电磁波 第1章 矢量分析(雷文太).

1、本章内容本章内容1.1 矢量代数矢量代数1.2 三种常用的正交曲线坐标系三种常用的正交曲线坐标系1.3 标量场的梯度标量场的梯度1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度1.5 矢量场的环流与旋度矢量场的环流与旋度1.6 无旋场与无散场无旋场与无散场1.7 拉普拉斯运算与格林定理拉普拉斯运算与格林定理1.8 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理1. 1. 标量和矢量标量和矢量矢量的大小或模矢量的大小或模：AA矢量的单位矢量矢量的单位矢量：标量标量：一个只用大小描述的物理量。一个只用大小描述的物理量。AAAeaAae，（现在文献中用 来表示单位矢量）矢量的代数表示矢量的代数表示：AAAe AeA1.1 矢

2、量代数矢量代数矢量矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用斜体加一个既有大小又有方向特性的物理量，常用斜体加黑字母或带箭头的字母表示。黑字母或带箭头的字母表示。 矢量的几何表示矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示一个矢量可用一条有方向的线段来表示 注意注意：单位矢量不一定是常矢量。：单位矢量不一定是常矢量。 A矢量的几何表示矢量的几何表示常矢量常矢量：大小和方向均不变的矢量。大小和方向均不变的矢量。 xxyyzzxyzAe Ae Ae AAxAyAzA也可以表示为cosxcoscosxxyzAAAAAAAA，表 示在方 向 的 投 影 ， 是 一 个 标 量，(coscosc

3、os )xyzAA eee矢量用坐标分量表示矢量用坐标分量表示coscoscoscoscoscoscoscoscosAxyzAAxyzeeeeaxyz或其中、分别表示矢量与 、 、 轴正向间的夹角余弦，称为矢量 的方向余弦。zAxAAyAzxyO（1）矢量的加减法）矢量的加减法 有两种方法计算，一种是用三角形法则有两种方法计算，一种是用三角形法则计算两矢量的加减计算两矢量的加减, ,一般用于常矢量的计算，一般用于常矢量的计算，如图所示。如图所示。加法。以一个矢量的终点为起点画出另外一加法。以一个矢量的终点为起点画出另外一个矢量，新矢量的终点即为加法结果。个矢量，新矢量的终点即为加法结果。2.

4、矢量的代数运算矢量的代数运算 减法。以减矢量的终点为起点，被减矢量的减法。以减矢量的终点为起点，被减矢量的终点为终点的矢量即为减法结果。终点为终点的矢量即为减法结果。 ()()()xxxyyyzzzABeABeABe AB矢量的加减符合交换律和结合律矢量的加减符合交换律和结合律 另一种是代数计算：在直角坐标系中两矢量的加法和减法，对另一种是代数计算：在直角坐标系中两矢量的加法和减法，对应分量相加减：应分量相加减：结合律结合律()()ABCABCABBA交换律交换律（2 2）标量乘矢量）标量乘矢量（3）矢量的标积（点积）矢量的标积（点积）xxyyzzkAe kAe kAe kAxxyyzzA B

5、A BA BA B 数学计算：对应分量相乘的和A BB A矢量的标积符合交换律矢量的标积符合交换律1xxyyzzeeeeee0 xyyzzxeeeeeeABq矢量矢量 与与 的夹角的夹角ABAB0A B /A BA BAB 定义：定义：cosABA BABq （4）矢量的矢积（叉积）矢量的矢积（叉积）ABsinnA Be ABq()()()xyzzyyzxxzzxyyxABeA BA BeA BA BeA BA BxyzxyzxyzeeeA BAAABBBA BBA qsinABqBABA矢量矢量 与与 的叉积的叉积AB用坐标分量表示为用坐标分量表示为写成行列式形式为写成行列式形式为不满足交换

6、律不满足交换律不满足结合律不满足结合律0,0,0,xxyyzzxyzyzxzxyeeeeeeeeeeeeeee若若 ，则，则ABABAB/AB0AB若若 ，则，则叉积：123(12 15)(6 12)(58)456( 3)6( 3)xyzxyzxyzeeeA Beeeeee解(14)(25)(36)579xyzxyzABeeeeee点积：(14)(25)(36)32A B123,456xyzxyzAeeeBeee例：求的和、点积与叉积. 和：（5 5）矢量的混合运算）矢量的混合运算()ABCA CB C ()ABCA CB C()()()AB CBCACA B()()()AB CA C BA

