第3章平稳随机信号的功率谱频域统计特性

1、2022-6-131平稳随机信号的谱分析平稳随机信号的谱分析 2本章要解决的问题本章要解决的问题 v随机信号是否也可以应用频域分析方法随机信号是否也可以应用频域分析方法? v傅里叶变换能否应用于随机信号？傅里叶变换能否应用于随机信号？ v相关函数与功率谱的关系相关函数与功率谱的关系 v功率谱的应用功率谱的应用 v采样定理采样定理 v白噪声的定义白噪声的定义 3一、预备知识一、预备知识1. 付氏变换付氏变换设设x(t)是时间是时间t的的非周期信号非周期信号，且，且x(t) 满足满足 在在 范围内满足狄利赫利条件范围内满足狄利赫利条件 )(tx),( 绝对可积，即绝对可积，即 )(txdttx )

2、( 信号的总能量有限，即信号的总能量有限，即 )(txdttx2)(有限个极值有限个极值有限个断点有限个断点断点为有限断点为有限值值3.1 随机信号的谱分析随机信号的谱分析4则则 的傅里叶变换为：的傅里叶变换为： )(txdtetxXtjX)()( 其反变换为：其反变换为： deXtxtjX)(21)(称称 为为 的频谱密度，也简称为频谱。的频谱密度，也简称为频谱。)(tx)(XX包含：振幅谱包含：振幅谱 相位相位谱谱( )/()jXX e5 5傅里叶级数与离散频谱 周期信号可分为一个或几个、乃至无穷多个谐波的迭加。周期信号可分为一个或几个、乃至无穷多个谐波的迭加。 图图3.1.1 3.1.1

3、 周期信号的傅立叶级数分解周期信号的傅立叶级数分解 )(tx t)(A000203时域)(0频域 周期信号的频谱是离散的62022年6月13日6 傅里叶变换的性质1、线性叠加性质、线性叠加性质 若若 ，则，则2、时移性质、时移性质 若若 ，则，则3、频移性质、频移性质 若若 ，则，则4、时间伸缩性质、时间伸缩性质 设设 ，a为正实数，则为正实数，则5、时间微分性质、时间微分性质 若若 ，则，则6、时间积分性质、时间积分性质 若若 ，且，且 ，则，则7、卷积定理、卷积定理 若若 ， ，则，则 及及 )()(11Xtx)()(22Xtx)()()()(22112211XaXatxatxa)()(X

4、tx0)()(0tjeXttx)()(Xtx)()(00 Xetxtj)()(Xtx)(1)(aXaatx)()(Xtx)()(d)(dXjttx)()(Xtx0| )(0X)(1d)(Xjxt)()(11Xtx)()(22Xtx)()()()(2121XXtxtx)()(21)()(2121XXtxtx7常见的傅立叶变换常见的傅立叶变换 t11 2tcos000tsin000 j0, tetj1te222tje00283. 帕塞瓦等式：时域能量帕塞瓦等式：时域能量=频域能量频域能量dtdeXtxdttxtjX)(21)()(2dtdetxXtjX)()(21dXXXX)()(21*dXX2)

5、(21dXdttxX22)(21)(即即能量谱密能量谱密度度9应用截取函数应用截取函数 TtTttxtxT0)()(二、随机信号的功率谱密度二、随机信号的功率谱密度10 dTTXEdttXETXTTTT2),(lim21)(21lim22 平均功率平均功率Q 非负非负存在存在 dSdttXETQXTTT )(21)(21lim2（1）功率）功率Q为确定值，不是随机变量为确定值，不是随机变量)( XS（2） 为确定性实函数。为确定性实函数。注意：注意：22-=( );122TTi RdtWPI RpdRTT 单位电阻( )/()/( )jXXXXXXPfP eP11两个结论：两个结论： )(2t

6、XEAQ1 .21lim.TAT表示时间平均表示时间平均 若平稳，时间均方值为：若平稳，时间均方值为：)0()()(22XRtXEtXEAQ dSQX)(2121213功率谱密度：功率谱密度： 描述了随机信号描述了随机信号X(t)的的 功率在各个不同频率上的分布功率在各个不同频率上的分布 称为称为随机信号随机信号X(t)的功率谱密度。的功率谱密度。 )( XS)( XS对对 在在X(t)的整个频率范围内积分，的整个频率范围内积分，便可得到便可得到X(t)的功率的功率P。 )( XS对于平稳随机信号，有：对于平稳随机信号，有： 221( )( )( )2XXtE XtSd 均方值：信号在某瞬时刻

