第8章数字逻辑基础(修改1)

1、 将产生、存储、变换、处理、传送数字信号的电子电路将产生、存储、变换、处理、传送数字信号的电子电路叫做叫做数字电路数字电路。与模拟电路相比，数字电路主要具有以下优点：与模拟电路相比，数字电路主要具有以下优点： 电路结构简单，制造容易，便于集成和系列化生产，电路结构简单，制造容易，便于集成和系列化生产，成本低，使用方便。成本低，使用方便。 数字电路不仅能够进行算术运算，而且能够进行逻数字电路不仅能够进行算术运算，而且能够进行逻辑运算，具有逻辑推理和逻辑判断的能力，因此被称辑运算，具有逻辑推理和逻辑判断的能力，因此被称为数字逻辑电路或逻辑电路。为数字逻辑电路或逻辑电路。 由数字电路构成的数字系统，

2、抗干扰能力强，可靠由数字电路构成的数字系统，抗干扰能力强，可靠性高，精确性和稳定性好，便于使用、维护和故障诊性高，精确性和稳定性好，便于使用、维护和故障诊断。断。 本篇以逻辑代数为基础，在简要介绍集成门电路的基础本篇以逻辑代数为基础，在简要介绍集成门电路的基础上，重点介绍组合逻辑电路、时序逻辑电路的功能特点、分上，重点介绍组合逻辑电路、时序逻辑电路的功能特点、分析与设计方法以及典型的应用。主要有析与设计方法以及典型的应用。主要有 ： 数字逻辑基础数字逻辑基础 组合逻辑电路组合逻辑电路 触发器和时序逻辑电路触发器和时序逻辑电路 本节以自学为主。学习要点如下本节以自学为主。学习要点如下 ： 一种进

3、位计数制的一种进位计数制的基数基数和和权值权值的概念的概念 二进制、八进制、十六进制、十进制之间的相互转换二进制、八进制、十六进制、十进制之间的相互转换 常用十进制编码的表示方法（常用十进制编码的表示方法（84218421、余三码）、余三码） 常用可靠性编码的表示方法（循环码、奇偶校验码）常用可靠性编码的表示方法（循环码、奇偶校验码） 字符编码字符编码ASCIIASCII码码 6666102 6101 6100如如 十进制中采用了十进制中采用了0、1、9共十个基本数字符号，进共十个基本数字符号，进位规律是位规律是“逢十进一逢十进一”。当用若干个数字符号并在一起表示当用若干个数字符号并在一起表示

4、一个数时，处在不同位置的数字符号，其值的含义不同。一个数时，处在不同位置的数字符号，其值的含义不同。 一种进位计数制包含着一种进位计数制包含着基数基数和和权值权值两个基本的因素：两个基本的因素： 基数基数:一种数制中允许使用的数字符号个数。在基数为一种数制中允许使用的数字符号个数。在基数为R计数制中，包含计数制中，包含0、1、R-1共共R个数字符号，进位规律是个数字符号，进位规律是“逢逢R进一进一”。称为。称为R进制。进制。 权值权值:某个数位上数字符号为某个数位上数字符号为1时所表征的数值。不同数时所表征的数值。不同数位有不同的权值，某一个数位的数值等于这一位的数字符号位有不同的权值，某一个

5、数位的数值等于这一位的数字符号乘上与该位对应的位权。乘上与该位对应的位权。R进制数的权值是进制数的权值是R的整数次幂，可的整数次幂，可表示成表示成Ri的形式的形式 。 例如，十进制数的位权是例如，十进制数的位权是10的整数次幂，其个位的的整数次幂，其个位的位权是位权是100，十位的位权是，十位的位权是101 。 一个一个R进制数进制数N可以有两种表示方法：可以有两种表示方法： (1) 并列表示法并列表示法(又称位置计数法又称位置计数法) (N)R = ( an-1an-2a1a0 . a-1a-2a-m )R (2) 多项式表示法多项式表示法(又称按权展开法又称按权展开法)(N)R = an-

6、1Rn-1 + an-2Rn-2 +a1R1 + a0R0 + a-1R-1 + a-2R-2+ + a-mR-m 1nmiiiRK 其中：其中：R 基数基数 ; n整数部分的位数；整数部分的位数； m 小数部分的位数；小数部分的位数； ai R进制中的一个数字符号，其取值范围进制中的一个数字符号，其取值范围 为为 0 ai R-1 (-min-1)。 (3) 权值是权值是R的整数次幂，第的整数次幂，第i位的权为位的权为Ri (-min-1)。 R进制的特点可归纳如下：进制的特点可归纳如下： (1) 有有0、1、R-1共共R个数字符号个数字符号; (2) “逢逢R进一进一”; 因为二进制中只有

7、因为二进制中只有0 0和和1 1两个数字符号，可以用电子器件两个数字符号，可以用电子器件的两种不同状态来表示一位二进制数。例如，可以用晶体管的两种不同状态来表示一位二进制数。例如，可以用晶体管的截止和导通表示的截止和导通表示1 1和和0 0，或者用电平的高和低表示，或者用电平的高和低表示1 1和和0 0等。等。所以，所以，在数字系统中普遍采用二进制。在数字系统中普遍采用二进制。 二进制的优点二进制的优点: : 运算简单、物理实现容易、存储和传送运算简单、物理实现容易、存储和传送方便、可靠。方便、可靠。 二进制的缺点：二进制的缺点：数的位数太长且字符单调，使得书写、数的位数太长且字符单调，使得书

