立体几何专题二存在性问题讲义

1、教师姓名张秋亮学科数学上课时间讲义序号(同一学生)学生姓名年级组长签字日期课题名称立体几何存在性问题教学目标掌握解决立体几何中括数值的存在性和点的存在性基本解题思想与方法教学重点 难点解决点在定直线上和定平面上二类处理方法与思想.课前检查作业完成情况：优 良 中 差 建议_教学过程教学过程一、考点分析 高考中立体几何主要考查学生的空间想象能力，在推理中兼顾考查逻辑思维能力，解决立体几何的基本方法是将空间问题转化为平面问题。 近几年高考立体几何试题以基础题和中档题为主，热点问题主要有证明点线面的关系，如点共线、线共点、线共面问题；证明空间线面平行、垂直关系；求空间的角和距离；利用空间向量，将空间

2、中的性质及位置关系的判定与向量运算相结合，使几何问题代数化等等。考查的重点是点线面的位置关系及空间距离和空间角，突出空间想象能力，侧重于空间线面位置关系的定性与定量考查，算中有证。其中选择、填空题注重几何符号语言、文字语言、图形语言三种语言的相互转化，考查学生对图形的识别、理解和加工能力；解答题则一般将线面集中于一个几何体中，即以一个多面体为依托，设置几个小问，设问形式以证明或计算为主。2、 热点题型范例题型一、平行与垂直的证明；题型二、空间角与距离；题型三、探索性问题题型四、折叠、展开问题；题型五、表面积与体积问题三、方法与技巧（空间向量的应用）1异面直线所成的角 设a、b是异面直线，分别是

3、直线a,b上的向量，则异面直线a,b所成的角与的夹角的余弦值的绝对值相等.2.二面角：求两平面法向量的夹角与其夹角的补角3距离：（在两者之间各取一点A与点B，是法向量）3.解决有关垂直问题的方法：（1）线线垂直：（2）线面垂直：（是直线的方向向量，平面法向量）（3）面面垂直：四、实例解析例1、如图，在三棱柱中，顶点在底面上的射影恰为点B，且BACA1B1C1（1）求棱与BC所成的角的大小； (2)在线段上确定一点P，使，并求出二面角的平面角的余弦值ks5u解：（1）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，BACA1B1C1zxyP则，故与棱BC所成的角是 6分（2）设，则于是（舍去），则P为棱的中

4、点，其坐标为 8分设平面的法向量为，则, 即 令 故 11分而平面的法向量=(1,0,0)，则故二面角的平面角的余弦值是 14分例2如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，E，F分别是BC, PC的中点.（）证明：AEPD；（）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为， 求二面角EAFC的余弦值.解：（）证明：由四边形ABCD为菱形，ABC=60，可得ABC为正三角形. 因为E为BC的中点，所以AEBC. 又BCAD，因此AEAD.因为PA平面ABCD，AE平面ABCD，所以PAAE.而PA平面PAD，AD平面PAD 且PAAD=A，所以AE平面PA

5、D，又PD平面PAD.所以 AEPD.（）由（）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，所以A（0，0，0），B（，-1，0），C（C，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（），所以设平面AEF的一法向量为则 因此取因为 BDAC，BDPA，PAAC=A，所以 BD平面AFC，故为平面AFC的一法向量.又=（），所以 cos, =因为二面角E-AF-C为锐角，所以所求二面角的余弦值为例3、如图3，在四面体中,，且图3(1)设为的中点，证明：在上存在一点，使，并计算的值；(2)求二面角的平面角的余弦值.

6、解法一：（1）在平面内作交于，连接. 又，.取为的中点，则， ， 在等腰中， ， 在中， ， 在中， ， ， （2）连接 ， 由，知：. 又， 又由，.又,又是的中点, 为二面角的平面角 在等腰中， 在中， ， 在中, . 解法二：在平面中,过点,作交于,取为坐标原点，分别以，,所在的直线为轴，轴,轴，建立空间直角坐标系 （如图所示）则 为中点，设 . 即，. 所以存在点 使得 且.（2）记平面的法向量为,则由，且，得， 故可取 又平面的法向量为 . 二面角的平面角是锐角，记为，则例4、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的

