投入产出系数和投入产出模型

1、投入产出系数和投入产出模型投入产出系数和投入产出模型 投入产出表反映了经济系统各个部分之间的关系。 投入产出系数：基于投入产出表的数据构建的反映各部分之间相互关系的系数。 投入产出系数是建立各种经济数学模型的基础。 最重要的系数是各种消耗系数消耗系数。1 直接消耗直接消耗 直接消耗包括在生产经营过程中直接的生产消耗、直接用于管理的消耗、直接用于劳动保护的消耗和直接用于中小修理的消耗等。 直接消耗系数直接消耗系数 定义定义 第j个部门（或第j 种产品）的1个单位产出量所直接消耗的第i个部门（或第i 种产品）产出量的数量。用 aij 表示。 一、直接消耗系数一、直接消耗系数2投入产出表基本表式3

2、(2)(2)计算计算 注意：注意： 计算公式中分母是Xj而不是Xi，为什么？ jijijXxa 4njiaij,.,2 , 1,0nji,.,2 , 1,1?对于价值型投入产出表，存在aijniija1nji,.,2 , 1,1?直接消耗系数的性质直接消耗系数的性质5 3 3、直接消耗系数矩阵、直接消耗系数矩阵 将直接消耗系数按照投入产出表中部门（或产品）的顺序排列而成的矩阵。用A表示，为一 n阶方阵。aaaaaaaaannn2n12n22211n1211.A6 表表 1 假想的某年某国假想的某年某国4 部门价值型投入产出表部门价值型投入产出表 单位：亿元 中 间 使 用 最 终 使 用 产出

3、投 入部门1部门2部门3部门4合计消费资本形成合计总产出部门 196224179160659894479411600部门 21667277160925111819713152240部门 3320336102432020002203405602560部门 4483362561608004803208001600中间投入合计480156815368004384271290436168000折旧4015014080410劳动报酬9522694614002082税利1282534233201124最初投入合计112067210248003616总 投 入160022402560160080007 对于

4、假想表1所表示的投入产出模型，有1 . 01 . 015. 003. 02 . 04 . 015. 02 . 01 . 003. 03 . 001. 01 . 007. 01 . 006. 0A8 对于1997年中国价值型投入产出表（6部门）有如下直接消耗系数矩阵农业工业建筑业运输邮电业商业饮食业非物质生产部门农业0.1610.075 0.0040.0020.0440.007工业0.1870.532 0.5870.2940.2670.265建筑业0.0020.001 0.0010.0210.0040.029运输邮电业0.0100.024 0.0360.0360.0170.027商业饮食业0.0

5、180.043 0.0480.0210.0900.038非物质生产部门0.0250.025 0.0370.0580.0950.13692000年中国价值型投入产出表（6部门）直接消耗系数矩阵农业工业建筑业运输邮电业商业饮食业其他服务业农业0.1530.0580.0040.0010.0540.007工业0.2050.5690.5430.3460.2760.230建筑业0.0020.0010.0010.0200.0040.028运输邮电业0.0140.0240.0690.0390.0310.066商业饮食业0.0190.0410.0650.0200.0860.039其他服务业0.0290.0260

6、.0500.0590.1140.11410 完全消耗的含义完全消耗的含义 任何产品在生产过程中，除了各种直接消耗关系外，还有各种间接消耗关系。 二、完全消耗和完全消耗系数二、完全消耗和完全消耗系数完全消耗=直接消耗 + 全部间接消耗 =直接消耗 + 一次间接消耗 + 二次间接消耗 + 三次间接消耗 +2.完全消耗系数完全消耗系数 完全消耗系数反映了部门间（产品间）的完全消耗关系，用bij表示。11例：钢的生产中对电的消耗直接消耗 第一间接消耗第二间接消耗钢 j生铁煤耐火砖冶金设备生铁矿焦碳坑木电12 3 3、完全消耗系数计算公式的推导、完全消耗系数计算公式的推导 首先，首先，j 产品的生产要直

