实验有效数字

1、1234实验错误数据的剔除实验错误数据的剔除5一、测量一、测量 测量就是测量就是借助仪器将待测量与同类标准量进行比借助仪器将待测量与同类标准量进行比较，确定待测量是该同类单位量的多少倍的过程较，确定待测量是该同类单位量的多少倍的过程称作测量。测量数据要写明数值的大小和计量单称作测量。测量数据要写明数值的大小和计量单位。位。 测量的要素：对象，单位，方法，准确度。测量的要素：对象，单位，方法，准确度。 倍数倍数 读数读数+ +单位单位数据数据 1 测量与误差测量与误差1 1、测量的含义、测量的含义6 在人类的发展历史上，不同时期，不同的国家不同时期，不同的国家， 乃至不同的地区，同一种物理量有着

2、许多不同乃至不同的地区，同一种物理量有着许多不同 的计量单位的计量单位。如长度单位就分别有码、英尺、 市尺和米等。为了便于国际交流，国际计量大 会于1960年确定了国际单位制（SI），它规定 了以米、千克、秒、安培、开尔文、摩尔、坎 德拉作为基本单位基本单位，其他物理量（如力、能 量、电压、磁感应强度等）均作为这些基本单 位的导出单位导出单位。7按方法分类：按方法分类：按条件分类：按条件分类： 直接测量直接测量 间接测量间接测量 等精度测量等精度测量 非等精度测量非等精度测量8测量测量直接测量直接测量间接测量间接测量15. 3 Lcm15. 3 L数值数值单位单位hrm2 9二、误差二、误差任

3、何测量结果都有误差！任何测量结果都有误差！ 1、真值：待测量客观存在的值、真值：待测量客观存在的值( (绝对绝对) )误差误差：0 xxx真值真值测量值测量值相对误差相对误差%1000 xxEx10. 相对误差常用百分比表示。它表示绝对误差在整个物理量中所占的比重，它是无单位的一个纯数，所以既可以评价量值不同的同类物理量的测量，也可以评价不同物理量的测量，从而判断它们之间优劣。如果待测量有理论值或公认值，也可用百分差来表示测量的好坏。即: % 100 0公认值公认值测量值百分差 E112 2、误差的分类、误差的分类随机误差随机误差随机性随机性可通过多次测量来减小可通过多次测量来减小系统误差系统

4、误差恒定性恒定性可用特定方法来消除或减小可用特定方法来消除或减小12 系统误差系统误差保持不变或以可预知方式变化的误差分量保持不变或以可预知方式变化的误差分量 来源来源: :仪器固有缺陷仪器固有缺陷; ; 实验理论近似或方法不完善；实验理论近似或方法不完善； 实验环境、测量条件不合要求；实验环境、测量条件不合要求； 操作者生理或心理因素。操作者生理或心理因素。133、测量的精密度、准确度、精确度、测量的精密度、准确度、精确度1）精密度。表示重复测量所得数据的相互重复测量所得数据的相互接近程度接近程度（离散程度）。2）准确度，表示测量数据的平均值与真值测量数据的平均值与真值的接近程度的接近程度。

5、3）精确度。是对测量数据的精密度和准确测量数据的精密度和准确度度的综合评定。14 以打靶为例来比较说明精密度、准确度、精确度三者之间的关系。图中靶心为射击目标，相当于真值真值，每次测量测量相当于一次射击。 （a）准确度高、 （b）精密度高、 （c）精密度、准确 精密度低 准确度低 度均高 15一、随机误差的正态分布规律一、随机误差的正态分布规律大量大量的随机误差服从的随机误差服从正态分布正态分布规律规律 ()fxx0 xxx误差误差概率密度函数概率密度函数2221()2xfxe标准误差标准误差nxin2lim2 随机误差的处理随机误差的处理16)d(,xxx)d()(xxf)( xfaaxxf

6、axaP)d()()()( xfx(-a,a)为为置信区间置信区间、P为为置信概率置信概率17满足归一化条件满足归一化条件1)d()(xxf683. 0)d()()(xxfxP954. 0)22(xP997. 0)33(xP 3 极限误差极限误差)( xfx总面积总面积=1=11819正态分布特征：正态分布特征：)( xfxniinxn101lim20二、随机误差估算二、随机误差估算标准偏差标准偏差0 xxxii误差：误差：偏差：偏差：xxxii)(2nnxi标准误差标准误差标准偏差：标准偏差：1)(2 nxxSix21xS),(xxSS %3 .681)(2 nxxSixxSxS954. 0

