工程力学 第四章-空间力系.

1、41 空间汇交力系空间汇交力系42 空间力偶系空间力偶系43 力对点的矩与力对轴的矩力对点的矩与力对轴的矩44 空间一般力系向一点的简化空间一般力系向一点的简化 45 空间一般力系简化结果的讨论空间一般力系简化结果的讨论46 空间一般力系的平衡方程及应用空间一般力系的平衡方程及应用47 平行力系的中心与物体的重心平行力系的中心与物体的重心 习题课习题课 本章重点、难点本章重点、难点 重点重点 力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。 空间力系平衡方程的应用。空间力系平衡方程的应用。 常见的空间约束及约束反力。常见的空间约束及约束反力。 难点难点 空间矢量

2、的运算，空间结构的几何关系与立体空间矢量的运算，空间结构的几何关系与立体图。图。 本章重点、难点本章重点、难点 重点重点 力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。 空间力系平衡方程的应用。空间力系平衡方程的应用。 常见的空间约束及约束反力。常见的空间约束及约束反力。 难点难点 空间矢量的运算，空间结构的几何关系与立体空间矢量的运算，空间结构的几何关系与立体图。图。 本章重点、难点本章重点、难点 重点重点 力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。 空间力系平衡方程的应用。空间力系平衡方程的应用。 常见的空间约束及约束

3、反力。常见的空间约束及约束反力。 难点难点 空间矢量的运算，空间结构的几何关系与立体空间矢量的运算，空间结构的几何关系与立体图。图。迎 面风 力侧 面风 力b工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力系，即空间力系，空间力系是最一般的力系。(a)图为空间汇交力系；(b)图为空间任意力系；(b)图中去掉风力后为空间平行力系。4-1 4-1 空间汇交力系空间汇交力系或由仰角 与方位角 来确定。1.1.力在空间的表示力在空间的表示的接触之点。一、力在空间轴上的投影与分解一、力在空间轴上的投影与分解：力的三要素：大小、方向、作用点大小：大小：作用点作用点：方向方向：由、g 三个方向角确定gFx

4、yOFF 物体和力矢的起点或终点4-1 工程中的空间力系问题工程中的空间力系问题4-2 力在空间坐标轴上的投影力在空间坐标轴上的投影4-3 力对轴之矩力对轴之矩 4-4 空间力系的平衡方程空间力系的平衡方程4-5 重心坐标公式重心坐标公式 一次投影法（直接投影法）一次投影法（直接投影法）g cos, cos, cosFZFYFXgcoscoscoscossinFFFXxygsincossinsinsinFFFYxygsincosFFZ由图可知：即： 二次投影法（间接投影法）二次投影法（间接投影法） 当力与各轴正向间夹角不易确定时，可先将 F 投影到xy 面上，然后再投影到x、y 轴上。三轴的方

5、向余弦对应于力分别称为其中：zyxF,cos,cos,cosg 若以 表示力沿直角坐标轴的正交分量，则：zyxFFF,zyxFFFFkZFjYFiXFzyx,而：kZjYiXF所以：FxFyFz 已知力的投影求该力已知力的投影求该力 力沿坐标轴分解力沿坐标轴分解222ZYXFFZFYFXgcos,cos,cos大小：方向： 几何法几何法 与平面汇交力系的合成方法相同，也可用力多边形方法求合力。inFFFFFR321二、空间汇交力系的合成二、空间汇交力系的合成即：合力等于各分力的矢量和：合力等于各分力的矢量和 注意注意 力在坐标轴上的投影是代数量；而力沿直角坐标轴的分量及力在坐标平面上的投影是矢

6、量。 (由于力多边形是空间力多边形，合成并不方便，一般不采用此方法合成） 空间力系的合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一空间力系的合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。轴上投影的代数和。由于 代入上式kZjYiXFiiiiixXRiyYRizZR 合力投影定理合力投影定理 解析法解析法kZjYiXRiii合力定理定理: 合力的解析求法合力的解析求法222222)()()(ZYXRRRRzyx大小：RRRRRRzyxgcos,cos,cos方向： 0X 0Y0Z解析法解析法平衡充要条件为：几何法几何法平衡充要条件为该力系的力多边形封闭力多边形封闭。0iFR空间汇交力系平衡的充