8、写、记忆和阅读不方便。记忆和阅读不方便。 因此，人们在进行指令书写、程序输入和输出等工作因此，人们在进行指令书写、程序输入和输出等工作时，时，通常采用八进制数和十六进制数作为二进制数的缩写。通常采用八进制数和十六进制数作为二进制数的缩写。几种数制对照表见表几种数制对照表见表8.12. 不同数制间的转换不同数制间的转换 （ 1）二进制数转换为十进制数二进制数转换为十进制数 将二进制数表示成按权展开式，并按十进制运算法则将二进制数表示成按权展开式，并按十进制运算法则进行计算，所得结果即为该数对应的十进制数。进行计算，所得结果即为该数对应的十进制数。 例如，例如，（1101.1011101.101）

9、2 2 = =（？）（？）1010 (1101.101) (1101.101)2 2=1=12 23 3+1+12 22 2+1+12 21 1+1+12 2-1-1+1+12 2-3-3 = 8+4+1+0.5+0.125 = 8+4+1+0.5+0.125 = (13.625) = (13.625)1010 数制转换是指将一个数从一种进位制转换成另一种进位数制转换是指将一个数从一种进位制转换成另一种进位制。从实际应用出发，要求掌握二进制数与十进制数、八进制。从实际应用出发，要求掌握二进制数与十进制数、八进制数和十六进制数之间的相互转换。制数和十六进制数之间的相互转换。 十进制数转换成二进制

10、数时，应对整数和小数分别进十进制数转换成二进制数时，应对整数和小数分别进行处理。行处理。 整数转换整数转换采用采用“除除2 2取余取余”的方法的方法； 小数转换小数转换采用采用“乘乘2 2取整取整”的方法。的方法。 整数转换整数转换 “除除2 2取余取余”法法：将十进制整数将十进制整数N N除以除以2 2，取余数计为，取余数计为a a0 0 ；再将所得商除以再将所得商除以2 2，取余数记为，取余数记为a a1 1；。依此类推，直至。依此类推，直至商为商为0 0，取余数计为，取余数计为a an-1n-1为止。即可得到与为止。即可得到与N N对应的对应的n n位二进位二进制整数制整数a an-1n

11、-1a a1 1a a0 0。 （2）十进制数转换为二进制数）十进制数转换为二进制数 例如，例如，（57）10 =（？）（？）22 82 8 0 0 （a a2 2） 1 1 （a a3 3） 1 1 （a a4 4） 1 1 （a a5 5） 2 5 72 5 7即即 (57)10=(111001)2 取余数取余数低位低位 1 1 （a a0 0）2 21 41 4 0 0 （a a1 1）2 22 27 7高位高位3 32 21 12 20 0 例如例如，（0.725）10 =（？）（？）2 小数转换小数转换 “乘乘2 2取整取整”法法：将十进制小数将十进制小数 N 乘以乘以2，取积的整数

12、记，取积的整数记为为a1；再将积的小数乘以；再将积的小数乘以2，取整数记为，取整数记为a2；。依此类。依此类推，直至其小数为推，直至其小数为0或达到规定精度要求，取整数记作或达到规定精度要求，取整数记作am为为止。即可得到与止。即可得到与 N 对应的对应的m位二进制小数位二进制小数0.a-1a-2a-m。 即即: : (0.725)10 (0.101110)2a-1=1a-2=0a-3=1a-4=1a-5=1a-6=00.7252=1.450.92=1.80.82=1.60.62=1.20.452=0.90.22=0.4取整数取整数(3) (3) 二进制数与八进制数之间的转换二进制数与八进制数

13、之间的转换 二进制数转换成八进制数：二进制数转换成八进制数：以小数点为界，分别往高、以小数点为界，分别往高、往低每往低每3位为一组，最后不足位为一组，最后不足3位时用位时用0补充，然后写出每组补充，然后写出每组对应的八进制字符，即为相应八进制数。对应的八进制字符，即为相应八进制数。 例如例如，（10111101.00111 ）2 = （？）（？）8 即即 ( (10111101.00111)2=(275.16) )8 010 111 101.001 1106275 . 1 即即： ( (451. 36 ) )8 = (= (100 101 001.011 110)2 例如，例如，（451. 3

14、6 ）8 = = （？）（？）2 八进制数转换成二进制数时，只需将每位八进制数用八进制数转换成二进制数时，只需将每位八进制数用3 3位位二进制数表示二进制数表示, ,小数点位置保持不变小数点位置保持不变。 1104 5 1. 3 6.001101100011 (4) (4) 二进制数与十六进制数之间的转换二进制数与十六进制数之间的转换 二进制数转换成十六进制数：二进制数转换成十六进制数：以小数点为界，分别往以小数点为界，分别往高、往低每高、往低每4位为一组，最后不足位为一组，最后不足4位时用位时用0补充，然后写出补充，然后写出每组对应的十六进制字符即可。每组对应的十六进制字符即可。 例如，例如

15、，（ 001010111101.00011000 ）2 = （？）（？）16 即即: (001010111101.00011000)2 = (2BD.38) 0010 1011 1101.0001 1000.DB238 十六进制数转换成二进制数时，只需将每位十六进制十六进制数转换成二进制数时，只需将每位十六进制数用数用4 4位二进制数表示位二进制数表示，小数点位置保持不变，小数点位置保持不变。 例如，例如，（4AF.E2 ）16 = （？）（？）2 即即： (4AF.E2 )=(1011010.1011)2 4 A F . E 2. 111110100100111000108.1.2 8.1.