7、)22(xxSxSP997. 0)33(xxSxSP 2. 2.标准偏差的物理含义标准偏差的物理含义22总面积总面积=1=123三、测量结果最佳值三、测量结果最佳值算术平均值算术平均值 niixnx11算术平均值算术平均值是真值的最佳估计值是真值的最佳估计值 多次测量求平均值可以减小随机误差多次测量求平均值可以减小随机误差24 对于服从正态分布的随机误差，出现在S区间内概率为68.3%，与此相仿，同样可以计算，在相同条件下对某一物理量进行多次测量，其任意一次测量值的误差落在 -3S到+3S区域之间的可能性（概率）。其值为 % 7 .99)()3 ,3(3 3 xdxfSSPSS1. 拉依达判据

8、3 实验中错误数据的剔除实验中错误数据的剔除25 如果用测量列的算术平均替代真值，则测量列中约有99.7%的数据应落在区间内，如果有数据出现在此区间之外，则我们可以认为它是错误数据，这时我们应把它 舍去舍去，这样以标准偏差Sx的3倍为界去决定数据的取舍就成为一个剔除剔除坏数据的准则坏数据的准则，称为拉依达准则。但要注意的是数据少于数据少于1010个时此准则无效个时此准则无效。26 对于服从正态分布的测量结果，其偏差出现在3S附近的概率已经很小，如果测量次数不多，偏差超过3S几乎不可能，因而，用拉依达判据剔除疏失误差时，往往有些疏失误差剔除不掉。另外，仅仅根据少量的测量值来计算S，这本身就存在不

9、小的误差。因此当测量次数不多时，不宜用拉依达判据，但可以用肖维勒准则。按此判据给出一个数据个数n相联系的系数Gn，当已知数据个数n，算术平均值和测量列标准偏差S，则可以保留的测量值xi的范围为)()(sGxxsGxnin2.肖维勒准则27 Gn系数表 n Gn n Gn n Gn 3 1.38 11 2.00 25 2.33 4 1.54 12 2.03 30 2.39 5 1.65 13 2.07 40 2.49 6 1.73 14 2.10 50 2.58 7 1.80 15 2.13 100 2.80 8 1.86 16 2.15 9 1.92 18 2.20 10 1.96 20 2.

10、2428一、不确定度基本概念一、不确定度基本概念被测量的真值所处的量值范围作一评定被测量的真值所处的量值范围作一评定 测量结果：测量结果：005.0515.9 xmm (P=0.68)真值以真值以68%68%的概率落在的概率落在mm520. 9mm,510. 9区间内区间内4 测量不确定度及估算测量不确定度及估算测量值测量值X和不确定度和不确定度单位单位置信度置信度x29二、不确定度简化估算方法二、不确定度简化估算方法niixAxxnntSnt122)() 1(A类分量类分量 ：多次测量用统计方法评多次测量用统计方法评定的分量定的分量A30只考虑只考虑仪器误差仪器误差 测量值与真值之间可测量值

11、与真值之间可能产生的最大误差能产生的最大误差)368(3%.PB仪常用仪器误差见常用仪器误差见下表下表B类分量类分量 ： 用其它非统计方法评定的分量用其它非统计方法评定的分量B）（仪%95PB31仪器名称仪器名称量量 程程分度值分度值仪器误差仪器误差钢直尺钢直尺0300mm1mm0.1mm钢卷尺钢卷尺01000mm1mm0.5mm游标卡尺游标卡尺0300mm0.02, 0.05mm分度值分度值螺旋测微计螺旋测微计0100mm0.01mm0.004mm物理天平物理天平1000g100mg50mg水银温度计水银温度计 -303001 ,0.2 ,0.1分度值分度值读数显微镜读数显微镜0.01mm0

