单自由度强迫振动

1、第3章 单自由度系统强迫振动1第第3章章 单自由度系单自由度系统强迫振动统强迫振动第3章 单自由度系统强迫振动2 系统在外部激励作用下的振动称为系统在外部激励作用下的振动称为受受迫振动迫振动或或强迫振动强迫振动。 自由振动只是系统对初始扰动自由振动只是系统对初始扰动(初始初始条件条件)的响应。由于阻尼的存在的响应。由于阻尼的存在,振动现象振动现象很快就会消失。很快就会消失。 要使振动持续进行，必须有外界激励要使振动持续进行，必须有外界激励输入给系统输入给系统, 以补充阻尼消耗的能量。以补充阻尼消耗的能量。 第3章 单自由度系统强迫振动3所谓所谓谐和激励谐和激励就是正弦或余弦激励。就是正弦或余弦

2、激励。3.1 单自由度系统在谐和单自由度系统在谐和激振下的强迫振动激振下的强迫振动3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动 设激励为设激励为F(t)=F0sinw wt，这，这里里w w为激振频率，利用牛顿定为激振频率，利用牛顿定律并引入阻尼比律并引入阻尼比x x 可得到可得到202sinnnFxxxtmw xww第3章 单自由度系统强迫振动4齐次方程的通解上章已经给出。设其特解为齐次方程的通解上章已经给出。设其特解为:0sin()pxXtw代入方程确定系数代入方程确定系数X0和和f f为：为：00222/,(1)(2)FkXrrx22arctan1rrx其

3、中：其中：nrww为为频率比频率比。3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动3.1.1 非齐次方程的特解（非齐次方程的特解（P33-34）第3章 单自由度系统强迫振动5的全解为：的全解为：22nsin1)Atwxn21n( )(cos1tx teAtxwwx0sin()Xtw3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动3.1.2 非齐次方程的通解非齐次方程的通解 瞬态振动和稳态振动的叠加瞬态振动和稳态振动的叠加(P39-40)202sinnnFxxxtmw xww方程方程第3章 单自由度系统强迫振动6系数系数A1和和A2由初始

4、条件确定。设由初始条件确定。设t0时时,00,xxxx 则：则：00200(sin )cosndddxXAxXxwwwww100sinAxX3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动第3章 单自由度系统强迫振动7 所以线性阻尼振动系统在所以线性阻尼振动系统在正弦激励正弦激励作用下的响作用下的响应（解）最终表示为应（解）最终表示为:000sincosntndddxxxetxtxwxwwww0sincossinsincosntndddX ettxwxwwwww0sin()Xtw3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动 上述解的第

5、一部分代表由初始条件引上述解的第一部分代表由初始条件引起的自由振动起的自由振动;第3章 单自由度系统强迫振动83.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动第二部分第二部分代表由干扰力引起的自由振动。代表由干扰力引起的自由振动。 这两部分都是衰减振动，随时间的推移而消这两部分都是衰减振动，随时间的推移而消失，称为失，称为瞬态响应瞬态响应或或暂态响应暂态响应；0sincossinsincosntndddX ettxwxwwwww 最后只剩下第三部分最后只剩下第三部分 ，代表，代表与激振力同形式的等幅的与激振力同形式的等幅的强迫振动强迫振动，称为，称为稳态响稳态响应应

6、，这才是我们最关心的。，这才是我们最关心的。0sin()Xtw第3章 单自由度系统强迫振动9若为若为余弦激励余弦激励, 则响应（解）为：则响应（解）为：000sincosntndddxxxetxtxwxwwww0cossinsincoscosntndddX ettxwxwwwww0cos()Xtw3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动系数系数X0和和f f与正弦激励相同。与正弦激励相同。第3章 单自由度系统强迫振动10 无阻尼系统无阻尼系统的响应（解）的响应（解）00sincosnnnxxtxtwww02sinsin(1)nFtrtkrww00sincos

7、nnnxxtxtwww3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动余余弦弦激激励励02coscos(1)nFttkrww正正弦弦激激励励第3章 单自由度系统强迫振动113.1.3 频率域研究方法频率域研究方法 频率响应函数和复参数（频率响应函数和复参数（P42-45）将振动方程写为复数形式将振动方程写为复数形式202itnnFzzzemww xw 其实部和虚部分别分别代表余弦和其实部和虚部分别分别代表余弦和正弦激励。令其特解为正弦激励。令其特解为*i tzZew3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动第3章 单自由度系统强迫振

