医用高等数学第一章课件

1、医用高等数学张绍军 分子生物学馆110室第一章 函数 极限 连续1.1函数因变量因变量自变量自变量.)(,000处的函数值处的函数值为函数在点为函数在点称称时时当当xxfDx .),(称为函数的值域称为函数的值域函数值全体组成的数集函数值全体组成的数集DxxfyyW 数集数集D叫做这个函数的叫做这个函数的定义域定义域)(xfy 一、函数的概念一、函数的概念()0 x)(0 xf自变量自变量因变量因变量对应法则对应法则f函数的两要素函数的两要素: : 定义域定义域与与对应法则对应法则.xyDW约定约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值的一切实数值

2、.21xy 例如，例如， 1 , 1 : D211xy 例如，例如，)1 , 1(: D两函数等同,当且仅当它们的定义域和对应法则都相同.1.函数的单调性函数的单调性: :,)(DIDxf 区间区间的定义域为的定义域为设函数设函数,2121时时当当及及上任意两点上任意两点如果对于区间如果对于区间xxxxI ;)()(的严格单调增加上是单调增加在区间则称函数Ixf),()()()() 1 (2121xfxfxfxf或恒有)(xfy )(1xf)(2xfxyoI函数的特性函数的特性)(xfy )(1xf)(2xfxyoI;)()(单调减少的严格上是在区间则称函数Ixf,)(DIDxf 区间区间的定

3、义域为的定义域为设函数设函数,2121时时当当及及上任意两点上任意两点如果对于区间如果对于区间xxxxI ),()()()()2(2121xfxfxfxf或恒有2.函数的奇偶性函数的奇偶性:偶函数偶函数有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,DxD )()(xfxf yx)( xf )(xfy ox-x)(xf;)(为偶函数为偶函数称称xf有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,DxD )()(xfxf ;)(为奇函数为奇函数称称xf奇函数奇函数)( xf yx)(xfox-x)(xfy 3函数的周期性函数的周期性: :（通常说周期函数的周期是指其（通常说周期函数的周期是指其最小正最小正周

4、期周期）.,)(Dxf的定义域为的定义域为设函数设函数如果存在一个不为零的如果存在一个不为零的.)()(恒成立恒成立且且xflxf 为周为周则称则称)(xf.)( ,DlxDxl 使得对于任一使得对于任一数数.)(,的周期的周期称为称为期函数期函数xfl2l 2l23l 23lM-Myxoy=f(x)X有界有界无界无界M-MyxoX0 x,)(, 0,成立成立有有若若MxfXxMDX 4函数的有界性函数的有界性: :.)(否否则则称称无无界界上上有有界界在在则则称称函函数数Xxf二、函数的表示方法 解析法解析法 列表法列表法 图象法图象法三、几种特殊的函数类1. 分段函数分段函数例如例如,0,

5、0,|)(xxxxxxfy是定义在是定义在),(上的一个函数上的一个函数.xyoxy xy在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数.又如又如,1,110,2)(xxxxxf是确定在是确定在), 0 上的一个函数上的一个函数.)4/1 (f)4(f5) 1 (f211.对分段函数必须搞清对分段函数必须搞清每一个解析式每一个解析式所所对应的对应的 自变量的自变量的 取值范围取值范围; 2.分段函数表示的是分段函数表示的是一个函数一个函数.注意注意12xoy例例1.)3(,212101)(的定义域的

6、定义域求函数求函数设设 xfxxxf解解 23121301)3(xxxf 212101)(xxxf 122231xx1, 3 : fD故故(1)符号函数符号函数 010001sgnxxxxy当当当当当当1-1xyoxxx sgn(2)取整函数取整函数 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线xy= = x x 表示不超过表示不超过 的最的最大整数大整数 是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxDy01)(有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(3)狄利克雷函数（狄利克雷函数（Dirichlet）(4)取最值函数取最值函数