12、.004mm数字式电表数字式电表最末一位的最末一位的一个单位一个单位指针式电表指针式电表0.1, 0.2, 0.5, 1.01.5, 2.5, 5.0量程量程a%32仪器不确定度的估计仪器不确定度的估计. .根据说明书根据说明书. .由仪器的准确度级别来计算由仪器的准确度级别来计算yiX =100准确度等级 量程举例举例: :333435. .未给出仪器误差时估计未给出仪器误差时估计: :连续可读仪器连续可读仪器: :非连续可读仪器非连续可读仪器: :最小分度最小分度/2/2最小分度最小分度取末位取末位1 1数字式的仪器数字式的仪器: :举例举例: :3637A.A.由仪器的准确度表示由仪器的

13、准确度表示. .仪器误差仪器误差 的确定：的确定：仪38数字秒表数字秒表: :最小分度最小分度=0.01s=0.01sC.C.未给出仪器误差时未给出仪器误差时非连续可读仪器非连续可读仪器39总不确定度：总不确定度：由由A类分量和类分量和B类分量按类分量按“方、和、根方、和、根”方法合方法合成成 22AB 22仪xSnt三、总不确定度的合成三、总不确定度的合成40四、测量结果表达式：四、测量结果表达式：)(单位Bxx?P单次单次)(单位xxx多次多次?P41),(zyxfN 间接测量量的最佳值为：1、间接测量量的最佳值,zyx,zyx 直接测量量 的 最佳值为五、间接测量量的不确定度五、间接测量

14、量的不确定度42222222zyxNzfyfxf222222lnlnlnzyxzNyNxNNN2、间接测量量不确定度的合成不确定度传递系数43例如：例如：23222143xxxxy3332221223211232186436dxxxxxdxxxdxxxxdyd23332221222321212321)86()43()6(xxxxxxxxxxxxy间接测量量的不确定度是每一个直接测量量的合成。间接测量量的不确定度是每一个直接测量量的合成。两边求微分得两边求微分得: :44一、直接测量量不确定度评定步骤一、直接测量量不确定度评定步骤1 1、修正可定系统误差、修正可定系统误差多次测量估算步骤多次测量

15、估算步骤 对等精度测量列对等精度测量列 运算如下运算如下).,.,(321nixxxxxniixnx112 2、计算、计算454 4、按肖维勒准则剔除异常值后，重、按肖维勒准则剔除异常值后，重复步骤复步骤2 2、3 3，直到无异常值。，直到无异常值。21()( )( )( )(1)nixiAxxxStSttn nn 5、计算、计算3、计算、计算2()( )1ixxS xn6、计算、计算95%BP 仪（）468 8、最终结果：、最终结果：( )xxx( )( )100%xE xx)( P7、计算总不确定度、计算总不确定度22AB （单位）（单位）47二、间接测量结果不确定度评定步骤二、间接测量结

16、果不确定度评定步骤( ), ( ), ( );xyz1 1、计算、计算);,(xyxfN 2 2、计算、计算(),();NE N3 3、计算、计算()NNN()()100%NE NNP4 4、最后结果、最后结果48 某长度测6次,分别为29.18 29.19 29.27 29.25 29.26 29.24(cm) 仪=0.05cm23.296161iixxcmcm2 2、计算、计算解：解：1 1、无可定系统误差、无可定系统误差3 3、计算、计算2()( )0.0371ixxS xcmn49挑选最大最小值比较挑选最大最小值比较(6) ( )1.73 0.0370.064GS xcmcm29.27

17、29.230.04 0.06429.1829.230.05 0.064cmcm4 4、剔除异常值、剔除异常值所以无异常值所以无异常值5 5、计算、计算1( )2.57 0.0370.0396xAStcmn 5022( )0.063ABxcm 不确定度有效数字保留不确定度有效数字保留1 1位位, ,且与且与平均值的最后一位对齐平均值的最后一位对齐. .B 仪0.05cm( )0.063( )100%100%0.22%29.23xE xx8 8、最后结果：、最后结果：29.230.06()xcm( )0.22%E x 95%P 6 6、计算：、计算：7 7、计算：、计算：51间接测量量数据处理举例

18、间接测量量数据处理举例)(010218)(00503452)(0020124236cmHcmDgM 测得某园柱体质量测得某园柱体质量M M，直径，直径D D，高度，高度H H值如值如下，计算其密度及不确定度。下，计算其密度及不确定度。5224MD H21834521416312423642)/(666218345214231236432cmg24MD H代入数据代入数据计算密度计算密度53222222( )()( )( )20 0020 0050 01()(2)()236 1242 3458 21MDHMDH5 22 22 22 22211(10 )(10 )(10 )2.42.38.211(

