第1章 利息的度量

1、第一章：利息的基本概念1.1、利息的度量 基本概念： 利息、 本金、积累值（或终值）、期定义1.1：用a(t)表示初始投资为1单位的投资经过时间t后的价值，称a(t)为积累函数（t期积累因子）。显然：a(0)=1t期折现因子或折现函数： a-1(t)折现因子： a-1(1)记为v 定义 1.2：一般情况，本金为k,用A(t)表示初始投资经过时间t后的价值，称A(t)为总量函数。总量函数和积累函数有着如下简单的关系： A(t)= A(0)a(t)=ka(t)第n期的利息： In= A(n) A(n-1) 现值、当前值、积累值 1.1.1实际利率度量期内得到的利息与此度量期开始的本金之比实际利率可

2、以表示为： 21121( )( )( , )( )a ta ti tta t1( )(1)(1)nnnIA nA niA nA 例1.1：某人到银行存入1000元，第一年末他存折上的余额为1050元，第二年末他存折上的余额为1100元，问：第一年、第二年的实际利率分别是多少？解：显然，A(0)=1000， A(1)=1050， A(2)=1100，因此， I1= A(1) A(0)50, I2= A(2) A(1)50, i1= I1/ A(0)=5%， i2= I2/ A(1)=4.762%， 故，第一年的实际利率为5%，第二年的实际利率为4.762%1.1.2 单利与复利 前面讨论的实际利

3、率I是针对某一个度量期而言的，若投资期为多个或非整数个度量期，如何来进行利息的度量呢？实务中有两种最重要的度量方式：单利和复利。 考虑投资一单位的本金： （1）如果其在t时的积累值为： a(t) =1+it 那么，我们就说该笔投资以每期单利i计息,并将这样产生的利息称为单利。实际上，所谓单利 就是只有本金生息，本金产生的利息并不积累生息。 （2）如果单位投资在t时的积累值为： a(t)=(1+i)t 那么，则称该笔投资以每期复利i计息,并将这样产生的利息称为复利。实际上，复利就是指民间俗称的“利滚利”，即当其产生的利息计入本金，在下一期可以生息。 例题1.2若银行以单利计息，年息为6%。某人存

4、入5000元，问5年后的积累值是多少？复利计息呢？1.1.3 实际贴现率 一个度量期的实际贴现率为该度量期内取得的利息金额与期末的投资可收回金额之比，通常用d来表示： 即，d=(a(t)-a(t-1)/a(t) 实际贴现率d同实际利率i的定义十分相似，在实务中，它们反映了同一个问题的两个不同的侧面。实际利率度量了借款人到期偿还利息额大小，而实际贴现率度量了借款人为了到期清偿本金，而在借款之初支付的利息。为了帮助理解，我们来看一个例子。假设，张三到一家银行以年实际利率为6%向银行借款100元，为期一年。银行将付给张三100元，一年后，张三将还给银行贷款本金100元，外加6元的利息，共计106元。

5、 假如不是以年实际利率6%,而是以年实际贴现率6%向银行借款，为期一年，则银行将预收6%（即6元）的利息，仅付给张三94元。一年后，张三将还给银行100元。 由此可见，实际利率和实际贴现率反映的是一个先后付息的问题。贴现金额=期末可收回资金金额贴现率利息金额=期初投资金额利率第n期的实际贴现率，复利条件下是常数：( )(1)( )(1)( )1nna nia na nida ni上例中哪个借款成本低？第二种的实际利率=6/94=6.383%如果对给定的投资金额，在同样长的时期内，他们产生同样的积累值，则称两个“率”是“等价”的。上例中年实际贴现率6%和年实际利率6.383%等价一般,若某人以实

6、际贴现率d借款1，则实际本金为1-d,若这笔业务实际利率为i,则,11,11,1,ddidddiidiiid iv vd i d id 表明与 等价的实际利率为还可得到：表明与等价的实际贴现率为还有：t期贴现单贴现：复贴现：11( ) 1,0a tdttd 1( )(1)tta tvd 1.1.4 名义利率和名义贴现率 前面我们讨论了实际利率和实际贴现率，“实际”一词的主要汗以在于利息为每个度量期支付一次，或在其初，或在期末，视具体境况而定。然而，实际问题中，往往有很多在一个度量期中利息支付不至于一次或在多个度量期利息才支付一次的情况。这是，成相应的一个度量期的利率和贴现率为“名义的”。用符号

7、i(m)表示每一度量期付m次利息的名义利率。 m一般为大于1的整数。所谓名义利率i(m)，是指每1/ m个度量期支付利息一次，而在每1/ m个度量期上的实际利率为i(m)/m。 也就是说，每一度量期的实际利率等价于每1/m度量期i(m)/m实际利率。 由等价的定义，还可以得到i(m)与等价的实际利率i之间的关系： 根据入上的关系，在已知实际利率i和计息次数m，可以求得等价的名义利率i(m)，或者已知名义利率i(m)和计息次数m可以求得相应的实际利率i。()()1()1111(1)1mmmmmmiimiimimi 类似的，还可以定义名义贴现率d(m)，名义贴现率d(m)是一种在每1/m个度量期初

