工程力学习题

1、例：求图示阴影部分的面积对例：求图示阴影部分的面积对y轴的静矩。轴的静矩。CL6TU6Sbhaahay242解：解：b ha2422例：求图示矩形对对称轴例：求图示矩形对对称轴y、z的惯性矩。的惯性矩。CL6TU7解：解：IzAyA2dzdzz b zhh222/d bh312例：求图示圆平面对例：求图示圆平面对y、z轴的惯性矩。轴的惯性矩。CL6TU8IIyzIIIyzpdoIApA2dpI下面求极惯性矩 2022dd/2302dd/2244dd432IApA2d对于空心圆，外径为 ，内径为Dd 2222ddD/()Dd4432D44132()极惯性矩：实心圆：Idp432空心圆：IDdDp

2、()()444432321 例：求图示平面图形形心主惯性轴的方位例：求图示平面图形形心主惯性轴的方位及形心主惯性矩的大小。及形心主惯性矩的大小。 解：解：将原平面图形分成上中下三个矩形。过形心建立参考坐标系yCzIIIyyy212IIIzzz 2254012405225605122564582565123234.mmcm4IIyzyz22 405275225247500247514.mmcm4 24051240527556012323.393333393344mmcm.由tan.22224753933256536180 IIIyzyz得形心主惯性轴的方位角或0373527 .形心主惯性矩的大小

3、为：IIIIIIIyzyzyzyz0022582681224.cm例：用解析法求图示单元体的例：用解析法求图示单元体的(1)指定斜截面上的正应力和切应力指定斜截面上的正应力和切应力;(2)主应力值及主方向，并画在单元体上；主应力值及主方向，并画在单元体上；(3)最大切应力值。最大切应力值。单位：单位：MPaxyxxyxyxxyx8040602222102222220MPa, MPa MPa, =30MPaMPacossi nsi ncos.解：解：xyxxyxyxxyx 8 04 06 022221 0 22222 2 0M P a, M P a M P a, = 3 0M P aM P ac

4、o ssinsinco s.ma xmi nt a n.xyxyxxxy221056510506522122511252200MPaMPa , , MPa123或min 65maxmintan.xyxyxxxy221056510506522122511252200MPaMPa, , MPa123或maxmi nt an.xyxyxxxy221056510506522122511252200MPaMPa, , MPa123或maxmi nt an.xyxyxxxy221056510506522122511252200MPaMPa, , MPa123或max 1050225.maxmin xyx2

5、8522MPa例：用图解法求图示单元体的例：用图解法求图示单元体的(1)指定斜截面上的正应力和切应力指定斜截面上的正应力和切应力;(2)主应力值及主方向，并画在单元体上；主应力值及主方向，并画在单元体上；(3)最大切应力值。最大切应力值。单位：单位：MPa使用图解法求解使用图解法求解 作应力圆，从应力圆上可量出：作应力圆，从应力圆上可量出： 102221056522585MPaMPaMPaMPaMPa0maxminmax.ma xmi nt a n.xyxyxxxy221056510506522122511252200MPaMPa , , MPa123或min 65maxmintan.xyxy

6、xxxy221056510506522122511252200MPaMPa, , MPa123或maxmi nt an.xyxyxxxy221056510506522122511252200MPaMPa, , MPa123或maxmi nt an.xyxyxxxy221056510506522122511252200MPaMPa, , MPa123或max 1050225.例：求图示应力状态的主应力和最大切应力例：求图示应力状态的主应力和最大切应力（应力单位为（应力单位为MPa）。）。解：解：max.13247 2MP242 2.MPa2MPa 50例题

7、例题 图示结构，试求杆件图示结构，试求杆件ABAB、CBCB的的应力。已知应力。已知 F F=20kN=20kN；斜杆；斜杆ABAB为直为直径径20mm20mm的圆截面杆，水平杆的圆截面杆，水平杆CBCB为为15151515的方截面杆。的方截面杆。F FA AB BC C 0yFkN3 .281N解：解：1 1、计算各杆件的轴力。、计算各杆件的轴力。（设斜杆为（设斜杆为1 1杆，水平杆为杆，水平杆为2 2杆）杆）用截面法取节点用截面法取节点B B为研究对象为研究对象kN202N 0 xF4545045cos21 NN045sin1 FN1 12 2F FB BF F1N2Nxy4545kN3

8、.281NkN202N2 2、计算各杆件的应力。、计算各杆件的应力。MPa90Pa109010204103 .286623111ANMPa89Pa1089101510206623222ANF FA AB BC C45451 12 2F FB BF F1N2Nxy4545 IbhZ312IdZ464IDdDZ()()44446464162hbW 323dW)1 (3243DWl8-1 8-1 材料拉伸时的力学性质材料拉伸时的力学性质oabcef明显的四个阶段明显的四个阶段1 1、弹性阶段、弹性阶段obobP比例极限比例极限Ee弹性极限弹性极限tanE2 2、屈服阶段、屈服阶段bcbc（失去抵（失

