流体力学流体动力学

1、INDEX 流体的运动微分方程 元流的伯努利方程 过流断面的压强分布 总流的伯努利方程 气体的伯努利方程 动量方程 动量矩定理流体的运动微分方程1.理想流体运动微分方程（1）平衡微分方程01xpX01ypY01zpZ01pf（2）运动微分方程dtudpf1欧拉运动微分方程分量式xpX1zuuyuuxuutuypYyzyyyxy1zuuyuuxuutuzpZzzzyzxz10zuyuxuzyx常与连续性微分方程联立uutuzuuyuuxuutuxzxyxxx（1）（2）（3）2.粘性流体运动微分方程（粘性作用切应力）uutudtudupf21纳维-斯托克斯方程（N-S方程）分量式zuuyuuxu

2、utuuxpXxzxyxxxx21zuuyuuxuutuuypYyzyyyxyy21zuuyuuxuutuuzpZzzzyzxzz21元流的伯努利方程1.理想流体元流的伯努利方程（1）推导方法一dzzpdyypdxxpZdzYdyXdx1dzdtdudydtdudxdtduzyx只有重力不可压缩恒定流gdzpddp1222222uduuudzyx将（1）、（2）、（3）各式分别乘以dx、dy、dz，并相加022udpdgdzcupgz22cgugpzgugpz2222222111dzzpdyypdxxpZdzYdyXdx1dzdtdudydtdudxdtduzyx积分（2）推导方法二（功能原理

3、）压力作功dQdtppdtudApdtudAp21222111u1u2p1p2dA1dA2z1z200（3）物理意义单位重量流体的总势能（m）gpzgu22单位重量流体的动能（m）位置水头+压强水头速度水头单位重量流体的机械能守恒（总水头不变）cgugpz222.粘性流体元流的伯努利方程2222222111whgugpzgugpz能量守恒3.方程适用范围恒定流、不可压缩、质量力是重力的元流4.应用：皮托管测流速gpgugp2212gpgph12ghcghu22ghpghp21hgchgu22水（）-水银（）h12c流速系数（11.04）气（） -液（）hgchgu22ghpghp21过流断面的

4、压强分布为推导总流的伯努利方程作准备均匀流0uu流线平行非均匀流渐变流急变流0uu流线近于平行过流断面的选取均匀流、渐变流均匀流急变流渐变流1.过流断面的压强分布ApAglAp21cos21coszzlcgpzgpz2211服从流体静力学规律p2p1lAGz2z1002.例hgghpBghhgpBCBAppp3.急变流压强的分布沿惯性力方向，压强增加、流速减小FI总流的伯努利方程1.总流的伯努利方程元流的伯努利方程推导：2222222111whgugpzgugpz两边同乘以gdQ，积分gdQhgugpzgdQgugpzw2222222111（1）势能积分gdQgpz（2）动能积分dAugggu

5、dAgugdQgu3222122gQgvgAgv2223AvdAu33动能修正系数层流=2紊流=1.051.11gQgpzgdQgpz（3）水头损失积分gQhgdQhwwwhgvgpzgvgpz222222221111总流的伯努利方程总流的伯努利方程与元流的伯努利方程区别（1）z1、z2总流过流断面上同一流线上的两个计算点相对于基准面的高程；（2）p1、p2对应z1、z2点的压强（同为绝对压强或同为相对压强）；（3）v1、v2断面的平均流速2.有能量输入（Hi）或输出（H0）的伯努利方程wihHgvgpzHgvgpz02222221111223.有分流（或汇流）的伯努利方程2122222111

6、22whgvgpzgvgpz312333211122whgvgpzgvgpz1122334.水头线总水头线总水头线测压管水头线测压管水头线水流轴线水流轴线基准线基准线例 用直径d=100mm的水管从水箱引水，水管水面与管道出口断面中心高差H=4m，水位保持恒定，水头损失hw=3m水柱，试求水管流量，并作出水头线解：以0-0为基准面，列1-1、2-2断面的伯努利方程whgvH20022smhHgvw/43. 422smAvQ/35. 0322作水头线H112200总水头线总水头线测压管水头线测压管水头线2221AvAv连续性方程gpzgpzgddv22114211211能量方程（忽略损失）gvg

7、pzgvgpz2222222111例 文丘里流量计gpzgpzgdddAvQ22114212111214仪器常数KhhKQ流量系数（0.960.98）注意：水（）-水银（）气（）-液（）hhhKhh关于气蚀：低压区产生汽化，高压区气泡破灭空化，它造成流量减小，机械壁面造成疲劳破坏，这种有害作用称气蚀（空蚀）关于计算气蚀的例子：大气压强97.3kPa，粗管径d=150mm，水温40，收缩管直径应限制在什么条件下，才能保证不出现空化？（不考虑损失）10m解：水温40，汽化压强为7.38kPa大气压强mgpa10807. 92 .992103 .973mgpv76. 0807. 92 .992103

8、8. 73汽化压强列1-1、2-2断面的能量方程（必须用绝对压强）列1-1、3-3断面的能量方程（可用相对压强）mgvgv24.19276. 0210102222gv2102311223310m连续性方程22232150dvvmmd1272例：定性作水头线pp总水头线总水头线总水头线总水头线测压管水头线测压管水头线测压管水头线测压管水头线p总水头线总水头线测压管水头线测压管水头线p总水头线总水头线测压管水头线测压管水头线气体的伯努利方程1.气体的伯努利方程（1）用绝对压强（m）wababhgvgpzgvgpz2222222111常用压强表示（Pa）wababpvpgzvpgz222222211