7、B C 分配律分配律 分配律分配律 标量三重积标量三重积 矢量三重积矢量三重积yzxyxzxyzyzxyxzBBBBBBAeeeCCCCCCxyzxyzxyzxyzxyzxyzxyzxyzxyzAAABBBBBBBBBAAACCCBCACCCCCCAAA yzxyxzxyzyzxyxzBBBBBBAAACCCCCC证证:xyzxyzxyzeeeAB CA BBBCCC()()()AB CBCACA B()()()AB CA C BA B C ()xyzxxyyzzxyzxyzyzxyxzxyzyzxyxzxyzxyzxyzxyzyzxyzxyzxyzxyzxyzxyzxyzxeeeAB Ce

8、Ae Ae ABBBCCCBBBBBBAeeeCCCCCCeeeAAAAAAeeeBBBBBBBBBBBBCCCCCCCCCCCC 证：证：xyzxyzyzxyzxyzxyzxAAAAB CeeeBBBBBBCCCCCC xyyzxyyzzxzxyzxzxyxyzxyyzxyyzzxzxBBBBBBBBBBBBeeAeeAeeACCCCCCCCCCCC yxzyxyyzzxxzyzxzxyxyzyxzyxyyzzxxzBBBBBBBBBBBBeeAeeAeeACCCCCCCCCCCCyxzxyzyxzBBBBBBBA BAAACCCCCCCA C yyzzxzzxxyxxyyzxyzyyzzx

9、zzxxyxxyyze Be BBe Be BBe Be BBAAAe Ce CCe Ce CCe Ce CC CBABCACBA有：三重矢量积有：三重矢量积 三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。确定。1.2 三种常用的正交曲线坐标系三种常用的正交曲线坐标系 在电磁场与波理论中，在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：三种常用的正交曲线坐标系为：直角直角坐坐标系、圆柱坐标系和球坐标系标系、圆柱坐标系和球坐标系。用来求解规则形状的电磁问题。用来求解规则形状的电磁问题。 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系

10、，称为三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系正交曲线坐标系；三条正交曲线称为；三条正交曲线称为坐标轴坐标轴；描述坐标轴的量称；描述坐标轴的量称为为坐标变量坐标变量。 描绘物理状态空间分布的标量函数描绘物理状态空间分布的标量函数 和矢量函和矢量函数数 ，在时间一定的情况下，它们是唯一的，在时间一定的情况下，它们是唯一的，其大小或方向与所选择的坐标系无关，即对于坐标其大小或方向与所选择的坐标系无关，即对于坐标系的变换，系的变换， 和和 的大小与方向保持不变。的大小与方向保持不变。( )r( )F r( )r( )F r( )( , , )( , , )( , , )F

11、rF x y zFzF r q xyzx,y,z,e ,e ,e 在正交坐标系：直角坐标在正交坐标系：直角坐标z, ,z,e ,e ,e 柱面坐标柱面坐标rr, ,e ,e ,e 球面坐标球面坐标1. 直角坐标系直角坐标系 xyzre xe ye z位置矢量位置矢量面元矢量面元矢量线元矢量线元矢量ddddxyzle xe ye zdd dd dxxyzxSe lle y zdd dd dzzxyzSe lle x y体积元体积元dd d dVx y zdd dd dyyxzySellex z坐标变量坐标变量, ,x y z坐标单位矢量坐标单位矢量,xyze e e 点点P(x0,y0,z0)0

12、yy（平面）（平面） o x y z0 xx（平面）（平面）0zz（平面（平面）P 直角坐标系直角坐标系 xezeyex yz直角坐标系的长度元、面积元、体积元直角坐标系的长度元、面积元、体积元 odzd ydxzyeSxxdddyxeSzzdddzxeSyyddd( , , ), , , M x y zMxoyPzM设为空间内一点，并设点在面上的投影的极坐标为，则这样的三个数就叫点的柱面坐标2. 柱面坐标系柱面坐标系0, ,20. zxyzo),(zyxM( , )P 规定：简单地说，柱面坐标就是xoy 面上的极坐标 + z 坐标, ,ze e e 坐标单位矢量坐标单位矢量19cos ,si

13、n ,. xyzz为常数xyzoz),(zyxM( , )P xyzo柱面坐标与直角坐标的柱面坐标与直角坐标的关系为关系为为常数为常数为常数z如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆柱面；圆柱面；半平面；半平面；平平 面面22,arctan,. xyyxzz20单位矢量变换xyzo),(zyxM( , )P ezeesincosyeeecossinxeeecossinyxeeecossinxyeeezzee写成矩阵形式cossin0sincos0001xyzzeeeeeecossin0sincos0001xyzzeeeeee 转换矩阵都是正交矩阵，正交矩阵定义：AAA AI（*表示共轭转置，