9、去抵抗变形的能力）抗变形的能力）s屈服极限屈服极限3 3、强化阶段、强化阶段cece（恢复抵抗（恢复抵抗变形的能力）变形的能力）强度极限强度极限b4 4、局部颈缩阶段、局部颈缩阶段efefPesbl8-1 8-1 材料拉伸时的力学性质材料拉伸时的力学性质三三 卸载定律及冷作硬化卸载定律及冷作硬化1 1、弹性范围内卸载、再加载、弹性范围内卸载、再加载oabcefPesb2 2、过弹性范围卸载、再加载、过弹性范围卸载、再加载ddghf 即材料在卸载过程中即材料在卸载过程中应力和应变是线形关系，应力和应变是线形关系，这就是这就是卸载定律卸载定律。 材料的比例极限增高，材料的比例极限增高，延伸率降低，

10、称之为延伸率降低，称之为冷作硬冷作硬化或加工硬化化或加工硬化。l8-1 8-1 材料拉伸时的力学性质材料拉伸时的力学性质四四 其它材料拉伸时的力学性其它材料拉伸时的力学性质质 对于没有明对于没有明显屈服阶段的塑显屈服阶段的塑性材料，用名义性材料，用名义屈服极限屈服极限0.20.2来来表示。表示。o%2 . 02 . 0l8-2 8-2 材料压缩时的力学性质材料压缩时的力学性质二二 塑性材料（低碳钢）的压缩塑性材料（低碳钢）的压缩屈服极限屈服极限S比例极限比例极限p弹性极限弹性极限e 拉伸与压缩在屈服拉伸与压缩在屈服阶段以前完全相同。阶段以前完全相同。E E - - 弹性摸量弹性摸量l8-2 8

11、-2 材料压缩时的力学性质材料压缩时的力学性质三三 脆性材料（铸铁）的压缩脆性材料（铸铁）的压缩obc 脆性材料的抗拉与抗压脆性材料的抗拉与抗压性质不完全相同性质不完全相同 压缩时的强度极限远大压缩时的强度极限远大于拉伸时的强度极限于拉伸时的强度极限bc四个强度理论的强度条件可写成统一形式：四个强度理论的强度条件可写成统一形式：r r rrrr112123313412223231212()()()()称为相当应力称为相当应力 一般说来，在常温和静载的条件下，脆性材料多发一般说来，在常温和静载的条件下，脆性材料多发生脆性断裂，故通常采用第一、第二强度理论；塑生脆性断裂，故通常采用第一、第二强度理

12、论；塑性材料多发生塑性屈服，故应采用第三、第四强度性材料多发生塑性屈服，故应采用第三、第四强度理论。理论。 影响材料的脆性和塑性的因素很多，例如：影响材料的脆性和塑性的因素很多，例如：低温能提高脆性，高温一般能提高塑性；低温能提高脆性，高温一般能提高塑性；在高速动载荷作用下脆性提高，在低速静载在高速动载荷作用下脆性提高，在低速静载荷作用下保持塑性。荷作用下保持塑性。无论是塑性材料或脆性材料：无论是塑性材料或脆性材料： 在三向拉应力接近相等的情况下，都以断在三向拉应力接近相等的情况下，都以断裂的形式破坏，所以应采用最大拉应力理论；裂的形式破坏，所以应采用最大拉应力理论； 在三向压应力接近相等的情

13、况下，都可以在三向压应力接近相等的情况下，都可以引起塑性变形，所以应该采用第三或第四强度引起塑性变形，所以应该采用第三或第四强度理论。理论。对图示的单元体对图示的单元体,计算计算 r3 , r4解：首先求主应力解：首先求主应力,已知已知 x=70， y=30， xy=40 可求得可求得 MPaMPa 50228.572.94520502402230702307031 MParMPar5.774,44.893 30MPa70MPa40MPa50MPapDyzt一薄壁圆筒容器承受最大压强为一薄壁圆筒容器承受最大压强为 p , 圆筒部分的内直径为圆筒部分的内直径为 D ，厚度为厚度为 t , 且且

14、tD 。试计算圆筒部分内壁的强度。试计算圆筒部分内壁的强度。包围内壁任一点，沿直径方向包围内壁任一点，沿直径方向取一单元体，单元体的侧面为取一单元体，单元体的侧面为横截面，上，下面为含直径的横截面，上，下面为含直径的纵向截面，前面为内表面。纵向截面，前面为内表面。包含直径的纵向截面包含直径的纵向截面横截面横截面内表面内表面nnnpP横截面上的应力横截面上的应力假想地，用一垂直于轴线的平面将圆筒分成两部分，取右边为研假想地，用一垂直于轴线的平面将圆筒分成两部分，取右边为研究对象。究对象。n n面为横截面面为横截面 。nn研究对象研究对象右图为研究对象的剖面图，其上的外力为压强右图为研究对象的剖面

15、图，其上的外力为压强 p，合力，合力 P 。横截。横截面上只有正应力面上只有正应力4-244222DtDpDAP)( tpD4pDP.42 ( 因为因为 t D , 所以所以 A Dt )包含直径的纵向截面上的应力包含直径的纵向截面上的应力pmmnn1用两个横截面用两个横截面 mm , nn 从圆筒部分从圆筒部分 取出取出单位长的圆筒研究。单位长的圆筒研究。直径平面直径平面由截面法，假想地用由截面法，假想地用直径平面将取出的单直径平面将取出的单位长度的圆筒分成两位长度的圆筒分成两部分部分。取下半部分为取下半部分为研究对象。研究对象。包含直径包含直径的纵向平的纵向平面面研究对象研究对象 NN1t