16、2 编码编码1. 十进制数的编码表示十进制数的编码表示 在数字电路中，具有两种状态的电子元件只能表示在数字电路中，具有两种状态的电子元件只能表示0和和1两种数码，这就要求在以数字电路为基础的计算机中处理的两种数码，这就要求在以数字电路为基础的计算机中处理的文字、数字、图形、声音等信息都要用一组二进制代码来表文字、数字、图形、声音等信息都要用一组二进制代码来表示。用示。用n位二进制数组成位二进制数组成2n个不同的代码，可用来表示个不同的代码，可用来表示2n个个不同的数据或信息。不同的数据或信息。将一组二进制代码按某种规律排列起来将一组二进制代码按某种规律排列起来表示给定信息的过程称为编码。表示给

17、定信息的过程称为编码。 1. 十进制数的编码表示十进制数的编码表示 为了避免输入、输出时二进制数和十进制数之间进行的为了避免输入、输出时二进制数和十进制数之间进行的复杂转换，可以采用一种用二进制数表示十进制数的编码方复杂转换，可以采用一种用二进制数表示十进制数的编码方法，即法，即用用4位二进制代码对十进制数字符号进行编码，简称位二进制代码对十进制数字符号进行编码，简称为二为二十进制代码，或称十进制代码，或称BCD(Binary Coded Decimal)码。码。 BCD码既有二进制的形式，又有十进制的特点。十进制码既有二进制的形式，又有十进制的特点。十进制数编码的方法有多种，常用的数编码的方

18、法有多种，常用的BCD码有码有8421码和余码和余3码码。 （1 1）84218421码码 84218421码码：是用是用4 4位二进制位二进制码码表示表示一位十进制字符的一位十进制字符的一种有一种有权码，权码，4 4位二进制码从高位至低位的权依次为位二进制码从高位至低位的权依次为2 23 3、2 22 2、2 21 1、2 20 0，即为即为8 8、4 4、2 2、1,1,故称为故称为84218421码。码。 按按84218421码编码的码编码的0 09 9与与用用4 4位二进制数表示的位二进制数表示的0 09 9完全一完全一样。所以，样。所以，84218421码是一种人机联系时广泛使用的中

19、间形式码是一种人机联系时广泛使用的中间形式。 (1) 8421(1) 8421码中不允许出现码中不允许出现1010101011111111六六种组合种组合( (因为没因为没有十进制数字符号与其对应有十进制数字符号与其对应) )。 (2) (2) 84218421码编码简单、直观、表示容易，十进制数的码编码简单、直观、表示容易，十进制数的84218421码与相应码与相应ASCIIASCII码的低四位相同，这一特点有利于简化码的低四位相同，这一特点有利于简化输入输出过程中输入输出过程中BCDBCD码与字符代码的转换。码与字符代码的转换。 注意：注意： 8421 8421码与十进制数之间的转换是按位

20、进行的，即十进码与十进制数之间的转换是按位进行的，即十进制数的每一位与制数的每一位与4 4位二进制编码对应。例如，位二进制编码对应。例如， 84218421码与十进制数之间的转换码与十进制数之间的转换 (1987.35)10 = (0001 1001 1000 0111.0011 0101 )8421码码 (0001 0010 0000 1000)8421码码 = (1208)10 例如，例如， (28(28）10 10 = =（1110011100）2 2 = =（0010100000101000）84218421 注意：注意：84218421码与二进制的区别码与二进制的区别（2 2）余）余

21、3 3码码 余余3码：码：是由是由8421码加上码加上0011形成的一种无权码，由于它的形成的一种无权码，由于它的每个字符编码比相应每个字符编码比相应8421码多码多3，故称为余，故称为余3码。码。 例如，十进制字符例如，十进制字符5的余的余3码等于码等于5的的8421码码0101加上加上0011，即为即为1000。 2.2.余余3 3码的表示不像码的表示不像84218421码那样直观，各位也没有固定的码那样直观，各位也没有固定的权。但余权。但余3 3码是一种对码是一种对9 9的自补码。的自补码。 注意注意: 1. 余余3码中不允许出现码中不允许出现0000、0001、0010、1101、11

22、10和和1111六种状态。六种状态。 3. 3.两个余两个余3 3码表示的十进制数进行加法运算时，能正确产码表示的十进制数进行加法运算时，能正确产生进位信号，对和的修正方法是：如果对应位的和小于生进位信号，对和的修正方法是：如果对应位的和小于1010，结，结果减果减3 3校正，如果对应位的和大于校正，如果对应位的和大于9 9，可以加上，可以加上3 3校正，最后结校正，最后结果仍是正确的余果仍是正确的余3 3码。码。 余余3 3码与十进制数码与十进制数进行进行转换转换也是按位进行也是按位进行。例如，。例如， (256)(256)10 10 = (0101 1000 1001)= (0101 10

23、00 1001)余余3 3码码 (1000 1001 1011 1010)(1000 1001 1011 1010)余余3 3码码 = (5687)= (5687)1010 十进制数字符号十进制数字符号09与与8421码和余码和余3码的对应关系如下表码的对应关系如下表 0 0000 0011 0 0000 0011 1 0001 0100 1 0001 0100 2 0010 0101 2 0010 0101 3 0011 0110 3 0011 0110 4 0100 0111 4 0100 0111 5 0101 1000 5 0101 1000 6 0110 1001 6 0110 10