14、实数矩阵只需要转置）上式两边同时左乘转换矩阵的转置矩阵， 转换矩阵矢量的变换若矢量是用柱坐标表示的，将它投影到直角坐标系下x、y、z轴上，则可得该矢量在直角坐标系下的表达式sincosyyAA eAAcossinxxzzxAA eA eA eA eeAA zzAA写成矩阵形式cossin0sincos0001xyzzAAAAAAcossin0sincos0001xyzzAAAAAA 柱坐标系下的两个矢量当值不相等时不能直接相加，要转换到直角坐标系后再相加，为什么？dd dd ddd dd ddd dd dzzzzzSellezSe llezSe lle ddddzleee z 线元矢量线元矢量

15、dd d dVz 体积元体积元面元矢量面元矢量圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系中的线元、面元和体积元zree z位置矢量位置矢量253.球面坐标系( , , ) M x y zMrrOMOMzzxOPPMxoyrMqqq设为空间内一点，则点可用三个有次序的数 ， ，来确定，其中 为原点与点间的距离，为有向线段与轴正向所夹的角，为从正轴来看自轴按逆时针方向转到有向线段的角，这里为点在面上的投影，这样的三个数 ， ，就叫做点的球面坐标0,r .20,0q规定：规定：Pxyzo),(zyxMrqzyxA,re e eq 坐标单位矢量坐标单位矢量26r 为常数为常数q为常数如图，三坐标面分别

16、为如图，三坐标面分别为圆锥面；圆锥面；球球 面；面；半平面半平面sincos ,sin sin ,cos .xryrzrqqq球面坐标与直角坐标的关系为球面坐标与直角坐标的关系为Pxyzo),(zyxMrqzyxAxyzorq22222,arctan,arctanrxyzxyzyxq27单位矢量变换sincossin sincosrxyzeeeeqqqcos coscos sinsinxyzeeeeqqqqcossinyxeeesincoscos cossinxreeeeqqqsin sincos sincosyreeeeqqqcossinzreeeqqqxyzorqeree写成矩阵形式sin

17、cossin sincoscos coscos sinsinsincos0rxyzeeeeeeqqqqqqqsincoscos cossinsinsincos sincoscossin0 xryzeeeeeeqqqqqqq转换矩阵都是正交矩阵：上式两边同时右乘转换矩阵的转置矩阵 矢量的变换sincoscoscossinxxrrxrAA eA eA eA eeAAAqq qqqsinsincos sincosyyrryrAA eA eA eA eeAAAqq qqqcossinzzrrzrAA eA eA eA eeAAqq qqq写成矩阵形式sincoscos cossinsinsincos

18、sincoscossin0 xryzAAAAAAqqqqqqqsincossin sincoscos coscos sinsinsincos0rxyzAAAAAAqqqqqqq2dddsinddrrrSelle rqqqdd dsind drSelle rrqqqqdd dd drSelle r rqqrre r位置矢量位置矢量dddsin drle re re rqqq 线元矢量线元矢量2dsin d d dVrrqq 体积元体积元面元矢量面元矢量球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系中的线元、面元和体积元4. 坐标单位矢量之间的关系坐标单位矢量之间的关系 xeyezeeezecossin0

19、cossin0001直角坐标直角坐标与与圆柱坐标系圆柱坐标系eezereqeeqsin0qcosqsinqcos0001圆柱坐标圆柱坐标与与球坐标系球坐标系直角坐标直角坐标与与球坐标系球坐标系zereqeeqcossinqcosqsinqsincos0 xeyeqsinsinqsincoscossinoxy单位圆单位圆 直角坐标系与柱坐标系之间直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系xeyeeeoqz单位圆单位圆 柱坐标系与球坐标系之间柱坐标系与球坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系qqzeereqe1.3 标量场的梯度标量场的梯度q 如果物理量是标量，称该场为如

20、果物理量是标量，称该场为标量场标量场。 例如：温度场、电位场、高度场等。例如：温度场、电位场、高度场等。q 如果物理量是矢量，称该场为如果物理量是矢量，称该场为矢量场矢量场。 例如：流速场例如：流速场、重力场重力场、电场、磁场等。、电场、磁场等。q 如果场与时间无关，称为如果场与时间无关，称为静态场静态场，反之为，反之为时变场时变场。时变标量场和矢量场可分别表示为：时变标量场和矢量场可分别表示为： ( , , , )u x y z t 、( , , , )F x y z t 确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个该