16、p yOR研究对象上有外力研究对象上有外力 p , 纵截面上只有正应力纵截面上只有正应力右图是其投影图。右图是其投影图。R 是外力在是外力在 y 轴上的投影，轴上的投影，N 为纵截面为纵截面上的轴力。上的轴力。01) 12(, 0 pDtYtpD2 1tp3内表面的应力内表面的应力p 内壁的强度校核：此单元内壁的强度校核：此单元体处于三向应力状态，故体处于三向应力状态，故需要强度理论进行强度计需要强度理论进行强度计算。算。 1 203 123内表面只有压强内表面只有压强 p ,且为压应力且为压应力 tpDtpDrr3 . 22122132322214313用第三和第四强度理论校核圆筒内壁的强度

17、用第三和第四强度理论校核圆筒内壁的强度PPPPyzsincosC为中性轴弯曲以为中性轴弯曲以YPPZPPzy_cos_sinsin)(sin)(cos)(cos)(MxlPxlPMMxlPxlPMyzzy（2）. 按基本变形求各自应力：PMyzPMzy M yIM yIzzzsin MzIM zIyyycos cossin)(yzyyzzcIzIyMIzMIyMC点总应力：000 MyIzIzysincos2、确定中性轴的位置：、确定中性轴的位置：故中性轴的方程为：故中性轴的方程为：sincosIyIzzy000设中性轴上某一点的坐标为设中性轴上某一点的坐标为 y0 、 z0，则由中性轴上，则

18、由中性轴上即0中性轴是一条通过截面形心的直线。中性轴是一条通过截面形心的直线。tgtg00zyyzzyIIMMIIyz中性轴中性轴为中性轴与Y轴夹角1D2D中性轴中性轴注： 1）中性轴仍过截面形心； 2）中性轴把截面分为受拉、 受压两个区域； 3）同一横截面上max发生在离中性轴最远处1D2D点处；4）若截面为曲线周边时 , 可作/于中性轴之切线， 切点为处max 例题例题 ：矩形截面的悬臂梁承受荷载：矩形截面的悬臂梁承受荷载 如图所示。如图所示。 试试 确定危险截面、危险点所在位置，计算梁内最大正应确定危险截面、危险点所在位置，计算梁内最大正应 力的值。若将截面改为直径力的值。若将截面改为直

19、径 D= 50 mm 的圆形，试确定的圆形，试确定 危险点位置，并计算最大正应力。危险点位置，并计算最大正应力。 xA B CzyP2=2KNP1=1KN 0.5m 0.5m 4080zyo a d b cA B CzyP2=2KNP1=1KN 0.5m 0.5m 4080zyo a d b c x解解: (1) 外力分析外力分析 此梁在此梁在 P1力作用下将在力作用下将在 XOY 平面内发生平面弯曲，平面内发生平面弯曲，在在 P2 力作用下将在力作用下将在 XOZ 平面内发生平面弯曲平面内发生平面弯曲,故此梁的故此梁的变形为两个平面弯曲的组合变形为两个平面弯曲的组合- 斜弯曲斜弯曲。 -A

20、B CzyP2=2KNP1=1KN 0.5m 0.5m 分别绘出分别绘出 MZ (x) 和和 MY(x) 图，图，两个平面内的最大弯矩都发生在两个平面内的最大弯矩都发生在固定端固定端A截面上，其值为截面上，其值为 MZ = 1 KN.m MY = 1 KN.m A 截面为梁的危险截面。截面为梁的危险截面。1KN.m1KN.mMZ(x)My(x)M 图图 x(2) 绘制弯矩图绘制弯矩图A B CzyP2=2KNP1=1KN 0.5m 0.5m 1KN.m1KN.mMZ(x)My(x)M 图图 xyzMYMZA 截面为梁的危险截面。截面为梁的危险截面。MYoMZz d xa b cy（3） 应力分

21、析应力分析MZ 引起的正应力引起的正应力 MZ 的分布图。的分布图。z y oad b c+23.4一一23.4 MZ MYoMZz d xa b cy（3） 应力分析应力分析dz y oa b c+46. 8 My 46. 8My 引起的正应力引起的正应力 My的分布图。的分布图。MYoMZz d xa b cy （4）中性轴的位置）中性轴的位置z y o中性轴中性轴MYMZ 得得 = 14 o 绘制中性轴于上图中。绘制中性轴于上图中。41101101 1280401240803333 tgyzMMIIzyayyzzdayyzzcayyzzyyzzaMPWMWMMPWMWMMPWMWMaMP

22、WMWM4 .232 .704 .232 .70 b （5）绘制总应力分布图）绘制总应力分布图应力单位：应力单位：MPa a= + 70. 2 c= 70. 2 b= + 23.4 d = 23.4 zad bc y中性轴中性轴 ozyo （6）分析与讨论）分析与讨论 若将截面改为直径若将截面改为直径 D = 50 mm 的圆形，则截面的惯性矩的圆形，则截面的惯性矩 IZ =IY,45o 因为危险截面上因为危险截面上 MZ =M y= 1KN.m 则中性轴位置则中性轴位置 = 45o 梁将发生平面弯曲。梁将发生平面弯曲。MyMZ中性轴中性轴zyo（6）分析与讨论）分析与讨论 若将截面改为直径若