7、均方值：信号在某瞬时刻t的平均功率的平均功率频率谱密度频率谱密度X():描述信号能量在各个不同频率上的分布描述信号能量在各个不同频率上的分布14随机信号：平稳随机信号的自相关函数随机信号：平稳随机信号的自相关函数功率谱密度。功率谱密度。 1. 维纳维纳辛钦定理辛钦定理 若随机信号若随机信号X(t)是平稳的，自相关函数是平稳的，自相关函数R()以及以及 R()绝对可积，则自相关函数与功率谱密绝对可积，则自相关函数与功率谱密度构成一对付氏变换，即：度构成一对付氏变换，即：deRSjXX)()(deSRjXX)(21)(我们允许自相关函数和功率谱密度中存在我们允许自相关函数和功率谱密度中存在函数函数

8、三、功率谱密度与自相关函数之间的关系三、功率谱密度与自相关函数之间的关系确定信号：确定信号：)()(jXtx信号信号频率谱密度频率谱密度(频谱频谱)15 tX XR XS taX XRa2 XSa2 dttdX XS2 22dRdX nndttXd XnS2 nXnndRd2221 tjetX0 tjXeR00XSX(t)变换的功率谱密度变换的功率谱密度16例例2：平稳随机信号的自相关函数为：平稳随机信号的自相关函数为 ，A0， ，求随机信号的功率谱密度。，求随机信号的功率谱密度。 AeRX)(0 解：应将积分按解：应将积分按 和和 分成两部分进行分成两部分进行 deAedeAeSjjX00)

9、(0)(0)()(jeAjeAjjjjA11222A1718例例4：设随机信号：设随机信号 ，其中，其中 皆皆为常数，为常数， 为具有功率谱密度为具有功率谱密度 的平稳随的平稳随机信号。求过程机信号。求过程 的功率谱密度。的功率谱密度。 ttaXtY0sin)()(0,a)(tX)(XS)(tY解：解： )()(),(tYtYEttRY)(sin)(sin)(00ttaXttaXE2000( )coscos(2)2XaRt dettRASjYY),()(200020( )coscos(2)2( ) cos2jXjXaRAtedaRed )()(4002XXSSa19例例5：设随机信号：设随机信

10、号 ，其中，其中 是概是概率密度为率密度为 的随机变量，的随机变量，a和和为实常数，为实常数，求求X(t)的功率谱密度。的功率谱密度。 tjaetX)( f tXtXERX*)(jeEa2 defaj2 deSRjXX21)( faSX22201. 功率谱密度为非负的功率谱密度为非负的,即即 0)(XS3. 功率谱密度是功率谱密度是 的实函数的实函数 四、平稳随机信号的功率谱密度四、平稳随机信号的功率谱密度3. 对于实随机信号来说，功率谱密度是对于实随机信号来说，功率谱密度是 的偶函数，的偶函数，即即)()(XXSS4. 功率谱密度可积，即功率谱密度可积，即 dSX)(213.2 联合平稳随机

11、信号的互谱密度联合平稳随机信号的互谱密度一、互谱密度一、互谱密度 X(t)、Y(t)各自平稳且联合平稳各自平稳且联合平稳22二、互谱密度的性质二、互谱密度的性质性质性质1 1：)()()(* YXYXXYSSS 性质性质2： )(Re)(ReXYXYSS)(Re)(ReYXYXSS性质性质3： )(Im)(ImXYXYSS)(Im)(ImYXYXSS性质性质5 5： 若若X(t)与与Y(t)不相关，不相关，X(t)、Y(t)分分别具有常数均值别具有常数均值 和和 ，则，则 XmYm)(2)()(YXYXXYmmSS wSwSwSYXXY2性质性质6 6： 2324相干函数的工程应用(1) (1

12、) 判断系统输出与某特定输入的相关程度。判断系统输出与某特定输入的相关程度。 利用相干函数，可发现系统是否还有其它输入干扰、系统的线性程度。利用相干函数，可发现系统是否还有其它输入干扰、系统的线性程度。(2)(2)谱估计和系统动态特性的测量精度估计。谱估计和系统动态特性的测量精度估计。 在计算传递函数的幅频特性及相频特性时，辅以相干函数分析，在计算传递函数的幅频特性及相频特性时，辅以相干函数分析， (a) 输入信号的功率谱和输出信号的功率谱输入信号的功率谱和输出信号的功率谱 (b) 幅频特性、相频特性和相干函数幅频特性、相频特性和相干函数 25总结262728五、相关卷积定理五、相关卷积定理2