21、区域上定义了一个场场。场是物理量数值的无穷集合场是物理量数值的无穷集合从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：标量场和矢量场标量场和矢量场( , , )u x y z 、( , , )F x y z静态标量场和矢量场可分别表示为：静态标量场和矢量场可分别表示为：1.1. 标量场的等值面标量场的等值面等值面等值面: : 标量场取得同一数值的点在空标量场取得同一数值的点在空 间形成的曲面。间形成的曲面。( , )u x y zC等值面方程等值面方程：常数常数C 取一系列不同的值，就得到一系列取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；不同的等值

22、面，形成等值面族；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面充满场所在的整个空间； 标量场用等值面来描述标量场用等值面来描述标量场的等值面互不相交。（如果相交则标量场的等值面互不相交。（如果相交则交点处的函数值无法确定）交点处的函数值无法确定） 等值面的特点等值面的特点：意义意义: : 形象直观地描述了物理量在空间形象直观地描述了物理量在空间 的分布状态。的分布状态。标量场的等值线标量场的等值线( (面面) )35讨论函数讨论函数 z = f (x, y) 在一点在一点 P沿某一方向的变化率问题沿某一方向的变化率问题2、方向导数的定义),(),(lim0yxfyyxxflf定义定义:

23、函数的增量函数的增量 与与 PP 两两点间的距离之比值点间的距离之比值 ，当，当 P 沿着沿着 l 趋于趋于 P 时，如果此比值的极限存在，则称这极限为函数在点时，如果此比值的极限存在，则称这极限为函数在点 P 沿方向沿方向 l 的方向导数。的方向导数。oyxlP x y P(,)( , )f xx yyf x y22()()xy 360000(,)( , )limlimlimlimcoscoscoscosff xx yyf x ylffxyxyfxfyxyffxyffxy oyxlP x y P全微分全微分37对对于于三三元元函函数数),(zyxfu ，它它在在空空间间一一点点 ),(zyx

24、P沿沿着着方方向向 L的的方方向向导导数数 ，可可定定义义为为 ,),(),(lim0 zyxfzzyyxxflf 推广可得三元函数方向导数的定义推广可得三元函数方向导数的定义（ 其其中中222)()()(zyx ） 同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点沿同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点沿 任意方向任意方向 L的方向导数都存在，且有的方向导数都存在，且有 .coscoscos zfyfxflf 设设方方向向 L 的的方方向向角角为为 , ,. . u(M)沿沿 方向增加；方向增加； l0ul意义意义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率：方向导数表示场沿某方向的空间变化率。0000(

25、)coscoscos|limlimMllu Mu Muuuuulllxyz 概念概念： l0ul u(M)沿沿 方向减小；方向减小； l0ul u(M)沿沿 方向无变化。方向无变化。 M0lMl方向导数的概念方向导数的概念 l特点特点：方向导数既与点：方向导数既与点M0有关，也与有关，也与 方向有关方向有关。 的方向余弦。的方向余弦。 l式中式中： coscoscos、两个相邻很近的等值面，由于1l2l3l和的长度不同，必然导致方向导数的不同。3. 标量场的梯度标量场的梯度（ 或或 ）graduu概念概念：标量场标量场u在点在点M处的梯度是一个矢量，它的方向沿场量处的梯度是一个矢量，它的方向沿

26、场量u变化率最大的方向，大小等于其最大变化率，并记作变化率最大的方向，大小等于其最大变化率，并记作gradu， 其中其中 取得最大值的方向取得最大值的方向max|luuel luelmaxu|ul 的最大变化率梯度的计算式梯度的计算式： xyzuuugrad ueeexyz引入哈密顿算子，xyzeeexyz 即可缩写为 grad uu 梯度的表达式梯度的表达式：1zuuuueeez 圆柱坐标系圆柱坐标系 11sinruuuueeerrrqqq 球坐标系球坐标系xyzuuuueeexyz 直角坐标系直角坐标系 42oyxlP x y Pcoscoscoscoscoscosxyzfffflxyzf

27、eeefl 梯度与方向导数的关系标量场的梯度是矢量场，它在空间某标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）点的方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。场的空间变化率。标量场在某个方向上的方向导数，是标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。梯度在该方向上的投影。梯度的性质梯度的性质：00max3limlimlluuull 0013limlimcoscoslluuullqq 梯度运算的基本公式梯度运算的基本公式：0()()()( )( )CCuCuuvuvuvuvvufufuu 标量场的梯度