23、将截面改为直径 D = 50 mm 的圆形，则截面的惯性矩的圆形，则截面的惯性矩 IZ =IY, 因为危险截面上因为危险截面上 MZ =M y= 1KN.m 则中性轴位置则中性轴位置 = 45oMyMZ M中性轴中性轴 危险点是危险点是 e 、f 两点。两点。 aMP 11510503210411411933max22 .WM.MMMmKNyz 合成弯矩为合成弯矩为45oef45o e= + 115 MPa f= 115 MPa1）中性轴仍垂直于挠曲线所在平面；2）若则,zyII即挠曲线与外力P不在同一平面，故称若则,zyII则为平面弯曲因圆、正方形，其因圆、正方形，其zyII 故不会产生斜弯

24、曲故不会产生斜弯曲斜弯曲讨论 例题例题: 悬臂吊车如图所示。横梁用悬臂吊车如图所示。横梁用20a工字钢制成。工字钢制成。 其抗弯刚度其抗弯刚度W=237cm3,横截面面积横截面面积A=35.5cm2， 总荷载总荷载P=34KN，横梁材料的许用应力，横梁材料的许用应力 =12.5MPa。 校核横梁校核横梁AB的强度。的强度。ABCD1.2m1.2m300解：分析解：分析AB的受力的受力ABDPNABRS300ABCD1.2m1.2m300ABDPNABRS30002 . 14 . 230sin00 PNmABANAB=PRAHARA=0.5PHA=0.866PAB为平面弯曲与压缩组合变形。为平面

25、弯曲与压缩组合变形。中间截面为危险截面。最大中间截面为危险截面。最大压应力发生在该截面的上边缘。压应力发生在该截面的上边缘。压缩正应力压缩正应力APAHA866. 0 最大弯曲正应力最大弯曲正应力WPWRzzAW6 . 02 . 1max ABCD1.2m1.2m30037.946 . 0866. 0maxMPaWPAPzc铸铁压力机框架，立柱横截面尺寸如图所示，材料的许用铸铁压力机框架，立柱横截面尺寸如图所示，材料的许用拉应力拉应力 t t 30MPa30MPa，许用压应力，许用压应力 c c 120MPa120MPa。试按立柱。试按立柱的强度计算许可载荷的强度计算许可载荷F F。2mm15

26、000A mm750z 47mm1031. 5yImm1251z解：解：（1 1）计算横截面的形心、）计算横截面的形心、 面积、惯性矩面积、惯性矩（2 2）立柱横截面的内力）立柱横截面的内力FFNN.m10425107535033FFMFF350F350NF1z1yy2mm15000A mm750z 47mm1031. 5yImm1251z（3 3）立柱横截面的最大应力）立柱横截面的最大应力max. tmax. cPa66710151031.5075.0104253530max.FFFAFIMzNyt（2 2）立柱横截面的内力）立柱横截面的内力FFNN.m104253

27、FMPa93410151031.5125.0104253531max.FFFAFIMzNycF350NFM （4 4）求压力）求压力F Fmax. tmax. cFt667max.Fc934max.F350NFMttF 667max.N4500066710306676tFccF 934max.N128500934101209346cF45kNN45000F许许可可压压力力为为 三、三、 拉（压）弯组合变形拉（压）弯组合变形 PSSl 2l 2P PyPx 受力特点受力特点 作用在杆件上的作用在杆件上的 外力既有轴向拉外力既有轴向拉 ( 压压 ) 力力,还有横向力还有横向力,杆将发生拉伸杆将发生

28、拉伸 (压缩压缩 ) 与弯曲组合与弯曲组合 以上图以上图 (a) 为例分析横截面上的正应力为例分析横截面上的正应力在在S的作用下产生拉伸变形的作用下产生拉伸变形在在P的作用下产生弯曲变形的作用下产生弯曲变形(a)(b)PS2l2lS(c)AN zIMy ASAN与拉伸对应的正应力与拉伸对应的正应力与弯曲对应的正应力与弯曲对应的正应力zIMy (a)(b)PS2l2lSzIMyAN 杆件各点处的应力为杆件各点处的应力为(c)AN zIyM (a)(b)PS2l2lS(d)当当 max max(e) max(f) 讨论：讨论：(c)AN zIMy (a)(b)PS2l2lS 由于危险点处的应力状态

29、仍为单轴应力状态，故其由于危险点处的应力状态仍为单轴应力状态，故其 强度条件为强度条件为 当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时，应分别建当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时，应分别建 立杆件的抗拉、立杆件的抗拉、 压强度条件。压强度条件。 ccTTWMANWMANmaxmaxmaxmax 例题例题: 悬臂吊车如图所示。横梁用悬臂吊车如图所示。横梁用20a工字钢制成。工字钢制成。 其抗弯刚度其抗弯刚度W=237cm3,横截面面积横截面面积A=35.5cm2， 总荷载总荷载P=34KN，横梁材料的许用应力，横梁材料的许用应力 =12.5MPa。 校核横梁校核横梁AB的强度。的强度。ABCD1.

