自感互感与磁能3

1、I1I212.3 12.3 自感互感与磁场能量自感互感与磁场能量 一、自感系数、互感系数自感系数、互感系数相互靠近的两组通电线圈相互靠近的两组通电线圈穿过线圈穿过线圈 1 的磁通链的磁通链1I2I 21 11 12 22由叠加原理由叠加原理NNN11111112 当任何一个线圈的形状、其中的电流或两线圈的当任何一个线圈的形状、其中的电流或两线圈的相对位置再或线圈周围的环境（介质）发生变化都会相对位置再或线圈周围的环境（介质）发生变化都会在任一线圈中产生感应电动势。在任一线圈中产生感应电动势。 I1的磁场过线圈的磁场过线圈 1 的磁通链为的磁通链为N 111 I2的磁场过线圈的磁场过线圈 1 的

2、磁通链为的磁通链为N 112111dNdt 024IdlrdBr 根据毕沙定律根据毕沙定律BI所以所以B dS I定义定义11111NL I 112122NM I 同理同理22222NL I 221211NM I L 称为称为自感自感系数系数 self-indutanceM 称为称为互感互感系数系数 mutual induction 实验也证实了这一点（周围空间无铁磁质）实验也证实了这一点（周围空间无铁磁质）SI单位：亨利（单位：亨利（H）111211ddNNdtdt 美国物理学家美国物理学家亨利亨利在在1830年观察到自感现象，直年观察到自感现象，直到到 1832年年7 月才将题为月才将题为

3、长螺线管中的电自感长螺线管中的电自感的论的论文，发表在文，发表在美国科学杂志美国科学杂志上。亨利与法拉第是各上。亨利与法拉第是各自独立地发现电磁感应的，但发表稍晚些。强力实用自独立地发现电磁感应的，但发表稍晚些。强力实用的电磁铁继电器是亨利发明的，他还指导的电磁铁继电器是亨利发明的，他还指导莫尔斯莫尔斯发明发明了第一架实用电报机。了第一架实用电报机。 亨利的贡献很大，因未能立即发表而失去了许多亨利的贡献很大，因未能立即发表而失去了许多发明专利权和发现优先权。但人们没有忘记这些杰出发明专利权和发现优先权。但人们没有忘记这些杰出的贡献，为了纪念亨利，用他的名字命名了自感系数的贡献，为了纪念亨利，用

4、他的名字命名了自感系数和互感系数的单位，简称和互感系数的单位，简称“亨亨”。 1832年受聘为新泽西学院物理学年受聘为新泽西学院物理学教授，教授，1846年任华盛顿史密森研究院年任华盛顿史密森研究院首任院长，首任院长，1867年被选为美国国家科年被选为美国国家科学院院长。学院院长。 互感系数这个物理量则描述了两个线圈或电路互感系数这个物理量则描述了两个线圈或电路的磁场互相影响（耦合）的程度。的磁场互相影响（耦合）的程度。1221MMM由对称性不难理解由对称性不难理解iiiiLI i = 1，2，ijjMI ij 自感系数在数值上等于回路中通过单位电流时自感系数在数值上等于回路中通过单位电流时通

5、过自身回路所包围面积的磁链数。通过自身回路所包围面积的磁链数。 互感的应用如：变压器。互感的应用如：变压器。 互感也有不利的地方，如打电话窜线。互感也有不利的地方，如打电话窜线。 使两线圈的互感使两线圈的互感 M 减小的办法之一，减小的办法之一，是使两线圈互相垂直。是使两线圈互相垂直。自感现象的应用：镇流器，扼流圈等。自感现象的应用：镇流器，扼流圈等。自感也有不利的一面自感也有不利的一面 （大电流的电路拉闸时要小心！）（大电流的电路拉闸时要小心！） 另外，还可以利用自感、互感现象制作感式另外，还可以利用自感、互感现象制作感式传感器，它们在自动检测、自动控制过程中有重传感器，它们在自动检测、自动

6、控制过程中有重要的作用要的作用二、自感电动势互感电动势二、自感电动势互感电动势 当电路固定（即线圈大小、形状、匝数相对位当电路固定（即线圈大小、形状、匝数相对位置、介质分布都不变）时，自感、互感系数都不变置、介质分布都不变）时，自感、互感系数都不变自感电动势自感电动势L 互感电动势互感电动势M iLiidILdt iMdIMdt jdIMdt 11ddt 1112dddtdt L的存在总是阻碍电流的变化，所以自感电的存在总是阻碍电流的变化，所以自感电动势是反抗电流的变化动势是反抗电流的变化,而不是反抗电流本身。而不是反抗电流本身。LdILdt 若若 ，则，则 ， 与与 I 方向相同；方向相同；