7、接消耗i产品，即bij中应包括 aij； 其次，其次，计算j产品的生产中对i 产品的全部间接消耗。 j产品在生产中直接消耗了第k(k=1, 2n)种产品（包括对j 产品自身的消耗）： akj 而第k(k=1, 2n)种产品生产过程中全部消耗的第i种产品为: bik 因此，j产品通过第k种产品而全部间接消耗的第i种产品为: bikakj13 最后，将第j种产品在生产过程中直接消耗的第i种产品与全部间接消耗的第i种产品相加，即为第j种产品生产对第i种产品的完全消耗： 于是，第j种产品生产中通过n种产品而全部间接消耗的第i种产品为nkkjikab1nkkjikijijabab114 写成矩阵形式 B

8、AAB ABAB AAIB)( 1)(AIAB或 1)(AIAIIB IAIB1)(15 将完全消耗系数按照投入产出表中部门（或产品）的顺序排列而成的矩阵。用B表示，为一n阶方阵。 完全消耗系数矩阵完全消耗系数矩阵bbbbbbbbbnnn2n12n22211n1211.B16 对于表1所表示的投入产出表，可计算得到2074. 02278. 03205. 00904. 05143. 08284. 05608. 04114. 01972. 01134. 05018. 00464. 01877. 01725. 02356. 01090. 0B17 同样地，对于1997年中国全国价值型投入产出表（6部

9、门），其完全消耗系数矩阵为：农业工业建筑业运输邮电业商业饮食业非物质生产部门农业0.248 0.221 0.1480.0820.1370.091工业0.592 1.400 1.5140.8350.8430.854建筑业0.006 0.008 0.0080.0260.0120.037运输邮电业0.031 0.067 0.0830.0650.0470.059商业饮食业0.057 0.125 0.1350.0720.1500.097非物质生产部门0.061 0.094 0.1110.1060.1580.20118 4 4、完全消耗系数的性质、完全消耗系数的性质 某一个完全消耗系数不能单独求得，必须同

10、时求出所有的完全消耗系数。为什么？ njnibij, 2 , 1, 2 , 10 njniabijij, 2 , 1, 2 , 119中国中国1992年实物型投入产出表部分产品的年实物型投入产出表部分产品的消耗系数比较消耗系数比较单位直接消耗系数完全消耗系数完全消耗系数/直接消耗系数粮食对粮食吨/吨0.037590.039531.05纯棉布对纱吨/百米0.017390.028011.61卷烟对烟叶吨/百箱6.010006.010061.00家用电冰箱对薄钢板吨/百台1.908171.948311.02自行车对焊接钢管吨/百辆0.044190.046461.05生铁对电万度/吨0.005160.

11、018743.63生铁对铁矿石吨/吨1.789001.810091.01钢对电万度/吨0.019090.045862.40钢对生铁吨/吨0.842430.856911.0220 1 1、折旧系数、折旧系数jjdjXda),(21dndddaaaA 三、其他消耗系数三、其他消耗系数 Dj 表示j产品在生产过程中的折旧额，则adj表示单位j产品中的折旧。 其向量形式向量形式为 同样地，可计算完全折旧系数完全折旧系数向量：1)(AIABdd21 2 2、劳动消耗系数、劳动消耗系数 Vj 表示j产品在生产过程中所投入的劳动报酬，则avj表示单位j产品中的劳动报酬。 其向量形式向量形式为1)(AIABv

12、vjjvjXVa/),(21vnvvvaaaA同样地，可计算完全劳动消耗系数完全劳动消耗系数向量：22 3 3、社会纯收入系数、社会纯收入系数jjmjXMa/),(21mnmmmaaaA Mj 表示j产品在生产过程中所形成的社会纯收入（利税额），则amj表示单位j产品中的社会纯收入。 其向量形式向量形式为同样地，可计算完全社会纯收入系数完全社会纯收入系数向量：1)(AIABmm23中国中国1997年年6部门价值型投入产出表部门价值型投入产出表其他直接消耗系数其他直接消耗系数与与完全消耗系数完全消耗系数表表直接消耗系数农业工业 建筑业 运输邮电业商业饮食业非物质生产部门固定资产折旧0.024 0

