电磁学课件第三章静电场中的电介质.

1、第三章 静电场中的电介质v前言（Preface）v偶极子（Electric dipole）v电介质的极化（Dieletric polarization)v极化电荷（ Polarization charge)v有介质时的高斯定理（Gauss theorem in dieletric)v有介质时的静电场方程 （Equation of electrostatic field in dielectric)v电场的能量（Energy of electric field）第三章 静电场中的电介质1 前言前言（Preface） 在第一章里，研究了静电场的基本规律，并强调了“真空”二字。因为那些基本规律都是以

2、真空中点电荷所服从的库仑定律以及叠加原理推出的。这样一来，就存在一个问题：这些规律对于介质中的静电场是否适用？深入到原子内部，电子和原子核之间以及和其他电子之间仍然是真空，其间的电相互作用仍然服从库仑定律，实验证明，在小到原子核范围（ 米），库仑定律依然成立。这样就可以将第一章讲的基本规律应用于电介质的内部。 在原子内部，各物理量（如电场强度、电荷密度等）皆称为微观值，即在原子、分子内部各微1015一、本章的基本内容及研究思路一、本章的基本内容及研究思路第三章 静电场中的电介质观点上的值，而实验测得宏观值是物理无限小体积内这些微观值的平均值，物理无限小体积是一个宏观点，其中包含大量的分子，即从

3、宏观看，它足够小，从微观看，它足够大，由于第一章的基本规律适用于微观值，用求平均值的方法可以证明对宏观量也成立。 Lorentz 等人对物理量的宏观值和微观值等问题作过深入的研究。“物理无限小体积”的概念就是Lorentz 提出的。 本章主要讨论电介质在静电场中的极化现象，电介质中的束缚电荷以及空间充满电介质时的电场强度，电介质中的场方程和静电场的能量，提出“电场具有能量，能量定域在场中”是认识上的一个重大飞跃。 第三章 静电场中的电介质 本章与上一章的研究方法有相似之处，我们知道，放入静电场中的导体会由于静电感应而在其表面出现感应电荷。这是由于导体中有大量的自由电子，它可在导体中自由移动，现

4、在我们所讨论的另一类物质，其中的电子被束缚在它所属的原子核范围。只能在原子、分子范围内作微小的移动，这类物质不能导电，故称为绝缘体，也叫电介质。若将介质放入静电场，介质内部与表面都会出现极化电荷，这些极化电荷也会产生一个附加场，与导体不同的是介质内部的总电场不为零，因而不能利用静电平衡时导体内部电场为零这个特点来处理电介质内部的电场，这正是它较之导体困难之处（还是由它的特殊结构所决定的）。第三章 静电场中的电介质电介质中电子虽然移动的范围微小，但却能使电介质表现出宏观的电性质（如在电容器中插入电介质时电容明显增大），电介质中也存在电场，在电磁现象和实际应用中有其特殊的作用，所以，它也是电磁学的

5、研究对象。第三章 静电场中的电介质二、本章的基本要求二、本章的基本要求1.了解电解质极化机制。掌握电极化强度矢量 的物理意义、 的适用条件及式中各量的意义；2.理解介质中高斯定理的推导。熟练掌握通过对称性分析， 用高斯定理求 与 的方法。理解电容器充入电介质后电容值增大的原因，了解充入介质可以提高电容器的耐压程度；3.熟练掌握用 求静电场能量。PEVVdVEdVDEW22121DEPe0第三章 静电场中的电介质 2 偶极子（electric dipole）一、电介质与偶极子一、电介质与偶极子 电介质是由中性分子构成的，是绝缘体。其原因是：电介质的原子对其电子的约束力较强，使得外层价电子处于束缚

6、状态，不易挣脱所属的原子。因此，在电介质内部几乎没有自由电子，所以，电介质不能导电。偶极子是由两个相距很近而且等值异号的点电荷组成的。第三章 静电场中的电介质所谓很近，是指场点与这两个点电荷的距离比两个点电荷之间的距离大得多。为了讨论电介质在电场作用下的变化以及变化后对电场的影响。首先必须对偶极子在电场作用下如何变化（被动方面）（被动方面）以及如何激发电场（主动方面）（主动方面）有一个基本的认识。第三章 静电场中的电介质二、偶极子在外电场中所受的力矩二、偶极子在外电场中所受的力矩在这里，讨论偶极子的被动方面，即偶极子在外电场中所受到的影响。所谓外电场，是指除组成偶极子的电荷以外的所有电荷激发的

