坐标变换和动态数学数学模型的简化

1、第三章第三章 高动态性能变频调速系统高动态性能变频调速系统山东大学山东大学v问题的提出问题的提出v三相异步电动机的动态数学模型三相异步电动机的动态数学模型v坐标变换和动态数学模型的简化坐标变换和动态数学模型的简化v矢量控制的变频调速系统矢量控制的变频调速系统v直接转矩控制变频调速系统直接转矩控制变频调速系统v无速度传感器变频调速系统无速度传感器变频调速系统本章提要3.2 坐标变换和动态数学模型的简化 上节中虽已推导出异步电机的动态数学模上节中虽已推导出异步电机的动态数学模型，但是，要分析和求解这组非线性方程显然型，但是，要分析和求解这组非线性方程显然是十分困难的。在实际应用中必须设法予以简是十

2、分困难的。在实际应用中必须设法予以简化，简化的基本方法是化，简化的基本方法是坐标变换坐标变换。直流电动机调速性能优异且便于控制是因为其具备以下几个条件：直流电动机调速性能优异且便于控制是因为其具备以下几个条件： （1）直流电动机的主磁场由直流励磁电流产生，补偿绕组基本上克）直流电动机的主磁场由直流励磁电流产生，补偿绕组基本上克服了电枢反应，所以一般认为其服了电枢反应，所以一般认为其主磁场是一个稳定的直流磁场主磁场是一个稳定的直流磁场。 （2）当电刷位于几何中性线上时，电枢磁场与主磁场在空间是垂直）当电刷位于几何中性线上时，电枢磁场与主磁场在空间是垂直的（互差的（互差90 电角度），电角度），是

3、自然解耦的是自然解耦的。 （3）励磁电流和电枢电流）励磁电流和电枢电流互相独立互相独立，各自在不同的回路中，控制简，各自在不同的回路中，控制简单，易于实现。单，易于实现。 （4）直流电动机的动态数学模型只有一个输入）直流电动机的动态数学模型只有一个输入/输出变量输出变量电枢电电枢电压压/转速，在工程允许的一些假定条件下，直流电动机可以描述成转速，在工程允许的一些假定条件下，直流电动机可以描述成单单输入单输出的二阶线性系统输入单输出的二阶线性系统。异步电动机和直流电动机相比有着本质上的区别：异步电动机和直流电动机相比有着本质上的区别： （1）三相异步电动机的定子通以三相平衡正弦交流电流，产生一个

4、）三相异步电动机的定子通以三相平衡正弦交流电流，产生一个随时间和空间都在变化的旋转磁场随时间和空间都在变化的旋转磁场。 （2）转子电流也产生旋转磁场，它和定子旋转磁场相位不同，但稳）转子电流也产生旋转磁场，它和定子旋转磁场相位不同，但稳态时都是态时都是同步旋转的，在空间上不存在垂直关系同步旋转的，在空间上不存在垂直关系。 （3）三相异步电动机（鼠笼式）的）三相异步电动机（鼠笼式）的转子是短路的转子是短路的，只能调节定子电只能调节定子电流。流。 （4）异步电动机的数学模型至少是一个七阶的模型异步电动机的数学模型至少是一个七阶的模型，其输入量为电，其输入量为电压（电流）和频率，输出量为磁链和转速，

5、是一个多变量系统。在压（电流）和频率，输出量为磁链和转速，是一个多变量系统。在静止的静止的A、B、C坐标系中，异步电动机的数学模型为时变方程组。坐标系中，异步电动机的数学模型为时变方程组。 如果能够简化异步电动机的动态数学模型，从如果能够简化异步电动机的动态数学模型，从而像直流电动机那样分别独立控制励磁电流和而像直流电动机那样分别独立控制励磁电流和转矩电流，并使它们的磁场在空间位置上也互转矩电流，并使它们的磁场在空间位置上也互差差90 电角度，就可以获得像直流电动机那样优电角度，就可以获得像直流电动机那样优异的调速性能异的调速性能 。由以上分析可以推想：由以上分析可以推想：坐标变换坐标变换 交