19、10 )102.32.3相对不确定度相对不确定度54( )100%0.450%0.5%E总不确定度总不确定度231( )106.660.03( /)2.3g cm测量结果测量结果36.660.03(/)g cm(95%)P 55556（2 2）在最小刻度之间）在最小刻度之间可可估计一位估计一位欠准位欠准位准确位准确位（1 1）以刻度为依据可）以刻度为依据可读到读到最小刻度最小刻度所在位。所在位。57 35 36 (cm) 11 22 33 58（1 1）位数与）位数与单位变换或单位变换或小数点位置无关。小数点位置无关。35.76cm = 0.3576m = 0.0003576km35.76cm

20、 = 0.3576m = 0.0003576km（2 2）0 0 的地位的地位0.0003576 3.005 3.000 0.0003576 3.005 3.000 都是四位都是四位3 5 7 61 03 5 7 61 06 6 2 71 0123 4. hjs（3 3）特大或特小数用科学计数法）特大或特小数用科学计数法591 1、一般读数应读到最小分度以下再估一、一般读数应读到最小分度以下再估一位。位。例如，例如，1/21/2，1/51/5，1/41/4，1/101/10等。等。2 2、有时读数的估计位，就取在最小分度、有时读数的估计位，就取在最小分度位。位。例如，仪器的最小分度值为例如，仪

21、器的最小分度值为0.50.5，则，则0.1-0.4,0.6-0.90.1-0.4,0.6-0.9都是估计的，不必估到都是估计的，不必估到下一位。下一位。603 3、游标类量具，读到卡尺分度值。、游标类量具，读到卡尺分度值。多不估多不估读，特殊情况估读到游标分度值的一半。读，特殊情况估读到游标分度值的一半。5 5、特殊情况，直读数据的有效数字由仪、特殊情况，直读数据的有效数字由仪器的灵敏阈决定器的灵敏阈决定。例如在。例如在“灵敏电流计研灵敏电流计研究究”中，测临界电阻时，调节电阻箱中，测临界电阻时，调节电阻箱“ “ ”，仪器才刚有反应，尽管最小步进为，仪器才刚有反应，尽管最小步进为0.10.1电

22、阻值只记录到电阻值只记录到“ ”“ ”。10104 4、数字式仪表及步进读数仪器不需估读。、数字式仪表及步进读数仪器不需估读。6 6、若测值恰为整数，必须补零，直补到可、若测值恰为整数，必须补零，直补到可疑位。疑位。6162加、减法加、减法21 30033272097 2 13 0 03327 2 09 6 7 3 约简约简2 13 0 0333 2 09 6 7 可见，约简不影响计算结果。在加减法可见，约简不影响计算结果。在加减法运算中，各量可约简到其中位数最高者的下运算中，各量可约简到其中位数最高者的下一位，其结果的欠准数位与参与运算各量中一位，其结果的欠准数位与参与运算各量中位数最高者对

23、齐。位数最高者对齐。63乘、除法乘、除法 在乘除运算之前，各量可先约简到比其中位数在乘除运算之前，各量可先约简到比其中位数最少者多一位。运算结果一般与位数最少者相同，最少者多一位。运算结果一般与位数最少者相同，特殊情况比最少者多（少）一位。特殊情况比最少者多（少）一位。5 23 2116 7 多一位的情况多一位的情况1 011 210 83 1 21 1 010 083 968 4 2 0 363 56全部欠准时，商所在位即为全部欠准时，商所在位即为为欠准数位。为欠准数位。比位数最少者比位数最少者少一位的情况。少一位的情况。 5 2 32 1 61 6 0 51 6 6 9 2 4 264有效

24、数字位数与底数的相同有效数字位数与底数的相同24.62889. 72 171.1045.103 乘方、立方、开方乘方、立方、开方65初等函数运算初等函数运算四位有效数字，经正弦运算后得几位？四位有效数字，经正弦运算后得几位？52 130 问题是在问题是在 位上有波动，比如为位上有波动，比如为 ，对正弦值影响到哪一位，哪一位就应是欠准对正弦值影响到哪一位，哪一位就应是欠准数所在位。数所在位。 根据微分在近似计算中的应用，可知：根据微分在近似计算中的应用，可知： 1 1ydydxxxx coscos52 131601800 00020知知sin52 130 79030 第四位为欠准数位。第四位为欠

