无穷大量和无穷小量

1、2.5 2.5 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量 研究函数极限时,有两种变量非常重要. 一种是在极限过程中变量可以无限变小, 而且要多么小就有多小; 一种是在极限过程中, 变量可以无限变大, 而且要多么大就有多大.我们分别将它们称为无穷小量和无穷大量.一一. . 无穷小量无穷小量定义定义 以零为极限的变量称为无穷小量. 例1 .xx 是时的无穷小量0limsin0sin 0 .xxxx 是时的无穷小量1lim0lim0lim0 xxxxxxee .xex 是时的无穷小量 .xex 是时的无穷小量lim0(1) .nnnqqqn 是时的无穷小量1lim(2)1,12.xxxx 时不是无穷小量

2、注注1 很小很小的非零常量不是无穷小量,但数“0” 是无穷小量; 而无穷小量却不一定是数“0”, 仅极限值为0.无穷小量的性质无穷小量的性质性质性质1 i0(1,2, ),in 设在某一极限过程下有则在此极限过程下有注注2 无穷小量与自变量的变化过程有关.1(1).0;nii 1(2).0.nii 性质性质2 有界变量(x)与无穷小量(x)之积仍为无穷 小量.证 ( ) ,0,(), ( );f xMxD ff xM 因有界 则恒有例例011limsin0,limsin1.sin( 1)lim0;lim0.xxnxnxxxxxxn 但但 ( ) , x 因为无穷小量( ) ( ).( ) (

3、).f xxMf xxM 为无穷小量0,( ),xMM 则某个时刻，在此时刻后,定理定理8 (函数与其极限间的关系)函数(x)的极限为A 的充要条件是函数(x )等于A与无穷小量的 和, 即 (x) = A + . 设lim(x) =A,则0 0 设(x) = A +,且为无穷小量,则证明 故lim (x) =A.总存在一个时刻,在此时刻以后,就恒有|(x)A|, 从而 (x )A为无穷小量, 记为,则(x)=A+总存在 一个时刻, 在此时刻以后,就恒有| |= | (x)A|M, 则称函数(x)为该变化过程下的无穷大量. 记为 0M 0lim( ) lim( )xxxf xf x （或）注注

4、1 1 无穷大量是一个绝对值可以任意变大的变量, 而不是一个很大的常量.当(x)取正值无限增大 (取负值绝对值无限增大)时,称为正无穷大量(负 无穷大量). 记为lim ( ) lim ( )f xf x （或或）注注2 2 通常lim( ) f x ( 1) n 011lim 0 .xxxx 是是时时的的无无穷穷大大量量例lim .xxxeex 是时的无穷大量是极限不存在的记号; 但它又不同于变量(无限增大的趋势).无穷小量与无穷大量的关系：无穷小量与无穷大量的关系：定理定理9 在自变量的同一变化趋势下,无穷大量的倒 数为无穷小量;非零无穷小量（不为零）的 倒数为无穷大量. 由此定理可知,

5、要证lim ( ) f x 1lim0 ( )f x 例例21 求2213lim.54xxxx 222211543lim =0,lim354xxxxxxxx 解只需证即可.三三. . 无穷小量阶的比较无穷小量阶的比较 无穷小量都是以0为极限,但它们趋于0的“速度”却不一定相同.例2 0 , ,2 , ,xxx x当时都是无穷小量y=2xy=x2 20 ,0 .xxxx但的速度比“慢”的速度比“快” 为了描述这种情况,有下述定义:设(x), (x)是同一极限过程中的两个无穷小量(3).若 ,则称(x)是比(x)更低阶的无穷 小量, 记为( )lim0( )xCx ( )lim( )xx (2).

6、若 ,则称(x)与(x)是同阶的无穷 小量.特别地特别地, 当当C = 1时时, 则称则称(x)与与(x)是等是等 价的无穷小量价的无穷小量, 记为记为(x) (x) (x) = O( (x).( )lim0( )xx (1)若 ,则称(x)是比(x)更高阶的无穷 小量,记为 (x) = o()011.lim.22xxx 故当 x0时, x与2 x 是同阶的无穷小量. 故当故当 x时时, x2是比是比 x 更高阶的无穷小量更高阶的无穷小量.故当故当 x时时, 1/x 是比是比 1/x 更高阶的无穷小量更高阶的无穷小量.故当故当 x0时时, ,sin x与与x是等价的无穷小量是等价的无穷小量.0

7、sin4.lim1.xxx 202.lim0.xxx 213.lim0.1xxx 定理定理10. 与是等价的无穷小量的充要条件 是 = + o().定理定理11. 若在同一极限过程中, , 均为无穷 小量,则 (1) ; (反身性) (2)若 ; 则 ; (对称性) (3)若 , ; 则 ; (传递性) (4)若 ; 则 .四四. . 无穷小量代换原理无穷小量代换原理定理定理12. (等价代换原理)设，, , ，为 同一极限过程中无穷小量,且 ,11lim 11limlim. 注注1 1 由此定理可知, 求两个无穷小量商的极限时, 如果分子, 分母的等价无穷小量存在, 则就可用它们各自的等价无

8、穷小量来代换原来的分子, 分母, 使计算简化. 请记住以下几个常用的等价无穷小量:若 存在, 则1.sin x x; 2.tan x x;3.ln(1+x) x; 4.arcsin x x;27.1cos;2xx 1 ;xex例例21.求下列函数的极限0tan 2(1).lim;sin 3xxxtan 22 , sin 33 (0)xxxx x 解 00tan 222 limlimsin 333xxxxxx 5.arctan x x; 0 x 当时6.1 ln ,xaxa 8.(1)1.xx 32011(2).lim;1cosxxx 223211 (),1 cos(0)32xxxxx 解解23

9、22001123 limlim1cos32xxxxxx tan20(1cos )(3).lim;(1)sinxxxxex tan221tan , sin(0)xexxxx x 解解2tan2200(1cos )12limlim(1)sin2xxxxxxxexx x 30tansin(4).lim;xxxx 3300tansinlimlim.xxxxxxxx 注注意意: :2200sinsin12limlimcos2 cosxxxxxxxxxx 00sin11limlim2cos2xxxxx 3300201sin (1)tansincoslimlimsin(1 cos ) limcosxxxxxxxxxxxxxx 解解121 cos0(5).lim(1sin).xxx 22111sin221 cossin1 cos0022200lim(1 sin)lim(1 sin)1