6、流电机的物理模型二、坐标变换二、坐标变换 坐标变换：从一种坐标轴系转换到另一种坐标轴系的变换坐标变换：从一种坐标轴系转换到另一种坐标轴系的变换 矢量控制相关的三种坐标系：静止的三相矢量控制相关的三种坐标系：静止的三相ABC坐标系、静坐标系、静止的二相止的二相 、 坐标系和旋转的二相坐标系和旋转的二相d、q坐标系；坐标系； 由机电能量转换的基本原理可知，电动机内气隙磁场是进由机电能量转换的基本原理可知，电动机内气隙磁场是进行能量转换的媒介，由定子侧输入的能量正是通过气隙磁行能量转换的媒介，由定子侧输入的能量正是通过气隙磁场传递到转子的。场传递到转子的。 在进行坐标变换时，只要能使变换前后产生的气

7、隙基波合在进行坐标变换时，只要能使变换前后产生的气隙基波合成磁势不变（幅值和空间相位相同），两者就是等效的。成磁势不变（幅值和空间相位相同），两者就是等效的。 因此，因此，磁势不变是不同坐标系间进行变换的一项基本原则。磁势不变是不同坐标系间进行变换的一项基本原则。（一）坐标变换的原则（一）坐标变换的原则 设在某坐标系下的电路或系统的电压和电流向量分别为设在某坐标系下的电路或系统的电压和电流向量分别为u和和i，在新的坐标系下，电压和电流向量变成，在新的坐标系下，电压和电流向量变成u和和i，定义新，定义新向量与原向量的坐标变换关系为向量与原向量的坐标变换关系为 Cu u = u （3-33） Ci

8、 i = i （3-34） 其中其中Cu和和Ci分别为电压和电流变换阵。分别为电压和电流变换阵。 当满足功率不变的约束条件时，当满足功率不变的约束条件时，Cu和和Ci的关系为的关系为 CuT Ci= I （3-35） 式中式中 I为单位矩阵为单位矩阵。这里对这里对Cu和和Ci的选择并没有加任何约束，它们可以是任意的。的选择并没有加任何约束，它们可以是任意的。 在一般情况下，为了使变换阵简单易记，令在一般情况下，为了使变换阵简单易记，令Cu = Ci = C 即把电压和电流变换阵取为同一矩阵，则式（即把电压和电流变换阵取为同一矩阵，则式（3-35）变成）变成 CT C = I 或或 CT = C

9、-1（3-36） 式（式（3-36）就是）就是坐标变换满足功率不变的约束条件坐标变换满足功率不变的约束条件，且取，且取电压和电流变换阵相同时对变换矩阵的要求，这样的坐标电压和电流变换阵相同时对变换矩阵的要求，这样的坐标变换属于正交变换。变换属于正交变换。 众所周知，交流电机三相对称的静止绕组众所周知，交流电机三相对称的静止绕组 A 、B 、C ，通，通以三相平衡的正弦电流时，所产生的合成磁动势是旋转磁以三相平衡的正弦电流时，所产生的合成磁动势是旋转磁动势动势F，它在空间呈正弦分布，以同步转速，它在空间呈正弦分布，以同步转速 1（即电流的（即电流的角频率）顺着角频率）顺着 A-B-C 的相序旋转

10、。的相序旋转。ABCABCiAiBiCF1图图a 三相交流绕组三相交流绕组（二）（二）3s/2s变换变换 旋转磁动势的产生旋转磁动势的产生 然而，旋转磁动势并不一定非要三相不可，除单相以外，然而，旋转磁动势并不一定非要三相不可，除单相以外，二相、三相、四相等任意对称的多相绕组，通以平衡的多二相、三相、四相等任意对称的多相绕组，通以平衡的多相电流，都能产生旋转磁动势，当然以两相最为简单。相电流，都能产生旋转磁动势，当然以两相最为简单。 不同电机模型彼此等效的原则是：不同电机模型彼此等效的原则是：在不同坐标下所产生的在不同坐标下所产生的磁动势完全一致。磁动势完全一致。 根据电机学原理，异步电动机三

