材料力学——2轴向拉伸与压缩

1、21 轴向拉压的概念及实例轴向拉压的概念及实例轴向拉压的外力特点：轴向拉压的外力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。一、概念一、概念轴向拉压的变形特点：轴向拉压的变形特点：杆的变形主要是轴向伸缩，伴随横向 缩扩。轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向缩短。轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗。轴向压缩，对应的力称为压力。轴向压缩，对应的力称为压力。轴向拉伸，对应的力称为拉力。轴向拉伸，对应的力称为拉力。力学模型如图力学模型如图PPPP工工程程实实例例二、二、一、内力一、内力 构件内部由于外力作用而引起的各质点之间的相互作用力构件内部由于外力作用而引起的各质点之间的相互作用力的改变量，称为的改变

2、量，称为附加内力附加内力，简称，简称内力内力。随外力的变化而变化。随外力的变化而变化。22 轴向拉伸或压缩时横截面上内力轴向拉伸或压缩时横截面上内力 和应力和应力6NF 轴力轴力。单位：。单位：牛顿（牛顿（N）v 轴力轴力 拉压杆的内力称为轴力，用拉压杆的内力称为轴力，用FN 表示。表示。FNFmmFFFNF7 同一位置处左、右侧截面上内力同一位置处左、右侧截面上内力分量必须具有相同的正负号。分量必须具有相同的正负号。轴力正负号规定：轴力正负号规定：NFNF8 轴力图轴力图表示轴力沿杆件轴线变化规律的图线。表示轴力沿杆件轴线变化规律的图线。F2FF2FxNFFF+-NF-图图如果杆件受到的外力

3、多于两个，则杆件不同部分如果杆件受到的外力多于两个，则杆件不同部分 的横截面上有不同的轴力。的横截面上有不同的轴力。9已知已知F F1 1=10kN=10kN；F F2 2=20kN=20kN； F F3 3=35kN=35kN；F F4 4=25kN;=25kN;试画试画出图示杆件的轴力图。出图示杆件的轴力图。11 0 xFkN1011 FFNFN1F1解：解：1 1、计算各段的轴力。、计算各段的轴力。F1F3F2F4ABCDABAB段段kN102010212FFFNBCBC段段2233FN3F4FN2F1F2122FFFN 0 xF 0 xFkN2543 FFNCDCD段段2 2、绘制轴力

4、图。、绘制轴力图。kNNFx102510 10反映出轴力与截面位置变化关系，较直观；确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。 轴力图轴力图 N (x) 的图象表示的图象表示 轴力的正负规定轴力的正负规定: : N 与外法线同向,为正轴力(拉力)N与外法线反向,为负轴力(压力)N 0NNN 5%延伸率延伸率 1n1）引入安全系数的原因：引入安全系数的原因：1 1、作用在构件上的外力常常估计不准确；、作用在构件上的外力常常估计不准确；2 2、构件的外形及所受外力较复杂，计算时需进行简化，因此工、构件的外形及所受外力较复杂，计算时需进行简化，因此工 作应力均

5、有一定程度的近似性；作应力均有一定程度的近似性； 3 3、材料均匀连续、各向同性假设与实际构件的出入，且小试样、材料均匀连续、各向同性假设与实际构件的出入，且小试样 还不能真实地反映所用材料的性质等。还不能真实地反映所用材料的性质等。 bbssnn脆脆性性材材料料：塑塑性性材材料料：一般来讲一般来讲sbnn 因为断裂破坏比屈因为断裂破坏比屈服破坏更危险服破坏更危险57构件拉压时的强度条件构件拉压时的强度条件AFN工作应力工作应力轴力轴力横截面积横截面积材料的许用应力材料的许用应力max58可以解决三类问题：可以解决三类问题：1 1、选择截面尺寸选择截面尺寸; ;例如已知例如已知 ，则，则 ,m

