两个随机变量的函数的分布

1、1一般结论：一般结论：1.(, )0,ijijX Ypp 在在的的联联合合分分布布列列 中中，如如果果存存在在某某个个,.X Y则则一一定定不不独独立立2.(,)X Y若若的的联联合合密密度度函函数数为为( , ),( , );( , )0 ,( , ).h x yx yGf x yx yG ,X Y则则独独立立( , ).h x yG可可分分离离变变量量，且且 为为矩矩形形区区域域2011例例3 设（设（X,Y）的联合密度函数为）的联合密度函数为xyxyp x y8,01;( , )0 ,. 其其他他问问X、Y是否独立？是否独立？Xpx( ) x01; xxydy18 xx24 (1) ,0

2、 ,.其其他他yYxydxyypy3084,01;( )0 ,. 其其他他XYp x ypx pyXY( , )( )( ). 显显然然， 、 不不独独立立f x y( , )0. 注注：事事实实上上，的的区区域域不不是是矩矩形形yx 3例例设随机变量设随机变量),(YX的概率密度为的概率密度为, 00,),( 其其它它yxeyxfy(1)求求X与与Y的边缘概率密度的边缘概率密度, , 并判断并判断X与与Y是否相是否相互独立互独立; ;(2)求在求在yY 的条件下的条件下, ,X的条件概率密度的条件概率密度; ;(3)求概率求概率,12 YXP,1|2/10 YXP.4|2 YXP4解解（1）

3、,),()( dyyxfxfX, x当当0 x时时, , 0)( xfX,)(xxyXedyexf 当当0 x时时, ,yxO所以所以,0, 00,)( xxexfxX类似可类似可得得.0, 00,)( yyyeyfyY由于当由于当yx 0时时),()()(yxfyfxfYX 故故X与与Y不相互独立不相互独立. .5求在求在yY 的条件下的条件下, ,X的条件概率密度的条件概率密度; ;由由(1)知知, ,(2)当当0 y时时, , 0)( yfY所以所以, , 在在yY 的条件下的条件下, ,X的条件概率密度为的条件概率密度为)(),()|(|yfyxfyxfYYX ., 00,/1 其它其

4、它yxy6(3) 求概率求概率,12 YXP,1|2/10 YXP.4|2 YXP解解12 YXP 12),(yxdxdyyxf 21310 xxydyedx,3213121 eexyOyx yx 21121/31|2/10 YXP11, 2/10 YPYXP7 101210dyyedyedxyxy121121211 eee由于由于, 04 YP因此不能用前面的方法来求因此不能用前面的方法来求,4|2 YXP但由但由(2)知知, ,在在4 Y的条件下的条件下, ,X的条件概率密密度为的条件概率密密度为, 040, 4/1)4|(| 其其它它xxfYX故有故有dxxfYXPYX)4|(4|22|

5、 .214142 dx的的概概率率密密度度为为设设二二维维随随机机变变量量),(YX 2222212121212221)()(2)()1 ( 21exp121),(yyxxyxf, yx. 11, 0, 0,212121 且且都都是是常常数数其其中中例例记作记作).;,;,(),(222121 NYX9(2)求求)|(|yxfYX和和);|(|xyfXY(3)证明证明X与与Y相互独立的充要条件是相互独立的充要条件是. 0 .的的边边缘缘概概率率密密度度试试求求二二维维正正态态随随机机变变量量(1)解解,d),()(yyxfxfX 由于由于21212222)(2)(yxy ,)(21212211

6、22xxy 于是于是, y)x(fxy)()x(Xdee1211122221211212221 ,1111222 xyt令令则有则有,dee21)(22)(122121txftxX .,e21)(21212)(1 xxfxX即即同理可得同理可得二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,. 并且都不依赖于参数并且都不依赖于参数.,e21)(22222)(2 yyfxY12例例设设).;,;,(),(222121 NYX(2) 求求)|(|yxfYX和和);|(|xyfXY解解(2)(),()|(|yfyxfyxfYYX 2222222212121212