7、电场。外场是均匀的情况以表示均匀电场的强度。表示从到的矢量，与之间的夹角为。根据场强的定义，正负电荷所受的力分别为：Eqq+lElEqF q第三章 静电场中的电介质与大小相等，方向相反，合力为零。但是与的作用线不同，二者组成一个力偶。它们对于中点 力臂都是。对于中点，力矩的方向也相同。因此总力矩为：-q+q+FFq0lE+FF+FFqsin21l第三章 静电场中的电介质用矢量来表示，即为qqqsin sin21sin21qlElFlFT+El qT定义一个矢量，称为电偶极矩。则有l qpEpT第三章 静电场中的电介质此此式式说说明明：（1）力矩力图使偶极子的电矩转到与外场一致的方向上；（2）在

8、外场一定时，电偶极矩唯一地决定偶极子所受的力偶矩；（3）当时，即，力矩值最大；当时，即，力矩值为零。pTEEpT2qElT0qEl/T电偶极子在均匀电场中的电位能为：讨论结果：是一个稳定平衡位置EpW0q第三章 静电场中的电介质三三、偶偶极极子子激激发发的的静静电电场场在这里，讨论偶极子的主动方面，即激发的场强。P1r2rrqqq+1cos342302/2+qrqlEEE当 求得的就是中垂线上和延长线的场强！教材P132最后一段及P133最上一段话讲得很好。时或20qq第三章 静电场中的电介质 3 电介质的极化（dieletric polarization)一、电介质的电结构和极化现象一、电介

9、质的电结构和极化现象 电介质内部作宏观运动的电荷极少，导电能力极弱，为了突出电场与电介质相互影响的主要方面，在静电问题中总是忽略电介质微弱的导电性，把它看作理想的绝缘体。电介质是由中性分子构成的。所谓中性，是指分子中正负电荷等值异号，可将其中的所有正电荷等效于一个正点电荷，其中的负电荷分布在该正电荷的周围，也等效于一个负点电荷，这样，一个分子对外的电效应就可用一对等值异号的正、负电荷来代替，它们在分子中的位置分别称为正、负电荷的中心。第三章 静电场中的电介质当这两个点电荷的中心不重合而有一微小距离时，它们就构成一电偶极子，其电偶极距 也称为分子电偶极距， 是研究物质电性质的基元。ip 电介质分

10、子一般分两类：其中一类分子的正、负电荷中心在没有外电场时彼此重合，其电偶极距为0 ，这样分子叫做“无极分子”（如H2、N2、CH4等都是无极分子）；另一类分子的正、负电荷的中心在没有外场时并不重合，等量的正、负电荷中心互相错开，从而电偶极距不为0，这叫做分子的“固有电距”，这类分子称为“有极分子”（如NH3、H2O、CO2、SO2等）。有极分子组成的介质，当然也不显电性。ip第三章 静电场中的电介质但无论哪类电介质放入外电场中，都要发生极化现象，极化分：无极分子电介质的极化称为位移极化，有极分子电介质的极化称为取向极化。有极分子电介质其实也有位移极化效应，即分子也会被外电场“拉长”，但是与取向

11、极化效应相比，位移极化效应可以忽略不计。第三章 静电场中的电介质二、极化强度矢量二、极化强度矢量P P 为了定量描写电介质的极化程度：我们在电介质内取一物理无限小体积元（看成一个宏观点），当没有外场时，中所有分子的电距的矢量和P P分子=0，但在外电场影响下，由于电介质的极化，P P分子0，外场愈强时，被极化的程度愈大，P P也愈大，因此我们引入一个矢量P P，它等于单位体积内电距矢量和，即P=P=P P分子/为极化强度矢量，它是宏观矢量点函数，它的单位是 。 如果电介质中各点的极化强度矢量大小和方向都相同，称该极化是均匀的，否则，极化是不均匀的。2/mC第三章 静电场中的电介质三、极化强度与