6、ax,NFmax,NFA 2 2、确定最大许可载荷确定最大许可载荷，如已知，如已知 ，则，则 ,A AFNAFN, ,3 3、强度校核、强度校核。如已知。如已知 ，则，则AFNmax 例例1 已知一圆杆受拉力P =25 k N，直径 d =14mm，许用应力 =170MPa，试校核此杆是否满足强度要求。解： 轴力：N = P =25kNMPa1620140143102544232max.d PAN应力：强度校核： 170MPa162MPamax结论：此杆满足强度要求，能够正常工作。60解：解：强度条件为强度条件为 又因为又因为 A = bh = 1.4bA = bh = 1.4b2 2 , ,

7、 所以所以例例2 2：冷镦机的曲柄滑块机构如图所示。镦压工件时冷镦机的曲柄滑块机构如图所示。镦压工件时连杆接近水平位置，承受的镦压力连杆接近水平位置，承受的镦压力P=1100kNP=1100kN 。连杆。连杆的截面为矩形，高与宽之比为的截面为矩形，高与宽之比为h/b=1.4h/b=1.4。材料为。材料为4545钢，钢，许用应力为许用应力为 =58MPa=58MPa，试确定截面尺寸，试确定截面尺寸h h和和b b。 6112CBA1.5m2mF 例题例题3 3 图示结构，钢杆图示结构，钢杆1 1：圆形截面，直径：圆形截面，直径d=16 mm,d=16 mm,许用许用 应力应力 ；杆；杆2 2：方

8、形截面，边长：方形截面，边长 a=100 mm, a=100 mm, ,(1) ,(1)当作用在当作用在B B点的载荷点的载荷 F=2 F=2 吨时，校核强吨时，校核强 度；度；(2)(2)求在求在B B点处所点处所 能能 承受的许用载荷。承受的许用载荷。MPa1501MPa5 . 42解：解：一般步骤一般步骤：外力外力内力内力应力应力利用强度条利用强度条件校核强度件校核强度62F1、计算各杆轴力、计算各杆轴力1NF2NF22NF11NFsincos212NNNFFFF,431（拉）FFN解得解得12CBA1.5m2mF（压）FFN452B632 2、F=2 吨时，校核强度吨时，校核强度1杆：

9、杆：2311148.910243dAFNMPa8 .7612杆：杆：232228.910245aAFNMPa5 .22因此结构安全。因此结构安全。643 3、F 未知，求许可载荷未知，求许可载荷F各杆的许可内力为各杆的许可内力为11max, 1 AFN62101504dKN15.3022max,2 AFN62105.4 aKN45两杆分别达到许可内力时所对应的载荷两杆分别达到许可内力时所对应的载荷max,1max34NFFKN2.4015.30341杆杆65max,2max54NFFKN3645542杆：杆：确定结构的许可载荷为确定结构的许可载荷为KNF36分析讨论：分析讨论： 和和 是两个不

10、同的概念。因为结构中各杆是两个不同的概念。因为结构中各杆并不同时达到危险状态，所以其并不同时达到危险状态，所以其许可载荷是由最先许可载荷是由最先达到许可内力的那根杆的强度决定。达到许可内力的那根杆的强度决定。FNF66这是一个设计拉杆截面的问题，根据这是一个设计拉杆截面的问题，根据 maxminNA首先需要计算拉杆的轴力首先需要计算拉杆的轴力67对结构作受力分析，利用静力平衡条件求出最大轴力对结构作受力分析，利用静力平衡条件求出最大轴力G + QNBCNBA0Y0QGsinNBC最大轴力出现在点葫芦最大轴力出现在点葫芦位于位于BkN.NBC856 2340614010856mm.NAmaxmi

11、n68求圆钢杆求圆钢杆BC 的直径的直径2240641mmAdminmm.d822可以选取可以选取mmd2569细长杆受拉会变长变细，细长杆受拉会变长变细，受压会变短变粗受压会变短变粗dLPPd- dL+ L长短的变化，沿轴线方向，称为长短的变化，沿轴线方向，称为纵向变形纵向变形粗细的变化，与轴线垂直，称为粗细的变化，与轴线垂直，称为横向变形横向变形2 28 8轴向拉伸或压缩时的变形轴向拉伸或压缩时的变形70一、轴向伸长（纵向变形）一、轴向伸长（纵向变形）lFF1l纵向的绝对变形纵向的绝对变形lll1纵向的相对变形（轴向线应变）纵向的相对变形（轴向线应变）llb1b71二、胡克定律二、胡克定律