11、相绕组的作用，完全可以根据电机学原理，异步电动机三相绕组的作用，完全可以用在空间上互相垂直的两个静止的用在空间上互相垂直的两个静止的 、 绕组来代替，如绕组来代替，如图图3-6所示。由三相所示。由三相ABC轴系变换到两相轴系变换到两相轴系轴系以产生同以产生同样的旋转磁势为准则，并需要满足功率不变的约束条件样的旋转磁势为准则，并需要满足功率不变的约束条件。 将交流电机的物理模型等效地变换成类似直流电机的模式，将交流电机的物理模型等效地变换成类似直流电机的模式，分析和控制就可以大大简化。分析和控制就可以大大简化。坐标变换正是按照这条思路坐标变换正是按照这条思路进行的。进行的。uCuAuCi6006

12、00AuuBBiAiiBiC图3-6 定子ABC轴系到静止轴系的变换 （2）等效的两相交流电机绕组）等效的两相交流电机绕组图B 两相交流绕组 两相静止绕组两相静止绕组 和和 ，它们在空间互差它们在空间互差90，通以，通以时间上互差时间上互差90的两相平衡的两相平衡交流电流，也产生旋转磁动交流电流，也产生旋转磁动势势 F 。 当两个旋转磁动势大小当两个旋转磁动势大小和转速都相等时，即认为图和转速都相等时，即认为图b的两相绕组与图的两相绕组与图a的三相绕组的三相绕组等效。等效。 F（3）旋转的直流绕组与等效直流电机模型）旋转的直流绕组与等效直流电机模型1FMTimitMT图c 旋转的直流绕组 再看

13、图再看图c中的两个匝数相等且互相垂直的绕组中的两个匝数相等且互相垂直的绕组 M 和和 T，其中分别通以直流电流，其中分别通以直流电流 im 和和it，产生合成磁动，产生合成磁动势势 F ，其位置相对于绕组来说是固定的。，其位置相对于绕组来说是固定的。 如果让包含两个绕组在内的整个铁心以同步转速如果让包含两个绕组在内的整个铁心以同步转速旋转，则磁动势旋转，则磁动势 F 自然也随之旋转起来，成为旋转磁自然也随之旋转起来，成为旋转磁动势。动势。 把这个旋转磁动势的大小和转速也控制成与图把这个旋转磁动势的大小和转速也控制成与图 a 和图和图 b 中的磁动势一样，那么这套旋转的直流绕组中的磁动势一样，那

14、么这套旋转的直流绕组也就和前面两套固定的交流绕组都等效了。当观察也就和前面两套固定的交流绕组都等效了。当观察者也站到铁心上和绕组一起旋转时，在他看来，者也站到铁心上和绕组一起旋转时，在他看来，M 和和 T 是两个通以直流而相互垂直的静止绕组。是两个通以直流而相互垂直的静止绕组。 如果控制磁通的位置在如果控制磁通的位置在 M 轴上，就和直流电轴上，就和直流电机物理模型没有本质上的区别了。这时，绕组机物理模型没有本质上的区别了。这时，绕组M相相当于励磁绕组，当于励磁绕组，T 相当于伪静止的电枢绕组。相当于伪静止的电枢绕组。 等效的概念等效的概念 由此可见，以产生同样的旋转磁动势为准则，图由此可见，