12、场强的关系三、极化强度与场强的关系 极化既然由电场引起，极化强度就应该与场强有关，这一关系由电介质内在结构决定。电介质分为“各向同性”和“各向异性”两种。实验结果表明：在各向同性介质中，每一点极化强度P P与该点的总场强（不仅是外场）方向相同，且大小成正比，即P=P=xe0E E，比例常数xe叫做电介质的极化率，它是一个没有单位的纯数，它由物质的性质决定，与场强E E无关。若介质中各点的极化率相同，则称为均匀介质。本章仅限于讨论各向同性介质即 的关系与方向无关。EP与第三章 静电场中的电介质4 极化电荷（ polarization charge) 电场是电介质极化的原因，极化则反过来对电场造成

13、影响，这种影响之所以发生是由于电介质在极化后出现一种附加的电荷（叫做极化电荷，有时称为束缚电荷）激发附加的电场。电介质的极化程度不仅体现在P P上，还体现在极化电荷多少上，因此，极化强度矢量P P和极化电荷之间必定有内在联系。第三章 静电场中的电介质一、极化电荷一、极化电荷 如果说一个导体带电，是指导体失去或得到一些自由电子,因而整个导体所有带电粒子的电量的代数和不为0。有时一个导体电量的代数和为0（中性导体），在外场中出现等值异号电荷，我们也可以说它局部带电。 如果说一块电介质在宏观上带电，这又指的是什麽呢？第三章 静电场中的电介质在这之前，我们知道电介质之间的互相摩擦，实现了电子转移，分开

14、后带电，其次电介质与带电导体接触带电。但是，若一块电介质电量代数和为0也可实现宏观带电。只要介质在外电场作用下发生极化，那麽在介质内部取一物理无限小体积，其中所包含的带电粒子的电量代数和就可能不为0，这种由于极化而出现的宏观电荷叫做极化电荷，把不是由极化引起的宏观电荷叫做自由电荷。无论是极化电荷还是自由电荷，都按第一章所讲的规律激发静电场。我们以 分别表示极化电荷及其密度, 分别表示自由电荷及其密度。 ,q000,q第三章 静电场中的电介质二、极化电荷体密度与极化强度的关系二、极化电荷体密度与极化强度的关系 如上所述，当电介质处于极化状态时，一方面在它体内出现未抵消的电偶极距，这一点是通过极化

15、强度矢量P P来描述的；另一方面,在电介质的某些部位将出现未抵消的束博电荷，即极化电荷。可以证明，对于均匀的电介质（即极化率为常量）并不要求均匀极化，极化电荷集中在它的表面上。电介质产生的一切宏观后果都是通过极化电荷来体现的。下面我们就来研究极化电荷和极化强度这两者之间的关系。 q第三章 静电场中的电介质为了便于说明问题，我们以位移极化为模型，设想介质极化时，每个分子的正电中心相对负电中心有个位移 。用 代表分子中正、负电荷的数量，则分子电矩:qll qp分子lnqpnP分子n设单位体积有 个分子，按定义，极化强度矢量第三章 静电场中的电介质如图所示:在极化了的电介质内取一个面元矢量ds=nd

16、s，计算因极化而穿过面元的极化电荷：穿过ds的电荷所占据的体积是以ds为底、长度为l的一个斜柱体。此柱体的体积为 因为单位体积内正极化电荷数量为nq，故在此体积内极化电荷总量为： 这也就是由于极化而穿过ds的束薄电荷！qcosldSSdlSdPSdlnqdSqln第三章 静电场中的电介质现在我们取一任意闭合面s，则P P通过整个闭合面s的通量应等于因极化而穿过此面的束缚电荷总量。根据电荷守恒定律，这等于s面内净余的极化电荷的负值，即)()(内SSqSdP这公式表达了极化强度P P与极化电荷分布的一个普遍关系。第三章 静电场中的电介质 对于均匀介质，可以证明其极化电荷体密度恒为零。即均匀电介质的