7、2)(2)()(2)()1(2122121121 yyyxxee132)()1(21212211221121 yxe2)1(212122112121 yxe故在故在yY 的条件下的条件下, ,服从正态分布服从正态分布X )1(),(2212211 yN14对称地对称地, , 在在xX 的条件下的条件下, ,Y服从正态分布服从正态分布 )1(),(2221122 xN（3）比较）比较);,;,(222121 N与与),(),(2222211 NN的密度函数的密度函数),(yxf与与),(),(yfxfYX易知易知: :0 ),()(),(yfxfyxfYX 即即, , 当且仅当当且仅当0 时时,

8、 ,X与与Y相互独立相互独立. .2.92.9两个随机变量的函数的分布两个随机变量的函数的分布一、离散型随机变量函数的分布一、离散型随机变量函数的分布 .)2(,)1(的的分分布布律律求求YXYX XY012 1 21312312112101211221220122的的分分布布律律为为设设随随机机变变量量),(YX例例1概率概率),(YX)2, 1( 121) 1, 1( 121) 0 , 1( 123 221,122 121,121)2, 3( 122)0 , 3(122XY012 1 21312312112101211221220122解解等价于等价于概率概率),(YX)2, 1( 121

9、) 1, 1( 121)0 , 1( 123 2,21122 1,21121)2, 3( 122)0 , 3(122YX 3 2 1 23 21 13YX 101252353YX P3 2 1 23 21 13121121123122121122122YX P01252353124121122121122122的分布律分别为的分布律分别为所以所以YXYX ,结论结论的的联联合合分分布布律律为为若若二二维维离离散散型型随随机机变变量量, 2 , 1, jipyYxXPijji的分布律为的分布律为则随机变量函数则随机变量函数),( YXfZ ),(kkzYXfPzZP ., 2 , 1),( kp

10、jikyxfzij例 2.的分布律的分布律机变量机变量，试求随，试求随分布，令分布，令的的与与参数为参数为相互独立，且分别服从相互独立，且分别服从与与设随机变量设随机变量ZYXZYX Poisson21 ，的的取取值值都都是是与与由由随随机机变变量量210YX，的取值也是的取值也是可知随机变量可知随机变量210YXZ nZPnYXP0,nkPXk ynk解解:所以所以 nkknYkXP0， nkknkeknek02121! nkknYPkXP0 nkknkknke021!121 nkknkknknne021!21 nkknkknCne021!21 nne21!21 21!,21 ennZPn即

11、即分分布布的的服服从从参参数数为为分分布布的的定定义义，知知由由PoissonPoisson21 YXZ，210n的分布函数为则的概率密度为设YXZyxpYX ),(),()(zZPzFZ yxyxpzyxdd),( xyOzyx yxyxpyzdd),( yux yuyyupzdd),( .dd),(uyyyupz 二、连续型随机变量函数的分布二、连续型随机变量函数的分布 1. Z=X+Y 的分布的分布由此可得概率密度函数为由此可得概率密度函数为.d),()( yyyzpzpZ.d),()(xxzxpzpZ 由于由于X 与与Y 对称对称, 当当 X, Y 独立时独立时,也也可可表表示示为为)

12、(zpZ,d)()()( yypyzpzpYXZ.d)()()(xxzpxpzpYXZ 或,21)(22 yeypyY 例例3 3 设两个独立的随机变量设两个独立的随机变量 X 与与Y 都服从标准正都服从标准正态分布态分布,求求 Z=X+Y 的概率密度的概率密度.,21)(22 xexpxX 由由于于解解.d)()()(xxzpxpzpYXZ 由公式由公式.)2 , 0(分分布布服服从从即即NZ2zxt teetzd21242 .2142ze xeezpxzxZd21)(2)(222 xeezxzd212242 得得说明说明).,(,).,(),(,222121222211NZYXZNYNXY