15、以产生同样的旋转磁动势为准则，图a的三相交流绕组、图的三相交流绕组、图b的两相交流绕组和图的两相交流绕组和图c中整体旋转中整体旋转的直流绕组彼此等效。或者说，在三相坐标系下的的直流绕组彼此等效。或者说，在三相坐标系下的 iA、iB 、iC，在两相坐标系下的，在两相坐标系下的 i 、i 和在旋转两相坐标系和在旋转两相坐标系下的直流下的直流 im、it 是等效的，它们能产生相同的旋转磁动是等效的，它们能产生相同的旋转磁动势。势。 有意思的是：就图有意思的是：就图c的的M、T两个绕组而言，当两个绕组而言，当观观察者站在地面看上去，察者站在地面看上去，它们是与三相交流绕组等效的它们是与三相交流绕组等效

16、的旋转直流绕组；如果旋转直流绕组；如果跳到旋转着的铁心上看跳到旋转着的铁心上看，它们就，它们就的的确确是一个直流电机模型了。这样，通过坐标系的的确确是一个直流电机模型了。这样，通过坐标系的变换，可以找到与交流三相绕组等效的直流电机模的变换，可以找到与交流三相绕组等效的直流电机模型。型。 现在的问题是，如何求出现在的问题是，如何求出iA、iB 、iC 与与 i 、i 和和 im、it 之间准确的等效关系，这就是之间准确的等效关系，这就是坐标变换坐标变换的任务的任务。注意注意: : 在这里，不同电机模型彼此在这里，不同电机模型彼此等效的原则等效的原则是：是：在在不同坐标下所产生的磁动势完全一致。不

17、同坐标下所产生的磁动势完全一致。2. 三相三相-两相变换（两相变换（3/2变换）变换） 现在先考虑上述的第一种坐标变换现在先考虑上述的第一种坐标变换-在三相静在三相静止绕组止绕组A A、B B、C C和两相静止绕组和两相静止绕组 、 之间的变换，或之间的变换，或称三相静止坐标系和两相静止坐标系间的变换，称三相静止坐标系和两相静止坐标系间的变换，简称简称 3/2 3/2 变换变换。 下图中绘出了下图中绘出了 A、B、C 和和 、 两个坐标系，为两个坐标系，为方便起见，取方便起见，取 A 轴和轴和 轴重合。设三相绕组每相有效轴重合。设三相绕组每相有效匝数为匝数为N3，两相绕组每相有效匝数为，两相绕

18、组每相有效匝数为N2，各相磁动势，各相磁动势为有效匝数与电流的乘积，其空间矢量均位于有关相为有效匝数与电流的乘积，其空间矢量均位于有关相的坐标轴上。由于交流磁动势的大小随时间在变化着，的坐标轴上。由于交流磁动势的大小随时间在变化着，图中磁动势矢量的长度是随意的。图中磁动势矢量的长度是随意的。 三相和两相坐标系与绕组磁动势的空间矢量三相和两相坐标系与绕组磁动势的空间矢量 AN2iN3iAN3iCN3iBN2i60o60oCB 设磁动势波形是正弦分布的，当三相总磁动势与二相设磁动势波形是正弦分布的，当三相总磁动势与二相总磁动势相等时，两套绕组瞬时磁动势在总磁动势相等时，两套绕组瞬时磁动势在 、 轴

19、上的投轴上的投影都应相等，影都应相等， )2121(60cos60cosCBA3C3B3A32iiiNiNiNiNiN)(2360sin60sinCB3C3B32iiNiNiNiN写成矩阵形式，得写成矩阵形式，得CBA232323021211iiiNNii（3-37） 匝数比应为匝数比应为3223NN 当三相总磁动势与二相总磁动势相等时，并考虑变换前当三相总磁动势与二相总磁动势相等时，并考虑变换前后总功率不变，得后总功率不变，得 代入式（代入式（3-373-37），得），得CBA232302121132iiiii（3-37-1) 令令 C3s/2s 表示从三相坐标系变换到两相坐标系的变换矩阵，