8、动12代入方程得到代入方程得到令令*022/2i tnnFmzeiwwwxw w*0( )i tzHF eww21/( )12kHri rwx H(w w)称为称为复频率响应函数复频率响应函数，是系统对频，是系统对频率为率为w w 的单位谐干扰力的复响应的振幅。的单位谐干扰力的复响应的振幅。3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动则则021/12i tkF eri rwx第3章 单自由度系统强迫振动13令令212iri rCex求得求得C和和f f为为222(1)(2)Crrx(cossin )Ci比较系数得比较系数得21cos2sinrCrCx 22arc

9、tan1rrx3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动第3章 单自由度系统强迫振动14由此得到由此得到*00/( )i ti tiFkzF HeeCewww()0()itFHeww()0itX ew()0222/(1)(2)itFkerrwx3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动第3章 单自由度系统强迫振动15 这里的这里的X0与与f f和前面方法给出的结果一和前面方法给出的结果一样，即样，即00222/(1)(2)FkXrrx22arctan1rrx 分别取分别取 z*式的实部和虚部就是对应于式的实部和虚部就是对应于余

10、弦和正弦激励的稳态响应。余弦和正弦激励的稳态响应。3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动第3章 单自由度系统强迫振动16稳态响应分析稳态响应分析(P34-39)1. 稳态响应稳态响应xp=X0sin(w wtf f)的性质的性质(P34)（1）在谐和激振条件下）在谐和激振条件下,响应也是谐和响应也是谐和的的,其频率与激振频率相同其频率与激振频率相同;（2）谐和激励强迫振动的振幅）谐和激励强迫振动的振幅X0和相位和相位角角决定于系统本身的物理性质和激振力决定于系统本身的物理性质和激振力的大小与频率，与初始条件无关的大小与频率，与初始条件无关;3.1 单自由度

11、系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动第3章 单自由度系统强迫振动17（3）强迫振动振幅）强迫振动振幅X0的大小，在工程的大小，在工程实际中具有重要的意义。如果振幅超过实际中具有重要的意义。如果振幅超过允许的限度，构件就会产生过大的交变允许的限度，构件就会产生过大的交变应力而导致疲劳破坏，或影响机械加工应力而导致疲劳破坏，或影响机械加工或仪表的测量精度。因此在振动工程中或仪表的测量精度。因此在振动工程中必需控制振幅的大小。必需控制振幅的大小。3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动第3章 单自由度系统强迫振动182. 幅频特性曲线（幅频

12、特性曲线（P35） 对于稳态响应，定义对于稳态响应，定义动力放大系数动力放大系数R为响应的振幅为响应的振幅X0与最大干扰力与最大干扰力F0所引所引起的静位移的比值：起的静位移的比值： 以以x x为参数，画出为参数，画出R-r 曲线曲线即即幅频特幅频特性曲线性曲线，表明了阻尼和激振频率对响，表明了阻尼和激振频率对响应幅值的影响。应幅值的影响。022201/(1)(2)XRFkrrx3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动第3章 单自由度系统强迫振动193.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动Rr第3章 单自由度系统强迫振动2

13、0讨论：讨论： r1时时2222110(1)(2)Rrrrx000022222/(1)(2)FkFFXkrmrrwx3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动振幅的大小主要决定于系统的惯性。这就是高速振幅的大小主要决定于系统的惯性。这就是高速旋转的机器正常工作时运转非常平稳的原因。旋转的机器正常工作时运转非常平稳的原因。Rr第3章 单自由度系统强迫振动21l r1（激振频率接近固有频（激振频率接近固有频率）时，率）时，R迅速增大，振幅很迅速增大，振幅很大，这种现象称为大，这种现象称为共振共振;3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的

14、强迫振动l 阻尼比阻尼比x x的影响的影响: 阻尼越小，共振越厉害。阻尼越小，共振越厉害。因此加大阻尼可以有效降低共振振幅。因此加大阻尼可以有效降低共振振幅。l 共振位置：共振位置：将将R对对r求导数求导数22222 32(21)(1)(2) rRrrrxx Rr第3章 单自由度系统强迫振动22221 2rx 令其等于令其等于0 0得得3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动212nwx w即时max2121Rxx而而r1 1时时222112(1)(2)Rrrxx 由此看出：当由此看出：当x x很小时的很小时的R和和Rmax相差相差很小，所以在工程中通常认为

15、很小，所以在工程中通常认为当当w ww wn 时时发生共振发生共振。第3章 单自由度系统强迫振动23 以以x x为参数为参数,画出画出f f-r曲线曲线即即相频特性曲相频特性曲线线,表明了阻尼表明了阻尼和激振频率对和激振频率对相位差的影响。相位差的影响。3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动f f3. 相频特性曲线（相频特性曲线（P37）第3章 单自由度系统强迫振动24讨论：讨论： 从图中可以看出从图中可以看出,无阻尼情况下无阻尼情况下的曲线是由的曲线是由f f0和和f fp p 的半直线的半直线段组成段组成,在在r1处发生间断处发生间断;3.1 单自由度

