thermal6玻尔兹曼分布律

1、第三章第三章 速率和能量的统计分布律速率和能量的统计分布律分子射线束实验验证分子射线束实验验证Maxwell222()3/22zd()eddd2xyzm vvvkTxyNmvvvNkT 3 / 2222d( )d4()ed2m vkTNmf vvvvNkT 21/22d()()d()ed2xmvxkTxxxN vmf vvvNkT 在多方面的应用在多方面的应用14nv （ ）14nv 气体从气体从薄壁薄壁容器很小的小孔中逸出称为泻流。容器很小的小孔中逸出称为泻流。 处于平衡态的气体，在处于平衡态的气体，在dt时间内，从时间内，从A 面积小孔逸面积小孔逸出的分子数出的分子数N 1d4NnvA t

2、 只要很短时间只要很短时间dt内内, ,逸出的气体分子数与容器中总分子逸出的气体分子数与容器中总分子数相比小得多，则数相比小得多，则n和平均速率在和平均速率在 t 时刻有确定数值。时刻有确定数值。泻流泻流14nv 具体求出分子束速率分布。具体求出分子束速率分布。 dt 时间内从时间内从dA 面积的小孔逸出的分子数可写为，面积的小孔逸出的分子数可写为，011dd( )ddd44Nnv Atnvf vvAt 其中速率为其中速率为v 到到v +dv 范围内的分子数是范围内的分子数是14()dddnvfvAtv dvN1d( )ddd4vNnvf vvAt d( )dvNF vvN ( )dvf vv

3、v 44( )d ddddnvf vv A tnv A t 1d4NnvA t 利用气体分子平均速率公式，分子束速率分布利用气体分子平均速率公式，分子束速率分布F(v)dv可表示为可表示为22322( )dd2()m vkTmF vvevvkT 23/ 232( )d4 ()d82mvkTmmF vvevvkTkT ( )dF vv ( )dvf vvv 2948 kTkTvvmm 束束束束22322( )dd2()m vkTmF vvevvkT （ ） 若令沿金属表面法向向外的方向定若令沿金属表面法向向外的方向定为为x正方向，则正方向，则只有只有速度分量速度分量vx为正，且为正，且满足满足v

4、xvxmin条件的自由电子条件的自由电子“碰碰”到金属表面上时才能逸出金属表面。到金属表面上时才能逸出金属表面。 其中其中vxmin 与脱出功与脱出功W 之间有如下关系之间有如下关系 2/)(2minxevmW 金属表面的金属表面的自由电子受到自由电子受到晶格离子的吸引力晶格离子的吸引力 热电子发射强度热电子发射强度Je。 若设金属自由电子数密度为若设金属自由电子数密度为n，则在，则在 dt 时间内碰撞时间内碰撞在在 dA 面积上的所有速度分量在面积上的所有速度分量在 vx 到到 vx + dvx 范围内范围内而而vy vz 为任意的分子数为为任意的分子数为d()()dd dxxxxNvnf

5、vvvt A min()dxexxxvJnf vvv d()xN v假定金属中自由电子遵从麦克斯韦分布假定金属中自由电子遵从麦克斯韦分布,可以得到可以得到min()dxexxxvJnf vvv 1/2()e2WkTekTJnm 李查逊李查逊( (Richardson）公式。）公式。21/22()()e2xmvkTxmf vkT 1/2()e2WkTekTJnm min 2()2exm vW 在离地球中心距离为在离地球中心距离为 h 的高层大气中，必有某的高层大气中，必有某些气体分子的速率大于从该处脱离地球引力而些气体分子的速率大于从该处脱离地球引力而逃逸的最小速率逃逸的最小速率vmin, 2m

6、in12EGM mmvh 2minEGMvh （ ）+500km 以上的以上的， 这称为地球大气逃逸。这称为地球大气逃逸。2minEGMvh 上世纪上世纪70年代初美国太阳神年代初美国太阳神16号宇宙飞船登上月球表号宇宙飞船登上月球表面时拍摄的照片。面时拍摄的照片。可以看见可以看见, ,虽然阳光很强虽然阳光很强, ,但是天空是黑色的但是天空是黑色的? ?原始月球也有大气，但由于月球表面的重力加速度仅原始月球也有大气，但由于月球表面的重力加速度仅为地球表面的为地球表面的1/6。 月球表面气体分子的最小逸出速率仅为地球表面最小逸月球表面气体分子的最小逸出速率仅为地球表面最小逸出速率的出速率的0.4

