先进控制理论第4章

1、4.2 李雅普诺夫第一法4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义4.3 李雅普诺夫第二法4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义4.1.1 系统状态的运动及平衡状态设所研究系统的齐次状态方程为（1） 式中， 为 维状态矢量； 为与 同维的矢量函数，它是工的各元素 和时间 的函数。一般地，为时变的非线性函数。如果不显含 ，则为定常的非线性系统。设方程式(1)在给定初始条件 下，有唯一解：（2）式中， 为表示 在初始时刻 时的状态； 是从开始观察的时间变量。 式(2)实际上描述了系统式(1)在n 维状态空间中从初始条件 出发的一条状态运动的轨迹，简称系统的运动或状态轨线状态轨线。 若系统式(1)存在状态矢量

2、，对所有 ，都使：成立，则称 为系统的平衡状态平衡状态。（3） 对于一个任意系统，不一定都存在平衡状态，有时即使存在也未必是唯一的，例如对线性定常系统： 当A A为非奇异矩阵时，满足 的解 是系统唯一存在的一个平衡状态。而当A A为奇异矩阵时，则系统将有无穷多个平衡状态。（4） 对非线性系统，通常可有一个或多个平衡状态。它们是由方程式(3)所确定的常值解例加系系统：就有三个平衡状态： 由于任意一个已知的平衡状态，都可以通过坐标变换将其 移到坐标原点处。所以今后将只讨论系统在坐标原点处的稳定性就可以了。4.1.2 稳定性的几个定义 若用 表示状态矢量 与平衡状态 的距离，用点集 表示以 为中心

3、为半径的超球体，那么 ，则表示：（5）式中， 为欧几里德范数。在n维状态空间中，有：（6） 当 很小时，则称 为 的邻域。因此，若有 ，则意味着 同理，若方程式(1)的解 位于球域 内，便有：（7） 式(7)表明齐次方程式(1)内初态 或短暂扰动所引起的自由响应是有界有界的。李雅普诺夫根据系统自由响应是否有界把系统的稳定性定义为四种情况。1李雅普诺夫意义下稳定2渐近稳定3大范围渐近稳定4不稳定4.2 李雅普诺夫第一法4.2.1 线性系统的稳定判据线性定常系统（1） 平衡状态 渐近稳定的充要条件是矩阵A的所有特征值均具有负实部。 以上讨论的都是指系统的状态稳定性状态稳定性，或称内部稳定性。但从工

4、程意义上看，往往更重视系统的输出稳定性输出稳定性。 如果系统对于有界输入 所引起的输出 是有界的，则称系统为输出输出稳定稳定。 线性定常系统 输出稳定的充要条件是其传递函数：的极点全部位于s的左半平面。（2）例：设系统的状态空间表达式为：xyuxx01111001.试分析系统的状态稳定和输出稳定性。 设 为由 维矢量 所定义的标量函数， ，且在 处恒有 。4.3 李雅普诺夫第二法 李雅普诺夫第二法又称直接法。它的基本思路不是通过求解系统的运动方程，而是借助于一个李雅普诺夫函数来直接对系统平衡状态的稳定性做出判断。它是从能量观点进行稳定性分析的。4.3.1 预备知识1.标量函数的符号性质所有在域

5、 中的任何非零矢量 ，如果：2二次型标量函数 二次型函数在李雅普诺夫第二方法分析系统的稳定性中起着很重要的作用。设 为n个变量，定义二次型标量函数为：（8）矩阵 P P 的符号性质定义如下：设P P 为 实对称方阵， 为由P P 所决定的二次型函数。3希尔维斯特判据设实对阵矩阵： 由此可见，矩阵P P 的符号性质与由其所决定的二次型函数 的符号性质完全一致。因此，要判别 的符号只要判别P P 的符号即可。而后者可由希尔维斯特(Sylvester)判据进行判定。（9）为其各阶顺序主子行列式：（10）矩阵 定号性的充要条件是：4.3.2 几个稳定性判据用李雅普诺夫第二法分析系统的稳定性，可概括为以

6、下几个稳定性判据。平衡状态为。 设系统的状态方程为：（11）如果存在一个标量函数 ，它满足：2) 是正定的，即当 。 3) 沿状态轨迹方向计算的时间导数 分别满足下列条件： 若 为半负定，那么平衡状态 为在李雅普诺夫意义下稳定。此称稳定判据。 若 为负定；或者虽然 为半负定但对任意初始状态 来说，除去 外，对 不恒为零。那么原点平衡状态是渐近稳定的。如果进一步还 ，则系统是大范围渐近稳定的。此称渐近稳定判据。1) 对所有z都具有连续的一阶偏导数。若 为正定，那么平衡状态 是不稳定的。此称不稳定判据。例：例：例：例：4.3.3 对李雅普诺夫函数的讨论 1) 是满足稳定性判据条件的一个正定的标量函数，且对x应具有连续的一阶偏导数。 2)对于一个给定系统，如果 是可找到的，那么通常是非唯一的，但这并不影响结论的一致性。3) 的最简单形式是二次型函数：4)如果 为二次型，且可表示为： 6)由于构造 函数需要较多技巧，因此，李雅普诺夫