7、)(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg2.复合函数复合函数,uy 设设,12xu 21xy 定义定义: :,自自变变量量x,中中间间变变量量u,因变量因变量y注意注意: :1.不是任何两个函数都可以复合成一个复不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的合函数的;,arcsinuy 例如例如;22xu )2arcsin(2xy 2.复合函数可以由两个以上的函数经过复复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成合构成.,2cotxy 例如例如,uy ,cotvu .2xv 3.复合函数不能交换次序复合函数不能交换次序3.反函数反函数0 x0

8、y0 x0yxyDW)(xfy 函数函数oxyDW)(yx 反函数反函数o)(xfy 直直接接函函数数xyo),(abQ),(baP)(xy 反函数反函数 直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称对称.xy 定义：设函数y=f(x)定义域为集合X，值 域Y，并且对于每个y Y，都有唯 一的一个逆象x X与之对应，这 样就可得到一个新的函数，Y为定 义域，X为值域y为自变量，x为因 变量。称为函数f的反函数2sinhxxeex 双曲正弦双曲正弦xycosh xysinh ),(:D奇函数奇函数.2coshxxeex 双曲余弦双曲余弦),(:D偶函数偶函数.4.4.双曲函

9、数双曲函数xey21 xey 21五、基本初等函数五、基本初等函数1.常数函数常数函数)( 是常数CCy oxyC2.幂函数幂函数)( 是是常常数数 xyoxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy 3.指数函数指数函数)1, 0( aaayxxay xay)1( )1( a)1 , 0( xey 4.对数函数对数函数)1, 0(log aaxyaxyln xyalog xya1log )1( a)0 , 1( 5.三角函数三角函数正弦函数正弦函数xysin xysin xycos xycos 余弦函数余弦函数正切函数正切函数xytan xytan xycot 余切函数余切函数xycot

10、 正割函数正割函数xysec xysec xycsc 余割函数余割函数xycsc 5.反三角函数反三角函数xyarcsin xyarcsin反正弦函数xyarccos xyarccos 反反余余弦弦函函数数xyarctan xyarctan 反正切函数反正切函数 常数函数常数函数,幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角三角函数和反三角函数统称为函数和反三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.xycot 反余切函数反余切函数arcxycot arc六、初等函数六、初等函数由六类基本初等函数经过有限次四则运算由六类基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用和有

11、限次的函数复合步骤所构成并可用一一个式子表示个式子表示的函数的函数, ,称为称为初等函数初等函数. .初等函数定义初等函数定义七、小结七、小结函数的分类函数的分类: :函数函数初等函数初等函数非初等函数非初等函数( (分段函数分段函数, ,有无穷多项等函数有无穷多项等函数) )代数函数代数函数超越函数超越函数有理函数有理函数无理函数无理函数有理整函数有理整函数( (多项式函数多项式函数) )有理分函数有理分函数( (分式函数分式函数) )1.2极限一、数列极限二、函数极限1.数列极限的定义2.收敛数列的四则运算一、一、 数列的极限数列的极限“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又

12、割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1.割圆术：割圆术：播放播放刘徽刘徽（一）、概念的引入（一）、概念的引入R正六边形的面积正六边形的面积1A正十二边形的面积正十二边形的面积2A正正 形的面积形的面积126 nnA,321nAAAAS2.截丈问题：截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”庄子庄子天下天下 ;211 X第一天截下的杖长为第一天截下的杖长为;212122 X为为第二天截下的杖长总和第二天截下的杖长总和;2121212nnXn 天截下的杖长总和为天截下的杖长总和为第第nnX211 1（二）、数列的定义（二）、

13、数列的定义 如果按照某一法则如果按照某一法则, , 对每一对每一n N , 对应着一个确定对应着一个确定的实数的实数xn, , 则得到一个序列则得到一个序列 x1, , x2, , x3, , , , xn , , , ,这一序列叫做这一序列叫做数列数列, , 记为记为xn, , 其中第其中第n项项xn叫做数列的叫做数列的一一般项般项. . 数列举例数列举例: :2, , 4, , 8, , , , 2n , , ; ; 21, 41, 81, , n21, ; 1, , 1, , 1, , , , ( 1)n 1, , . . 21, 32, 43, , 1nn; x1x5x4x3x2xn