20、表示从三相坐标系变换到两相坐标系的变换矩阵，则则 3 /2111222333022ssC（3-38） 三相三相两相坐标系的变换矩阵两相坐标系的变换矩阵 如果三相绕组是如果三相绕组是Y形联结不带零线，则有形联结不带零线，则有 iA+iB+iC=0，或或 iC= iA iB 。代入式（。代入式（3-38）并整理后得）并整理后得BABA2161032iiii 按照所采用的条件，电流变换阵也就是电压变换按照所采用的条件，电流变换阵也就是电压变换阵，同时还可证明，它们也是磁链的变换阵。阵，同时还可证明，它们也是磁链的变换阵。3. 两相两相两相旋转变换（两相旋转变换（2s/2r变换）变换） 从上图等效的交

21、流电机绕组和直流电机绕组物理模从上图等效的交流电机绕组和直流电机绕组物理模型的图型的图 b 和图和图 c 中从两相静止坐标系到两相旋转坐标系中从两相静止坐标系到两相旋转坐标系 d、q 变换称作两相变换称作两相两相旋转变换，简称两相旋转变换，简称 2s/2r 变换变换 其其中中 s 表示静止，表示静止，r 表示旋转。表示旋转。 把两个坐标系画在一起，即得下图。把两个坐标系画在一起，即得下图。cosqidqsintii1 图中，两相交流电流图中，两相交流电流 i 、i 和两个直流电流和两个直流电流 id、iq 产生同样的以同步转速产生同样的以同步转速 1旋转的合成磁动势旋转的合成磁动势 Fs 。由

22、于。由于各绕组匝数都相等，可以消去磁动势中的匝数，直接用各绕组匝数都相等，可以消去磁动势中的匝数，直接用电流表示，例如电流表示，例如 Fs 可以直接标成可以直接标成 is 。但必须注意，这。但必须注意，这里的电流都是空间矢量，而不是时间相量。里的电流都是空间矢量，而不是时间相量。 M，T 轴和矢量轴和矢量 Fs（is）都以转速）都以转速 1旋转，分量旋转，分量 id、iq 的长短不变，相当于的长短不变，相当于d，q绕组的直流磁动势。绕组的直流磁动势。 但但 、 轴是静止的，轴是静止的， 轴与轴与 d轴的夹角轴的夹角 随时随时间而变化，因此间而变化，因此 is 在在 、 轴上的分量的长短也随时轴

23、上的分量的长短也随时间变化，相当于绕组交流磁动势的瞬时值。间变化，相当于绕组交流磁动势的瞬时值。dqcossiniiidqsincosiii 2s/2r变换公式变换公式由图可见，由图可见， i 、 i 和和 id、iq 之间存在下列关系之间存在下列关系写成矩阵形式，得写成矩阵形式，得 dd2r/2sqqcossinsincosiiiCiiicossinsincoss2/r2C是两相旋转坐标系变换到两相静止坐标系的变换阵。是两相旋转坐标系变换到两相静止坐标系的变换阵。 式中式中 两相旋转两相旋转两相静止坐标系的变换矩阵两相静止坐标系的变换矩阵(3-41) 对两边都左乘以变换阵的逆矩阵，即得对两边

24、都左乘以变换阵的逆矩阵，即得 1dqcossincossinsincossincosiiiiii (3-40)cossinsincosr2/ s2C则两相静止坐标系变换到两相旋转坐标系的变换阵是则两相静止坐标系变换到两相旋转坐标系的变换阵是 电压和磁链的旋转变换阵也与电流（磁动势）旋电压和磁链的旋转变换阵也与电流（磁动势）旋转变换阵相同。转变换阵相同。 两相静止两相静止两相旋转坐标系的变换矩阵两相旋转坐标系的变换矩阵v 电压和磁链的旋转变换与电流的旋转变换相同。电压和磁链的旋转变换与电流的旋转变换相同。v dq坐标系产生的气隙磁势同坐标系产生的气隙磁势同坐标系一样，也正是坐标系一样，也正是AB