7、中点. （）求直线AC与PB所成角的余弦值； （）在侧面PAB内找一点N，使NE面PAC，并求出N点到AB和AP的距离.解法1：（）建立如图所示的空间直角坐标系，则A、B、C、D、P、E的坐标为A（0，0，0）、B（，0，0）、C（，1，0）、D（0，1，0）、P（0，0，2）、E（0，1），从而设的夹角为，则AC与PB所成角的余弦值为. （）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x，O，z），则，由NE面PAC可得， 即N点的坐标为，从而N点到AB、AP的距离分别为1，.解法2：（）设ACBD=O，连OE，则OE/PB， EOA即为AC与PB所成的角或其补角.在AOE中，AO=1，OE=

8、即AC与PB所成角的余弦值为.（）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F，则.连PF，则在RtADF中设N为PF的中点，连NE，则NE/DF，DFAC，DFPA，DF面PAC，从而NE面PAC.N点到AB的距离，N点到AP的距离例5、如图，已知平面平面平面，且位于与之间点A、D，C、F，ACB，DFE.(1)求证：=；(2)设AF交于M，AD与CF不平行，与间距离为h，与间距离为h，当的值是多少时，SBEM的面积最大？解：（1） 证明：， 同理： （2）由（1）知 同理：， 据题意知：AD与CF异面，只是在间变化位置，故CF、AD是常量， 是AD与CF所成角的正弦值，也是常量. 令，只要考查

9、函数的最值， 显然，当时，即时，有最大值. 当时，即在两平面的中间时面积最大.例5、如图5，在三棱柱中，侧棱底面,为的中点,. (1) 求证：平面； (2) 若四棱锥的体积为, 求二面角的正切值.解：（1）证明: 连接,设与相交于点,连接, 四边形是平行四边形,点为的中点. 为的中点，为的中位线 . 2分平面,平面,平面. 4分(2)解: 依题意知， 平面,平面, 平面平面，且平面平面.作，垂足为，则平面， 6分设，在Rt中，四棱锥的体积 . 8分依题意得，即. 9分(以下求二面角的正切值提供两种解法)解法1:,平面，平面，平面.取的中点，连接，则,且.平面.作，垂足为，连接，由于，且，平面.

10、平面,.为二面角的平面角. 12分由RtRt,得,得,在Rt中, .二面角的正切值为. 14分解法2: ,平面，平面， 平面.以点为坐标原点,分别以,所在直线为轴, 轴和轴,建立空间直角坐标系. 则,. , 设平面的法向量为, 由及,得 令,得. 故平面的一个法向量为, 11分 又平面的一个法向量为, ,. 12分 ,. 13分 ,. 二面角的正切值为. 14分例6如图6，正方形所在平面与圆所在平面相交于，线段为圆的弦，垂直于圆所在平面，垂足是圆上异于、的点，圆的直径为9 （1）求证：平面平面；（2）求二面角的平面角的正切值（1）证明：垂直于圆所在平面，在圆所在平面上， 在正方形中，平面平面，

11、平面平面 （2）解法1：平面，平面， 为圆的直径，即设正方形的边长为，在中，在中，由，解得， 过点作于点，作交于点，连结，GF由于平面，平面，平面平面，平面平面，是二面角的平面角在中， 在中， 故二面角的平面角的正切值为 解法2：平面，平面，为圆的直径，即 设正方形的边长为，在中，在中，由，解得， xyz以为坐标原点，分别以、所在的直线为轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设平面的法向量为， 则即取，则是平面的一个法向量设平面的法向量为，则即取，则是平面的一个法向量， 故二面角的平面角的正切值为例7、在四棱锥P-ABCD中,PD底面ABCD, ABCD,PD=CD=AD=AB=a,ADC

12、=120,点E为AB的中点. (I)证明:AD面PDB; (II)求二面角D-PC-E的大小; (III)求点B到面PEC的距离.PEDCB A(I)ADC=120，ABCD，DAB=60，又AD=AB=a， BD=， ADBD，又PD面ABCD，PDAD， 而PDBD=D，PEDCB AxyzAD面PDB. .4分(II) 如图，以D为坐标原点，DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴建立直角坐标系，则D(0,0,0)，P(0,0,a)，A(a,0,0)，E(,0)，C(,0)， B(0,0)，设平面PDC的法向量为，则，即，.同理求得平面PEC的一个法向量为， 二面角D-PC-E的大小为. .1