7、要条件是：力系的合力为零，即：空间汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力为零，即：三、空间汇交力系的平衡三、空间汇交力系的平衡亦称为亦称为 空间汇交力系的平衡方程空间汇交力系的平衡方程三个独立的方程，只能求解三个未知量三个独立的方程，只能求解三个未知量 平衡的充要条件平衡的充要条件 几何法平衡充要条件几何法平衡充要条件 解析法平衡充要条件解析法平衡充要条件4-2 4-2 空间力偶系空间力偶系一、空间力偶一、空间力偶三要素三要素 力偶矩的大力偶矩的大小小 ； 力偶力偶作用面的方位作用面的方位 ； 力偶的转向力偶的转向 。决定空间力偶对刚体的作用效应,除力偶矩的大小、力偶的转向外,还必须确定力偶作用

8、面的方位，作用面的方位不同，则空间力偶对物体的作用效应也不同，所以空间力偶对刚体的作用效应取决于下列三要素：y 空间力偶三要素可以用一个矢量表示，该矢量称为力偶矩力偶矩矢。矢。二、力偶矩用矢量表示二、力偶矩用矢量表示 力偶矩力偶矩矢矢 力偶矩力偶矩矢表示方法矢表示方法 大小：大小：矢量的长度表示力偶矩的大小； 矢量的方位：矢量的方位：与力偶作用面的法线方位相同 矢量的指向：矢量的指向：与转向的关系服从右手螺旋定则。或从力偶矢的末端看去，力偶的转向为逆时针转向。 证明证明 ： 作II/，cd / ab 作一对平衡力R, R (在E点, 且 使-R=R) 作用在同一刚体的两平行平面的两个力偶，若它

9、们的转向作用在同一刚体的两平行平面的两个力偶，若它们的转向相同，力偶矩的大小相等，则两个力偶等效。相同，力偶矩的大小相等，则两个力偶等效。F1与R合成得F2，作用在d点 F1与R合成得F2，作用在c点 且R-F1=F2 ，R- F1= F2 由反向平行力合成得：三、空间力偶的等效定理三、空间力偶的等效定理 定理定理 在I内的力偶（F1，F1）等效变成II内的（ F2， F2） 推论推论 在同一刚体内，力偶可以从一个平面移至另一平行平面而在同一刚体内，力偶可以从一个平面移至另一平行平面而不改变它对刚体的作用。不改变它对刚体的作用。 空间力偶空间力偶矩矩矢是一个自由矢量矢是一个自由矢量 由于力偶可

10、以在同一平面内和平行平面内任意移转，因此由于力偶可以在同一平面内和平行平面内任意移转，因此表示力偶表示力偶矩的矩矩的矩矢的矢端亦可在空间任意移动，可见空间力偶矢的矢端亦可在空间任意移动，可见空间力偶矩矩矢是一个自由矢量。矢是一个自由矢量。四、空间力偶系的合成与平衡四、空间力偶系的合成与平衡 由于空间力偶系各力偶是自由矢量，只要不改变各分力偶矩矢方向，将它们都滑移至某汇交点，它们的合成符合矢量合成法则。 即：合力偶矩 = 分力偶矩的矢量和。 合成合成niinmmmmmm1321即：mmmmmmmmmmzyxzyxgcos,cos,cos;222大小：方向：投影式投影式为：0 xm0ym0zm0i