7、倍。倍。 因此在月球大气分子因此在月球大气分子中能逸出月球吸引力范围中能逸出月球吸引力范围的概率较地球大气大得多。的概率较地球大气大得多。月球最小月球最小逸出速率逸出速率地球最小地球最小逸出速率逸出速率2minmoonGMvR 。其表面大气压强仅。其表面大气压强仅310-10 Pa。故，虽然阳光很强故，虽然阳光很强, ,但是天空是黑色的。但是天空是黑色的。从太阳的高层大气中逃逸出来的粒子流称为太阳风。从太阳的高层大气中逃逸出来的粒子流称为太阳风。 氢原子核（质子）为主的粒子流，其平均速率为氢原子核（质子）为主的粒子流，其平均速率为400kms-1（在太阳活动期可高达（在太阳活动期可高达1000

8、 kms-1) )，这就是，这就是宇宙射线。宇宙射线。它对生物会产生巨大损害。它对生物会产生巨大损害。太阳风（质子流，即电流）产太阳风（质子流，即电流）产生的磁场和地球磁场相互作用生的磁场和地球磁场相互作用把地球磁场压缩成为地球磁层。把地球磁场压缩成为地球磁层。地球磁层能够把太阳风抵挡在地球磁层能够把太阳风抵挡在地球外面。使得地球上的生物地球外面。使得地球上的生物避免受到宇宙射线的危害。避免受到宇宙射线的危害。（ ）Maxwell分布律中分布律中e 指数项指数项 22m vkTe kTke 221mvk 221vmk k Te 第三章第三章分子射线束实验验证分子射线束实验验证Maxwellpk

9、 dvvv drrr dddxxxyyyzzzvvvvvvvvv dddxxxyyyzzz 3/20d()edddddd2kpkTxyzmNnvvvxyzkT 0n Ludwig Boltzman（1844-1906），），Stefan(斯忒藩斯忒藩)的学生和助手的学生和助手1876年任维也纳物理研究所所长年任维也纳物理研究所所长 在玻尔兹曼假设基础上建立了分在玻尔兹曼假设基础上建立了分子按能量的分布律子按能量的分布律kTe 玻尔兹曼因子玻尔兹曼因子3/20d()edddd d d2kpkTxyzmNnvvvx y zkT drrr dddxxxyyyzzz 0dedddpkTNnxyz 3/

10、20ded d d()eddd2pkkTkTxyzmNnx y zvvvkT 0dedddpkTNnxyz ddddVxyz 0dedpkTNnV kTpnzyxn e),(0p nkTpnn e0 对于处于平衡态的气体中的原子、分对于处于平衡态的气体中的原子、分子、布朗粒子，以及液体、固体中的很多子、布朗粒子，以及液体、固体中的很多粒子，一般都可应用玻耳兹曼分布，只要粒子，一般都可应用玻耳兹曼分布，只要粒子之间相互作用很小而可忽略粒子之间相互作用很小而可忽略. .kTpnn e03 / 20()e2kpkTxyzmdNndv dv dvdxdydzkT kTmgznn e0mgzp nz n

11、m nT nz0n1T2TkTpnn e0四四. . 等温等温压强公式压强公式.ginkTp kTmgznn e00m gzkTn e kTmgzep 00MgzRTp e pkT kTmgzepp 00MgzRTpp e kTRTHmgMg 0MgzRTpp e 0lnpzHp 0zHp e 第三章第三章分子射线束实验验证分子射线束实验验证Maxwell222()3/22zd()eddd2xyzm vvvkTxyNmvvvNkT 3/20zd()edddddd2kpkTxymNnvvvxyzkT 0epkTnn 3/2222d( )4()d2m vkTNmf v dvevvNkT 222()

12、3/22zd()eddd2xyzm vvvkTxyNmvvvNkT 212tmv 212tmv 3/20zd()edddddd2kpkTxymNnvvvxyzkT 32tkT 热容量热容量质点质点 x、y、z 质心平动自由度质心平动自由度 t=3 （x、y、z 三个独立坐标）三个独立坐标） 转过的角度转过的角度 1 1 （ 一个独立坐标）一个独立坐标） f=t+r=6转动转动r =3 质心轴位置质心轴位置 2 （二个独立坐标）二个独立坐标）f=t=3刚体刚体 f = =？能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理例如：例如：氢气（氢气（H2）在高温下两氢原子之间就有振）在高温下两氢原子之间就有振

