大学物理11振动4s

1、4.振动振动方向相互垂直方向相互垂直、频率不相等的两个谐振动的合成、频率不相等的两个谐振动的合成1）两频率相差很小）两频率相差很小:合振动的轨迹合振动的轨迹，将依次从直线，将依次从直线斜椭圆斜椭圆正正椭圆椭圆斜椭圆斜椭圆直线直线.不停地变化下去。不停地变化下去。2）两频率成简单的整数比）两频率成简单的整数比: 曲线构成曲线构成李萨如图李萨如图3.振动方向振动方向相互垂直、相互垂直、频率相等的两个谐振动的合成频率相等的两个谐振动的合成轨迹是斜线、斜椭圆或者正椭圆，振动方向可能是左旋和右旋，轨迹是斜线、斜椭圆或者正椭圆，振动方向可能是左旋和右旋，由两振动的位相差决定！由两振动的位相差决定！2. 同

2、振动方向、同振动方向、不同频率不同频率的两个谐振动的合成的两个谐振动的合成不是谐振动，可能形成不是谐振动，可能形成振幅加强和减弱现象振幅加强和减弱现象拍拍43第十一章第十一章 机械振动机械振动1.同振动方向、同振动方向、同频率同频率的两个谐振动的合成的两个谐振动的合成合振动是谐振动合振动是谐振动, 其频率仍为其频率仍为 o，三、谐振动的合成三、谐振动的合成(2)单摆系统的能量单摆系统的能量mghmvEEEpk 221总总222sindEd ddmlmgldtdtdtdt )(222 lgdtddtdml =0)cos( tomlh )cos1 ()(2122 mgldtdml（sin ）得：得

3、：E总总=常量常量221 mEk )(sin212222 tmloo势能势能mghEp )cos1 ( mgl动能动能任意时刻：任意时刻：随时随时间间变化变化)(cos212222 tmloo22221 opkmlEEE 总总221 mgl = 常量常量41o 2.谐振动系统能量的特点谐振动系统能量的特点1）EK、Ep各自随时间作周期性变化各自随时间作周期性变化xtTE=EpEk(1/2)kA2okpEE )(sin2122 tkAEk)(cos2122 tkAEpEEk、Ep总是总是此大彼小此大彼小即：谐振动的过程正是动能与势能相互转换的过程即：谐振动的过程正是动能与势能相互转换的过程2）E

4、总总=常量常量423）动能与势能的时间平均值）动能与势能的时间平均值:2200011sin ()2TkEkAtdtT 222020041sin2kAdxxTkA 222020041cos2kAdxxTkA 2200011cos ()2TPEkAtdtT pkEE 总总E21 AkEpEAoX4）E总总正比于振幅的平方正比于振幅的平方A2 这些结论同样适用于任何谐振动。这些结论同样适用于任何谐振动。 振幅不仅给出谐振动运动的范围，而且还振幅不仅给出谐振动运动的范围，而且还 反映了振动系统总能量的大小及振动的强度。反映了振动系统总能量的大小及振动的强度。* * * 任一谐振动总能量与振幅的平方成正

5、比任一谐振动总能量与振幅的平方成正比* * 弹簧振子的动能和势能的平均值相等，且弹簧振子的动能和势能的平均值相等，且 等于总机械能的一半等于总机械能的一半43* * * *E221kxEp )(2122xAkEk )(sin2122 tkAEk)(cos2122 tkAEpE=(1/2)kA2kEA总总2 221kAE 总总结论：结论：1.谐振子的阻尼振动谐振子的阻尼振动dtdxvf 阻阻五、振动的一般情形五、振动的一般情形阻阻弹弹fFF 根据牛顿定律：根据牛顿定律：22dtxdmF 则：则：dtdxkxdtxdm 22即：即：其中：其中：mko 2 02222 xdtdxdtxdo 微分方程

6、微分方程特征特征1）动力学特征）动力学特征kxF 弹弹m 2 阻尼因数阻尼因数442220od xxdt xoxmf阻阻F弹弹阻尼项阻尼项tX2）运动学特征）运动学特征一般一般 不同振动状态就不同不同振动状态就不同（1）阻尼较小时）阻尼较小时， o，称为称为弱阻尼弱阻尼22 o( )cos()toox tA et 此方程的解：此方程的解：其中：振幅其中：振幅toeAA 频率频率*振幅随振幅随 t 按指数衰减按指数衰减经一周期两振幅之比：经一周期两振幅之比：TTtotoeeAeA )(T*是准周期运动是准周期运动出现两次极大的时间间隔：出现两次极大的时间间隔：位相改变位相改变2 所经历的时间所经