13、0分 (III)由(II)知，面PEC的一个法向量， 于是点B到面PEC的距离. 14分实战练习1如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，且MD=NB=1，E为BC的中点.（）求异面直线NE与AM所成角的余弦值；（）在线段AN上是否存在点S，使得ES平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由.k 2如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点. （）求证：ACSD； （）若SD平面PAC，求二面角P-AC-D的大小；（）在（）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E， 使得BE平面PAC.若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由. 3

14、如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，的中点， （）设是的中点，证明：平面； （）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离答案： 4.如图，在长方形中，为的中点，为线段（端点除外）上一动点现将沿折起，使平面平面在平面内过点作，为垂足设，则的取值范围是 5.如图，在中，斜边可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角动点的斜边上（I）求证：平面平面；（II）当为的中点时，求异面直线与所成角的正切值大小；（III）求与平面所成角的正切值最大值课后作业 例1、如图,已知矩形ABCD中,AB=1,BC=,PA平面ABCD,且PA=1.(1)问BC边上是否存在点Q使得PQQD?并说明

15、理由;(2)若BC边上有且只有一个点Q,使得PQQD,求这时二面角Q的正切值.ABCDPQ例2、如图，在棱长为1的正方体中，P是侧棱上的一点，.（1）试确定，使得直线与平面所成角的正切值为；（2）在线段上是否存在一个定点，使得对任意的，在平面上的射影垂直于.并证明你的结论.例3、如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点。(1)求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值；(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F/平面A1BE？证明你的结论。A DB CA1 D1B1 C1E6、如图在长方体中，=1，点E是AB上的动点(1)若直线，请你确定点的位置，并求出此时异面直线

16、与所成的角(2) 在（1）的条件下求二面角的大小7、在正方体中，是棱的中点。（1）求平面与平面所成二面角的正切值；（2）是侧面上的一动点，且平面，求直线与平面所成角的正切值的取值范围。实战练习参考答案1如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，且MD=NB=1，E为BC的中点.（）求异面直线NE与AM所成角的余弦值；（）在线段AN上是否存在点S，使得ES平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由.k.s.5.u.c.o.m 解析：（1）在如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标依题意，得。，所以异面直线与所成角的余弦值为.（2）假设在线段上存在点，使得平面.,可设又.由平面，得即故，

17、此时.经检验，当时，平面.故线段上存在点，使得平面，此时.2如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点. （）求证：ACSD； （）若SD平面PAC，求二面角P-AC-D的大小；（）在（）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E， 使得BE平面PAC.若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由.解法一：（）连BD，设AC交BD于O，由题意。在正方形ABCD中，所以,得. ()设正方形边长，则。又，所以, 连，由（）知,所以, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 且,所以是二面角的平面角。由,知,所以,即二面角的大小为。（）在棱SC上存在一点E，

18、使由（）可得，故可在上取一点,使,过作的平行线与的交点即为。连BN。在中知，又由于,故平面，得,由于,故.解法二：（）；连,设交于于，由题意知.以O为坐标原点，分别为轴、轴、轴正方向，建立坐标系如图。设底面边长为，则高。于是 从而()由题设知，平面的一个法向量，平面的一个法向量，设所求二面角为，则,所求二面角的大小为（）在棱上存在一点使. 由（）知是平面的一个法向量，且 设 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 则而即当时， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 而不在平面内，故3（11浙江）如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，的中点， （）设是的中点，证明：平面； （）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离证明：（I）如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系O，则，由题意得，因，因此平面BOE的法向量为，得，又直线不在平面内，因此有平面（II）设点M的坐标为，则，因为平面BOE，所以有，因此有，即点M的坐标为，在平面直角坐标系中，的内部区域满足不等式组，经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在内存在一点，使平面，由点M的坐标得点到，的距离为4.（11浙江）如图，在长方形中，为的中点，为线段（端点除外）上一动点现将沿折起，使