28、垂直于通过该点的等值面（或等值面的切平面）标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或等值面的切平面）0,-luln 对于等位面上的位移矢量始终有故梯度垂直于等位面与等位面的法向矢量 一致。 例例1.3.1 设一标量函数设一标量函数 ( x, y, z ) = x2y2z 描述了空间标量描述了空间标量场。试求：场。试求： (1) 该函数该函数 在点在点 P(1,1,1) 处的梯度，以及表示该梯度方向处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量。的单位矢量。 (2) 求该函数求该函数 沿单位矢量沿单位矢量方向的方向导数，并以点方向的方向导数，并以点 P(1,1,1) 处的方向导数值与该点的梯度处的方向导数值

29、与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。值作以比较，得出相应结论。ooocos60cos45cos60lxyzeeee 解解 (1)由梯度计算公式，可求得由梯度计算公式，可求得P点的梯度为点的梯度为22()()PxyzPeeexyzxyz(1,1,1)(22)22xyzxyzexeyeeee表征其方向的单位矢量表征其方向的单位矢量 222(1,1,1)22221333(2 )(2 )( 1)xyzlxyzPPexeyeeeeexy (2) 由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿el 方向的方向方向的方向导数为导数为对于给定的对于给定的P P 点，上述方向导数在该

30、点取值为点，上述方向导数在该点取值为(1,1,1)1221222Pxyl121(22) ()222lxyzxyzeexeyeeeel 122xy而该点的梯度值为而该点的梯度值为 222(1,1,1)(2 )(2 )( 1)3Pxy 显然，梯度显然，梯度 描述了描述了P P点处标量函数点处标量函数 的最大变化率，的最大变化率，即最大的方向导数，故即最大的方向导数，故 恒成立。恒成立。PPPl例1.3.2已知,xyzRexxeyyezzRR证明 31(1)(2)(3)RRRf Rf RRRR 解：222222(1)xyzxyzRxxyyzzRRRReeexyzexxeyyezzRRxxyyzz22

31、23322211(2)1111xyzxyzRxxyyzzeeeRxRyRzRexxeyyezzRRxxyyzz 222(3)xyzxyzxyzf Rf Rf Rf Reeexyzdf Rdf Rdf RRRReeedRxdRydRzdf Rdf R RRdRdRRdf Rf RRdRexxeyyezzdf RdRxxyyzzdf R RdRRf Rf R 1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度 1. 矢量线矢量线导出：导出：标量场是场中各点的标量值的集合，因此有等位面可以直观地表示；而矢量场是场中各点的矢量值的集合，矢量包含两方面，数值量和方向，相比来说方向量更为重要。因此，用一些有向曲

32、线来表示矢量场。 意义意义：形象直观地描述了矢量场的空间分布状态。形象直观地描述了矢量场的空间分布状态。概念概念：矢量线又称为力线或流线，它们是一些带方向的曲线。矢量线又称为力线或流线，它们是一些带方向的曲线。场的大小（强弱）用该点附近矢量线的疏密来表示，即该处垂场的大小（强弱）用该点附近矢量线的疏密来表示，即该处垂直于矢量线的单位面积上通过的矢量线数正比于此处场矢量的直于矢量线的单位面积上通过的矢量线数正比于此处场矢量的大小；而线上每点处的切线方向即为该点处矢量场的方向。大小；而线上每点处的切线方向即为该点处矢量场的方向。ddd( , , )( , , )( , , )xyzxyzF x y

33、 zF x y zF x y z矢量线方程矢量线方程：矢量线矢量线OM Frdl表示矢量在空间分布的有向线段。 力线上任意点切线方向必然与矢量方向相同。特点特点：由于在场域中的某点矢量场有确定的大小和方向，因此所有由于在场域中的某点矢量场有确定的大小和方向，因此所有矢量线互不相交。（但在产生矢量场的源处，多根矢量线在该处发矢量线互不相交。（但在产生矢量场的源处，多根矢量线在该处发出或汇聚矢量线相交的情况除外）出或汇聚矢量线相交的情况除外）0FdlxxyyzzxyzFe Fe Fe Fdle dxe dye dz而因此：0 xyzxyzeeeFdlFFFdxdydz同理，在圆柱坐标系中，若zzF

34、e Fe Fe FdddzzFFF 圆柱坐标系中的力线方程为球坐标系中的力线方程为在球坐标系中，若rrFe Fe Fe Fqqddrsin drrrFFFqqq 穿过面积元穿过面积元 的通量。的通量。dSnddF e S2. 矢量场的通量矢量场的通量 问题问题：如何定量描述矢量场的大小？引入通量的概念。如何定量描述矢量场的大小？引入通量的概念。通量通量简单理解：通过一个面的矢量线数量简单理解：通过一个面的矢量线数量 ndddSSFSF eS通量的概念：矢量对开曲面的通量为通量的概念：矢量对开曲面的通量为nddSe S其中：其中：面积元矢量；面积元矢量；ne面积元的法向单位矢量；面积元的法向单位