30、2m1.2m300解：分析解：分析AB的受力的受力ABDPNABRS300ABCD1.2m1.2m300ABDPNABRS30002 . 14 . 230sin00 PNmABANAB=PRAHARA=0.5PHA=0.866PAB为平面弯曲与压缩组合变形。为平面弯曲与压缩组合变形。中间截面为危险截面。最大中间截面为危险截面。最大压应力发生在该截面的上边缘。压应力发生在该截面的上边缘。压缩正应力压缩正应力APAHA866. 0 最大弯曲正应力最大弯曲正应力WPWRzzAW6 . 02 . 1max ABCD1.2m1.2m30037.946 . 0866. 0maxMPaWPAPzc铸铁压力机

31、框架，立柱横截面尺寸如图所示，材料的许用铸铁压力机框架，立柱横截面尺寸如图所示，材料的许用拉应力拉应力 t t 30MPa30MPa，许用压应力，许用压应力 c c 120MPa120MPa。试按立柱。试按立柱的强度计算许可载荷的强度计算许可载荷F F。2mm15000A mm750z 47mm1031. 5yImm1251z解：解：（1 1）计算横截面的形心、）计算横截面的形心、 面积、惯性矩面积、惯性矩（2 2）立柱横截面的内力）立柱横截面的内力FFNN.m10425107535033FFMFF350F350NF1z1yy2mm15000A mm750z 47mm

32、1031. 5yImm1251z（3 3）立柱横截面的最大应力）立柱横截面的最大应力max. tmax. cPa66710151031.5075.0104253530max.FFFAFIMzNyt（2 2）立柱横截面的内力）立柱横截面的内力FFNN.m104253FMPa93410151031.5125.0104253531max.FFFAFIMzNycF350NFM （4 4）求压力）求压力F Fmax. tmax. cFt667max.Fc934max.F350NFMttF 667max.N4500066710306676tFccF 934max.N128500934101209346cF

33、45kNN45000F许许可可压压力力为为 P 定义：作用在直杆上的外力，当其作用线与杆的轴线平行定义：作用在直杆上的外力，当其作用线与杆的轴线平行 但不重合时，将同时引起轴向拉伸（压缩）和平面但不重合时，将同时引起轴向拉伸（压缩）和平面 弯曲两种基本变形。弯曲两种基本变形。 偏心拉伸（压缩）偏心拉伸（压缩）例题：正方形截面立柱的中间处开一个槽，使截面例题：正方形截面立柱的中间处开一个槽，使截面面积为原来截面面积的一半。求：开槽后立柱的的最面积为原来截面面积的一半。求：开槽后立柱的的最大压应力是原来不开槽的几倍。大压应力是原来不开槽的几倍。aaPP11aaaaPP11aa解：未开槽前立柱为轴向

34、压缩解：未开槽前立柱为轴向压缩aPaPAPAN4)2(221 开槽后立柱危险截面为偏心压缩开槽后立柱危险截面为偏心压缩11PPa/2aPaaPaaaPWMAN222226122 aaPP11aaaPaPAPAN4)2(221 aPaaPaaaPWMAN222226122 未开槽前立柱的最大压应力未开槽前立柱的最大压应力开槽后立柱的最大压应力开槽后立柱的最大压应力84222 aPaP 偏心拉伸或压缩：偏心拉伸或压缩：NAPcd 62cdaPWMyy62dcbPWMzz任意横截面上的内力：NPMPaMPbyz ,121233dcybPcdzPadcPIyMIzMANzzyy6622maxmaxdc

35、bPcdaPdcPWMWMANzzyytc 例：偏心拉伸杆，例：偏心拉伸杆，弹性模量为弹性模量为E，尺寸、，尺寸、受力如图所示。求：受力如图所示。求： 最大拉应力和最最大拉应力和最大压应力的位置和数大压应力的位置和数值。值。 解：解：(1)NPMPhMPbyz,22zzyyctWMWMANmaxmaxPbhPhbhPbhb26262275PbhPbh最大拉应力发生在最大拉应力发生在AB线上各点线上各点最大压应力发生在最大压应力发生在CD线上各点线上各点例题：例题： 图示传动轴，传递功率P=7.5Kw,轴的转速n=100r/min。A、B为带轮。轮A带处于水平位置；轮B带处于铅垂位置。Fp1=

36、Fp1、 Fp2= Fp2为带拉力。已知Fp1 Fp2， Fp2=1500N,两轮直径均为D=600mm,轴材料的许用应力=80Mpa。试按第三强度理论设计轴的直径。解：一、简化外力：NmnNT2 .7161005 .795499549:外加扭矩2)(21DFFTPP又：5400,3900121PpPFFF求出各支反力如图。二、分析危险截面：由计算简图可见，轴在外力作用下，产生x0y面内（z为中性轴）x0z面内（y为中性轴）弯曲及绕x轴的扭转xxy1） x0y面内弯曲（ z为中性轴）2）x0z面内弯曲（y为中性轴）1800N3600N5400NMzB=36000.4=1440Nmxyz5400

37、N6520NMyB=11200.4=448NmMyD=54000.25=1350NmCBDACBDAAB3)绕x轴的扭转：T=716.2Nm 由内力图可见，B轮处为危险截面TTzx1120N22maxyzBwMMMMT)(mNMzx1440)(mNMy4481350 x三、按第三强度理论设计轴直径：1）求第三强度理论相当弯矩：NmTMMTMMyzwr166910448. 044. 1716. 032222222232）按第三强度理论设计轴直径：33WMrr由：32333dMrr即：mMdr33633107 .59108016693232讨论讨论：按第四强度理论？22475. 0TMMwr323