24、01 7 0111 1010 7 0111 1010 8 1000 1011 8 1000 1011 9 1001 1100 9 1001 1100 十进制数十进制数 84218421码码 余余3 3码码十进制数和十进制数和8421码、余码、余3码之间的对应关系码之间的对应关系 2. 可靠性编码可靠性编码 作用作用: 提高系统的可靠性。提高系统的可靠性。 为了减少或者发现代码在形成和传送过程中都可能发生为了减少或者发现代码在形成和传送过程中都可能发生的错误。形成了各种编码方法。下面，介绍两种常用的可靠的错误。形成了各种编码方法。下面，介绍两种常用的可靠性编码。性编码。 （1) 1) 循环码也叫

25、循环码也叫格雷格雷(Gray)(Gray)码码 特点：特点：任意两个相邻的数，其循环码仅有一位不同。任意两个相邻的数，其循环码仅有一位不同。 作用：作用：避免代码形成或者变换过程中产生的错误。避免代码形成或者变换过程中产生的错误。表表8.3 8.3 四位循环码四位循环码十进制数二进制数循环码十进制数二进制数循环码00000000081000110010001000191001110120010001110101011113001100101110111110401000110121100101050101011113110110116011001011411101001701110100151

26、1111000 特点：特点： 任意两个相邻的编码仅有一位不同，而且存在一个任意两个相邻的编码仅有一位不同，而且存在一个对称轴（在对称轴（在7和和8之间），对称轴上边和下边的编码，除最高位之间），对称轴上边和下边的编码，除最高位是互补外，其余各个数位都是以对称轴为中线镜像对称的。是互补外，其余各个数位都是以对称轴为中线镜像对称的。 （2 2） 奇偶检验码奇偶检验码 奇偶检验码是一种用来检验代码在传送过程中是否产生奇偶检验码是一种用来检验代码在传送过程中是否产生错误的代码。错误的代码。 b b编码方式：编码方式：有两种编码方式有两种编码方式. . 奇检验奇检验: :使信息位和检验位中使信息位和检验

27、位中“1 1”的个数共计为奇数；的个数共计为奇数； 偶检验偶检验: :使信息位和检验位中使信息位和检验位中“1 1”的个数共计为偶数。的个数共计为偶数。 信息位 (7位) 采用奇检验的检验位 (1位) 采用偶检验的检验位 (1位) 1001100 0 1 a a组成：组成： 信息位信息位位数不限的一组二进制代码位数不限的一组二进制代码 两部分组成两部分组成 奇偶检验位奇偶检验位仅有一位。仅有一位。 例如例如, , c c特点特点 (1) (1) 编码简单、容易实现编码简单、容易实现 ； (2) (2) 奇偶检验码只有检错能力，没有纠错能力奇偶检验码只有检错能力，没有纠错能力 ； (3) (3)

28、 只能发现单错，不能发现双错只能发现单错，不能发现双错 。 3. ASCII码码 数字系统中处理的数据除了数字之外，还有字母、运算数字系统中处理的数据除了数字之外，还有字母、运算符号、标点符号以及其他特殊符号符号、标点符号以及其他特殊符号, ,人们将这些符号统称为字人们将这些符号统称为字符。所有字符在数字系统中必须用二进制编码表示，通常将符。所有字符在数字系统中必须用二进制编码表示，通常将其称为其称为字符编码。字符编码。 最常用的字符编码是美国信息交换标准码，简称最常用的字符编码是美国信息交换标准码，简称ASCII码码(American Standard Code for Informatio

29、n Interchange)。是是当前计算机中使用最广泛的一种字符编码，主要用来为英文当前计算机中使用最广泛的一种字符编码，主要用来为英文字符编码。字符编码。 表表8.5给出了标准的给出了标准的7位位ASCII码字符表。从表中可看出码字符表。从表中可看出ASCII码分为两类。一类是码分为两类。一类是字符编码字符编码，这类编码代表的字符，这类编码代表的字符可以显示打印。另一类编码是可以显示打印。另一类编码是控制字符编码控制字符编码，每个都有特定，每个都有特定的含义，起控制功能。的含义，起控制功能。 逻辑代数是数字系统逻辑设计的理论基础和重要数学工逻辑代数是数字系统逻辑设计的理论基础和重要数学工具

30、！具！ 和普通代数一样，逻辑代数中也有变量和常量。和普通代数一样，逻辑代数中也有变量和常量。与普通与普通代数不同代数不同，逻辑代数中的变量只有逻辑代数中的变量只有0和和1两个取值。它们分别两个取值。它们分别表示完全对立的两个逻辑状态。表示完全对立的两个逻辑状态。8.2.1 8.2.1 基本逻辑运算基本逻辑运算 设：开关闭合设：开关闭合= =“1 1” 开关不闭合开关不闭合= =“0 0” 灯亮，灯亮，F=1F=1 灯不亮，灯不亮，F=0F=0 与逻辑与逻辑只有当决定一件事情的条只有当决定一件事情的条件全部具备之后，这件事情才会发生。件全部具备之后，这件事情才会发生。1 1与运算与运算BAF与逻

31、辑表达式：与逻辑表达式：AB灯灯F不闭合不闭合不闭合不闭合闭合闭合闭合闭合不闭合不闭合闭合闭合不闭合不闭合闭合闭合不亮不亮不亮不亮不亮不亮亮亮0101BFA0011输输 入入0001输出输出 与逻辑真值表与逻辑真值表BAF或者写为：或者写为：EFAB有有 0 出出 0；全；全 1 出出 1 2 2或运算或运算或逻辑表达式：或逻辑表达式： FA+B 或逻辑或逻辑当决定一件事情的几个条件中，只要有一个当决定一件事情的几个条件中，只要有一个或一个以上条件具备，这件事情就发生。或一个以上条件具备，这件事情就发生。AB灯灯F不闭合不闭合不闭合不闭合闭合闭合闭合闭合不闭合不闭合闭合闭合不闭合不闭合闭合闭合