25、C坐标系中三相绕组产生的气隙旋转磁势。但与坐标系中三相绕组产生的气隙旋转磁势。但与坐标系坐标系相比，相比，dq坐标系产生该旋转磁势的方法不同：坐标系产生该旋转磁势的方法不同： 它是在同步旋转的它是在同步旋转的dq线圈中通入两直流量线圈中通入两直流量id和和iq，合成磁势，合成磁势F1相对相对dq轴系是静止的，依靠轴系是静止的，依靠dq轴系本身的同步旋转，使轴系本身的同步旋转，使F1成为同步旋成为同步旋转的圆形磁势转的圆形磁势。v 正是通过正是通过坐标系到坐标系到dq坐标系的变换，最终将三相正弦坐标系的变换，最终将三相正弦交流电流变换为两相直流量。交流电流变换为两相直流量。 令矢量is和M轴夹角

26、为s，已知id、iq，求is和1，就是直角坐标/极坐标变换，简称K/P变换。显然，其变换式应为 22sdqiiiq1darctanii4. 直角坐标直角坐标/极坐标变换极坐标变换(K/P)qd11sss)sin(cos1jiijieiij（3-42) 变换过程变换过程ABC坐标系坐标系 坐标系坐标系dq坐标系坐标系3/2变换变换C2s/三、异步电动机在三、异步电动机在 、 静止静止坐标系上的数学模型坐标系上的数学模型 把异步电机在三相把异步电机在三相静止静止ABC坐标系上的坐标系上的数学模型变换到两相数学模型变换到两相坐标系上，由于两相坐标系上，由于两相坐标轴互相垂直，两坐标轴互相垂直，两相绕

27、组之间没有磁的相绕组之间没有磁的耦合，仅此一点，就耦合，仅此一点，就会使数学模型简单了会使数学模型简单了许多。许多。 图图3-9 用两相静止坐标系表示的异步机等用两相静止坐标系表示的异步机等效电路效电路RsLmLmLsLsRsLmLrLmLrRrR1. 电压方程电压方程rrssrrrmmrrrmmmssmssrrss0000iiiipLRLpLLLpLRLpLpLpLRpLpLRuuuu 式中，下标式中，下标s和和r分别表示定子和转子变量；下标分别表示定子和转子变量；下标 和和 分别表示分别表示 轴和轴和 轴变量轴变量. m32mLL 坐标系定子等效两相绕组的互感；坐标系定子等效两相绕组的互感

28、；lsmlsmssLLLLL23lrmlrmsrLLLLL23(3-43)2. 磁链方程磁链方程rrssrmrmmsmsrrss00000000iiiiLLLLLLLL ABC三相坐标系的磁链方程经坐标变换简化为以下三相坐标系的磁链方程经坐标变换简化为以下坐标系磁链方程：坐标系磁链方程： 在两相在两相坐标系中，定子和转子的等效绕组落在互相垂坐标系中，定子和转子的等效绕组落在互相垂直的两根轴上，它们之间没有耦合关系，互感磁链只在同直的两根轴上，它们之间没有耦合关系，互感磁链只在同轴绕组之间存在，所以式中的每个磁链分量只剩下两项。轴绕组之间存在，所以式中的每个磁链分量只剩下两项。 (3-44)3. 3. 电磁转矩方程电磁转矩方程)(rsrsmpeiiiiLnT)(srsrrmpiiLLn 以上电压方程、磁链方程和电磁转矩方程再加上式以上电压方程、磁链方程和电磁转矩方程再加上式（3-1）运动方程和式（）运动方程和式（3-2）转角微分方程构成了）转角微分方程构成了静静止坐标系上的异步电动机数学模型。止坐标系上的异步电动机数学模型。这种在两相静止坐这种在两相静止坐标系上的数学模型又称作标系上的数学模型又称作Kron异步电机方程式或双轴异步电机方程式或双轴原型电机（原型电机（Two Axis Primitive