7、0dIdt0L L 若若 ，则，则 ， 与与 I 方向相反。方向相反。0dIdt0L L 讨论讨论 互感系数在数值上等于当第二个回路电流变化互感系数在数值上等于当第二个回路电流变化率为每秒一安培时，在第一个回路所产生的互感电率为每秒一安培时，在第一个回路所产生的互感电动势的大小。动势的大小。互感系数的物理意义互感系数的物理意义212dIMdt 21dI dt若若12 M 讨论讨论 已知：匝数已知：匝数N，横截面积横截面积S，长度，长度 l ，磁，磁导率导率 试计算长直螺线管的自感。试计算长直螺线管的自感。解：普通物理学教案例题1 ：Sl自感的计算步骤：自感的计算步骤：LH dlIBH SNB

8、dS LI HB LHnIBH SB dS NLI HB LSlNISl 2N ISl 2n V 22NlSl NIl NIl 已知：已知：R1 、R2，求：一无限长同轴传输，求：一无限长同轴传输线（视为内外导体柱壳）单位长度的自感线（视为内外导体柱壳）单位长度的自感. 解：普通物理学教案例题2 ：2IHr dB dS RRIldrr 21221ln()2RIlR 0LLldrlrLI II2R1R2IBr 2Ildrr 21ln()2lRR 21ln()2RR 已知：已知： R1 、R2 、h、N。求一矩形截面求一矩形截面的螺绕环的自感。的螺绕环的自感。解：普通物理学教案例题3 ：2lH d

9、lHr NIrNIH 22NIBr dB dS h2R1Rrdr2NIhdrr 2NIdB dShdrr 212RRNIhdrr ln()212RNIhR N LI 221ln()2N IhRR 221ln()2N hRR adbc1L2LI（a）顺接）顺接adbc1L2LI（b）逆接）逆接自感线圈的串联自感线圈的串联122L L LM122L L LM 有两个直长螺线管，它们绕在同一个圆柱面有两个直长螺线管，它们绕在同一个圆柱面上。已知：上。已知： 0、N1 、N2 、l 、S ， 求互感系数。求互感系数。解：普通物理学教案例题4 ：2N1NS0 l2212HB 220202IlNHB 20

10、2NI Sl 12112N 122MI B dS 2B S22 12 0122N N I Sl 0122N NlSl 22222NHn IIl称称K 为耦合系数为耦合系数 耦合系数的大小反映了两个回路磁场耦合松紧的耦合系数的大小反映了两个回路磁场耦合松紧的程度。由于在一般情况下都有漏磁通，所以耦合系数程度。由于在一般情况下都有漏磁通，所以耦合系数小于一。小于一。 在此例中，线圈在此例中，线圈1的磁通全部通过线圈的磁通全部通过线圈2，称为无，称为无漏磁漏磁。在一般情况下在一般情况下012Mn n V 2101Ln V 21LLM 12MKL L10 K2202Ln V 在磁导率为在磁导率为 的均

11、匀无限大磁介质中，一无的均匀无限大磁介质中，一无限长直载流导线附近放置一限长直载流导线附近放置一N 匝矩形线圈（匝矩形线圈（如图如图所示），所示），求它们的互感系数。求它们的互感系数。解：普通物理学教案例题5 ：ablIdr设直导线中电流设直导线中电流 I ，矩形线圈平面上的磁链数为矩形线圈平面上的磁链数为sNB dS 2a baINldrr MI ln2NIlaba ln2Nlaba 互感系数取决于回路的形状、相对位置及环境磁导率。互感系数取决于回路的形状、相对位置及环境磁导率。三、自然定律的类比研究三、自然定律的类比研究我们从另一个角度谈谈自感问题我们从另一个角度谈谈自感问题 自感现象表明

12、：当电路中的电流自感现象表明：当电路中的电流发生变化时，线圈中的自感电动势反发生变化时，线圈中的自感电动势反抗电流的改变。抗电流的改变。 既然任一线圈都有反抗电流改变的自感，说明线既然任一线圈都有反抗电流改变的自感，说明线圈中的电流表现出一种圈中的电流表现出一种“惯性惯性”。事实上，要改变线。事实上，要改变线圈中的电流，就必须把线圈接在电源上，用电源电动圈中的电流，就必须把线圈接在电源上，用电源电动势做功来克服这种势做功来克服这种“惯性惯性”。在这样的电路中，电流与线圈两端电压的关系在这样的电路中，电流与线圈两端电压的关系dIULdt22d qLdt 22dId qULLdtdt22dvd x