7、历的时间周期周期 222 oTooT 2周期变长，振动变慢。周期变长，振动变慢。能量能量 E 随振幅随振幅 A 的减小而衰减的减小而衰减2AE 45*02222 xdtdxdtxdo 振动特点振动特点tteCeCtx)(2)(1202202)( 方程的解：方程的解：其中其中C1 、C2是积分常数，由初始条件来决定。是积分常数，由初始条件来决定。*无振动发生无振动发生（2）阻尼较大时）阻尼较大时 o，称为称为过阻尼过阻尼02222 xdtdxdtxdo *非周期运动非周期运动t过阻尼过阻尼)(tx 运动一开始，便逐渐运动一开始，便逐渐回到平衡位子回到平衡位子（3） = o，称为称为临界阻尼临界阻

8、尼tetCCtx )()(21方程的解：方程的解：C1、C2由初始条件决定由初始条件决定220 是从有周期性因子是从有周期性因子 到无周期性的到无周期性的临界点临界点。振动特点同上，振动特点同上， 但很快回到平衡位置。但很快回到平衡位置。46振动特点振动特点临界阻尼临界阻尼1)谐振子的受迫振动方程谐振子的受迫振动方程2. 谐振子的受迫振动谐振子的受迫振动设强迫力：设强迫力：tFF外外外外 cos0 外外阻阻弹弹FfFdtxdm 22mko 2 m 2mFfoo 由微分方程理论由微分方程理论：方程的通解方程的通解= =齐次微分方程的解齐次微分方程的解+ +非齐次的一个特解非齐次的一个特解)cos

9、()cos()(00 tAteAtxpt外外经过足够长的时间，经过足够长的时间，称为稳态解：称为稳态解：)cos()( tAtxp外外反映系统的暂态行为反映系统的暂态行为47微分方程微分方程tfxdtdxdtxd外外 cos202022 则有：则有：xoxmf阻阻F弹弹F外外系统的稳定振动状态系统的稳定振动状态即：稳态时的受迫振动按即：稳态时的受迫振动按谐振动谐振动的规律变化的规律变化稳态频率稳态频率: 振幅振幅:外外 tfxdtdxdtxd外外 cos202022 )cos()( tAtxp外外稳态解稳态解 02222204pfA 外外位相位相:2202tg 外外 外外 将稳态解代入方程可得

10、：将稳态解代入方程可得：2)稳定稳定受迫振动与谐振动的区别：受迫振动与谐振动的区别：* 受力不同：受力不同： 弹簧振子弹簧振子 F弹弹，受迫振动受迫振动F外外*三特征量的本质不同：三特征量的本质不同：弹簧振子弹簧振子o A 系统固有系统固有由初始由初始条件决定条件决定受迫振动受迫振动外外 A 解方程解方程求得求得外力决定外力决定*能量情况不同：能量情况不同： 谐振动系统谐振动系统能量守恒能量守恒受迫振动系统阻力消耗的能量受迫振动系统阻力消耗的能量=外力作功外力作功483.3.共振共振在一定条件下在一定条件下, 振幅出现振幅出现 极大值极大值, 振动剧烈的现象。振动剧烈的现象。 位移共振位移共振

11、令：令：2202外外共振振幅共振振幅 02202pMaxfAA 若若 o, 则则 r o r=Ar f0/(2 o ) 称尖锐共振称尖锐共振一般一般 r 外外大理石板大理石板充气轮胎充气轮胎mko 如何设计一防振台？如何设计一防振台？小小51内容提要内容提要: :一、波的一般概念一、波的一般概念二、平面简谐波二、平面简谐波三、波传播的能量三、波传播的能量第十一章第十一章 机械波机械波五、波的干涉五、波的干涉四、惠更斯原理四、惠更斯原理解决波的传播问题解决波的传播问题驻波驻波振动方向与传播方向垂直振动方向与传播方向垂直振动方向与传播方向相同振动方向与传播方向相同1. 波的分类波的分类按性质分类按