13、.046 0.0170.1660.0490.106劳动者报酬0.526 0.123 0.1990.2200.2420.277生产税净额0.018 0.057 0.0230.0410.1020.055营业盈余0.030 0.074 0.0490.1420.0920.060完全消耗系数固定资产折旧0.072 0.144 0.1230.2330.1230.185劳动者报酬0.767 0.483 0.5450.4310.5100.529生产税净额0.066 0.161 0.1350.1060.1780.129营业盈余0.095 0.212 0.1970.2300.1890.15724四、四、 基于消耗

14、系数的经济数学模型基于消耗系数的经济数学模型 投入产出是在投入产出表的基础上，通过引入各种消耗系数而建立起来的反映经济系统各“部分”（部门或产品）相互依存的“投入-产出”平衡关系式。 ：按行向平衡关系建立的模型 ：按列向平衡关系建立的模型 其他各种复杂的投入产出应用模型，都是这两个最基本的投入产出经济数学模型的扩展 25 1.分配方程组和按行建立的模型分配方程组和按行建立的模型 （1 1）分配方程组）分配方程组 对于投入产出表的每一行，不管是价值型还是实物型，都存在如下平衡方程： 引入直接消耗系数，可以写成： 这就是。它反映每个部门的总产出是如何分配与使用的。niXYxiinjij,.,2,

15、11niXYXaiijnjij,.,2, 1126 用矩阵表示该方程组，有 AX+Y=XXXXYYYaaaaaaaaannnnn2n12n22211n1211XY.2121A其中分别为直接消耗系数矩阵、最终需求矩阵、总产量矩阵27 模型形式模型形式 由 AX+Y=X ，容易得到： (I-A)X=Y 或或 X=(I-A)-1Y 这就是按行建立的。 （2）按行建立的经济数学模型按行建立的经济数学模型其中：1)(AIB称为“列昂惕夫逆矩阵”，其中的元素ijb表示生产单位 j 种最终产品对i 产品的完全需要量， 称为列昂惕夫逆系数列昂惕夫逆系数，或完全需求系数完全需求系数，因此，列昂惕夫逆矩阵也称为完

16、全需求系数矩阵完全需求系数矩阵。 28 模型的经济意义模型的经济意义 该模型揭示了最终使用量最终使用量和总产出量总产出量之间的关系。即： 已知已知：最终使用量， 求出：求出：保证经济系统各部分之间综合平衡的总产出量 已知已知： 各部门总产出量，求出：求出：各部门产品最终使用量29 .两者相差一个单位矩阵两者相差一个单位矩阵： 完全消耗系数 完全需要系数1A)(IBIA)(IB1 完全需求系数与完全消耗系数完全需求系数与完全消耗系数1-1-1-bbbbbbbbbbbbbbbbbbnnn2n12n22211n1211nnn2n12n22211n1211.30 .二者的经济意义不同完完全全消消耗耗系

17、系数数ijb：从生产消耗的角度，说明生产 1 个单位第 j 种最终产品对第 i 种产品的直接与全部间接消耗量(仅仅是中间消耗)；注意注意： 完全消耗系数完全消耗系数是相对于1个单位最终使用而言的，而直接消耗系数直接消耗系数是相对于1个单位的总产出量而言的。这是十分重要的区别。31完完全全需需要要系系数数ijb：从社会需要的角度，说明当第 j种产品增加 1个单位的最终使用时，对第 i 种产品的完全需要量（包括中间需要与最终需要） 。32实例实例 中国1997年全国价值型6部门投入产出经济数学模型：0.839-0.075-0.004-0.002-0.044-0.007X1= Y1-0.1870.4

18、68-0.587-0.294-0.267-0.265X2 = Y2-0.002-0.0010.999-0.021-0.004-0.029X3= Y3-0.010-0.024-0.0360.964-0.017-0.027X4= Y4-0.018-0.043-0.048-0.0210.910-0.038X5= Y5-0.025-0.025-0.037-0.058-0.0950.864X6= Y6或：X1 =1.2480.2210.1480.0820.1370.091 Y1X2 =0.5922.4001.5140.8350.8430.854 Y2X3 =0.0060.0081.0080.0260.0