12、实验证明：实验证明：AFll 引入比例常数引入比例常数E,则则EAFll EAlFN（胡克定律）（胡克定律）E表示材料弹性性质的一个常数，表示材料弹性性质的一个常数，称为拉压弹称为拉压弹性模量性模量，亦称，亦称杨氏模量杨氏模量。单位：。单位：Mpa、Gpa.例如一般钢材例如一般钢材: E=200GPa。72E虎克定律另一形式：虎克定律另一形式： 胡克定律的适用条件胡克定律的适用条件：1、 材料在线弹性范围内工作，即材料在线弹性范围内工作，即 （ 称为比例极限）；称为比例极限）； pp 2、 在计算杆件的伸长在计算杆件的伸长 l 时，时，l长度内其长度内其 均应为常数，否则应分段计算或进行积分。

13、例如均应为常数，否则应分段计算或进行积分。例如AEFN,lEA,EA杆件的杆件的抗拉压刚度抗拉压刚度73应分段计算总变形。应分段计算总变形。niiiiNiAElFl1即即CDBCoBllllO3F4F2FBCD1）331122(OB段、段、BC段、段、CD段长度均为段长度均为l.)332211EAlFEAlFEAlFNNNEAFlAEFlAEFl2)2()()2(3EAFl3742）考虑自重的杆件的变形。考虑自重的杆件的变形。qlNEAdxxFl)(三、横向变形三、横向变形 泊松比泊松比b1b横向的绝对变形横向的绝对变形bbb1横向的相对变形（横向线应变）横向的相对变形（横向线应变）bb75实

14、验证明实验证明：或或 称为称为泊松比泊松比，如一般钢材，如一般钢材， =0.25-0.33=0.25-0.33。四、刚度条件四、刚度条件ll（许用变形）（许用变形） 根据刚度条件，可以进行根据刚度条件，可以进行刚度校核刚度校核、截面设计截面设计及及确定许可载荷确定许可载荷等问题的解决。等问题的解决。76变截面杆如图所示。已知：变截面杆如图所示。已知：A1=8cm2，A2=4cm2，E=200GPa。求杆件的总伸长。求杆件的总伸长 l。 解解: 如图作截面如图作截面1-1, 2-2 由截面法可求得由截面法可求得 所以杆件的总伸长所以杆件的总伸长 例：C1、怎样画小变形放大图？变形图严格画法，图中

15、弧线；求各杆的变形量Li ，如图；变形图近似画法，图中弧之切线。例例 小变形放大图与位移的求法。ABCL1L2P1L2LC2、写出图2中B点位移与两杆变形间的关系ABCL1L21L2LBuBvB1LuB解：变形图如图2， B点位移至B点，由图知：sinctg21LLvB060sin6 . 12 . 18 . 060sinooATPTmkN55.113/PTMPa1511036.7655.119AT例例7 设横梁ABCD为刚梁，横截面面积为 76.36mm 的钢索绕过无摩擦的定滑轮。设 P=20kN，试求刚索的应力和 C点的垂直位移。设刚索的 E =177GPa。解：小变形放大图法 1）求钢索内

16、力：以ABCD为对象2) 钢索的应力和伸长分别为：800400400DPABCDTTYAXACPAB60 60mm36. 1m17736.766 . 155.11EATLLCPAB60 60800400400DAB60 60DBD12CC3）变形图如左图 , C点的垂直位移为：260sin60sin 221DDBBLCmm79. 060sin236. 160sin2ooL2 210 10 拉压超静定问题及其处理方法拉压超静定问题及其处理方法1、超静定问题、超静定问题：单凭静平衡方程不能确定出全部未知力 （外力、内力、应力）的问题。一、超静定问题及其处理方法一、超静定问题及其处理方法2、超静定的