32、不亮不亮亮亮亮亮亮亮0101BFA0011输输 入入0111输出输出 或逻辑真值表或逻辑真值表BAF或者写为：或者写为： 1ABFAEFB有有 1 出出 1全全 0 出出 0 3 3非运算非运算 非逻辑非逻辑某事情发生与否，仅取决于一个条件，而某事情发生与否，仅取决于一个条件，而且是对该条件的否定。即条件具备时事情不发生；条且是对该条件的否定。即条件具备时事情不发生；条件不具备时事情才发生。件不具备时事情才发生。A灯灯F闭合闭合不闭合不闭合不亮不亮亮亮FA0110非逻辑真值表非逻辑真值表非逻辑表达式：非逻辑表达式： AF AF1AEFR入入 0 出出 1入入 1 出出 0 三种基本三种基本 逻

33、辑符号对照逻辑符号对照 由基本逻辑运算组合而成由基本逻辑运算组合而成 8.2.2 8.2.2 复合逻辑复合逻辑 与非与非逻辑逻辑先与后非先与后非有有 0 出出 1全全 1 出出 010 001 1FA B10 111 0BAF&ABF01 1或非逻辑或非逻辑 先或后非先或后非有有 1 出出 0全全 0 出出 110 0YA B00 101 0 1ABFBAF与或非逻辑与或非逻辑 先与后或再非先与后或再非 1ABCFD&CDABF注意注意：异或和同或互为反函数，即：异或和同或互为反函数，即异或逻辑异或逻辑相异出相异出 1相同出相同出 0=1ABFBABABAF同或逻辑同或逻辑相同出相同出 1相异

34、出相异出 0=1ABFBABAABF8.2.3 8.2.3 正逻辑和负逻辑正逻辑和负逻辑在设计逻辑电路时，通常规定在设计逻辑电路时，通常规定高电平代表高电平代表1，低电平代表低电平代表0，是，是正逻辑正逻辑。如果规定。如果规定高电平代表高电平代表0，低电平代表低电平代表1，则称为，则称为负逻辑负逻辑。 在正逻辑的情况下，在正逻辑的情况下，FAB, 在负逻辑的在负逻辑的情况下，情况下，FAB。 表表8.10 8.10 正逻辑与和负逻辑或关系表正逻辑与和负逻辑或关系表ABF电平电平正逻辑正逻辑负逻辑负逻辑电平电平正逻辑正逻辑负逻辑负逻辑电平电平正逻辑正逻辑负逻辑负逻辑低低01低低01低低01低低0

35、1高高10低低01高高10低低01低低01高高10高高10高高10 依据逻辑与、逻辑或、逻辑非这三种最基本的逻辑运算依据逻辑与、逻辑或、逻辑非这三种最基本的逻辑运算规则，可得出在逻辑运算中使用的规则，可得出在逻辑运算中使用的基本公式基本公式和三个重要的和三个重要的运运算规则算规则。8.3.1 逻辑代数的基本公式逻辑代数的基本公式 逻辑常量运算公式逻辑常量运算公式 0 0 = 00 1 = 01 0 = 01 1 = 10 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 11 + 1 = 1逻辑变量与常量的运算公式逻辑变量与常量的运算公式 0 1 律律重迭律重迭律 互补律互补律 还原律还原律 0

36、 + A = A1 + A = 1 1 A = A0 A = 0A + A = A A A = A 交换律交换律 A + B = B + A A B = B A结合律结合律 (A + B) + C = A + (B + C) (A B) C = A (B C)分配律分配律 A (B + C) = AB + AC A + BC = (A + B) (A + C) 普通代数没有！普通代数没有！ 与普通代数相似的定律与普通代数相似的定律 摩根定律摩根定律 ( (又称反演律又称反演律) ) 证明方法：真值表证明方法：真值表原变量的吸收：原变量的吸收：A+AB=A吸收是指吸收多余（吸收是指吸收多余（冗余

37、冗余）项，多余（）项，多余（冗余冗余）因）因子被取消、去掉子被取消、去掉 被消化了。被消化了。长中含短，留长中含短，留下短下短吸收律吸收律反变量的吸收：反变量的吸收：BABAA长中含反，去长中含反，去掉反掉反.混合变量的吸收：混合变量的吸收：CAABBCCAAB 正负相对，正负相对， “积积”多余多余8.3.2 8.3.2 重要规则重要规则 逻辑代数有三个重要的运算规则，它们在逻辑函数的化逻辑代数有三个重要的运算规则，它们在逻辑函数的化简和变换中是十分有用的。简和变换中是十分有用的。 例例8.3 已知等式已知等式A(B+C)=AB+AC,可证明逻辑函数可证明逻辑函数FDE代替等式中的变量代替等

38、式中的变量B 后，等式仍然成立。后，等式仍然成立。将逻辑等式中的一个逻辑变量用一个逻辑函数代替，则逻将逻辑等式中的一个逻辑变量用一个逻辑函数代替，则逻辑等式仍然成立。这个规则称为代入规则。辑等式仍然成立。这个规则称为代入规则。 1 1、代入规则代入规则 用处：用处：扩大定理的应用范围扩大定理的应用范围2 2、反演规则、反演规则 D)C()B(AF例如，已知函数，根据反演规则可得到例如，已知函数，根据反演规则可得到 DCBAF将函数式将函数式 F 中所有的中所有的 + 变量变量及及常数常数均取均取反反得新表达式就是得新表达式就是原函数的反函数原函数的反函数表示为：表示为：F注意注意1.运算顺序：