14、数列数列xn可以看作数轴上的一个动点可以看作数轴上的一个动点, , 它依次取数轴它依次取数轴上的点上的点x1, , x2, , x3, , , , xn , , . . 数列的几何意义数列的几何意义数列与函数数列与函数 数列数列xn可以看作自变量为正整数可以看作自变量为正整数n的函数的函数 xn f(n), , n N . . .)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn播放播放（三）、数列的极限 当当n无限增大时无限增大时, ,如果数列如果数列xn的一般项的一般项xn无限接近无限接近于常数于常数a, , 则则常数常数a称为数列称为数列xn的极限的极限, ,或称或称数列数列

15、xn收敛收敛a, ,记为记为axnnlim. v数列极限的通俗定义数列极限的通俗定义 如果不存在这样的常数如果不存在这样的常数a, , 就说数列就说数列xn没有极限没有极限, , 或或说数列说数列 是发散的，习惯上也说是发散的，习惯上也说 不存在不存在. nxnnx lim1.割圆术：割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽(一)、概念的引入1.割圆术：割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体

16、而无所失矣”刘徽刘徽(一)、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1.割圆术：割圆术：刘徽刘徽(一)、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1.割圆术：割圆术：刘徽刘徽(一)、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1.割圆术：割圆术：刘徽刘徽(一)、概念的引入“割之弥细，所割

17、之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1.割圆术：割圆术：刘徽刘徽(一)、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1.割圆术：割圆术：刘徽刘徽(一)、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1.割圆术：割圆术：刘徽刘徽(一)、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割

18、，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1.割圆术：割圆术：刘徽刘徽(一)、概念的引入返回返回.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn（三)、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn（三)、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn（三)、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn（三)、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn（三）、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn（三）

19、、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn（三）、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn（三）、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn（三）、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn（三）、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn（三）、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn（三）、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn（三）、数列的极限返回返回（三）

20、数列极限的四则运算（三）数列极限的四则运算bababannnnnnnlimlim)(limbababannnnnnnlimlimlim 如果如果 ，那么，那么aannlimbbnnlim)0(limlimlimbbababannnnnnnaCaCaCnnnnlimlim注：使用极限四则运算法则的前提注：使用极限四则运算法则的前提是各部分极限必须存在。是各部分极限必须存在。特别地，如果特别地，如果C是常数，那么是常数，那么也就是说也就是说：如果两个数列都有极限，那么由如果两个数列都有极限，那么由这两个数列的各对应项的和、差、积、商组这两个数列的各对应项的和、差、积、商组成的数列的极限，分别等于这

21、两个数列的极成的数列的极限，分别等于这两个数列的极限的和、差、积、商（各项作为除数的数列限的和、差、积、商（各项作为除数的数列的极限不能为的极限不能为0）。）。二、函数极限二、函数极限 关于函数的极限，根据自变量的变化过程，我们主关于函数的极限，根据自变量的变化过程，我们主要研究以下两种情况：要研究以下两种情况：一、当自变量一、当自变量x的绝对值无限增大时，的绝对值无限增大时，f(x)的变化趋势，的变化趋势，的极限的极限时时即即)(,xfx 二、当自变量二、当自变量x无限地接近于无限地接近于x0时，时，f(x)的变化趋势的变化趋势的极限的极限时时即即)(,0 xfxx （一）、自变量趋向无穷大

22、时函数的极限（一）、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx播放播放.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx返回返回问问题题: :函函数数)(xfy 在在 x的的过过程程中中, 对对应应函函数数值值)(xf无无限限趋趋近近于于确确定定值值 A.通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:. 0sin)(,无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当xxxfx :. 1 定定义义2.另两种情形另两种情形:.10情形情形xAxfx )(lim:.20情形情形xAxfx )(lim Axfx)(lim:定定理理.)(lim)(li