13、930例：两个系统如图所示，请推导两输出信号的互相关函数与例：两个系统如图所示，请推导两输出信号的互相关函数与两输入信号的互相关函数之间的关系。两输入信号的互相关函数之间的关系。3132333435解：解： deRSjXYXY)()(deej39dej )3(9j39jSSXYYX39)()(*363.3 离散时间随机信号的功率谱密度离散时间随机信号的功率谱密度一、离散时间随机信号的功率谱密度一、离散时间随机信号的功率谱密度1.1.平稳随机序列的自相关函数平稳随机序列的自相关函数 设设X(n)为广义平稳的离散时间随机信号，为广义平稳的离散时间随机信号，具有零均值，其自相关函数为具有零均值，其自

14、相关函数为:)()()(mnXnXEmRX373. 平稳随机序列的功率谱密度平稳随机序列的功率谱密度 ( )( )jm TXXmSRm e奈奎斯特频率奈奎斯特频率 时域离散时域离散(T)频域周期频域周期(其周期其周期T T由时域离散间隔由时域离散间隔T T决定决定)T T=2=2q q=2/T=2/T38因为因为 为周期函数，周期为为周期函数，周期为 ， )( XSq 2deSmRjmXqXqq)(21)(0m在在 时时dSRnXEqqXqX)(21)0()(2时域离散时域离散(T)频域周期频域周期(其周期其周期T T =2=2q q=2/T=2/T)时域非周期（随机信号）时域非周期（随机信号

15、）频域连续频域连续39 ( );mjXXmSzRm zzedzzzSjmRmDXX1)(21)( 性质性质 zSzSXX1)(40例例7：设：设 ，求，求 和和1,)(aamRmX)(zSX)(XS解：解：mmmmmmXzazazS01)(azzazaz1)1)()1 (2azazza)1)(1 ()1 (12azaza)()(111zzaaaa将将z= 代人上式，即可求得代人上式，即可求得jecos2)(11aaaaSX41二二 确定性信号的采样与插值确定性信号的采样与插值sin()( )()cnctns ts nTtn 连续时间连续时间确知信号确知信号离散时间离散时间确知信号确知信号( )

16、S t)(nS采样定理采样定理( )()S tS nT 插值插值(低通滤波低通滤波)sin()( )()cnctns ts nTtn ccTT 42 ( )()cRR mT 三、三、 自相关函数的采样自相关函数的采样)2(1)(TnSTSnc时域离散时域离散(T)，频域则为周期延拓，频域则为周期延拓(T T=2/T=2/T)43443.4 白噪声白噪声一、理想白噪声一、理想白噪声自相关函数自相关函数: 01( )( )2NRN 0001)0()()(NNNRRr自相关系数自相关系数: 45总结：总结：（1）白噪声只是）白噪声只是理想化模型理想化模型，是不存在的。，是不存在的。（2）白噪声的均方

17、值为无限大）白噪声的均方值为无限大 )0(2)0()(02 NRtXEN而实际中的随机信号，其均方值总是有限的。而实际中的随机信号，其均方值总是有限的。（3）白噪声在数学处理上）白噪声在数学处理上简单、方便简单、方便46二、色噪声二、色噪声 按功率谱密度函数来分类随机信号：按功率谱密度函数来分类随机信号：白噪声白噪声色噪声色噪声/有色噪声有色噪声47小小 结结 1.随机信号的时间无限性随机信号的时间无限性能量无限，因而随机能量无限，因而随机信号的付氏变换不存在，但其功率存在。即：信号的付氏变换不存在，但其功率存在。即：)()( jXtX 但相关函数与功率谱密度构成一对付氏变换，但相关函数与功率

18、谱密度构成一对付氏变换，即即( ,)( )XXARt tS若随机信号若随机信号X(t)平稳，则平稳，则 )()( XXSR48一般过程：一般过程：3. 随机信号的平均功率：随机信号的平均功率： dttXETT)(21lim2即集合平均时间平均。即集合平均时间平均。4.特定函数的付氏变换需记忆。特定函数的付氏变换需记忆。49总结定义：n随机信号：信号在每一时刻的取值为随机变量n确定信号：信号在每一时刻的取值为确定常数。随机信号的广义平稳性n其均值均值为常数。n其二阶矩二阶矩(均方值自相关的特例)是有限值n其自协方差函数自协方差函数只与时间间隔有关；（若均值为0，则自协方差=自相关，方差=均方值，自相关函数只与时间间隔有关）50总结广义平稳、严格平稳、非平稳n广义平稳(2阶平稳)；严格平稳(阶平稳)。n广义平稳严格平稳；严格平稳广义平稳n无广义平稳=非平稳平稳信号的广义遍历性n总集均值=时间均值、总集自相关=时间自相关可用一次观测数