12、性质分类:机械波：机械波： 机械振动在弹性媒质中的传播过程机械振动在弹性媒质中的传播过程电磁波：电磁波： 电磁场周期性变化在空间的传播电磁场周期性变化在空间的传播引力波：引力波：按振动方向与传播方向分类：按振动方向与传播方向分类：如如 电磁波电磁波如如 声波声波各种类型的波有其特殊性，但也有普遍的共性。各种类型的波有其特殊性，但也有普遍的共性。传播的是波源的运动状态传播的是波源的运动状态混合波混合波: 如水波、地震波如水波、地震波时空形变，以时空形变，以C的速度在空间传播的速度在空间传播?1横波：横波：纵波：纵波：动画动画纵波：纵波：一、波的一般概念一、波的一般概念2.机械波产生的条件机械波产

13、生的条件1）波源）波源产生振动的机构产生振动的机构2）弹性媒质：无穷多质点通过相互之间的弹性）弹性媒质：无穷多质点通过相互之间的弹性 力作用组合在一起的连续介质力作用组合在一起的连续介质.23. 波动的特点：波动的特点：1）每个质点只在平衡位置附近振动，不向前运动。）每个质点只在平衡位置附近振动，不向前运动。2）后面质点重复前面质点的振动状态，有位相落后。）后面质点重复前面质点的振动状态，有位相落后。3）所有质点同一时刻位移不同，形成一个波形。）所有质点同一时刻位移不同，形成一个波形。4）振动状态、波形、能量向前传播。）振动状态、波形、能量向前传播。振动与波动振动与波动区别区别:振动研究一个质

14、点的运动。振动研究一个质点的运动。波动研究大量有联系的质点振动的集体表现。波动研究大量有联系的质点振动的集体表现。联系联系:振动是波动的根源；振动是波动的根源；波动是振动的传播。波动是振动的传播。 4.描述波动的基本物理量描述波动的基本物理量1）波长）波长 在波的传播方向上，两相邻的在波的传播方向上，两相邻的 位相差为位相差为 2 的质点间的距离的质点间的距离 。 2）周期）周期 T 波向前传播一个波长所用的时间。波向前传播一个波长所用的时间。 Tu uv 波波振振1x2xx1 点的振动位相比点的振动位相比 x2 超前超前2 ： 则：则： 2)()(21 uxtuxt 212 uxx振振波波T

15、T 3）波速）波速 u振动状态振动状态(位相位相)在媒质中的传播速度：在媒质中的传播速度： 3注注波速的大小决定于媒质的性质波速的大小决定于媒质的性质 媒质的密度和弹性模量。媒质的密度和弹性模量。 即：即：T波波空间周期空间周期时间周期时间周期T振振 Tu Gu 气、液、固体中纵、横波波速公式气、液、固体中纵、横波波速公式 T T为绳索或弦线中张力为绳索或弦线中张力; ;为质量线密度为质量线密度 细长的棒状媒质中细长的棒状媒质中纵波纵波波速为波速为 Yu Y Y为媒质的杨氏弹性模量为媒质的杨氏弹性模量; ;为质量密度为质量密度 各向同性均匀固体媒质各向同性均匀固体媒质横波横波波速波速G G为媒

16、质的切变弹性模量为媒质的切变弹性模量; ; 对于柔软的绳索和弦线中对于柔软的绳索和弦线中横波横波波速为波速为: :为质量密度为质量密度 在液体和气体只能传播在液体和气体只能传播纵波纵波，其波速为：，其波速为： Ku K为媒质的体变弹性模量为媒质的体变弹性模量; ;为质量密度为质量密度 Eu E为媒质的弹性模量为媒质的弹性模量; ;为质量密度为质量密度 固体中固体中纵波纵波波速：波速：在同一种固体媒质中，在同一种固体媒质中，横波横波波速比波速比纵波纵波波速小些。波速小些。气、液、固体中纵、横波波速公式气、液、固体中纵、横波波速公式固体中固体中纵波波速纵波波速横波波速横波波速气、液中纵波波速气、液中纵波波速绳中横波波速绳中横波波速 Yu杨氏模量杨氏模量质量密度质量密度 Gu切变模量切变模量 Bu容变模量容变模量 Tu张力张力质量线密度质量线密度4 u 振振波波 4）频率）频率 单位时间内，波推进的距离中包含的完整的单位时间内，波推进的距离中包含的完整的波长的数目：波长的数目：uTu 波波T1 振振T1 2 k5）波数）波数 k 在波的传播方向上在波的传播方向上 2 长度内包含的波长的长