35、矢量； ds是曲面是曲面S上的面元上的面元 ，如果曲面如果曲面S是开表面，则是开表面，则en为右手螺为右手螺旋方向。如果曲面旋方向。如果曲面 S 是闭合的，则规定曲面的法向矢量由闭合是闭合的，则规定曲面的法向矢量由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是),(zyxFSdne面积元矢量面积元矢量nddSSFSF eS0通过闭合曲面有通过闭合曲面有净的矢量线穿出净的矢量线穿出0有净的矢有净的矢量线进入量线进入0进入与穿出闭合曲进入与穿出闭合曲面的矢量线相等面的矢量线相等矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果 闭合曲面的通量

36、从闭合曲面的通量从宏观上宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。量与曲面内产生矢量场的源的关系。通量的物理意义通量的物理意义有正源有负源无源3. 矢量场的散度矢量场的散度 为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利用极限方法得到这一关系：用极限方法得到这一关系：称为矢量场的称为矢量场的散度散度。 散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元散度是矢量通过包含该点

37、的任意闭合小曲面的通量与曲面元所围的体积之比的极限。所围的体积之比的极限。F0( , , ) d( , , )limSVF x y zSF x y zV 通量：是一个积分量，范围比较大，无法反映每一点的性质。散度：是一个微分值，比较小，能够反映每一点的性质。 当分子部分不为0时，如果两个源都用相同的闭合曲面取包含，则起决定性作用的将为分子部分，正如我们前面所说，通量表示的是通过闭合曲面的电力线数目，数目越多，散度越大；数目越少，散度越小；数目的多少又反映了源的强弱，因此散度通常反映的是源的性质。源的性质包括：a)有没有源；b)正源还是负源；c)源的强度 圆柱坐标系圆柱坐标系22111()(si

38、n)()sinsinrFr FFFrrrrqqqqq()zFFFFz 球坐标系球坐标系yxzFFFFxyz 直角坐标系直角坐标系散度的表达式散度的表达式：散度的有关公式散度的有关公式：0 ()()()()()CCCkFkF kf FfFFfFGFG 为常矢量为常数直角坐标系下散度表达式的推导直角坐标系下散度表达式的推导 000000000,(,),22xxxx y zxx FF xy zF x y zx 000000000,(,),22xxxx y zxx FF xy zF x y zx 000000(,)(,)22xxxxxFF xyzF xyzy zx y zx 由此可知，穿出前、后两侧面

39、的净通量值为由此可知，穿出前、后两侧面的净通量值为不失一般性，令包围不失一般性，令包围P点的微体积点的微体积 V 为一直平行六面体，如图所为一直平行六面体，如图所示。则示。则oxy在直角坐标系中计算在直角坐标系中计算zzxyPF 23440000001111.1!2!3!4!y xxy xy xxyxxyxxyxx 根据定义，则得到直角坐标系中的散度表达式为根据定义，则得到直角坐标系中的散度表达式为 同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并合成之，即得由点同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并合成之，即得由点P 穿出该六面体的净通量为穿出该六面体的净通量为0dlimSyxzVFSFFFFVxyz d

40、yxzSFFFFSx y zx y zx y zxyz 4. 散度定理散度定理ddSVFSF V 体积的剖分体积的剖分VS1S2en2en1S 从散度的定义出发，可从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭以得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即度的体积分，即 散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，在电磁理论中有着广泛的应用。在电磁理论中有着广泛的应用。6211inniiSSiiFdSFdSFdFd将上面所有体积相加，并注意到相邻面的流出

41、刚好是另一面的流入，最后成为体积的表面即：( )( )sF rdS rF 12d,.,ndd证明：将闭合面包围的体积 切分为一系列的小体积对每个小体积 根据散度的定义式S1S2( )( )1,iisF rdS rFdin sFdFdS高斯散度定理：均有：1.5 矢量场的环流与旋度矢量场的环流与旋度 1. 矢量场的环流与旋涡源矢量场的环流与旋涡源 例如：流速场。例如：流速场。 不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通

42、量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。分不为零。先来看简单的二维场的例子q 如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无无旋场旋场，又称为，又称为保守场保守场。( , ) dCF x y zl 环流的概念环流的概念 矢量场对于闭合曲线矢量场对于闭合曲线C 的环流定义为该矢量对闭合曲线的环流定义为该矢量对闭合曲线C 的线积分，即的线积分，即q 如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为有旋矢量场有旋矢量场，能够激