39、先括号运算顺序：先括号 再乘法再乘法 后加法后加法2.多个变量上的反号先不动多个变量上的反号先不动用处：用处：实现互补运算（求反运算）实现互补运算（求反运算）变换时，原函数运算的先后顺序不变变换时，原函数运算的先后顺序不变 例例8.5 已知函数，根据反演规则已知函数，根据反演规则得到的反函数应该是得到的反函数应该是 而不应该是而不应该是 错误！错误！)E(DCBAFEDCBAFE)DC(BAF 的反函数。的反函数。DCCABF例例8.6 求逻辑函数求逻辑函数)()(DCCBA F解：根据反演规则有：解：根据反演规则有：3 3、对偶规则、对偶规则将函数式将函数式 F 中所有的中所有的 + 常数取

40、反常数取反得新表达式就是原函数的得新表达式就是原函数的对偶表达式对偶表达式表示为：表示为：F)()()(CACBBABAF例：例：求对偶表达式求对偶表达式CABCBABAFEDC BAF )( 例例8.8 求逻辑函数求逻辑函数 的对偶式的对偶式 )()( ECDBAF解：根据对偶规则有：解：根据对偶规则有：CBAF解：根据对偶规则有：解：根据对偶规则有：CBA F例例8.7 求逻辑函数求逻辑函数 的对偶式的对偶式 例例8.7 求逻辑函数求逻辑函数 的对偶式的对偶式 注意注意变换时，原函数运算的先后顺序不变变换时，原函数运算的先后顺序不变1.运算顺序：先括号运算顺序：先括号 再乘法再乘法 后加法

41、后加法2.多个变量上的反号先不动多个变量上的反号先不动用处：用处：减少需证明的公式。减少需证明的公式。3.如果两个逻辑表达式如果两个逻辑表达式 F=G，则它们的对偶表达式也相，则它们的对偶表达式也相 等，即等，即 F = G 逻辑函数表达式和逻辑电路是一一对应的，表达式越逻辑函数表达式和逻辑电路是一一对应的，表达式越简单，用逻辑电路去实现也越简单。简单，用逻辑电路去实现也越简单。 一个逻辑函数可以有多种表达形式，而最基本的是与一个逻辑函数可以有多种表达形式，而最基本的是与或表达式。如果有了最简与或表达式，通过逻辑代数的基或表达式。如果有了最简与或表达式，通过逻辑代数的基本公式进行变换，就可以得

42、到其他形式的最简表达式。因本公式进行变换，就可以得到其他形式的最简表达式。因此，本节将重点放在此，本节将重点放在“与与- -或或”表达式的化简上。表达式的化简上。 逻辑函数的化简方法有多种，最常用的方法是逻辑函数的化简方法有多种，最常用的方法是逻辑代数逻辑代数化简法化简法和和卡诺图化简法卡诺图化简法。 为了降低系统成本、减小复杂度、提高可靠性，必须对为了降低系统成本、减小复杂度、提高可靠性，必须对逻辑函数进行化简。逻辑函数进行化简。 8.4.1 8.4.1 代数化简法代数化简法 代数化简法就是运用逻辑代数的基本公式和规则对逻辑代数化简法就是运用逻辑代数的基本公式和规则对逻辑函数进行化简的方法。

43、函数进行化简的方法。 在实际应用中常常化简为在实际应用中常常化简为 “与与-或或”表达式。表达式。最简最简“与与-或或”表达式应满足两个条件：表达式应满足两个条件： 1表达式中的表达式中的“与与”项个数最少；项个数最少； 2在满足上述条件的前提下，每个在满足上述条件的前提下，每个“与与”项中的变量项中的变量个数最少。个数最少。 满足上述两个条件可以使相应逻辑电路中所需门的数满足上述两个条件可以使相应逻辑电路中所需门的数量以及门的输入端个数均为最少，从而使电路最经济。量以及门的输入端个数均为最少，从而使电路最经济。 特点：特点： 不受逻辑变量个数的限制，但要求能熟练掌握逻辑代数不受逻辑变量个数的

44、限制，但要求能熟练掌握逻辑代数的公式和规则，具有较强的化简技巧。的公式和规则，具有较强的化简技巧。 几种常用方法如下：几种常用方法如下： 1并项法并项法 2吸收法吸收法 利用公式利用公式A + AB = A ，吸收多余的与项。例如，吸收多余的与项。例如， BACBABABACBABCA利用公式，将两个利用公式，将两个“与与”项合并成一项合并成一个个“与与”项，合并后消去一个变量。例如，项，合并后消去一个变量。例如， 1AADCDCABDCABF)ABAB(DC A EBDBCAEABDABCAAF)1 ( 3消去法消去法 利用公式消去多余变量。例如，利用公式消去多余变量。例如，BABAACAB

45、CABABCBAABCBCAAB4配项法配项法 利用公式利用公式A+A=1，先从函数式中适当选择某些，先从函数式中适当选择某些“与与”项，项，并配上其所缺的一个合适的变量，然后再利用并项、吸收和并配上其所缺的一个合适的变量，然后再利用并项、吸收和消去等方法进行化简。例如，消去等方法进行化简。例如，CBABCACBACBACBBACCBACBAACBBABACBCBBA CACBBA例例8.9 化简化简 CBADCBDDBCF解解 CBADCBDDBCF实际应用中遇到的逻辑函数往往比较复杂，化简时应实际应用中遇到的逻辑函数往往比较复杂，化简时应灵活使用所学的公理、定理及规则，综合运用各种方法。灵