25、准数位。6667一般情况下一般情况下的有效数字取一位的有效数字取一位，精密测量情况下，可取二位。，精密测量情况下，可取二位。测量结果最佳值的有效数字的末位与测量结果最佳值的有效数字的末位与首位取齐。首位取齐。68当实验结果的有效数字位数较多时，当实验结果的有效数字位数较多时，进行取舍一般采用进行取舍一般采用1/21/2修约规则修约规则。（1） 需舍去部分的总数值大于需舍去部分的总数值大于0.5时，所留末位需加时，所留末位需加1，即进。，即进。（2） 需舍去部分的总数值小于需舍去部分的总数值小于0.5时，末位不变，即舍。时，末位不变，即舍。（3） 需舍去部分的总数值等于需舍去部分的总数值等于0.

26、5时，所留部分末位应凑成偶数。时，所留部分末位应凑成偶数。即末位为偶数即末位为偶数(0、2、4、6、8)，数字舍去；末位为奇数数字舍去；末位为奇数(1、3、5、7、9)，数字入进变为偶数。，数字入进变为偶数。修约成修约成4位有效数字位有效数字3.14159 3.1426.378501 6.3792.71729 2.7174.51050 4.5105.6235 5.6243.21650 3.216四舍、六入、五凑偶69一、列表法一、列表法 表表1. .不同温度下的金属电阻值不同温度下的金属电阻值6 70注意注意:1:1根据数据的分布范围，合理选择根据数据的分布范围，合理选择单位长度及坐标轴始末端

27、的数值单位长度及坐标轴始末端的数值，并以有效数字的形式标出。，并以有效数字的形式标出。22将实验点的位置用符号将实验点的位置用符号X X或或 等标在图上，用铅笔连成光滑等标在图上，用铅笔连成光滑曲线或一条直线，并标出曲线曲线或一条直线，并标出曲线的名称。的名称。7133线性关系数据求直线的斜率时线性关系数据求直线的斜率时, ,应在应在直线上选相距较远的两新点直线上选相距较远的两新点A.BA.B标明标明位置及坐标位置及坐标A(XA(X1 1 Y Y1 1), B(X), B(X2 2 Y Y2 2) ) 由此由此求得斜率。求得斜率。 kyyxx 2121简单明了。简单明了。有一定任意性（人为因素

28、），故有一定任意性（人为因素），故不能求不确定度。不能求不确定度。非线性关系数据可进行曲线改直后再处理非线性关系数据可进行曲线改直后再处理72)(RC)(t0 .200 .300 .400 .500 .600 .700 .800 .90500.10700.10900.10100.11300.11500.11700.11900.11100.12300.12500.12700.1273)(R0 .200 .300 .400 .500 .600 .700 .800 .90500.10700.10900.10100.11300.11500.11700.11900.11100.12300.12500.1

29、2700.12C)(t74)600.12, 5 .83()500.10, 0 .13(BA)(RC)(t0 .200 .300 .400 .500 .600 .700 .800 .90500.10700.10900.10100.11300.11500.11700.11900.11100.12300.12500.12700.12/cm100. 0:C/cm0 . 5:Rt )1(0tRR 75当当X X等间隔变化，且等间隔变化，且X X的误差可以不计的误差可以不计的条件下，的条件下，将其分成两组将其分成两组，进行逐差可求得：，进行逐差可求得： 对于对于 X X ：X X1 1 X Xn n X X2 2n n Y Y ：Y Y1 1 Y Yn n Y Y2 2n n YYYnnn 2 YYYn111 iyny1 三、逐差法三、逐差法76 )(71)()()(7118782312xxxxxxxxx 砝码质量(Kg) 1.0002.000 3.000 4.000 5.000 6.000 7.000 8.000弹簧伸长位置(cm) x1x2x3x4x5x6x7x8)()()()(44148372615xxxxxxxxx 77是从统计的角度处理数据，并能得到测是从统计的角度处理数据，并能得到测量结果不确定度的一种方法。量结果不确定度的一种方法。满足线性关系满足线性关系1nyyy XXXn1