11、mm显然空间力偶系的平衡条件是：亦称为亦称为 空间力偶系的平衡方程空间力偶系的平衡方程三个独立的方程，只能求解三个未知量三个独立的方程，只能求解三个未知量 平衡平衡4-3 4-3 力对点的矩与力对轴的矩力对点的矩与力对轴的矩一、空间力一、空间力对对点之矩点之矩三要素三要素 力矩的大力矩的大小小 ； 力的力的作用线与作用线与矩心所组成的平面的矩心所组成的平面的方位方位 。 力矩的转向力矩的转向 ；决定力对刚体的作用效应,除力矩的大小、力矩的转向外,还须考虑力与矩心所组成的平面的方位，方位不同，则力对物体的作用效应也不同。所以空间力对刚体的作用效应取决于下列三要素：例例 力P1， P2 ，P3 对

12、汽车反镜绕球铰链O点的转动效应不同二、力对点的矩的矢量表示二、力对点的矩的矢量表示 在平面问题中，力对点的矩是代数量；而在空间问题中，由空间力对点的矩的三要素知，力对点的矩是矢量。 面积AOBdFFmFmOO2)()( 力矩力矩矢矢的的表示方法表示方法 力矩力矩矢矢大小大小 ： 力矩力矩矢方位：矢方位： 与该力和矩心组成的平面的法线方位相同注意：力矩矢为定位矢量注意：力矩矢为定位矢量注意：力矩矢为定位矢量注意：力矩矢为定位矢量 力矩力矩矢的指向：矢的指向：与转向的关系服从右手螺旋定则。或从力矩矢的末端看去，物体由该力所引起的转向为逆时针转向。 力对点的矩的矢积表达式力对点的矩的矢积表达式 如果

13、r 表示A点的矢径，则：,)(FrFmO 导出导出)()sin(FmdFF, rFrFrO力对点的矩等于矩心到该力作用点力对点的矩等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。的矢径与该力的矢量积。kZjYiXF由于kzj yi xrZYXzyxkjiFrFmO)(方向相同，的方向和)(FmFrO又.)(FrFmO 结论结论 力对点的矩的解析表达式力对点的矩的解析表达式 kFmjFmiFmkyXxYjxZzXizYyZzOyOxO)()()()()()(二、力对轴的矩二、力对轴的矩 实例实例的面积2)()(BOAdFFmFmxyxyOz它是代数量，正负规定 + 定义定义 力使物体绕某一轴转动效应的

14、量度力使物体绕某一轴转动效应的量度, ,称为力对该称为力对该轴之矩轴之矩. . 力对轴的矩的解析式力对轴的矩的解析式)()()()(yOxOxyOzFmFmFmFm由合力矩定理：即yXxYFmz)(同理可得其余两式，即有：yXxYFmxZzXFmzYyZFmzyx)()()(力对轴的矩的解析式力对轴的矩的解析式三、力对点的矩与力对通过该点的轴之矩的关系三、力对点的矩与力对通过该点的轴之矩的关系面积由于AOBFmO2)(2)()(BOAFmFmxyOz通过O点作任一轴Z，则： 力对点的矩矢在通过该点的力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于这力对于该任意轴上的投影等于这力对于该轴的矩。这就是力

15、对点之矩与对轴的矩。这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩的关系。通过该点轴之矩的关系。 定理定理 证明证明cosBOAOABg由几何关系：2cos2BOAOABg 即：)(cos)(FmFmzOg)()(FmFmzzOkFmjFmiFmFrFmzOyOxOO)()()()(kFmjFmiFmzyx)()()(又由于所以力对点O的矩为：222)()()()()(FmFmFmFmFmzyxOO大小：)()(cos,)()(cos,)()(cosFmFmFmFmFmFmOzOyOxg方向：四、力对点的矩的解析求法四、力对点的矩的解析求法 把研究平面一般力系的简化方法拿来研究空间一般力系的简化问题，但须