17、处理方法、超静定的处理方法：平衡方程、变形协调方程、物理 方程相结合，进行求解。例例8 设1、2、3三杆用铰链连接如图，已知：各杆长为：L1=L2、 L3 =L ；各杆面积为A1=A2=A、 A3 ；各杆弹性模量为：E1=E2=E、E3。外力沿铅垂方向，求各杆的内力。CPABD123解：、平衡方程:0sinsin21NNX0coscos321PNNNYPAN1N3N211111AELNL 33333AELNL几何方程变形协调方程：物理方程胡克定律：补充方程：由几何方程和物理方程得。解由平衡方程和补充方程组成的方程组，得:cos31LLcos33331111AELNAELN33311333333

18、1121121cos2 ; cos2cosAEAEPAENAEAEPAENNCABD123A11L2L3L平衡方程；几何方程变形协调方程；物理方程胡克定律；补充方程：由几何方程和物理方程得；解由平衡方程和补充方程组成的方程组。3、超静定问题的方法步骤：、超静定问题的方法步骤：、几何方程解：、平衡方程:2、静不定问题存在装配应力静不定问题存在装配应力。0sinsin21NNX0coscos321NNNY13cos)(LL二、装配应力二、装配应力预应力预应力1、静定问题无装配应力。、静定问题无装配应力。 如图，3号杆的尺寸误差为，求各杆的装配内力。ABC12ABC12DA13cos)(333311

19、11AELNAELN、物理方程及补充方程： 、解平衡方程和补充方程，得: / cos21cos33113211321AEAEAELNN / cos21cos23311331133AEAEAELNA1N1N2N3AA13L2L1L1 1、静定问题无温度应力。、静定问题无温度应力。三三 、温度应力、温度应力 如图，1、2、3号杆的尺寸及材料都相同，当结构温度由T1变到T2时,求各杆的温度内力。（各杆的线膨胀系数分别为i ; T= T2 -T1)ABC12CABD123A11L2L3L2 2、静不定问题存在温度应力。、静不定问题存在温度应力。CABD123A11L2L3L、几何方程解：、平衡方程:c

20、os31LLiiiiiiiLTAELNL、物理方程：PAN1N3N20sinsin21NNX0coscos321NNNY-CABD123A11L2L3L、补充方程cos)(333333111111LTAELNLTAELN解平衡方程和补充方程，得: / cos21)cos(331132311121AEAETAENN / cos21cos)cos(233113231113AEAETAEN aaaaN1N2例例10 如图，阶梯钢杆的上下两端在T1=5 时被固定,杆的上下两段的面积分别 =cm2 ， =cm2，当温度升至T2 =25时,求各杆的温度应力。 (线膨胀系数 =12.5 ； 弹性模量E=20

21、0GPa)C1106、几何方程：解：、平衡方程：021NNY0NTLLL、物理方程解平衡方程和补充方程，得:kN 3 .3321 NN、补充方程2211 ; 2EAaNEAaNLTaLNT22112EANEANT、温度应力MPa 7 .66111ANMPa 3 .33222AN92FF2 212 12 应力集中的概念应力集中的概念93F应力集中应力集中由于尺寸由于尺寸改变而产生的局部应力改变而产生的局部应力增大的现象。增大的现象。94应力集中因数应力集中因数oKmaxmax为局部最大应力，为局部最大应力， 为削弱处的平均应力。为削弱处的平均应力。095应力集中因数应力集中因数 K96（1） 越

22、小，越小， 越大；越大； 越大，则越大，则 越小。越小。drKKdr（2）在构件上开孔、开槽时采用圆形、椭圆或带圆角的，避）在构件上开孔、开槽时采用圆形、椭圆或带圆角的，避免或禁开方形及带尖角的孔槽，在截面改变处尽量采用光滑连免或禁开方形及带尖角的孔槽，在截面改变处尽量采用光滑连接等。接等。注意：注意：（3）可以利用应力集中达到构件较易断裂的目的。）可以利用应力集中达到构件较易断裂的目的。（4）不同材料与受力情况对于应力集中的敏感程度不同。）不同材料与受力情况对于应力集中的敏感程度不同。97sFsFsF（a）静载荷作用下：）静载荷作用下：塑性材料所制成的构件对应力集中的敏感程度较小；塑性材料所