46、活使用所学的公理、定理及规则，综合运用各种方法。 CBADCBDBC CBADBCDBC CBADDBC DB 例例8.10 化简化简 CBACBACBAF)()(解解 CBACBACBAF)()()()( CBACBACBA)( CBACCBA CBA 先去长非号先去长非号 再去长非号再去长非号 将将A+C看成一个变量，看成一个变量，再用乘法分配率展开再用乘法分配率展开)( CA用乘法分配率展开用乘法分配率展开归纳：归纳： 代数化简法的优点是：代数化简法的优点是：不受变量数目的约束；当对公理、不受变量数目的约束；当对公理、定理和规则十分熟练时，化简比较方便。定理和规则十分熟练时，化简比较方便

47、。 缺点是：缺点是：没有一定的规律和步骤，技巧性很强，而且在没有一定的规律和步骤，技巧性很强，而且在很多情况下难以判断化简结果是否最简。很多情况下难以判断化简结果是否最简。 8.4.2 8.4.2 卡诺图化简法卡诺图化简法卡诺图是逻辑函数的又一种表示方法，简称卡诺图是逻辑函数的又一种表示方法，简称K图。它是图。它是一种根据最小项之间的相邻关系画出的一种方格图，每个小一种根据最小项之间的相邻关系画出的一种方格图，每个小方格代表逻辑函数的一个最小项。由于卡诺图能形象地表达方格代表逻辑函数的一个最小项。由于卡诺图能形象地表达最小项之间的相邻关系，采用相邻项不断合并的方法就能对最小项之间的相邻关系，采

48、用相邻项不断合并的方法就能对逻辑函数进行化简。逻辑函数进行化简。 特点：特点： 简单、直观、有规律可循，当变量较少时，用来化简简单、直观、有规律可循，当变量较少时，用来化简逻辑函数是十分方便的。逻辑函数是十分方便的。 1 1、最小项和最小项表达式、最小项和最小项表达式 定义：定义：如果一个具有如果一个具有n个变量的函数的个变量的函数的“与项与项”包含全包含全部部n个变量，每个变量都以原变量或反变量形式出现，且仅个变量，每个变量都以原变量或反变量形式出现，且仅出现一次，则该出现一次，则该“与项与项”被称为被称为最小项。最小项。 （1）最小项）最小项 简写：简写：用用mi表示最小项。表示最小项。下

49、标下标i的取值规则是：的取值规则是：按照变量顺序将最小项中的原变按照变量顺序将最小项中的原变量用量用1表示，反变量用表示，反变量用0表示，由此得到一个二进制数，与表示，由此得到一个二进制数，与该二进制数对应的十进制数即下标该二进制数对应的十进制数即下标i的值。的值。 最小项的数目：最小项的数目：n个变量可以构成个变量可以构成2n个最小项。个最小项。 例如，例如，3个变量个变量A、B、C可以构成、可以构成、 A B C共共8个最小项。个最小项。 CBACBA例如例如 m44100CBABCA0113m3 仅有一组变量的取值能使某个最小项的取值为仅有一组变量的取值能使某个最小项的取值为1，其他，其

50、他 组变量的取值全部使该最小项的取值为组变量的取值全部使该最小项的取值为0 。三三变变量量最最小小项项表表1100000001 1 11010000001 1 01001000001 0 11000100001 0 01000010000 1 11000001000 1 01000000100 0 11000000010 0 0ABCm7m6m5m4m3m2m1m0A B C 120niimFCBACBACBABCACBACBACAB 任意两个不同最小项逻辑与恒任意两个不同最小项逻辑与恒 为为0 。 对于变量的同一组取值，全体最小项的和为对于变量的同一组取值，全体最小项的和为 1 。 对对n

51、n个变量的最小项，每个最小项有个变量的最小项，每个最小项有n n个个相邻项相邻项。 最小项的性质最小项的性质指除一个变量互为相反外，指除一个变量互为相反外，其余部分均相同的最小项。其余部分均相同的最小项。（2 2）最小项表达式）最小项表达式 由若干最小项相由若干最小项相“或或”构成的逻辑表达式称为最小项构成的逻辑表达式称为最小项表达式，也叫做标准表达式，也叫做标准“与与-或或”表达式。表达式。 例如，如下所示为一个例如，如下所示为一个3变量函数的标准变量函数的标准“与与-或或”表表达式达式 ABCCBACBACBACBAF ),(该函数表达式又可简写为该函数表达式又可简写为 )7520( ),

52、(7520, , , mmmmmCBAF 要写出一个逻辑函数的最小项表达式，最简单的方法是：要写出一个逻辑函数的最小项表达式，最简单的方法是：将真值表上使函数值为将真值表上使函数值为1的变量取值组合对应的变量取值组合对应的最小项相的最小项相“或或” 即可即可 。 函数函数F真值表真值表 解解:首先，列出首先，列出F的真值表如下表所示，然后，根据真的真值表如下表所示，然后，根据真值表可直接写出值表可直接写出F的最小项表达式的最小项表达式 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 A B C F 1 1 0 11 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 )7 , 6 ,

53、5 , 3(mF例例8.11 已知三变量逻辑函数已知三变量逻辑函数FABBCAC，写出，写出F的最小项表达式的最小项表达式 变量取变量取 0 的代以反变量的代以反变量 取取 1 的代以原变量的代以原变量AB二二变变量量卡卡诺诺图图010 10 00 1AB010 1m0m1m2m3 0 1 2 3四四变变量量卡卡诺诺图图 0 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 11 10三三变变量量卡卡诺诺图图0100 0111 10 m6 m7 m4 m2 m3000 m0 m5001 m1ABCD0001111000 01 11 10 以循环码排列以保证相邻性以循环码排列以保证相邻

