第二章无限期界与世代交叠模型(罗默版本)

1、无限期界与世代交叠模型Infinite-Horizon and Overlapping-Generations Models Part A The Ramsey-Cass-Koopmans Models Part B The Diamond Model 索洛模型中储蓄率外生，拉姆齐模型则改进这一点，储蓄率内生。 消费路径和储蓄率由完全竞争市场中相互作用且追求最优化的家庭和企业共同决定。 跨期预算约束下研究具有无限寿命的家庭，他们通过在消费和储蓄之间选择来最大化其效用。 A部分：拉姆齐-卡斯-库普曼模型2.1 假设 1.厂商 完全竞争市场 存量大量的厂商 企业生产函数相同：Y=F(K,AL） 生

2、产函数为新古典生产函数 按生产要素支付报酬 2.家庭 大量同质的家庭 家庭规模以不变外生速率n增长 家庭每个成员在每个时点供给1单位劳动 家庭将拥有的资本租给厂商 初始资本存量为K(0)/H，K(0)是经济中初始资本存量，H是家数量 假定不存在资本存量 家庭通过供给劳动和出租资本获取收入，并拥有从厂商利润 消费者将收入在消费和储蓄之间分配以最大化其一生效用 虽然个体的生命是有限的，但家庭是无限延续的。 如果利他主义的父母将一切传承给孩子，子又传孙，孙又传子，如此循环，那么该假定是合理的。 家庭效用函数形式为： C(t)是每个成员在时点t的消费 u()是瞬时效用函数 L(t)为经济中的总人口 L

3、(t)/H为每个家庭的成员数 u(C(t)L(t)/H为t时刻家庭的总瞬时效用 为贴现率， 越大，则相对于现期消费，家庭对未来消费估值越低。) 1 . 2()()(0dtHtLtCueUtt 瞬时效用函数u(C(t)为凹函数，即 uC(t)0，uC(t)1时，边际效用随C增加而减少，当0，则 ，此时经济偏离平衡增长路径，是不稳定的。 如果经济收敛于平衡增长路径(k*,c*)， 0 因此0/, 0/kkcc2/)(4 -2/1*21ckf AA为线性化鞍点路径。 BB为偏离路径。 在0时刻，c跳跃到 此后以1收敛于平衡增长路径。即)(/()(*1*kkckfc )0()()0()(*11kkek

4、tkccectctt2.调整速度 以柯布道格拉斯生产函数为例)39. 2()()(14-21)38. 2()() 1(4-212/)(4 -/ )(00)()()()() 1()()()(2/122/1*2*22/1*21)1/(1*)1*(*2*1gnggkgnkkckfgkgkgkfcckgnkkgnkfckkfkkfyALKY （， 设=1/3，=4%，n=2%，g=1%，=1 则 同等数据，索洛模型的收敛速度为：%4 . 51%2%)1%2(*3/2)(1 gnK 以柯布道格拉斯生产函数为例进行线性对数化：()/1 (/)ln()(-)(/)(/)(/)ln()()(1/)()()ln

5、()1()/ln()ln()1(1）假定geccdtcdgneegnkckgnkckfkkdtkdkkfgkfcckgnckfkkkck 稳态时： 从而0/cckkgAegneAekkck)ln()1()/ln(*)ln()1(*)/(ln()1 (*)/)(ln(1 ()/1 ()()/1 (/)ln(*)/ )(ln(*)/(ln()1 (*)ln(ln*)ln(ln*)ln)(ln1 ()( -/)ln(*)ln()1(*)ln()1()*/ *ln(*)ln()1()/ ln()ln()1(kkgkkAegAedtcdccggnkkgnkkccekkAegneAedtkdkkkckkc

6、k2.7 政府购买效应 1.将政府纳入模型中 假设政府在每单位时间以每单位有效劳动人均G(t)的速率购买产出。 假设政府购买不影响私人效用，即政府购买不进入私人效用函数。 假设政府购买不影响未来产出，即投入公共消费而非公共投资，政府购买不进入生产函数。 政府购买支出以一次性总付税征收(lump-sum tax)，即每单位有效劳动承担G(t)。 k的运动方程现在变成： 较高的G会使 的变动轨迹向下移动。)40. 2()()()()()()(tkgntGtctkftk0)(tk 家庭预算约束变为： 欧拉方程保持不变 因此政府购买支出不影响 的变动轨迹0)()(0)()()41. 2()()()0(