38、44dMrr3332rMd cbFAFbsbsbslbFAQ dhFAFbsbsbs24dFAQ 为充分利用材为充分利用材料，切应力和挤压料，切应力和挤压应力应满足应力应满足242dFdhFhd8 2bs 图示接头，受轴向力图示接头，受轴向力F F 作作用。已知用。已知F F=50kN=50kN，b b=150mm=150mm，=10mm=10mm，d d=17mm=17mm，a=80mm=80mm， =160MPa=160MPa， =120MPa=120MPa， bsbs=320MPa=320MPa，铆钉和板的材，铆钉和板的材料相同，试校核其强度。料相同，试校核其强度。 MPa1 .4310

39、1 .4301. 0)017. 0215. 0(1050)2(63dbFAN 解：解：1.1.板的拉伸强度板的拉伸强度 dba2.2.铆钉的剪切强度铆钉的剪切强度 MPa11010110017. 01050222462322dFdFAQ3.3.板和铆钉的挤压强度板和铆钉的挤压强度MPa1471014701. 0017. 021050263bsbsbsbsdFAP 结论：强度足够。结论：强度足够。 dba 例：例：图示杆，图示杆，1 1段为直径段为直径 d d1 1=20mm=20mm的圆杆，的圆杆，2 2段为边长段为边长a=25mma=25mm的方杆，的方杆，3 3段为直径段为直径d d3 3

40、=12mm=12mm的圆杆。已知的圆杆。已知2 2段杆内的应力段杆内的应力2 2=-30MPa=-30MPa，E=210GPaE=210GPa，求整个杆的伸长，求整个杆的伸长l l解解: :PA22230251875.kN333222111AElNAElNAElNl4012.02.0025.04.0402.02.010210187502229缩短）( mm272.0BDC4m3m例题：简单托架，BC杆为圆钢，直径d=20mm，BD杆为8号槽钢。=160MPa，E=200GPa，P=60KN，试求B点的位移。解：一、分析构件受力：取B点研究P1N2NPKNPNKNPN7545454321（“-”

41、表示2N与图示方向相反，为压力）B1N2NP二、分析计算B点的位移：假想把B节点松开，B222222111111BBAELNBBAELN受力后B点移到B其位移2121BBBBBB2BB1B3B4BBDC3mP4msin231BBctgBBBB3231232cosBBBBBBBB3311mBBAELNcmAmBBAELN349322222222362931111111083.11024.10102005107524.101015.2102041020031045查型钢表得mctgBBBBBB31223311109.3)cos(sinmBBBBBB321211045.4例例 求梁的转角方程和挠度方

42、程，并求最大转角和最大挠度，求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的梁的EIEI已知，已知，l=a+b，ab。解解1 1）由梁整体平衡分析得：）由梁整体平衡分析得：lFaFlFbFByAy,2 2）弯矩方程）弯矩方程 axxlFbxFxMAy 11110 ,AC AC 段：段： lxaaxFxlFbaxFxFxMAy 222222),()(CB CB 段：段：maxvab1x2xACDFxAyFByFAByB3 3）列挠曲线近似微分方程并积分）列挠曲线近似微分方程并积分111)(xlFbxMvEI 121112)(CxlFbxEIvEI1113116DxCxlFbEIvAC AC

43、 段：段：ax 10)()(2222axFxlFbxMvEI 222222)(22)(2CaxFxlFbxEIvEI2223232)(662DxCaxFxlFbEIvCB CB 段：段：lxa2maxvab1x2xACDFxAyFByFAByB4 4）由边界条件确定积分常数）由边界条件确定积分常数0)(,22lvlx0)0(, 011vx代入求解，得代入求解，得位移边界条件位移边界条件光滑连续条件光滑连续条件)()(,2121aaaxx )()(,2121avavaxxlFbFblCC661321 021 DDmaxvab1x2xACDFxAyFByFAByB5 5）确定转角方程和挠度方程）确

44、定转角方程和挠度方程)(6222211bllFbxlFbEI 12231)(661xbllFbxlFbEIvAC AC 段：段：ax 10)(6)(222222222bllFbaxFxlFbEI22232322)(6)(66xbllFbaxFxlFbEIvCB CB 段：段：lxa2maxvab1x2xACDFxAyFByFAByB6 6）确定最大转角和最大挠度）确定最大转角和最大挠度lEIalPablEIblPablEIblPblxBxA6)(|6)(6)(|222001将将 x = 0 和和 x = l 分别代入转角方程左右两支座处截面的转角分别代入转角方程左右两支座处截面的转角lEIal

45、PabB6)(max当当 a b 时时, 右支座处截面的转角绝对值为最大右支座处截面的转角绝对值为最大3)2(3221baablxEIPblblEIPbvC2220625. 0)43(48简支梁的最大挠度应在简支梁的最大挠度应在0 v处处01先研究第一段梁，令先研究第一段梁，令得得当当 a b时，最大挠度确实在第一段梁中时，最大挠度确实在第一段梁中梁中点梁中点C处的挠度为处的挠度为EIPblbllEIPbvxx23221max0642.0)(39|1结论结论: 在简支梁中在简支梁中, 不论它受什么荷载作用不论它受什么荷载作用, 只要挠曲线上只要挠曲线上无无 拐点拐点, 其最大挠度值都可用梁跨中