17、内部无极化电荷，因此极化电荷只能分布在均匀电介质的表面或两种电介质的界面上。从物理方面考虑，若把闭合面取在电介质体内，前面的束缚电荷移出时，后面还有束博电荷补充进来，若介质均匀，移出和补充的量相等，其体内不会出现净余的束缚电荷。对于非均匀电介质，体内是可能有极化电荷的。下面我们只考虑均匀电介质的情形。第三章 静电场中的电介质三、极化电荷面密度与极化强度的关系三、极化电荷面密度与极化强度的关系+ +电介质qn0,2eqll电介质nq0,2eq第三章 静电场中的电介质 在电介质的表面上，为锐角的地方将出现一层正极化电荷，为钝角的地方则出现一层负极化电荷，表面电荷层的厚度是 ，故面元ds上的极化电荷

18、为: qcosldSPdSnqlqdqqcoscos从而极化电荷面密度为: nPPdSqdeqcos第三章 静电场中的电介质这里 是P沿介质表面外法线n方向的投影。此式表明为锐角的地方， ;为钝角的地方 ; 这与前面的分析结论一致。上式是介质表面极化电荷面密度分布与极化强度矢量间的一个重要公式。qcosPPnPn0, 0enP0, 0enP第三章 静电场中的电介质例1 求均匀极化的电介质球表面上极化电荷的分布，已知极化强度为PnqqPAZO解 取球心0为原点，极轴与P平行的球坐标系。由于轴对称性，表面上任一点A的极化电荷面密度e/只与有关。因 与 P 的夹角为 故 nqqcosPe第三章 静电

19、场中的电介质 上式表明， 在右半球 ， 左半球 在两半球的分界线上（赤道线）=/2 ，/=0 ，在两极（极轴上的两点）=0 和 ，| 最大!讨论：两种媒质分界面上极化电荷的面密度1221nPnP+nPnP+21nPP)(12媒质1媒质22n1nnS000第三章 静电场中的电介质（1）媒质2是电介质而媒质1是真空nPnP22（2）媒质2是电介质而媒质1是金属nPnP22（3）两种媒质都是电介质nnPPnPP1212)(第三章 静电场中的电介质5 电介质中的电场 电位移D 有介质时的高斯定理（Gauss theorem in dieletric) 一、电介质中的电场一、电介质中的电场 电介质极化时

20、出现极化电荷，这些极化电荷和自由电荷一样，在周围空间（无论介质内部或外部）产生附加的电场E E/。根据场强叠加原理，在有电介质存在时，空间任意一点的场强E E是外电场E E0和E E/的矢量和：E= EE= E0E E/ 。EEE+0第三章 静电场中的电介质例如上例的介质球极化后，在介质球外部左右两部分E E/与E E0方向一致总电场E增强；上下两部分E E/与E E0方向相反总电场E减弱；一般情况下E E/与E E0 成一定夹角。然而介质内部情况简单，E E/处外和电场E E0的方向相反，其后果是使总场E E比原来的E E0减弱，决定电介质极化程度的不是原来的外场E E0，而是电介质内实际的

21、电场E E ，E EP P,所以极化电荷在介质内部的附加场E E/总是起着减弱极化的作用称为退极化场第三章 静电场中的电介质例例2 求均匀极化的电介质球在球心产生的退极化场，已知极化强度为P解解 例1中已求得：qcosPe根据轴对称性，球心的电场只有Z分量nqPAOZdSEd 第三章 静电场中的电介质qqqddPRdSRqdEdesincos44402020qqqqddPEdEdZsincos4)cos(20qqq20002)(03sincos4PddPEdEZZ球面第三章 静电场中的电介质二、有介质时的高斯定理、电位移二、有介质时的高斯定理、电位移D D 静电场中的电介质的性质和导体有一定相

22、似之处，这就是电荷与电场的平衡分布是相互决定的。然而电介质的性质比导体还要复杂。因为在电介质里极化电荷的出现并不能把体内的电场完全抵消，因而在计算和讨论问题时，电介质内部需要由两个物理量 描述。最麻烦的问题是极化强度和极化电荷的分布由于互相牵扯而事先不能知道。如果能制定一套方法，从头起就使这些量不出现，从而有助于计算的简化，为此我们引入一个新物理量电位移矢量。),(PE第三章 静电场中的电介质 高斯定理是建立在库仑定律的基础上的，在有电介质存在时，它也成立。只不过计算总电场的电通量时，应计及高斯面内所包含的自由电荷q0和极化电荷q/ +SSSdPqqqSdE00001100qSdPES+PED

