柱体、锥体和台体的体积计算

1、复习引课：复习引课：1.1. 复习提问：圆柱、圆锥、圆台的表面积复习提问：圆柱、圆锥、圆台的表面积计算公式是什么？计算公式是什么？)(2222lrrrlrS圆柱表面积)(2lrrrlrS圆锥表面积)(22rllrrrS圆台表面积2.2. 练一练：若知道正六棱锥的侧棱长为练一练：若知道正六棱锥的侧棱长为6,6,底面边长为底面边长为4,4, 你能求出它的高和表面积吗你能求出它的高和表面积吗? ?3.3. 提问：我们已经学过了柱体、锥体、台提问：我们已经学过了柱体、锥体、台体的表面积的求法及其计算公式体的表面积的求法及其计算公式, ,现在的问现在的问题是它们的体积如何求题是它们的体积如何求? ?是否

2、也有相应的计是否也有相应的计算公式算公式? ?探究新知：探究新知：回顾：还记得特殊的棱柱回顾：还记得特殊的棱柱正方体、长方正方体、长方体，以及圆柱的体积计算公式吗？体，以及圆柱的体积计算公式吗？正方体、长方体，以及圆柱的体积公式可正方体、长方体，以及圆柱的体积公式可以统一为：以统一为：V = Sh（S为底面面积，为底面面积，h为高）为高）简要介绍祖暅简要介绍祖暅(g ng)原理，原理，( (教材教材P30P30）祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体, ,被平行于这两个平面的任意平面所截被平行于这两个平面的任意平面所截, ,如果截面如果截面( (阴

3、影部分阴影部分) )的面积都相等的面积都相等, ,那么这两个几何体的那么这两个几何体的体积一定相等。体积一定相等。利用上述原理推导柱体和锥体的体积公式：利用上述原理推导柱体和锥体的体积公式：1 1、探究柱体的体积公式、探究柱体的体积公式结论：等底、等高的结论：等底、等高的棱柱、圆柱的体积相棱柱、圆柱的体积相等等.归纳：一般柱体的体归纳：一般柱体的体积积 V=Sh,其中其中S为底为底面面积面面积,h为柱体的高。为柱体的高。2 2、探究锥体的体积公式、探究锥体的体积公式结论结论1 1：等底面积等高的两个锥体的体积相等。：等底面积等高的两个锥体的体积相等。结论结论2 2：三棱锥的体积等于它的底面积乘

4、以高的积：三棱锥的体积等于它的底面积乘以高的积的三分之一。的三分之一。归纳：锥体的体积计算公归纳：锥体的体积计算公式：式： S S为底面面积，为底面面积，h h为高。为高。ShV31锥体讨论：台体的上底面积讨论：台体的上底面积S S，下底面积，下底面积S S，高，高h h，由，由此如何计算切割前的锥体的高？此如何计算切割前的锥体的高？ 如何计算台体的体积？如何计算台体的体积？解解:设切割设切割前的锥体的高为前的锥体的高为x,则则:2()xSxSxhShSSSxhSS11()33VS hxS x 为高。分别为上、下底面积，、其中台体hSShSSSSV)(312211()()33VSS SS hr

5、rRRh圆台想一想：柱、锥、台的体积计算公式有何关系？想一想：柱、锥、台的体积计算公式有何关系？从锥、台、柱的形状可以看出，当台体上底缩为从锥、台、柱的形状可以看出，当台体上底缩为一点时，台成为锥；当台体上底放大为与下底相一点时，台成为锥；当台体上底放大为与下底相同时，台成为柱。因此只要分别令同时，台成为柱。因此只要分别令S=SS=S和和S=0S=0便便可以从台体的体积公式得到柱、锥的相应公式。可以从台体的体积公式得到柱、锥的相应公式。从而锥、柱的公式可以统一为台体的体积公式从而锥、柱的公式可以统一为台体的体积公式 例题示范：例题示范： 例例1(P26)1(P26) 有一堆规格相同的铁制（铁的

6、密度是有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.8g/cm7.8g/cm3 3）六角螺帽共重）六角螺帽共重5.8kgkg，已知底面是正六，已知底面是正六边形，边长为边形，边长为12mm，内孔直径为，内孔直径为10mm，高为，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个（，问这堆螺帽大约有多少个（取取3.14）?分析、讨论：六角螺帽分析、讨论：六角螺帽的几何结构特征怎样？的几何结构特征怎样？ 如何求其体积？如何求其体积？ 利用哪些数量关系求螺利用哪些数量关系求螺帽的个数？帽的个数？解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差，即积之差，即: :22310126 103

7、.14 ()1042V 32956()mm32.956()cm所以螺帽的个数为所以螺帽的个数为5.85.810001000(7.8(7.82.956)2.956)252(252(个个) )答：这堆螺帽大约有答：这堆螺帽大约有252252个个巩固练习：巩固练习：1.1. 把三棱锥的高分成三等分，过这些分点且平行把三棱锥的高分成三等分，过这些分点且平行于三棱锥底面的平面，把三棱锥分成三部分，求于三棱锥底面的平面，把三棱锥分成三部分，求这三部分自上而下的体积之比。这三部分自上而下的体积之比。2 2、棱台的两个底面面积分别是、棱台的两个底面面积分别是245cm245cm2 2和和8080m m2 2，

8、截得这个棱台的棱锥的高为截得这个棱台的棱锥的高为35cm35cm，求这个棱台的，求这个棱台的体积。体积。（答案：（答案：2325cm2325cm3 3）3.3. 已知圆锥的侧面积是底面积的已知圆锥的侧面积是底面积的2 2倍，它的轴截倍，它的轴截面的面积为面的面积为4 4，求圆锥的体积，求圆锥的体积. .4.4. 高为高为12cm12cm的圆台，它的中截面面积为的圆台，它的中截面面积为225cm225cm2 2, ,体积为体积为2800cm2800cm3 3，求它的侧面积。，求它的侧面积。柱体、锥体、柱体、锥体、台体的表面积台体的表面积各面面积之和各面面积之和rr0 r展开图展开图22()Srrrl rl 圆台圆台 圆柱圆柱2()Sr rl()Sr rl圆锥圆