23、制成的构件对应力集中的敏感程度较小；98即当即当 达到达到 时，该处首先产生破坏。时，该处首先产生破坏。bmax（b）动载荷作用下：）动载荷作用下： 无论是塑性材料制成的构件还是脆无论是塑性材料制成的构件还是脆性材料所制成的构件都必须要考虑应力性材料所制成的构件都必须要考虑应力集中的影响。集中的影响。bF脆性材料所制成的构件必须要考虑应力集中的影响。脆性材料所制成的构件必须要考虑应力集中的影响。2 213 13 剪切与挤压的实用计算剪切与挤压的实用计算一、连接件的受力特点和变形特点：一、连接件的受力特点和变形特点：1 1、连接件、连接件 在构件连接处起连接作用的部件，称为连接件连接件。例如：螺

24、栓、铆钉、键等。连接件虽小，起着传递载荷的作用。 特点：可传递一般 力，可拆卸。PP螺栓PP铆钉特点：可传递一般 力，不可拆卸。如桥梁桁架结点处于它连接。无间隙m轴键齿轮特点：传递扭矩。2 2、受力特点和变形特点：、受力特点和变形特点：nn（合力）（合力）PP以铆钉为例：受力特点受力特点： 构件受两组大小相等、方向相反、作用线相互很近（差一个几何平面）的平行力系作用。变形特点变形特点： 构件沿两组平行力系的交界面发生相对错动。nn（合力）（合力）PP剪切面剪切面： 构件将发生相互的错动面，如n n 。剪切面上的内力剪切面上的内力： 内力 剪力Q ，其作用线与剪切面平行。PnnQ剪切面nn（合力

25、）（合力）PP3、连接处破坏三种形式、连接处破坏三种形式： 剪切破坏 沿铆钉的剪切面剪断，如 沿n n面剪断 。 挤压破坏 铆钉与钢板在相互接触面 上因挤压而使溃压连接松动， 发生破坏。 拉伸破坏PnnQ剪切面钢板在受铆钉孔削弱的截面处，应力增大，易在连接处拉断。 二、剪切的实用计算二、剪切的实用计算实用计算方法：实用计算方法：根据构件的破坏可能性，采用能反映受力基本特征，并简化计算的假设，计算其名义应力，然后根据直接试验的结果，确定其相应的许用应力，以进行强度计算。适用适用：构件体积不大，真实应力相当复杂情况，如连接件等。实用计算假设：实用计算假设：假设剪应力在整个剪切面上均匀分布，等于剪切

26、面上的平均应力。1、剪切面-AQ ： 错动面。 剪力-Q： 剪切面上的内力。QAQ2、名义剪应力-：3、剪切强度条件（准则）： AQ njx:其中nn（合力）（合力）PPPnnQ剪切面工作应力不得超过材料的许用应力。三、挤压的实用计算三、挤压的实用计算1、挤压力Pjy ：接触面上的合力。挤压：构件局部面积的承压现象。挤压力：在接触面上的压力，记Pjy 。假设：挤压应力在有效挤压面上均匀分布。2、挤压面积：接触面在垂直Pjy方向上的投影面的面积。jyjyjyjyAP3、挤压强度条件（准则）： 工作挤压应力不得超过材料的许用挤压应力。挤压面积dtAjy 1jyjy；、校核强度： 2jyjyjyQP

27、AQA；、设计尺寸： 3jyjyjyQAPAQ；、设计外载：四、应用四、应用PPMPa952. 0103512407bhPAQQMPa 4 . 710125 . 4407cbPAPjyjyjy例例1 1 木榫接头如图所示，a = b =12cm，h=35cm，c=4.5cm, P=40KN，试求接头的剪应力和挤压应力。解：受力分析如图：剪应力和挤压应力PPQjy剪切面和剪力为 挤压面和挤压力为：PPPPbachQAjyAmdP解：键的受力分析如图例例2 2 齿轮与轴由平键（bhL=20 12 100）连接，它传递的扭矩m=2KNm，轴的直径d=70mm，键的许用剪应力为= 60M Pa ，许用挤压应力为jy= 100M Pa，试校核键的强度。 kN5707. 0222dmP2hmbhL综上，键满足强度要求。 MPa6 .281002010573bLPAQQ剪应力和挤压应力的强度校核PPQjyjyjyjyjyhLPAPMPa3 .956100105723