46、点处的挠度值来代替其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替, 其精确度是能满足工程要求的其精确度是能满足工程要求的.对各段梁，都是由坐标原点到所研究截面之间的梁段上对各段梁，都是由坐标原点到所研究截面之间的梁段上的外力来写弯矩方程的。所以后一段梁的弯矩方程包含的外力来写弯矩方程的。所以后一段梁的弯矩方程包含前一段梁的弯矩方程。只增加了（前一段梁的弯矩方程。只增加了（x-a）的项。）的项。对（对（x-a）的项作积分时，应该将（）的项作积分时，应该将（x-a）项作为积分）项作为积分变量。从而简化了确定积分常数的工作。变量。从而简化了确定积分常数的工作。 已知简支梁受力如图示，已知简支梁受力如图示

47、，q q、l、EIEI均为已知。求均为已知。求C C 截面的挠截面的挠度度v vC C ；B B截面的转角截面的转角 B B1 1）将梁上的载荷分解）将梁上的载荷分解321CCCCvvvv321BBBBvC1vC2vC32 2）查表得）查表得3 3种情形下种情形下C C截面的截面的挠度和挠度和B B截面的转角截面的转角。EIqlB2431EIqlB1632EIqlB333EIqlvC384541EIqlvC4842EIqlvC1643解解vC1vC2vC33 3） 应用叠加法，将简单载荷应用叠加法，将简单载荷作用时的结果求和作用时的结果求和 )(3841116483845444431EIqlE

48、IqlEIqlEIqlvviCiC)(481131624333331EIqlEIqlEIqlEIqliBiB 已知：悬臂梁受力如图示，已知：悬臂梁受力如图示，q q、l、EIEI均为已知。求均为已知。求C C截面截面的挠度的挠度v vC C和转角和转角 C C1 1）首先，将梁上的载荷变成）首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形有表可查的情形 为了利用梁全长承受均为了利用梁全长承受均布载荷的已知结果，先将均布载荷的已知结果，先将均布载荷延长至梁的全长，为布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效了不改变原来载荷作用的效果，在果，在AB AB 段还需再加上集段还需再加上集度相同、方向相反的均

49、布载度相同、方向相反的均布载荷。荷。 CvCv2Cv1Cv2Bv,841EIqlvC,248128234222lEIqlEIqllvvBBCEIqlC631EIqlC4832 EIqlvviCiC384414213 3）将结果叠加）将结果叠加 EIqliCiC4873212 2）再将处理后的梁分解为简单）再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各自载荷作用的情形，计算各自C C截截面的挠度和转角。面的挠度和转角。 影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关，而且还与梁的材料、截面尺寸、形荷情况有关，而且还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁的跨度有关。

50、所以，要想提高弯曲刚度，状和梁的跨度有关。所以，要想提高弯曲刚度，就应从上述各种因素入手。就应从上述各种因素入手。一、增大梁的抗弯刚度一、增大梁的抗弯刚度EI二、改变加载方式和支承情况二、改变加载方式和支承情况三、减小跨度或增加支承三、减小跨度或增加支承1. 1. 选择合理的截面形状从而选择合理的截面形状从而, ,增大截面的惯性矩增大截面的惯性矩I2.2.改善结构形式，减少弯矩数值改善结构形式，减少弯矩数值改改变变支支座座形形式式改改变变载载荷荷类类型型%5 .6212CCww三、拉压超静定问题三、拉压超静定问题 两端固定的等直杆两端固定的等直杆AB横截面积为横截面积为A，弹性模量为，弹性模量

51、为E，在，在C点点 处承受轴力处承受轴力P的作用，如图的作用，如图 所示所示 。计算约束反力。计算约束反力。PblBACRByPBRAAC这是一次超静定问题。这是一次超静定问题。PblBAC平衡方程为平衡方程为PRRBABACC1lAC 变形协调条件：杆的总长度不变变形协调条件：杆的总长度不变lCB = =RByPBRAACPblBAC变形几何方程为：变形几何方程为：llCBAC EAaRlAAC EAbRlBCB BACC1lCB = =RByPBRAACPblBAClAC 补充方程为补充方程为EAbREAaRBA平衡方程为平衡方程为PRRBAlPbRAlPaRBBACC1lCB = =RB

52、yPBRAACPblBAClAC 3 3杆材料相同，杆材料相同，ABAB杆面积为杆面积为200mm200mm2 2，ACAC杆面积为杆面积为300 mm300 mm2 2，ADAD杆面积为杆面积为400 mm400 mm2 2，若若F=30kNF=30kN，试计算各杆的应力。，试计算各杆的应力。32lllADAB列出平衡方程：列出平衡方程：0 xF0320130cos30cosNNNFNNFy030130sin30sin0即：即： 1323321NNN 2231FNN列出变形几何关系列出变形几何关系 ，则则ABAB、ADAD杆长为杆长为l解：解：设设ACAC杆杆长为杆杆长为F F30ABC30

53、D123F FAxy1N2N3N 即：即： 1323321NNN 2231FNN列出变形几何关系列出变形几何关系 F F30ABC30D123xyF FA1N2N3NxyAAxy将将A A点的位移分量向各杆投点的位移分量向各杆投影影. .得得00130cos30sinxyl xl200330cos30sinxyl 021330cos2 lll变形关系为变形关系为 2133 lll代入物理关系代入物理关系22113333232EAlNEAlNEAlN 322213NNN整理得整理得 F F30ABC30D123xyF FA1N2N3NxyAAxy 1323321NNN 2231FNN 32221