13、X 且且有有仍仍然然服服从从正正态态分分布布则则相相互互独独立立且且设设一一般般 有限个有限个相互独立相互独立的正态随机变量的线性组合的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布仍然服从正态分布. 例如，设例如，设X、Y独立，都具有正态分布，则独立，都具有正态分布，则 3X+4Y+1也具有正态分布也具有正态分布.为确定积分限为确定积分限,先找出使被积函数不为先找出使被积函数不为0的区域的区域 例例4 若若X和和Y 独立独立,具有共同的概率密度具有共同的概率密度求求Z=X+Y的概率密度的概率密度 . 其其它它,)(0101xxp dxxzpxpzpYXZ)()()(解解: 由卷积公式由卷积公式 10

14、10 xzx也即也即 zxzx110为确定积分限为确定积分限,先找出使被积函数不为先找出使被积函数不为0的区域的区域 其它其它,)(021210110zzZzzdxzzdxzp如图示如图示:1010 xzx也即也即zxzx110于是于是 dxxzpxpzpYXZ)()()(解法二解法二 从分布函数出发从分布函数出发)()(zYXPzFZzyxdxdyyxf),(x+y = z当当z 0 时，时，0)( zFZ1yx1 可用可用卷积公式直接求密度函数卷积公式直接求密度函数与与通过分布函通过分布函数求密度函数数求密度函数两种方法求和的分布两种方法求和的分布 zyxYdxdyyfxf)()(Xx+y

15、 = z当当0 z 1 时，时， xzzZdydxzF001)( zdxxz0)(22z zzfZ)(1yx1zzx+y = z当当1 z 2 时，时，xzzZdydxzzF0111) 1()(11)(1zdxxzz1222zzzzfZ 2)(z-11yx1zz1yx1x+y = z22当当2 z 时，时，1)(zFZ0)(zfZ21,210,20, 0)(zzzzzzzfZ或2.极值分布),min(),max(YXNYXM 及及令令),()(,yFxFYXYX和和的分布函数分别为的分布函数分别为它们它们变量变量是两个相互独立的随机是两个相互独立的随机设设则有则有)(maxzMPzF ,zYz

16、XP zYPzXP ).()(zFzFYX )(minzNPzF 1zNP ,1zYzXP 1zYPzXP ).(1)(11zFzFYX 1 1 1zYPzXP 故有故有),()()(maxzFzFzFYX ).(1)(11)(minzFzFzFYX 例例5 5 设相互独立的两个随机变量设相互独立的两个随机变量 X, Y 具有同一具有同一分布律分布律,且且 X 的分布律为的分布律为XP105 . 05 . 0.),max(:的的分分布布律律试试求求YXZ ,jYPiXPjYiXP 所所以以于是于是XY1010221221221221解解,相相互互独独立立与与因因为为YX),max(iYXP ,

17、iYiXP ,iYiXP 0),max( YXP0 , 0P ,212 1),max( YXP1 , 11 , 00 , 1PPP 222212121 .232 的的分分布布律律为为故故),max(YXZ ZP104341XY1010221221221221推广推广的的分分布布函函数数分分别别为为及及则则),min(),max(2121nnXXXNXXXM ),()()()(21maxzFzFzFzFnXXX ), 2 , 1(),(,21nixFnXXXiXni 它们的分布函数分别为它们的分布函数分别为量量个相互独立的随机变个相互独立的随机变是是设设).(1)(1)(11)(21minzFz

18、FzFzFnXXX 则则分分布布函函数数相相互互独独立立且且具具有有相相同同的的若若,)(,21xFXXXn,)()(maxnzFzF .)(11)(minnzFzF 若若 X与与Y 相互独立同分布且为连续型随机变量相互独立同分布且为连续型随机变量,X的的分布密度为分布密度为p(x), 则则M与与N的分布密度为的分布密度为 上述结论可以推广到上述结论可以推广到n维情形维情形,即若设随机变量即若设随机变量 相互独立同分布相互独立同分布,令令 则它们的分布函数分别为则它们的分布函数分别为 )().(1 2)()().(2)(zpzFzpzpzFzpNM nXXX.,21)maxnnXXXXM.,min(N ),.,(1,1, 它们的概率密度函数分别为)(.)(n1)()(.)(n)(1 -n1 -nzpzFzpzpzFzpNM n)()(zFzFM n)(11)(zFzFN 四、小结1. 离散型随机变量函数的分布律离散型随机变量函数