43、发有旋矢量场的源称为，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源旋涡源。电流是。电流是磁场的旋涡源。磁场的旋涡源。 矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入矢量场的旋度。矢量场的旋度。 SCMFn2. 矢量场的旋度矢量场的旋度（ ） F （1）环流面密度）环流面密度n01rotlimdCSFFlS 称为矢量场在点称为矢量场在点M 处沿方向处沿方向 的的环流面密度环流面密度。n特点特点：其值与点：其值与点M 处的方向处的方向 有关。有关。n

44、 过点过点M 作一微小曲面作一微小曲面 S ，它的边界曲线记为，它的边界曲线记为C，曲面的法，曲面的法线方向线方向 与曲线的绕向成右手螺旋法则。当与曲线的绕向成右手螺旋法则。当 S0 时，极限时，极限n而而 推导推导 的示意图如图所示的示意图如图所示。rotxFoyz yCMzx1234计算计算 的示意图的示意图 rotxF 直角坐标系中直角坐标系中 、 、 的表达式的表达式rotxFrotyFrotzF12134dddddCllllFlFlFlFlFl1234( )( )yzyzFyFzFyFz2,()22zzzMyFyFFx yzFMy3, ,()22yyyMFzzFFx y zFMz1,

45、 ,()22yyyMFzzFFx y zFMz4,()22zzzMyFyFFx yzFMy于是于是 同理可得同理可得故得故得概念概念：矢量场在矢量场在 M 点处的旋度为一矢量，其数值为点处的旋度为一矢量，其数值为M 点的环流点的环流 面密度最大值，其方向为取得环流密度最大值时面积元面密度最大值，其方向为取得环流密度最大值时面积元 的法线方向，即的法线方向，即物理意义物理意义：旋涡源密度矢量。旋涡源密度矢量。性质性质：（2）矢量场的旋度）矢量场的旋度d()yzCFFFly zyz 0drotlimCyzxSFlFFFSyz nnmaxrotFeF nnrot FeF rotxzyFFFzxrot

46、yxzFFFxyyyzxzxxyzFFFFFFFeeeyzzxxy旋度的计算公式旋度的计算公式: :1zzeeeFzFFF2sin1sinsinrrerereFrrFrFrFqqqqqq 直角坐标系直角坐标系 圆柱坐标系圆柱坐标系 球坐标系球坐标系xyzxyzeeexyzFFF旋度的有关公式旋度的有关公式：矢量场的旋度矢量场的旋度的散度恒为零的散度恒为零标量场的梯度标量场的梯度的旋度恒为零的旋度恒为零()fFfFfF 0C()FGFG ()FGGFFG()0F ()0u 73任意矢量旋度的散度恒为零0zyxzyxzyxzyxAAAzyxzyxAAAzyxeeezeyexeA由此可知：对于任何一

47、个散度为零的矢量场由此可知：对于任何一个散度为零的矢量场B，必然，必然可以表示为某个矢量场的旋度。即可以表示为某个矢量场的旋度。即 ：AArotBBdivB0则：如果：74梯度的旋度恒为零0)()(uugradrot0)(uzyxzyxeeezuyuxuzyxeeezueyuexueuzyxzyxzyx证明：ddCSFlFS3. 斯托克斯定理斯托克斯定理 斯托克斯斯托克斯定理是闭合曲线定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个变积分与曲面积分之间的一个变换关系式，也在电磁理论中有换关系式，也在电磁理论中有广泛的应用。广泛的应用。曲面的曲面的剖分剖分方向相反大小方向相反大小相等结果抵消相等结果抵消

48、从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即76斯托克斯定理1. 矢量对闭合回路的线积分等于该回路所张成的任意表面对该矢量旋度的面积分。CSA dlrotA dS即：定义写为：都可运用旋度显然对于任意小面元小面元切分成一系列意表面我们可将曲线所张的任iiSSSSCniinniCnSdArotl dASdArotl dAi即：故：11limlimiCniSdArotl dA, 14. 散度和旋度的区别散度和旋度的区别 0,0FF0.0FF0,

49、0FF0,0FF无源区域发散源漩涡源发散源漩涡源dd dd ddd dd ddd dd dzzzzzSellezSe llezSe lle ddddzleee z 线元矢量线元矢量dd d dVz 体积元体积元面元矢量面元矢量圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系中的线元、面元和体积元zree z位置矢量位置矢量2dddsinddrrrSelle rqqqdd dsind drSelle rrqqqqdd dd drSelle r rqqrre r位置矢量位置矢量dddsin drle re re rqqq 线元矢量线元矢量2dsin d d dVrrqq 体积元体积元面元矢量面元矢量球坐