16、系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动f f 有阻尼时有阻尼时f f为为在在0p p之间变化的光滑曲线之间变化的光滑曲线,并且不论并且不论f f 取值多少取值多少,当当r1时都有时都有f fp p/2,即曲线都交于即曲线都交于(1,p p/2)这一点。这一现象可以用来测定系统的固有频率这一点。这一现象可以用来测定系统的固有频率; r 时时, f fp p, 激振力与位移反相激振力与位移反相, 系统平稳运行系统平稳运行; r 0时时, f f0 0, 激振力与位移同相激振力与位移同相, 近似静位移近似静位移.第3章 单自由度系统强迫振动254. 品质因子（品质因子（P36)

17、 工程上通常把共振时的动力放大系数称工程上通常把共振时的动力放大系数称为为品质因子品质因子，记为，记为Q：12Qx 在频率响应曲线上用在频率响应曲线上用 的 一 条 水 平的 一 条 水 平直线在共振区附近截出两点直线在共振区附近截出两点q1、q2，对应于这，对应于这两点的激振频率为两点的激振频率为w w1、w w2， q1、q2 称为称为半功率半功率点点，w w1、w w2 之差称为系统的之差称为系统的半功率带宽半功率带宽。2QR3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动第3章 单自由度系统强迫振动263.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在

18、谐和激振下的强迫振动w w1 1/ / w wn 1 w w2 2/ / w wnrRq2q112Qx2Q第3章 单自由度系统强迫振动27 求出动力放大系数对应于两点求出动力放大系数对应于两点q1、q2的的两个用两个用x x 表示的根。由表示的根。由22211( )222(1)(2)QRrrxxx222(1 2)21rxxx得得当当x x5或或x x1.414时，传递率减小，传递的力小于激时，传递率减小，传递的力小于激振力，且阻尼越小，效果越好。但若阻尼过小，经振力，且阻尼越小，效果越好。但若阻尼过小，经过共振区时将产生过大的振动。过共振区时将产生过大的振动。振动向基础的传递振动向基础的传递第

19、3章 单自由度系统强迫振动103 题题3-36 重量为重量为3000 N的机器，以刚度的机器，以刚度系数系数600 N/cm及阻尼比及阻尼比x x0.2的阻尼器支的阻尼器支撑，若在机器上加以按正弦规律变换的干撑，若在机器上加以按正弦规律变换的干扰力，其频率与机器转速相同。求：扰力，其频率与机器转速相同。求：（1）如果传递到基础上的力大于干扰力力）如果传递到基础上的力大于干扰力力幅，机器转速应如何？幅，机器转速应如何？（2）若传递力的最大值小于干扰力力幅的）若传递力的最大值小于干扰力力幅的20，机器的转速应如何。，机器的转速应如何。振动向基础的传递振动向基础的传递第3章 单自由度系统强迫振动10

20、4解：解： 固有频率为固有频率为14nkmw（1）力传递系数应大于）力传递系数应大于1，则：，则：2221(2)1(1)(2)rrrxx解得：解得：2r （2）力传递系数应小于）力传递系数应小于20即：即：2nww振动向基础的传递振动向基础的传递第3章 单自由度系统强迫振动105 【例】【例】汽车在汽车在5 m/周的简谐波形道路上行驶周的简谐波形道路上行驶, 车速车速v=100 km/h, 已知汽车已知汽车k=350 kN/m, 空载质量空载质量m2=250 kg, 满载质量满载质量m1=1000 kg, 满载时阻尼比满载时阻尼比x x10.5, 求满载和空载时汽车的振幅比。求满载和空载时汽车

21、的振幅比。 解解: 先求基础的激振频率。先求基础的激振频率。 周期为周期为234.9 rad/sTpw5Tv振动向基础的传递振动向基础的传递第3章 单自由度系统强迫振动106阻尼系数阻尼系数112222cm km kxx则空载时的阻尼比为则空载时的阻尼比为2112/1mmxx频率比频率比111nmrkwww1.87（满载）（满载）222nmrkwww0.93（空载）（空载）振动向基础的传递振动向基础的传递第3章 单自由度系统强迫振动107振幅振幅（满载）（满载）（空载）（空载）0122211 1/(1)(2)FkXrrx所以满载和空载时车辆的振幅比为所以满载和空载时车辆的振幅比为0222222 2/(1)(2)FkXrrx2222