13、Fmmdtdt212mv212LI?牛顿粒子牛顿粒子线圈线圈FUvIxqmvLI（自磁链）（自磁链）比较比较mL 相同的方程应该有相同的解。这种形式上的对相同的方程应该有相同的解。这种形式上的对比，提供给我们一个比，提供给我们一个可能是可能是正确的信息：正确的信息：212LI应该具有能量的意义应该具有能量的意义 ！？！？ 这种从数学形式相同出发进行类比的研究方法这种从数学形式相同出发进行类比的研究方法是非常有效的。是非常有效的。 非常有趣的是，物理学中既存在相似定律，也非常有趣的是，物理学中既存在相似定律，也存在相似现象，如存在相似现象，如万有引力定律万有引力定律 库仑定律库仑定律相似定律相似

14、定律机械振动机械振动 电磁振荡电磁振荡相似现象相似现象 当然，这只是相似，并非全同！当然，这只是相似，并非全同！ 类比研究有利于思维联想，能够开拓思路。我类比研究有利于思维联想，能够开拓思路。我们要学会抓住各学科的交叉渗透现象，要从看上去们要学会抓住各学科的交叉渗透现象，要从看上去互不相关的现象中寻找内在的联系。互不相关的现象中寻找内在的联系。建议阅读文献：建议阅读文献：费曼物理学讲义费曼物理学讲义 第一卷第一卷 25 章章广义组合倔强系数广义组合倔强系数 物理通报物理通报1986.10因而研究中还要抓住特异点。因而研究中还要抓住特异点。12-4、磁场能量、磁场能量刚才的类比使我们注意到，对于

15、质点的动能刚才的类比使我们注意到，对于质点的动能212mv212LI有一个类似的量有一个类似的量与之对应与之对应这个量是否就是线圈在通电情况下的某种能量呢？这个量是否就是线圈在通电情况下的某种能量呢？继续考查：继续考查：电功率电功率eedWPUIdt机械功率机械功率ggdWPF vdt仍有可比性仍有可比性1.自感磁能自感磁能电阻器上消耗的焦耳热电阻器上消耗的焦耳热自感线圈获得的能量！自感线圈获得的能量！L 仔细考查前面提到的电路，并将电路中的电仔细考查前面提到的电路，并将电路中的电阻集中在电阻器阻集中在电阻器R 上。上。由欧姆定律由欧姆定律LRI电源功率电源功率2LIRII即即2dWdIRIL

16、Idtdt电源做功电源做功200tIWI RdtLIdI2201( )2tIt RdtLI RI 我们知道，当电路中电流从我们知道，当电路中电流从 0 增加到稳定值增加到稳定值 I0 时，电路附近的空间逐渐建立起一定强度的磁时，电路附近的空间逐渐建立起一定强度的磁场，磁场和电场都是一种特殊形式的物质，具有场，磁场和电场都是一种特殊形式的物质，具有能量。所以电源反抗自感电动势所做的功，就在能量。所以电源反抗自感电动势所做的功，就在建立磁场的过程中转化为磁场的能量。这个能量建立磁场的过程中转化为磁场的能量。这个能量并未消耗，一旦条件许可就能释放出来转变为其并未消耗，一旦条件许可就能释放出来转变为其

17、它形式的能量。它形式的能量。记记212mWLI自感磁能自感磁能将两相邻线圈分别与电源将两相邻线圈分别与电源相连，在通电过程中相连，在通电过程中电源所做功电源所做功线圈中产线圈中产生焦耳热生焦耳热反抗自感反抗自感电动势做功电动势做功反抗互感反抗互感电动势做功电动势做功212222112121IMIILILW 自感磁能自感磁能互感磁能互感磁能2.互感磁能互感磁能忽略忽略12M21M1L2L1I2I 为简单起见，计算两个分别载流为简单起见，计算两个分别载流 I1、I2 的电流的电流回路系统所储存的磁场能量。回路系统所储存的磁场能量。 设两个回路的形状、相对位置、介质环境都不设两个回路的形状、相对位置