54、3NNN联立联立，解得：，解得：kN6 .34323FNMPa6 .863（压）（压）MPa8 .262kN04. 8232FN（拉）（拉）MPa1271kN4 .253221FN（拉）（拉） ABCD 2 21 13 3l 图示杆系，若图示杆系，若3杆尺寸有微小误杆尺寸有微小误差，则在杆系装配好后，各杆将差，则在杆系装配好后，各杆将处于图中位置，因而产生轴力。处于图中位置，因而产生轴力。3杆的轴力为拉力，杆的轴力为拉力，1、2杆的轴杆的轴力为压力。这种附加的内力就称力为压力。这种附加的内力就称为为装配内力装配内力。与之相对应的应力称为与之相对应的应力称为装配应力装配应力。A装装 配配 应应

55、力力l 3代表杆代表杆3 的伸长的伸长l 1代表杆代表杆1 1或杆或杆2 的缩短的缩短 代表装配后代表装配后 A 点的位移点的位移 ABCD 2 21 13 3lAl 3l 1 ABCD 2 21 13 3lAl 3l 1 (1) (1) 变形几何方程变形几何方程 l3 cos1l cos13ll(2) (2) 物理方程物理方程AElNl1111cos AElNl3333 ABCD 2 21 13 3lAl 3l 1 补充方程为补充方程为 2111333cosAElNAElNABCD 2 21 13 3Al 1 l 3 N1N3N2(4) (4) 平衡方程平衡方程0sinsin21 NN0co

56、scos213 NNNABCD 2 21 13 3Al 1 l 3l补充方程为补充方程为 2111333cosAElNAElN0sinsin21 NN0coscos213 NNN与平衡方程联立与平衡方程联立ABCA1B1C112aa 例题例题 ：两铸件用两根钢杆1、2连接，其间距为L=200mm。现要将制造得过长了e=0.11mm的铜杆3装入铸件之间，并保持三根杆的轴线平行且等间距a。试计算各杆内的装配应力。已知：钢杆直径 d=10mm，铜杆横截面积为2030mm的矩形，钢的弹性模量E=210GPa，铜的弹性模量E3=100GPa。铸件很厚，其变形可略去不计，故可看作刚体。leC1C3（c)A

57、BCA1B1C112ell 31变形几何方程为变形几何方程为C1leC3(b)ll21 l3EAlNl11 AElNl3333 代入代入eLL31 得补充方程得补充方程EAlNeAElN133-3 NN2 1列平衡方程列平衡方程0 NNN213aaxBCAN N1 1N N2 2N N3 3(d)解三个联立方程解三个联立方程AEN-eAEN1333ll NN21 0NNN213 即可得装配内力，进而求出装配应力。即可得装配内力，进而求出装配应力。 温度应力温度应力 例题例题 ： 图图 示等直杆示等直杆 AB 的两端分别与刚性支承连结。的两端分别与刚性支承连结。 设两支承的距离（即杆长）为设两支

58、承的距离（即杆长）为 l，杆的横截面，杆的横截面 面积为面积为 A，材料的弹性模量为，材料的弹性模量为 E，线膨胀系数，线膨胀系数 为为 。试求温度升高。试求温度升高 T时杆内的时杆内的温度应力温度应力。B解：解：这是一次超静定问题这是一次超静定问题变形协调条件是，杆变形协调条件是，杆的总长度不变。即的总长度不变。即0 l相应的相应的杆的变形为两部分，杆的变形为两部分，即由温度升高引起的即由温度升高引起的变形变形 lT 以及与轴向以及与轴向压力压力PP21 弹性变形弹性变形 lNABP1P2lNlABBAlT 变形几何方程是变形几何方程是0lllNT EANllN lTlT 由以上三式得温度内

59、力由以上三式得温度内力TEAN 由此得温度应力由此得温度应力TEAN BABP1P2lNlABBAlT 例例 桁架由三根抗拉压刚度均为桁架由三根抗拉压刚度均为 EA EA 的杆在的杆在 A 点绞接，点绞接， 试求由于温度升高试求由于温度升高 T T 而引起的温度应力。材料的而引起的温度应力。材料的 线膨胀系数为线膨胀系数为 。1 13 32 2AB BD DC C l1 13 32 2A AB BD DC C l1 13 32 2A 1Al 3l 1A N1N2N3解：若温度升高解：若温度升高 T T时节点时节点A下降至下降至 A1处处, ,则三根杆的伸长分别为则三根杆的伸长分别为l 1l 2

60、l 3, , ,且且l 1= =l 2, ,假设假设N1、N2 为压力为压力, ,N3 为拉力为拉力(1) (1) 平衡方程平衡方程 0coscos0213 NNNy0sinsin021 NNx1 13 32 2AB BD DC C l1 13 32 2A Al 3l 1A N1N2N3(2) (2) 变形几何方程变形几何方程 cos321lll1 13 32 2AB BD DC C l1 13 32 2A Al 3l 1A N1N2N3(3) (3) 物理方程物理方程 杆件变形包括温度引起的变形和弹性变形两部分，杆件变形包括温度引起的变形和弹性变形两部分， 计算时伸长为正缩短为负。计算时伸长