13、动，氯气（动，氯气（Cl2）在常温下便有振动。这时可以看）在常温下便有振动。这时可以看作由两质点组成的弹性谐振子。作由两质点组成的弹性谐振子。 对双原子分子对双原子分子-6个自由度个自由度r=2 s=1对多原子系统（对多原子系统（n 3）3个平动自由度（个平动自由度（t=3）3个转动自由度（个转动自由度（r=3）（3n-6）个振动自由度（）个振动自由度（s）3n个自由度个自由度 3 tf2 r3 t5 rtf2 r3 t1 s6 srtf3n3 r3 t63 ns热容量热容量kTt23 212mv 222zyxvvv kTkT212331 213v 21 1()3 2mv222111222xy

14、zm vm vm v kTt23 kTvmvmvmzyx21212121222 kT23kT21kT212kTrr 2kTss kT213 tf2kTfk kTkTt232 523 rtf2kTfk kTkTrt252)( 6123 srtf2kTfk kTkTsrt262)( 热容量热容量kT21()22kkTkTftrs 2skkTs 2kTssp 22kTs 2)2(kTsrt 二二. . 能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理3 tf23kTk 523 rtfk kTkTrt252)( 6123 srtfkspkTkTsrt272)2( (2 )2 =2kTtrsikT 依靠分子依靠

15、分子间的大量的无规碰撞间的大量的无规碰撞通过分子通过分子间很强的相互作间很强的相互作气体分子是如何通过频繁碰撞而发生不同粒子间、不同自气体分子是如何通过频繁碰撞而发生不同粒子间、不同自由度间能量的转移的由度间能量的转移的. . 一个非对心碰撞的例。一个非对心碰撞的例。热容量热容量AmUNM A(2 )2mkTNtrsM1(2 )2mtrs RTM(2 )2 =2kTtrsikT 1(2 )2mUtrs RTM1(2 )2mUtrs RT32mURT 52mURT 72mURT 热容量热容量热容量热容量Qcm T 11(J KgK )Cc m1(J K ) )(Tcc Cc M11(J Kmol

16、 ),p mC,V mCQ0limTQCT QT CddQT Qdu 0,dlimdV mTQuCTT ,ddV muCT 1(2 )2utrs RT,1(2 )2V mCtrs R ,32V mCR ,52V mCR ,72V mCR 119872. 1 KmolcalR,3V mC ,5V mC ,7V mC 热容量热容量单原子气体单原子气体 He单原子单原子N单原子单原子O 2.982.9793.286双原子气体双原子气体 H2 O2N2 CO4.849 5.0964.9684.970在在0时几种气体的实验值时几种气体的实验值,3V mC 5V ,mC 刚刚性性H2O2N2CO 0 4.

17、849 5.006 4.968 4.970 200 4.9985.053 5.0954005.035 5.838 5.317 5.412 600 5.130 6.183 5.638 5.753800 5.292 6.422 5.920 6.033 ,5V mC ,7V mC 在不同温度时双原子气体在不同温度时双原子气体 H2 的的 反常行为反常行为氢气定体热容反常和氢气定体热容反常和自由度冻结自由度冻结假说假说: :其解释是气体分其解释是气体分子的子的自由度会发自由度会发生冻结和解冻。生冻结和解冻。并且不是所有分并且不是所有分子同时冻结和同子同时冻结和同时解冻。时解冻。转动自由度转动自由度冻结

18、或解冻冻结或解冻振动自由度振动自由度解冻解冻H2分子：分子：T102 K， f=3 (平动平动)102 K T 103 K， f =6 (+振动振动) 至于为什么自由度会被至于为什么自由度会被“冻结冻结”，为什么，为什么随温度升高自由度会逐渐随温度升高自由度会逐渐“解冻解冻”，一切经典，一切经典理论对此都无法解释理论对此都无法解释。 这需借助量子理论，其关键是转动动能与振动这需借助量子理论，其关键是转动动能与振动能并不能连续变化，而是分能级的，即能量是能并不能连续变化，而是分能级的，即能量是量子化的。量子化的。1(2 )2mUtrs RT,ddmV mUCT 热容量热容量 ErU )(22薛定谔 (E.Schrodinger) 18871961 奥地利人创立波动力学理论2222121)(xmkxxU 2 .2 , 1 , 0 n ErU )(22 )21()21( nhnEs2222121)(xmkxxU 0 n1 n 3 10 k ErU )(22 )21()21( nhnEsTk .2 , 1 , 0 l0 n1 nkEr几几十十个个 22(1),8 0,1,2.rhEl lIl 3 tf2kTfk kTkTt232 523 rtf2kTfk kTkTrt252)(