18、、介质环境都不变，同时忽略线圈中的焦耳热损耗。在建立磁场的变，同时忽略线圈中的焦耳热损耗。在建立磁场的过程中，两回路的电流分别为过程中，两回路的电流分别为 I1(t )、I2(t )，初始电，初始电流都为零，最终稳定为流都为零，最终稳定为 I10 、 I20，在这一过程中，在这一过程中，电源做的功转变为磁场能量。电源做的功转变为磁场能量。 我们知道，系统的总能量只与系统的最终状态我们知道，系统的总能量只与系统的最终状态有关，与建立这个状态的历史或方式无关。因而可有关，与建立这个状态的历史或方式无关。因而可以假定开始时两个回路都是断路。然后先接通线圈以假定开始时两个回路都是断路。然后先接通线圈

19、1 ，再接通线圈，再接通线圈 2 。 证明证明 先接通线圈先接通线圈 1，使其电流从使其电流从 0 增加增加到到 I10 ， 线圈线圈 1 的的自感磁能自感磁能 211 1012mWL I 然后接通线圈然后接通线圈 2 ，使其电流从零增加到，使其电流从零增加到 I20 。储存为线圈储存为线圈 2 的自感磁能的自感磁能2222012mWL I 当线圈当线圈 2 中的电流增大时，在线圈中的电流增大时，在线圈 1 中产中产生互感电动势生互感电动势 为了保持线圈为了保持线圈 1 的电源的电源I10不变，线圈不变，线圈 1 电电路中的电源必须反抗互感电动势作功，转化为路中的电源必须反抗互感电动势作功，转

20、化为磁场的能量磁场的能量 这是因互感而出现的附加磁能，称为这是因互感而出现的附加磁能，称为互感磁能互感磁能。212dIMdt 121210mWI dt 201020IMI dI1020MI I 经过上述步骤，两线圈中的电流分别为经过上述步骤，两线圈中的电流分别为I10 和和 I20时，储存在磁场中的总磁能时，储存在磁场中的总磁能 1212mmmmWWWW221 1022010201122L IL IMI I 如果电流如果电流I10 和和 I20在两个线圈中产生的磁通相在两个线圈中产生的磁通相互削弱，则总磁能互削弱，则总磁能 221 1022010201122mWL IL IMI I 在建立电流

21、的过程中，电源除了供给线圈中产在建立电流的过程中，电源除了供给线圈中产生焦耳热的能量和抵抗自感电动势做功外，还要抵生焦耳热的能量和抵抗自感电动势做功外，还要抵抗互感电动势做功。抗互感电动势做功。抵抗互感电动势做的功为抵抗互感电动势做的功为12AAA10 20120()I IMd I I20102112122100IIMI dIMI dI21 1122I dtI dt 212dIMdt 1020MI I另证另证3.磁场能量磁场能量继续类比继续类比电容器储能电容器储能212CU电感器储能电感器储能212LI电场能量密度电场能量密度212ewE 磁场能量密度磁场能量密度212mBw 12D E12H

22、 B212eWE d 212mBWd 磁场能量密度：磁场能量密度：单位体积中储存的磁场能量单位体积中储存的磁场能量 wm螺线管特例：螺线管特例：2LnHnIBnI221LIW 222111()222BBnBHn 22111222WBwHBH 12WwdBHd 任意磁场任意磁场12dWwdBHd I 如图求高频同轴传输线的磁能及自感系数如图求高频同轴传输线的磁能及自感系数解：普通物理学教案例题1 ：2R1Rlrdr高频电流有趋肤效应，高频电流有趋肤效应，电流分布在柱表面，电流分布在柱表面，11220 20 rRIBRrRrrR 2drldr 取体积元为薄柱壳取体积元为薄柱壳mmWw d 212B

23、d 212mWLI可得传输高频信号的同轴电缆的自感系数为可得传输高频信号的同轴电缆的自感系数为21ln()2RlLR 221ln()4RI lR 再根据再根据212mmBWw dd 2121() 222RRIrldrr 计算自感系数可归纳为三种方法计算自感系数可归纳为三种方法静态法静态法:LI LdILdt 221LIW 动态法动态法:能量法能量法:前例求输送稳恒电流时同轴电缆的磁能及自感系数前例求输送稳恒电流时同轴电缆的磁能及自感系数解：普通物理学教案例题2 ：2R1Rlrdr输送稳恒电流或低频信号时，输送稳恒电流或低频信号时，同轴电缆的内柱上电流均匀分布。同轴电缆的内柱上电流均匀分布。则则11212122 2 2 0 IrrRRIBRrRrrR mmWw d 12120111() 222RIrrldrR 212221() 222RRIrldrr 221221ln()444mRI lI lWR 212mWLI再根据再根据22118ln()