7、)(ttgntRttgntRdtetGtwekdtetce0c 2.政府购买的永久性变动和暂时性变动的效应 （1）政府购买永久性增加 假设初始经济处于平衡增长路径，G=GL 非预期到的永久性购买性支出增加到GH 此时 向下移动的数量等于G的增加量。 变动轨迹保持不变0)(tk0c c跳跃到新的鞍点路径。 减少的量等于G的增加量 经济处于新的平衡增长路径。 由于政府购买是永久性增加，因而税收是永久性增加，因此消费者无法通过调整消费时间路径来增加其效用。 利率和资本存量不变。（2）政府购买暂时性增加 更复杂的情形是非预期的政府购买增加被预期是暂时的。 为简化分析，假设人们知道最终的确切时间。 该情

8、形下，c的下降量并不等于政府购买G的增加量，GH-GL。 如果消费量下降量等于政府购买量的增加量，则在终结时期，政府购买量恢复到初始量时，消费会出现非连续跳跃性增加，此时边际效用会非连续下降。 但是，既然终结时期被预期到，边际效用非连续性也会被预期到，这对家庭来说，并不是最优的选择。（3）经验型应用：战争与实际利率 政府购买永久性增加不影响利率 政府购买暂时性增加会提高利率 政府购买暂时性处在较高水平的一个例子是战争时期。 因此，我们分析预测战时的实际利率较高。 Barro(1987) B部分：戴蒙德模型2.8 假设 戴蒙德模型和拉姆齐-卡斯-库普曼模型的核心差异是存在人口的新老交替，而非永久

9、性生存的家庭：新人不断出生，老人不断消亡。 时间是离散的而非连续的。 为了简化分析，假设每个人只存活两个时期：年轻和老年时期。 年轻时期赚取收入，并用于消费和储蓄，老年时无收入，靠储蓄度日。 t时期人口为Lt，人口增长率外生为n，因此： 因此，t时期有Lt的年轻人和的Lt-1的老年人。 每个个人在其年轻的时候供给1单位的劳动。1)1 (ttLnL 效用函数为相对风险厌恶不变的效用函数： C1t和C2t代表年轻人和老年人在t时刻的消费。1, 0,111111211tttCCU 生产函数假设同拉姆齐-卡斯-库普曼模型 存在一些初始资本存量k0，由老年人平均持有。)()()()1 (),(1tttt

10、ttttttkfkkfwkfrAgALAKFY2.9 家庭行为 跨期预算约束方程： t时刻出生的人在第2期的消费为：)45. 2(1)44. 2()(1 (11211112ttttttttttwArCCCAwrC 从套利角度理解： t时刻出生的人在年轻时期少消费dc，将其用于储蓄，则t+1时刻老年时期的消费量现值为： 如果个人正在进行最优化，则终生效用应保持不变。dcrt111)48. 2()11()47. 2(11)46. 2(11/1111211121121tttttttttrCCrCCdcrCdcCttttttttwArCCtsCCU1121112111. .1, 0,1111:max)

11、48. 2()11(0111049. 2)1(1111/111121121211112111211tttttttttttttttrCCrCCLCCLrCCwACCL）（）（ 54. 2)1 ()1 ()1 ()53. 2()1 ()1 ()(1 ()11()48. 2()11(/ )1(1/1/111/1/ )1(1111121/1112/11112ttttttttttttttttttttwArCwACrCCAwrCCrCrCC 令s(r)为储蓄率，则)56. 2()(1 )55. 2()1 ()1 ()1 ()1 ()1 ()1 (1)(11/ )1(/1/ )1(/ )1(/1/1wArs

12、Crrrrsttt)55. 2()1 ()1 ()1 ()(/ )1(/1/ )1(rrrs2.10 经济的动态学 k的运动方程)59. 2()()()()1)(1 (1)()(),()58. 2()1)(1 ()()1 ()1 ()()57. 2()(111111111111ttttttttttttttttttttttttttttkfkkfkfsgnkkfkkfwkfrgnwrsgAnLwALrsALKkwALrsK k的演化 均衡，即 我们的目的是这样的均衡是否存在？ 如果存在，偏离之后是否会回到均衡？ttkk1对数效用函数与柯布-道格拉斯生产函数 当=1时，效用函数即为对数效用函数。 此

13、时，kkf kkfwkkfrkkf)1 ()()(,)()(121)(211,)1 ()1 (11111,1)1(ln11ln1. .ln11ln:max111211211112111211211121121rswACwArCCCCrrCCrCCwACCLwArCCtsCCUtttttttttttttttttttttttttttt)60. 2()-1 (21)1)(1 (1)59. 2()()()()1)(1 (121)(111tttttttkgnkkfkkfkfsgnkrs收敛的速度 均衡时：*k)63. 2()2)(1)(1 (-1)62. 2()2)(1)(1 (-1)61. 2()-1 (21)1)(1 (1)60. 2()-1 (21)1)(1 (1)1/(*)1/(1*1gnygnkkgnkkgnktt)63. 2()2)(1)(1 (-1)62. 2()2)(1)(1 (-1)61. 2()-1 (21)1)(1 (1)60. 2()-1