8、支付的利息的度量。由等价性定义可以推导d(m) 和d之间的关系： 根据入上的关系，在已知实际利率i和计息次数m，可以求得等价的名义利率i(m)，或者已知名义利率i(m)和计息次数m可以求得相应的实际利率i。()()1()111 11 (1) mmmmmmddmddmdmd 有等价性的定义，我们还可以推导出名义利率和名义贴现率之间的关系： 1()()()()(1)1(1)(1)1(1)(1)(1)mmmmmmmmidiimddmidmm 故，= 例、（1）求与实际利率8%等价的每年计息两次得年名义利率，以及每年计息4次的年名义贴现率； （2）已知每年计息12次的年名义贴现率为8%，求等价的实际利

9、率。 解：（1） (2)(2)1/2(4)4(4)1/4111 8%2(1 8%)1 27.85%(1)11.08441 (1.08)7.623%iiidid （2）(12)121211128%(1)121.08368.36%dii 故例：求1万元按每年计息4次的年名义利率6%投资三年的积累值1.1.5 利息强度 前面定义的各种利息度量方式都是用来度量在规定的时间区间内的利息。实际利率和实际贴现率度量的是一个度量期内的利息，而名义利率和名义贴现率则用来度量在1/m个度量期内的利息。 在很多情形下，我们还希望能度量在每一时间点上的利息，也就是在无穷小区间上的利息。这种对利息在各个时间点上的度量叫

10、做利息强度。 利息强度 定义如下： ( )( )( )( )tA ta tA ta tt 称 该投资在t时的利息强度，即 为利息在时刻t一种度量，通过如上定义可将 表示为如下形式： 对两边积分可得， 从而有， tttln( )ln ( )tddA ta tdtdt000( )ln( )ln( )|ln(0)tttsA tdsdA sA sA0( )( )( )(0)(0)tsdsA ta tea tAa 这样我们便得到了利息强度和积累函数之间的关系。如果已知各个时刻利息强度，便可以求得 这一时刻的积累函数。 例、如果 确定投资1000元在第一年末的积累值和第二年内的利息金额。 解： 0.01

11、,02,ttt 10(1)1000 (1)10001005tdtAae元200.0120.020.005(2)(1)1000(1)1000()15.2tdtIAAeAee元理论上，利息强度可以随时变化，但在实际中，利息强度经常保持为常数或者在各个度量期内保持为常数。说明利息力在某时间区间上为常数，那么该时间区间上的实际利率也是常数 ,1tnntn 若1212001112( )1ttstttndsdsdsdsna teee eenie那么第 个时期的实际利率LL一般地，有 总结，常用重要关系式总结，常用重要关系式（1.1.33）ln(1) i1ie( )ta te 例、已知年度实际利率为8%，求

12、等价的利息强度。 解： 例、一笔业务按利息强度6%计息，求投资500元、经过8年的积累值。 解： ln(1)ln(1.08)7.7%i8(8)500808.04Ae元1.2 利息问题求解1.2.1 价值等式利息问题的四个基本量：1、最初投资的本金2、投资时期的长度3、利率4、本金在投资期末的积累值两个概念：货币时间价值价值等式：衡量多个时刻付款的总价值时，先选取一个比较日期，然后分别将各次付款积累或折现到比较日期，得到的和就是总价值，得到的等式叫做“价值等式”例题：某人为了能在第7年末得到一笔1万元的款项，愿意在第一年末付出1000元，在第三年末付出4000元，并在第8年末付出一笔钱，如果年利

13、率为6%，问他在第8年末应付多少？1.2.2投资期的确定通常，一般，投资期不足一个度量期的情况下，用单利计息，则利息=金额利率年数投资期天数年数基础天数将天数转化成年数的主要方法：1、严格单利法（英国法）2、常规单利法（欧洲大陆法）3、银行家规则（欧洲货币法）年数=实际/360212121360)30()()/360YYMMDD天数（年数天数例题在3月13日存入1000元，到同年的11月27日取出，利率为单利8%。求利息金额。（1）按英国法（2）按银行家规则（3）常规单利法1.2.3 未知时间问题只有一次付款的未知时间问题例：以每月记息的年名义利率12%投资1万元，若欲积累到3万元，问要几年时间？不同时刻的多次付款被数值上等于这些付款之和的一次性付款所替代。精确方法等时间法例题:预定在第一、三、五、八年末分别付款200、400、300、600元，假设实际利率为5