19、120.037 Y3X4 =0.0310.0670.0831.0650.0470.059 Y4X5 =0.0570.1250.1350.0721.1500.097 Y5X6 =0.0610.0940.1110.1060.1581.201 Y633 （1）.生产方程组生产方程组 对于价值型投入产出表的每一列，存在如下平衡方程： 2.生产方程组与按列建立的模型生产方程组与按列建立的模型 这就是。它反映每个部门的总产出是如何形成的。niXNxjiniij,.,2, 11niXNXajinijij,.,2, 11可以写成34 用矩阵表示该方程组，有NNNXXXaaannniinniiniiNX.212

20、111211A?XNXA其中35 模型形式模型形式 （2）按列建立的经济数学模型）按列建立的经济数学模型 模型的经济意义模型的经济意义 该模型揭示了最初投入量最初投入量和总产出量总产出量（总投入量）之间的关系。因此： 已知：已知：最初投入量，求出：相应的总产出量。 已知：已知：总产出量，求出：最初投入量。由 XNXA 容易得到： N)XA(INAIX1)(这就是按列建立的投入产出基本经济数学模型。投入产出基本经济数学模型。36五、 投入产出模型的基本假设和求解条件投入产出模型的基本假设和求解条件 任何经济数学模型都是都实际经济活动的抽象，都是在若干基本假设下建立的，或者只有在若干基本假设下才能

21、成立。关键在于所舍弃的是事物的本质方面还是非本质方面。 1. 投入产出模型的基本假设投入产出模型的基本假设 (1) 同质性假定（不可替代假设）同质性假定（不可替代假设） 投入产出模型假设一个部门只生产一种产品，而且只采用一种技术生产；同时，一种产品只由一个部门生产。部门称为“纯部门纯部门”或“产品部门产品部门”。 37 .各“部门”投入量与产出量成正比，比例系数就是直接消耗系数。 .产品生产中各投入要素之间有固定比例，即投入要素的增减均呈现同一比例。 （3）系数不变假设系数不变假设 投入产出模型假设直接消耗系数在一个周期内是不变的。 （4 4）关于生产周期的假设）关于生产周期的假设 投入产出模

22、型假设每个部门的生产经营活动，从生产要素的投入到产出的分配与使用，都在一个周期内完成。 （2）比例性假定（线性假设）比例性假定（线性假设）38 （1）投入产出模型能够求解的条件投入产出模型能够求解的条件 2、投入产出模型的求解条件、投入产出模型的求解条件 投入产出模型 X=(I-A) -1 Y能够求解的条件条件是 矩阵矩阵(I-A) 有逆有逆，且逆矩阵逆矩阵的元素不为负的元素不为负。 这一条件是从数学和经济意义两方面提出的。39（2） 价值型投入产出模型求解条件的证明价值型投入产出模型求解条件的证明 而在矩阵(I-A)中，主对角线元素为1-ajj，其它元素为-aij。所以该矩阵是主对角线元素占

23、优势主对角线元素占优势的矩阵。 由线性代数知识可知，|I-A|0，所以矩阵(I-A)可逆。 而且存在(I-A)的逆矩阵的元素都大于0。对于价值型投入产出模型，其直接消耗系数满足： njaniij, 2 , 111即满足： njaajjnjiiij, 2 , 11140设有两个部门的投入产出模型： （1-a11)X1- a12X2=Y1 -a21X1+(1-a22)X2=Y2Y1/a12Y2/(1-a22)一个直观的说明一个直观的说明(霍金斯霍金斯.西蒙西蒙(hawkins Simon)条件条件)：X2X1 （1-a11)(1-a22)a12a21 或 （1-a11)(1-a22)-a12 a2