9、1v1v2p1p2z1z200a1122（2）用相对压强111aabppp1212222zzgpppppaaaab wapvpzzgvp2222212211用相对压强计算的气体伯努利方程v1v2p1p2z1z200a1122 wapvpzzgvp2222212211用相对压强计算的气体伯努利方程p静压v2/2动压(a-)g(z2-z1)位压注意：z2-z1下游断面高度减上游断面高度（）；a-外界大气密度减管内气体密度（） ；z2=z1或a=位压为零2.压力线22v 12zzgap总压线势压线位压线零压线动压静压位压静压+动压=全压静压+动压+位压=总压3.例：气体由压强为12mmH2O的静压箱

10、A经过直径为10cm、长为100m的管子流出大气中，高差为40m，沿管子均匀作用的压强损失为pw=9v2/2，大气密度a=1.2kg/m3，（a）当管内气体为与大气温度相同的空气时；（b）当管内为=0.8kg/m3燃气时，分别求管中流量，作出压力线，标出管中点B的压强AB100m40mC解： （a）管内为空气时，取A、C断面列能量方程29222vvpA22 . 1922 . 18 . 91222vvsmv/43. 4smvAQ/0348. 03作压力线PapA6 .1178 . 912Pav106292Pav7 .1122117.6B总压线势压线pAAB100m40mC（b）管内为燃气时，取A

11、、C断面列能量方程 2922212vvzzgpaA28 . 0928 . 00408 . 98 . 02 . 18 . 91222vv4 .2486 .271581184 .2486 .27276即作压力线276B总压线势压线158位压线p例：空气由炉口a流入，通过燃烧，经b、c、d后流出烟囱，空气a=1.2kg/m3，烟气=0.6kg/m3，损失压强pw=29v2/2，求出口流速，作出压力线，并标出c处的各种压强解：取a、b断面列能量方程 22922212vvzzga26 . 02926 . 0508 . 96 . 02 . 122vv2 .28426 . 02942vsmv/7 . 5ab

12、cd0m5m50m作压力线c点：总压势压静压全压pcc2pcc1pc3c1pc3c2294c3c2c1c总压线势压线位压线零压线abd动 量 方 程解决流体与固体壁面的相互作用力1.动量方程控制体内流体经dt时间，由-运动到-，元流经dt时间，由1-2运动到1-2元流动量方程：Fd112211112222111222udAuudAuudQudQ总流动量方程：11112222udAuudAuFd111122221111122222vQvQvAvvAvFAvdAu22动量修正系数层流=1.33，紊流=1.05-1.021不可压缩流体：211122vvQF分量式：xxxvvQF1122yyyvvQF

13、1122zzzvvQF1122适用范围：恒定流、不可压缩流体2.例：一水平放置的弯管，管内流体密度，流量Q，进出口管径为d1、d2，d1处压强为p1，弯管旋转角，不计流动损失，求弯管所受流体作用力解：a.取1-1、2-2断面间内的流体为控制体b.画控制体的受力图：c.连续性方程：d.能量方程（z1=z2=0）：gvgpgvgp22222211 p1A1、p2A2、FFx，Fyv1A1=v2A2v1v2p1p21122FxFyFf.解出Fx、Fyg.由牛顿第三定律，弯管受力F与F大小相等，方向相反e.动量方程:x0sinsin:222vQFApyy22yxFFFxyFFtgv1v2p1p2112

14、2FxFyF122211coscosvvQFApApx注意：1.如考虑水头损失，只要在能量方程中考虑；2.动量方程是矢量式，分量式中要考虑符号的正负；3.牛顿第三定律例：水从喷嘴喷出流入大气，已知D、d、v2，求螺栓组受力解：（a）取1-1、2-2断面间的水为控制体（b）受力图p1A1，F注意：（1）p2=0；（2）螺栓是作用在管壁上，不是作用在控制体内，千万不可画！dDv2v1p1F1122（d）能量方程（e）动量方程（f）解出F（g）由牛顿第三定律，螺栓组受力F与F大小相等、方向相反1211vvQFAp（c）连续性方程dDv2v1p1F1122例：来自喷嘴的射流垂直射向挡板，射流速度v0，

15、流量Q，密度，求挡板受射流作用力解：a.控制体b.受力图：F注意：p1=p2=0c.动量方程（水平方向）：00vQFd.牛顿第三定律Q、v0F222211讨论：1.如果射流在斜置光滑挡板，求挡板受力和Q1、Q2a.F挡板b.列挡板法线方向的动量方程：c.能量方程：sinsin000QvvQFgvgv222120gvgv222220021vvvQ、v0Q2、v2Q1、v1F牛顿第三定律Q、v0d.连续性方程：e.列挡板方向的动量方程：由c、d和e解出Q1、Q2022110QvvQvQQ1+Q2=QQ2、v2Q1、v1F2.如果射流在水平位置的小车，小车以速度v运动，求小车受力F及当小车v为何值时，可由射流获得最大功率注意：控制体入流速度为相对速度vr=v0-v，流量为相对流量Qr=vrA=(v0-v)AV0AFvb.功率：vvvAFvN20c.0dvdN解01vv （舍）0231vv 300200max2743131AvvvvANa.动量方程：rrvQF020vvAF牛顿第三定律V0,AFv动 量 矩 定 理解决流体旋转与固体壁面的相互作用力1.动量矩定理动量定理：动量矩定理：12vQvQF1122rvQrvQMrv22.例：从洒水器的下方注入高压水流，上行至旋转管处分为两股，各旋转臂经喷嘴切向喷出，水流Q=1000mL/s，每个喷嘴出口面积都为A2=30mm2，旋转臂长r2=