54、性2、卡诺图的构成、卡诺图的构成 ABCDCDDCDCDCBABAABBAABCDCDBADCBADCBADCBADCBADBCABCDACDBADCBADCBADCBADCABDCABDABCDCBA相邻项相邻项在在几何位置几何位置上也相邻上也相邻卡诺图特点：卡诺图特点：循环相邻性循环相邻性同一列最同一列最上与最下上与最下方格相邻方格相邻同一行最同一行最左与最右左与最右方格相邻方格相邻3、卡诺图的特点、卡诺图的特点已知已知标准标准与与- 或或式画式画函数函数卡诺卡诺图图 试画出函数试画出函数 Y(A,B,C,D) = m (0,5,7,10,13,15) 的卡诺图的卡诺图解：解： ( (1)

55、 ) 画出四变量卡诺图画出四变量卡诺图( (2) ) 填图填图 逻辑式中的最逻辑式中的最小项小项 m0、m1、m12、m13、m15对对应的方格填应的方格填 1，其，其余不填或填余不填或填 0 。ABCD0001111000 01 11 10 0 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 11 10 1 11 1 1 14、卡诺图表示逻辑函数、卡诺图表示逻辑函数已已知知一一般般表表达达式式画画函函数数卡卡诺诺图图解：解：( (1) ) 作四变量卡诺图作四变量卡诺图找出各与项所对应的最小找出各与项所对应的最小项方格填项方格填 1，其余不填。，其余不填。ABCD000111100

56、0 01 11 10( (3) ) 根据与根据与 - 或式填图或式填图 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 AB 对应最小项为对应最小项为同时满足同时满足 A = 1， B = 1 的方格。的方格。 例例 已知已知 ，试画出，试画出 F 的卡诺图。的卡诺图。DCBABDAFBCD 对应最小项为同时满足对应最小项为同时满足 B = 1，C = 0，D = 1的方格的方格AD 对应最小项为同时满足对应最小项为同时满足 A = 0，D = 1的方格。的方格。画包围圈规则画包围圈规则 包围圈必须包含包围圈必须包含 2n 个相邻个相邻 1 方格。先圈小再圈大，方格。先圈小再圈大，圈越大越是好；圈越大

57、越是好；1 方格可重复圈，但须每圈有新方格可重复圈，但须每圈有新 1；每；每个个“1”格须圈到，孤立项也不能掉。格须圈到，孤立项也不能掉。同一列最上边和最下边循环相邻，可画圈；同一列最上边和最下边循环相邻，可画圈； 同一行最左边和最右边循环相邻，可画圈；同一行最左边和最右边循环相邻，可画圈；四个角上的四个角上的 1 方格也循环相邻，可画圈。方格也循环相邻，可画圈。 注意注意 卡诺卡诺 图化图化 简法简法 步骤步骤 画函数卡诺图画函数卡诺图 将各圈分别化简将各圈分别化简 对填对填 1 的相邻最小项方格画包围圈的相邻最小项方格画包围圈 将各圈化简结果逻辑加将各圈化简结果逻辑加 5、用卡诺图化简逻辑

58、函数的过程用卡诺图化简逻辑函数的过程 m15 m9 m7 m6 m5 m4 m2 m0解：解：( (1) )画变量卡诺图画变量卡诺图 例例 用卡诺图化简逻辑用卡诺图化简逻辑函数函数 Y(A,B,C,D)=m (0,2,4,5,6,7,9,15)ABCD0001111000 01 11 10( (2) )填卡诺图填卡诺图 1 1 1 1 1 1 1 1( (3) )画包围圈画包围圈abcd( (4) )将各图分别化简将各图分别化简圈圈 2 个可消去个可消去 1 个变量，化个变量，化简为简为 3 个相同变量相与。个相同变量相与。Yb = BCD圈圈 4 个可消去个可消去 2 个变量，化个变量，化简

59、为简为 2 个相同变量相与。个相同变量相与。孤立项孤立项 Ya=ABCDYc = AB循环相邻循环相邻 Yd = AD( (5) )将各图化简结果逻辑加，得最简与将各图化简结果逻辑加，得最简与 - 或式或式DABABCDDCBAY 解解 用卡诺图化简给定函数的过程如下图所示。用卡诺图化简给定函数的过程如下图所示。例例8.12 用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数 6 , 5 , 4 , 1,mCBAF0111 1 100011110ABCACBC根据卡诺图可写出最简与或表达式：根据卡诺图可写出最简与或表达式： CBCAF 例例 已知函数真值表如下，试用卡诺图法求其最简与或式。已知函数真值表

60、如下，试用卡诺图法求其最简与或式。A B CY0 0 010 0 110 1 000 1 111 0 011 0 101 1 011 1 11注意：注意：该卡诺该卡诺图还有图还有其他画其他画圈法圈法可见，最简可见，最简结果未必唯一。结果未必唯一。解：解：( (1) )画函数卡诺图画函数卡诺图ABC0100 0111 10 1 1 1 1 1 1( (3) )化简化简( (2) )画圈画圈Y =CBCA AB BCCABAY 1 1 1 1 1 1ABC0100 0111 10 8.5.1 数字集成逻辑门电路的分数字集成逻辑门电路的分类类数字集成电路通常按照所用半导体器件的不同或者根据数字集成电