16、把平面坐标系扩充为空间坐标系。 4-4 4-4 空间一般力系向一点简化空间一般力系向一点简化nFFF,21 设作用在刚体上有空间一般力系试将力系向向O点简化点简化 根据力线平移定理，将各力平行搬移到O点，得到一空间汇交力系：. )(),(),(2211nOnOOFmmFmmFmm一、简化方法一、简化方法 任选任选O点为简化中心点为简化中心 将各力平行搬移到将各力平行搬移到O点点, , 321nFFFFnmmm,21和一附加力偶系：;,2211nnFFFFFF 空间力偶是自由矢量，总可汇交于O点。RFFFFFFFFRinino2121汇交力系合力 合成空间汇交力系合成空间汇交力系 合成附加力偶系

17、合成附加力偶系附加力偶的合力偶矩)()()()(2121ionoooinoFmFmFmFmmmmmM二、主矢与主矩二、主矢与主矩1. 主矢：指原空间一般力系各力的矢量和主矢：指原空间一般力系各力的矢量和 。iFiFR即 主矢主矢 的的R解析求法解析求法注意注意：因主矢等于原力系各力的矢量和,所以它与简化中心的位置无关。主矢大小主矢大小:222222)()()(ZYXRRRRRzyx主矢方向主矢方向:cos,cos,cosRZRYRXg 主矩：指原空间一般力系对简化中心之矩的矢量和主矩：指原空间一般力系对简化中心之矩的矢量和 。 )(ioFm)(iooFmM即大小大小：因主矩等于各力对简化中心之

18、矩的矢量和，所以它的大小和方向与简化中心有关。注意注意： 根据力对点之矩与力对轴之矩的关系:)( )( ; )( )( ; )( )(FmFmMFmFmMFmFmMzzOOzyyOOyixxiOOx222OzOyOxOMMMM主矩主矩OM解析求法解析求法OOzOOyOOxMMMMMMgcos,cos,cos方向方向：三、结论三、结论空间一般力系向任一点空间一般力系向任一点O 简化简化 ，一般可以得到一力和，一般可以得到一力和一力偶一力偶 ；该力作用于简化中心；该力作用于简化中心 ，其大小及方向等于该力系的，其大小及方向等于该力系的主矢主矢 ，该力偶之矩矢等于该力系对于简化中心的主矩，该力偶之矩

19、矢等于该力系对于简化中心的主矩 。化中心的位置有关，换个简化中心，主矩不为零) 空间一般力系向一点简化得一主矢和主矩，下面针对主矢、主矩的不同情况分别加以讨论。4-5 4-5 空间一般力系简化结果的讨论空间一般力系简化结果的讨论 若 , 则该力系平衡平衡（下节专门讨论）。0, 0OMR 若 则力系可合成一个合力偶合力偶，其矩等于原力系对于简化中心的主矩MO。此时主矩与简化中心的位置无关。0, 0OMR 若 则力系可合成为一个合力合力，力系合力0, 0OMRR等于主矢 ，合力 通过简化中心O点。（此时主矩与简RR一、一、力系平衡力系平衡二、二、力系简化为一个合力偶力系简化为一个合力偶三、三、力系

20、简化为一个合力力系简化为一个合力 若 , 时，OMR 0, 0OMR由于做iOOOFRRMRMddRM合力,)(dRMO可进一步简化，将MO变成( R, ,R) 使R与R 抵消只剩下R 例例 拧螺丝炮弹出膛四、四、力系简化力系简化为力螺旋为力螺旋力螺旋力螺旋 由力及垂直与该力平面内的力偶所组成的特殊力系由力及垂直与该力平面内的力偶所组成的特殊力系 若 ， 时，OMR /0, 0OMRM 和主矢R合成为合力R 而：sinRMRMOOO所以M/和R 在O点处形成一个点处形成一个力螺旋力螺旋。M/不变，是在平面内的一力偶 若 ，R不平行也不垂直M0，成最一般的任意角 时， 0, 0OMR可将M/搬到