23、+0令矢量点函数D D叫做电位移矢量电位移矢量。第三章 静电场中的电介质0qSdDS(有介质存在时的高斯定理)EEDEPree0001,+ D D=E E说明在各向同性的电介质中电位移等于场强的倍，如果是各向异性电介质，如石英晶体，则P P与E E ，D D与E E的方向一般并不相同，电极化系数xe也不能只用数值表示，则D D=E E失去了它的意义，但D D=0E E+P P仍旧适用。第三章 静电场中的电介质 对于任何矢量场都可用几何曲线直观表示出来，意义都是相同的。如D D线（电位移线），切线方向表示该点D D方向，D D线疏密程度表示该点的大小。D D线发自正自由电荷，终止于负自由电荷，无

24、自由电荷处不中断；E线发自正电荷（自由+极化），终止于负电荷（自由+极化） ，无电荷处不中断； P P线发自负极化电荷，终止于正极化电荷，无极化电荷处不中断。 当D D具有某种对称性时，就可以求出D D，从而得到E E，其中的介电常数是较易测量的量。第三章 静电场中的电介质例例3 平行板电容器充满了极化率为Xe的均匀电介质，已知充电后金属极板上的自由电荷面密度为0，求平行板电容器中的场强。解解 作柱形高斯面，它的一个底在一个金属极板体内，另一个底在电介质中，侧面与电力线平行。在金属内E=0，D=0。所以 + + + + +00D1S2S202SSDSdD（高斯面）0 D)1 (000erDE+

25、第三章 静电场中的电介质例4 在整个空间充满介电常数为 的电介质，其中有一点电荷 ，求场强分布。rq224 , 4rqDqDrSdDS2004 rqEEEDrrqSr解 这个问题具有对称性（分析）qrs以 为球心任意半径 作球形高斯面 ，则第三章 静电场中的电介质q我们看到，有电介质时的场强减小为真空中场强的 倍，这是因为在电介质极化后，点电荷 周围出现了与之异号的极化电荷，极化电荷产生的电场削弱了 产生的电场。通常把这个效应说成极化电荷对 起了一定的屏蔽作用。qqr1第三章 静电场中的电介质 由上面两个例题可以看出： 只与自由电荷有关，与空间充有什么样的电介质无关！ 注意这是有条件的。可以用

26、唯一性定理证明，当均匀电介质充满电场所在空间，或均匀电介质表面是等位面时才成立（或者说无限大空间均充满均匀介质或分区均匀充满）。D第三章 静电场中的电介质思考题思考题：平行板电容器在它的一半充上介电常数的介质，能不能认为也满足分区均匀充满条件呢？+0102 不能：因为介质与真空的界面不是等位面，因此极板上的自由电荷将重新分布（先前是均匀分布的）。1 1=2 2 ，D1=01, D2=02, D1/1=D2/2, D1/D2=01/02=1/r,如果在区充入另一种电介质，01与02之比也随之变化 ！ 第三章 静电场中的电介质 6 有介质时的静电场方程 （equation of electrost

27、atic field in dielectric)一、有介质时的高斯定理一、有介质时的高斯定理0qSdDSEEDr0注意，电位移矢量D D只是一个辅助物理量，真正描述电场的物理量仍是电场强度E E。引出电位移矢量D D的好处是可以绕开极化电荷把静电场规律表述出来，同时也可以为求解电场带来方便，不过这种方法只适用于有对称性的静电场问题。对于一般的静电场问题，只靠高斯定理是不能完全确定静电场解的，还必须考虑另一条基本定理环路定理。第三章 静电场中的电介质二、有介质时的环路定理二、有介质时的环路定理E0 不管是自由电荷产生的外电场 ，还是极化电荷产生的退极化场 ，它们都是保守场，均满足环路定理，即E )0( 0 , 000EEEl dEl dEl dELLL+ 为了要确定D D、E E两个矢量。还需附加条件D D=E,E,这叫电介质的性能方程性能方程。如果已知自由电荷在空间的分布，电介质在空间的分布以及每种电介质的，原则上可由以上三式确定场中的E E、D D。第三章 静电场中的电介质 在两种介质上没有自由电荷时，介面两边的D D和E E必须同时满足下列边界条件D1n=D2n ,E1t=E2t （E E和D D在两种不同的介