50、标系中的线元、面元和体积元球坐标系中的线元、面元和体积元1. 矢量场的源矢量场的源散度源散度源：是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量 等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和，等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和， 源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量 场在该点的散度；场在该点的散度； 旋度源旋度源：是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面 的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回 路的环

51、量，在给定点上，这种源的（面）密度等于路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于 （或正比于）矢量场在该点的旋度。（或正比于）矢量场在该点的旋度。1.6 无旋场与无散场无旋场与无散场2. 矢量场按源的分类矢量场按源的分类（1）无旋场）无旋场d0CFl性质性质： ，线积分与路径无关，是保守场。，线积分与路径无关，是保守场。仅有散度源而无旋度源的矢量场，仅有散度源而无旋度源的矢量场，0F无旋场无旋场可以用标量场的梯度表示为可以用标量场的梯度表示为例如：静电场例如：静电场0EE Fu ()0Fu （2）无散场）无散场 仅有旋度源而无散度源的矢量场仅有旋度源而无散度源的矢量场，即，即性质性质：d0S

52、FS0F无散场可以表示为另一个矢量场的旋度无散场可以表示为另一个矢量场的旋度例如，恒定磁场例如，恒定磁场BA 0BFA ()0FA （3）无旋、无散场无旋、无散场（源在所讨论的区域之外）（源在所讨论的区域之外）0F （4）有散、有旋场）有散、有旋场这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分( )( )( )( )( )lCF rF rF ru rA r 无旋场部分无旋场部分无散场部分无散场部分()0u Fu 20u0F 1.7 拉普拉斯运算与格林定理拉普拉斯运算与格林定理 1. 拉普拉斯运算拉普拉斯运算 标量拉普拉斯运算标量拉普拉斯运算2u概念

53、概念：2 拉普拉斯算符拉普拉斯算符2222222uuuuxyz直角坐标系直角坐标系计算公式计算公式：22222211()uuuuz22222222111()(sin)sinsinuuuurrrrrrqq qqq 圆柱坐标系圆柱坐标系球坐标系球坐标系2()uu 矢量拉普拉斯运算矢量拉普拉斯运算2F概念概念：2222xxyyzzFeFeFeF即即22()iiFF注意注意：对于非直角分量，对于非直角分量，22()iiFF直角坐标系中：直角坐标系中：如：如：22()FF(, , )ix y z2()()FFF 2. 格林定理格林定理 根据散度定理根据散度定理nVSFdVF e dS 令令设设 及及为任

54、意两个标量场，在区域任意两个标量场，在区域 V 中具有连续的二阶偏导数。中具有连续的二阶偏导数。则有则有F VSdVdS 由于2nen 2 ()ddVSVSn 将两个标量函数位置对调，有将两个标量函数位置对调，有以上两式称为以上两式称为标量第一格林定理标量第一格林定理。SV , ne2 ()dVSVdSn 式中式中S 为包围为包围V 的闭合曲面，的闭合曲面， 为标为标量场量场 在在 S 表面的外法线表面的外法线 方向上方向上的偏导数。的偏导数。nne基于上式还可获得下式：基于上式还可获得下式：上式称为上式称为标量第二格林定理标量第二格林定理。 格林定理说明了区域格林定理说明了区域 V 中的场与

55、边界中的场与边界 S 上的场之间的关系。上的场之间的关系。因此，利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上因此，利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题。场的求解问题。 此外，格林定理反映了两种标量场之间满足的关系。因此，此外，格林定理反映了两种标量场之间满足的关系。因此，如果已知其中一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种场如果已知其中一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种场的分布。的分布。 格林定理广泛地用于电磁理论。格林定理广泛地用于电磁理论。22 ()d()dVSVSnn 我们对矢量场的散度和旋度的意义进行一下归纳和总结：我们对矢量场的散度和旋度的意义进行一

56、下归纳和总结：1.8 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理矢量场的散度是一个标量函数，而矢量场的旋度是一个矢量函数。散度表示场中某点的通量体密度，它是通量源强度的量度；旋度表示场中某点的最大环量面密度，它是漩涡源强度的量度。散度取决于场矢量的各个分量沿各自方向上的变化率；旋度由场矢量的各个分量在与之正交方向上的变化率来决定。 散度表示矢量场在各点处的通量源，旋度表示矢量场在各点处的旋涡源。场是由源激发的，通量源和旋涡源的确定意味着场就确定了。亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理: : 若矢量场在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，源分若矢量场在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，源分布在有限区域中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场可布在有限区域中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场可