23、mAxfAxfxx 且且3.几何解释几何解释: xfy A.)(,为附近的区域内直线图形落在函数无限增大时当Ayxfyx例例1 121limxxx(二二)、自变量趋向有限值时函数的极限、自变量趋向有限值时函数的极限的变化趋势的变化趋势函数函数时时考察考察1)1(2)(,12 xxxfx 当点从当点从1的左侧或右的左侧或右侧无限地接近于侧无限地接近于1时，时， f(x)的值无限地接近于的值无限地接近于4，我们称常数，我们称常数4为为f(x)当当x1 时时f(x)的极限的极限.1xyo4问问题题: :函函数数)(xfy 在在0 xx 的的过过程程中中,对对应应函函数数值值)(xf无无限限趋趋近近于

24、于确确定定值值A. 1.定义定义2.几何解释几何解释:.2,)(,0的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线线线图形完全落在以直图形完全落在以直函数函数域时域时邻邻的去心的去心在在当当 Ayxfyxx0 xAAA0 x0 x)(xfy xyo注注1. 当当x x0时时，f(x) 有无极限与有无极限与 f(x)在在x0处的状态处的状态并无关系，我们只关心并无关系，我们只关心f(x) 在在x0附近的变化趋势，附近的变化趋势，即即 x x0时时f(x) 变化有无终极目标，而不是变化有无终极目标，而不是f(x) 在在x0这一孤立点的情况这一孤立点的情况 。所以约定。所以约定x x0但但xx02

25、.xx0的方式是任意的的方式是任意的3.常数函数的极限就是本身，常数函数的极限就是本身，CC lim例例2 ) 13(lim2xx例例3xxa0lim例例4xxx1coslim0注注 在求解函数极限时，也可考虑对函数进行放在求解函数极限时，也可考虑对函数进行放大，放大的原则与数列时的情形完全相同。此大，放大的原则与数列时的情形完全相同。此外还须注意此时是在外还须注意此时是在x=x0的附近考察问题的，的附近考察问题的，对于对于“附近附近”应如何理解，请揣摩一下。应如何理解，请揣摩一下。3.单侧极限单侧极限:例如例如,).(lim0, 10,1)(02xfxxxxxfx求设yox1xy 112 x

26、y两种情况分别讨论两种情况分别讨论和和分分00 xx,0 xx从左侧无限趋近从左侧无限趋近; 00 xx记作记作,0 xx从右侧无限趋近从右侧无限趋近; 00 xx记作记作左极限左极限 Axfxxxx趋向于时函数从左侧趋向于当)(00.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记作记作右极限右极限.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记作记作.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx 定理定理例例5.lim0是否存在验证xxx解：解：xxxxxx 00limlim1)1(lim0 xxxxxxx00limlim 11lim0 x左右极限存在但不相等左右极

27、限存在但不相等,.)(lim0不存在不存在xfxyx11 o4.函数极限运算法则函数极限运算法则),(lim0 xfxx)(lim0 xgxx均存在，则均存在，则1)2)(lim)(lim)()(lim000 xgxfxgxfxxxxxx )(lim)(lim)()(lim000 xgxfxgxfxxxxxx )(lim)(lim00 xfkxkfxxxx （k为常数）为常数）3) 当当0)(lim0 xgxx时，时，).(lim/ )(lim)()(lim000 xgxfxgxfxxxxxx 注注 1. 以上结论均在以上结论均在 ，limg(x)存在的前提下成存在的前提下成 立立;2. 极限

28、的加、减、乘运算法则可推广到有限个函极限的加、减、乘运算法则可推广到有限个函 数情形数情形.lim ( )f x3.3.自变量必须是同一变化过程自变量必须是同一变化过程例例6.531lim232 xxxx求求解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 , 03 531lim232 xxxx)53(lim1limlim22232 xxxxxx.37 3123 解解)32(lim21 xxx, 0 商的法则不能用商的法则不能用)14(lim1 xx又又, 03 1432lim21 xxxx. 030 例例7.3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxx解解例例8 8.321lim221 xxxx求求.,1分母的极限都是零分母的极限都是零分子分子时时x.1后后再再求求极极限限先先约约去去趋趋向向于于零零的的因因子子 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 )00(型型(消去零因子法消去零因子法)例例9mmmnnnxbxbxbaaxxa 11010lim（a00，b00，m,n0).解：解： 1）m