21、O处因为M/ / 是自由矢量，首先把MO 分解为M/和M , 力系简化中，不随简化中心改变的量有：R， M/ 简化中心为O时：有M 和M/，当简化中心为另一点O1 时，为M 和M/ ， 即M/总是不变的（它是原力系中的力偶与简它是原力系中的力偶与简化中心无关）化中心无关） 注意注意, R， M/是是力系简化中的不变量力系简化中的不变量)(RMROOMMOO)(iOOFmM主矩又)()(iOOFmRM)()(izzFmRM常用投影式 空间力系向O点简化后得主矢 R和主矩 MO , 若MO R，可进一步合成为一个作用在新简化中心O点的合力R 。五、空间力系的合力矩定理五、空间力系的合力矩定理 定理

22、定理 导出导出 一、空间一、空间一般一般力系平衡的充要条件力系平衡的充要条件0)(iOOFmM00FR0)()()(222ZYXRR0) )() )() )(222FmFmFmMMzyxOO 4-6 4-6 空间一般力系的平衡方程及应用空间一般力系的平衡方程及应用空间空间一般一般力系平衡力系平衡00OMR必要充分力系的主矢力系的主矢 和主矩和主矩 都等于零都等于零，即： ROM 平衡的充要条件平衡的充要条件还有四矩式，五矩式和六矩式，同时各有一定限制条件。0)(, 00)(, 00)(, 0FmZFmYFmXzyx 解析法平衡充要条件解析法平衡充要条件六个独立的方程，只能求解六个未知量六个独立

23、的方程，只能求解六个未知量亦称为空间一般力系的平衡方程亦称为空间一般力系的平衡方程三、由空间一般力系的平衡方程导出的其它方程三、由空间一般力系的平衡方程导出的其它方程 空间汇交力系的平衡方程空间汇交力系的平衡方程因为各力线作用都汇交于一点，各轴都通因为各力线作用都汇交于一点，各轴都通过该点，故各力矩方程都成为了恒等式。过该点，故各力矩方程都成为了恒等式。000ZYX三个独立的方程，只能求解三个未知量三个独立的方程，只能求解三个未知量0)(0)(0FmFmZyx000)(YXFmz 空间平行力系的平衡方程空间平行力系的平衡方程设各力线都设各力线都 / z 轴轴因此因此均成为了恒等式，而自然均成为

24、了恒等式，而自然满足。满足。即有：三个独立的方程，只能求解三个未知量三个独立的方程，只能求解三个未知量二、空间约束二、空间约束 观察物体在空间的六种可能的运动中（沿三轴移动和绕三观察物体在空间的六种可能的运动中（沿三轴移动和绕三轴转动）轴转动） ，有哪几种运动被约束所阻碍，有阻碍就有约束反力。，有哪几种运动被约束所阻碍，有阻碍就有约束反力。阻碍移动为反力，阻碍转动为反力偶。阻碍移动为反力，阻碍转动为反力偶。例例1、球形铰链、球形铰链2、向心轴承，蝶铰链、向心轴承，蝶铰链3、止推轴承、止推轴承4、带有销子的夹板、带有销子的夹板5、空间固定端、空间固定端42球形铰链球形铰链滚珠（柱）轴承滚珠（柱）

25、轴承 RzRx活页铰活页铰滑动轴承滑动轴承止推轴承止推轴承带有销子的夹板带有销子的夹板空间固定端空间固定端例例 画出车床轮轴的受力图画出车床轮轴的受力图 例例 画出起重机画出起重机C点点和和 B点的受力图点的受力图 例例 已知: RC=100mm, RD=50mm,Px=466N, Py=352, Pz=1400N 求：平衡时(匀速转动)力Q=？和轴承A , B的约束反力？ 解解：选轮轴为研究对象； 受力分析如图； 选Axyz坐标；列方程求解。最好使每一个方程有一个未知量，以方便求解。)N(746,020cos10050;0)N(352,0;0QQPmPYPYYzyyAyA由：)N(385 ,

