxyFnml zzyzxzFnml 平面问题：平面问题：xyxxFml yyxyFml xy sincos mlnFxFy 50例例1：已知水的密度为：已知水的密

28、度为r r，梯形截，梯形截面墙体完全置于水中，尺面墙体完全置于水中，尺寸如图，写出寸如图，写出AB、BC、AD边的应力边界条件。边的应力边界条件。hhABCDxyo解：解：AB： l0 , m 1xyxxFml yyxyFml r rghFx0, 0, Fyrrgh0 yx ghyr r AD：r rgyl 1 , m 0Fx r rgy, , Fy 0 0gyxr r 0 xy 51r rgy例例1：已知水的密度为：已知水的密度为r r，梯形截，梯形截面墙体完全置于水中，尺面墙体完全置于水中，尺寸如图，写出寸如图，写出AB、BC、AD边的应力边界条件。边的应力边界条件。hhABCDxyo解：解：BC：xyx