24、1001122211211AIaaaa 要使该方程组有正解，要使该方程组有正解，必须使两线交于第一象限必须使两线交于第一象限，即可推出： X2=(1-a11)/a12*X1-Y1/a12 (1) X2=a21/(1-a22)*X1+Y2/(1-a22) (2)(2)(1)即必须：（1-a11)/a12a21/(1-a22)41 数学证明数学证明一方面，由11niija 得njiiijjjaa1|1|， j=1，2，, n （*）另一方面，假设)(AI 降秩， 即0AI，从而线性方程组)0 ,0 , 0(111),(21222211121121nnnnnnnaaaaaaaaaXXX有非零解),(

25、21nXXX42取：|max|jjkXX将上述非零解代入上述线性方程组第 k 个方程：0)1 (2211nnkkkkkkXaXaXaXankiiiikkkkXaXa1)1 (从而由绝对值性质：nkiiiknkiikiikkkaXXaa11|1|这一结果与（*）式矛盾，因此)(AI 是满秩的，即)(AI 可逆。43又因为对于矩阵)(AI ，不仅存在 njaajjnjiiij, 2 , 111而且存在 njaajjnjiiij, 2 , 111所以有 0 AI44 对于矩阵)(AI 的逆矩阵： AICAI1)(其分子为矩阵)(AI 对应元素的代数余子式作为元素构成的伴随矩阵，而这些代数余子式都是大

26、于 0，所以)(AI 的逆矩阵的元素都大于 0。45六、分配系数六、分配系数 投入产出表中，横行表示各种产品的分配使用去向，分配系数表示部门之间产品的分配使用关系。 1.直接分配系数的含义：直接分配系数的含义： 第i部门产品分配到第j消耗部门作中间使用的产品数量占第i部门总产品量的比重，称为分配系数。),.,2 , 1,(njiXxhiijij46 2.直接分配系数矩阵直接分配系数矩阵： 将直接分配系数按照投入产出表中部门（或产品）的顺序排列而成的矩阵。用H表示，为一 n阶方阵。hhhhhhhhhnnnnnnH.212222111211473.完全分配系数完全分配系数 各个部门之间除了具有直接

27、的分配关系外，还存在着间接的分配关系。 完全分配系数综合反映了直接分配关系和间接分配关系。 设两个部门（产品）间的完全分配系数为则 48dij),.,2, 1,(1njiiknkkjijijdhhd写成矩阵形式，为整理，得 或 49HDHD?HDHDHIHHD-DH)(I1?IDHIIDHIH)(I113.引入直接分配系数的模型引入直接分配系数的模型 （1）行模型引入 系数，得代入上式，得),.,2, 1,(1njiXYxiinjijhijXhxiijij),.,2 , 1,(1njiXYXhiiinjij该式也称为分配方程组分配方程组50写成矩阵形式YYY.Y.H21211121nnnjnj

28、njjnj1jXXXhhhX?XYXH其中51 当中间产品分配系数确定后，可在已知总产品的情况下，求最终产品。行模型形式行模型形式 当中间产品分配系数确定后，可在已知最终产品的情况下，求总产品。)XH(IYYX)H(I152（2）列模型引入 系数，得代入上式，得),.,2, 1,(1njiXNxjjniijhijXhxiijij),.,2 , 1,(1njiXNXhjjiniij该式也称为生产方程组生产方程组53写成矩阵形式或者其中TH XNXXNXTTTHNNNXXXhhhhhhhhhnnnnnnnnNXH.2121212222111211?54列模型形式列模型形式55H)(I)X(INXH

29、TTNTH)(I)H(ITNTX11NXT利用总产出求增加值利用增加值求总产出 称为Ghosh供给驱动模型（Ghosh模型）。 (I-H)-1为Ghosh逆矩阵，也称为完全供给系数矩阵，元素 表示i部门增加1个单位初始投入，对第j部门完全供给的产品量。56注注H)(IT1NXTDdij完全分配系数和完全分配系数和Ghosh逆逆 1.相差一个单位阵 完全分配系数 Ghosh逆57? IDHI1H)(ID11-1-1-ddddddddddddddddddnnn2n12n22211n1211nnn2n12n22211n1211.2.含义不同 完全分配系数完全分配系数 ：从生产分配的角度，说明i部门每增加一个单位初始投入，直