26、 020sin ; 0)N(2040 , 020sin 50300200 ; 0)N(729 , 020cos ; 0)N(437 , 020cos 5020050300 ; 00000AzBABzBxAxBABByxzZQPZZZZQPZmXQPXXXXQXPPm方法方法(二二) :将空间力系投影到三个坐标平面内，转化为平面力将空间力系投影到三个坐标平面内，转化为平面力系平衡问题来求解，请同学们课后自己练习求解系平衡问题来求解，请同学们课后自己练习求解。 4-7 4-7 平行力系的中心平行力系的中心 物体的重心物体的重心一、空间平行力系的中心一、空间平行力系的中心 平行力系的中心平行力系的中

27、心坐标公式坐标公式由合力矩定理： 矢量形式矢量形式)()(iOOFmRm 定义：定义：空间平行力系，当它有合力时，合力的作用点C 就是此平行力系的中心平行力系的中心。nnCFrFrFrRr2211;,00110PFFPFFPRRnn令nnCrFrFrFrR2211P0 为沿 方向的单位矢量RiiinnCFrFRrFrFrFr2211RzFzRyFyRxFxiiCiiCiiC , , 此式称矢量形式此式称矢量形式平行力系的平行力系的中心中心坐标公式坐标公式 直角坐标形式（投影式）直角坐标形式（投影式）物体重心问题可以看成是空间平行力系中心的一个特例。 二、二、 物体的重心物体的重心 定义：定义：

28、组成物体各质点的重力的合力作用线所通过的一个确定的点，这个点称为物体的重心物体的重心。 重心坐标公式重心坐标公式 确定物体重心的意义确定物体重心的意义 保证平衡的稳定性；保证平衡的稳定性； 保证运动的稳定性；保证运动的稳定性； 消除振动。消除振动。 如果把物体的重力都看成为平行力系，则求重心问题就是求平行力系的中心问题。iiCxPxPPxPxiiC即有：由合力矩定理： 直角坐标形式直角坐标形式iiCyPyP又 根据平行力系中心位置与各平行力系的方向无关的性质，将力线转成与 y 轴平行，再应用合力矩定理对 x 轴取矩得：PyPyiiC有：,iiCzPzP得：PzPziiC综合上述得直角坐标形式重

29、心坐标公式直角坐标形式重心坐标公式为：PzPzPyPyPxPxiiCiiCiiC,若以Pi= mig , P=Mg 代入上式可得质心坐标公式MzmzMymyMxmxiiCiiCiiC, 积分形式积分形式 设g gI 表示第i个小部分每单位体积的重量，Vi 第I 个小体积，则iiiVPg代入上式并取极限，可得：PdVzzPdVyyPdVxxVCVCVCggg, 式中 ，上式称为 积分形式积分形式重心坐标公式重心坐标公式。VdVPg对于均质物体，g = 恒量，上式成为：VdVzzVdVyyVdVxxVCVCVC,同理对于薄曲（平）面和细曲（直）杆均可写出相应的公式。 均质物体重心坐标公式形心均质物

30、体重心坐标公式形心（几何中心几何中心）坐标坐标 设g 表示单位体积的重量，Vi 第i个小体积，则iiVPg代入直角坐标形式重心坐标公式，可得：VzVzVyVyVxVxiiCiiCiiC, 均质立体均质立体 同理对于均质薄曲（平）面和均质细曲（直）杆均可写出相应的公式。 均质薄曲（平）面均质薄曲（平）面AzAzAyAyAxAxiiCiiCiiC, 均质细曲（直）杆均质细曲（直）杆lzlzlylylxlxiiCiiCiiC,三、重心的求法三、重心的求法 对称法对称法 具有对称点对称轴对称面的均质物体，其重心就在其具有对称点对称轴对称面的均质物体，其重心就在其对称点对称轴对称面上。对称点对称轴对称面

31、上。 组合法组合法 分割法分割法 例例 已知：Z 形截面，尺寸如图。求：该截面的重心位置。 解解：将该截面分割为三部分，取Oxy直角坐标系，如图。2111cm0 . 3,cm5 . 4,cm5 . 1Syx2222cm0 . 4,cm0 . 3,cm5 . 0Syx2333cm0 . 3,cm5 . 0,cm5 . 1Syxcm2 . 03435 . 135 . 04)5 . 1(3321332211SSSxSxSxSAxAxiiCcm7 . 23435 . 0334)5 . 4(3321332211SSSySySySAyAyiiC2111cm0 . 3,cm5 . 4,cm5 . 1Syx2

32、222cm0 . 4,cm0 . 3,cm5 . 0Syx2333cm0 . 3,cm5 . 0,cm5 . 1Syx 负面积法负面积法 解解： Z 形截面可视为由面积为S1的大矩形和面积分别为S2及S3的小矩形三部分组成， S2及S3是应去掉的部分，面积为负值。2111cm30cm,5 . 2, 0Syx2222cm12cm,0 . 2cm,5 . 1Syx2333cm8cm,0 . 3cm,0 . 2Syxcm2 . 0)8()12(302)8()5 . 1()12(030321332211SSSxSxSxSAxAxiiCcm7 . 2)8()12(303)8(2)12(5 . 23032

33、1332211SSSySySySAyAyiiC2111cm30cm,5 . 2, 0Syx2222cm12cm,0 . 2cm,5 . 1Syx2333cm8cm,0 . 3cm,0 . 2Syx 解解：由于对称关系，该圆弧重心必在Ox 轴上，即yC=0。dRdL cos RxRdRLdLxxLC2cos 2sinRxC例例 求半径为R，顶角为2 的均质圆弧的重心。 积分法积分法取微段：0)(FmB由01CxPlP称PlPxC1称简单图形的面积及重心坐标公式可由表中查出。 称重法称重法 实验法实验法 悬挂法悬挂法iziyixZRYRXR,)()(iooFmRm)()(:izzFmRm投影式)(

34、)(FmFmzZo 第四章第四章 空间力系空间力系习题课习题课一、概念及内容一、概念及内容)( , FmMo 空间力偶及空间力对点之矩是矢量， 空 间力对轴之矩和平面力偶、平面力对点之矩是代数量。 空间力系合力投影定理合力投影定理： 空间力系的合力矩定理合力矩定理： 空间力对点之矩与对轴之矩的关系( Z 轴过轴过O点）点）二、基本方程二、基本方程 空间力系的平衡方程空间力系的平衡方程空间一般力系空间一般力系空间汇交力系空间汇交力系 000ZYX空间力偶系空间力偶系000000zyxmmmZYX000zyxmmm空间空间x轴力轴力系系000zymmX00000zyxmmmYX000000 xzy

35、xmmmmYX 四矩式、 五矩式和六矩式的附加条件均 为使方程式独立。四四矩矩式式空空 间间xoy面的面的力力系系 空间力系中有时也包括摩擦问题。 空间力系的几个问题空间力系的几个问题 x , y, z (三个矩轴和三个投影轴可以不重合)可以是任选的六个轴。 力矩方程一般不少于三个（MO是矢量） 空间一般力系有六个独立平衡方程（空间物体六个自由度） 可解六个未知量。 三、解题步骤、技巧与注意问题三、解题步骤、技巧与注意问题： 解题步骤解题步骤(与平面问题相同)选研究对象；画受力图；选取坐标轴；列平衡方程、求解。 解题技巧解题技巧 用矩轴代替投影轴，常常方便解题； 投影轴尽量选取得与未知力，力矩轴一般要与未知力平行或相交； 一般采取从整体局部的研究方法； 摩擦力F = N f ，方向与运动趋势方向相反。 需注意的问题需注意的问题 力偶在投影方程中不出现； 空间力偶是矢量，平面力偶是代数量； 求物体重心问题常用组合法。对于均质物体，重心、形心、质心为同一点。例例1 已知已知:P=2000N, C点在Oxy平面内求：力求：力P 对三个坐标轴的矩 60cos45cos60sin45cos45co