《电磁场理论》教案5

1、第五章 准静态电磁场 麦克斯韦方程组描述了时变电磁场中时变电场与时变磁场相互依存又相互制约，并以有限速度在空间传播，形成电磁波的普遍规律。此时，电磁场量的激励与响应不是同时发生的，场量的时间变量t与空间变量r相关。但在许多工程问题中，尤其在电气设备、电力传输、生命科学等领域，时变电磁场的频率教低，因而在某些特定的情况下，可以忽略二次源 的作用，使场具有类同静态电磁场的特点，这类场被称之为准静态电磁场。tDtB或5-1电准静态场与磁准静态场 准静态电磁场考虑了电磁场随时间缓慢变化的规律，具有静态电磁场的某些特征。根据被忽略的 项，相应的准静态电磁场又分为电准静态场和磁准静态场。tDtB或5.1.

2、1电准静态场 时变电场由电荷q(t)和变化的磁场 产生，分别建立对应的库仑电场Ec和感应电场Ei。在低频电磁场中，如果感应电场Ei远小于的库仑电场Ec，则可以忽略 的作用，这时的电场呈现无旋性tBtB0cicEEEE）（5-1）这样的电磁场称为电准静态场（Electroquasistatic field，简记为EQS场）。其微分形式的基本方程组是00BDtDJHE 在EQS近似下，电场的方程与静电场中对应的方程完全一样，两种场的计算方法相同。与静电场相仿，电准静态场也可以用随时间变化的电位(t)的负梯度表示,即)(tE（5-2）（5-3）（5-4）（5-5）同时,可导出电位满足的泊松方程)(2

3、t 电力传输系统中的高压电场，各种常用电子器件、设备以及天线近区的电场等均属于电准静态场的工程应用实例。5.1.2磁准静态场 时变磁场的激励源是传导电流密度 和位移电流密度 。在低频电磁场中，如果 ，可以忽略位移电流，磁场按恒定磁场处理，即JtDJdJJdJtDJH（5-6）这样的电磁场称为磁准静态场（Magnetoquasistatic field，简记为MQS场）。其微分形式的基本方程组是0BDtBEJH 在MQS近似下，磁准静态场具有与恒定磁场类同的有旋无源性，因此两种场的计算方法相同。与恒定磁场相仿，磁准静态场也可以用随时间t变化的矢量磁位A(t)的旋度表示，即ABtAE（5-7）（5

4、-8）（5-9）（5-10）（5-11）ABtAE同样，A(t)满足矢量泊松方程JA2 除了运行于低频(如工频)情况下的各类电磁装置中的磁场问题，电工技术中的涡流问题是这类磁准静态场的典型应用实例，它广泛地伴随在电机、变压器、感应加热装置、磁悬浮系统、电磁测量仪表、磁记录头和螺线管传动机构等工程问题之中。 例例5-1：一平行板电容器如图所示，极板间距d=0.5cm，电容器填充r=5.4的云母介质，极板间外施电压为Vttu)314cos(2110)(忽略边缘效应，试求极板间的电场与磁场。（5-12）d+u(t)rz 解解：极板间的电场由极板上的电荷q（t）和变化的电磁场产生。在工频情况下忽略 的

5、影响，极板间的电场近似为EQS场，在图示设定的坐标系下，仿照静电场的计算，得tBmVetmVeteduEzzz/)(314cos(1011. 3/)(314cos(105 . 02110)(42磁场由全电流定律得出，即AlAdtDldH)()()314sin(3141011.32204zzreetHAlAdtDldH故极板间磁场mAeteteHH/)(314sin(1033. 2)()314sin(1085. 84 . 53141011. 3214124 若考虑因变化的磁场产生的感应电场，则有tHtBE0)314cos(1033. 231440tEz)/)(314cos(10537. 428m

6、VtEz由此得可见，在工频时，由变化的磁场产生的感应电场远小于库仑电场。因此，忽略 的影响是符合工程分析要求的。tB5-2 磁准静态场和电路 第二章中曾讲过，由电流连续性方程可以推导出基尔霍夫第一定律，由（恒定电场中）电场强度的环路线积分可以推导出基尔霍夫第二定律。现在进一步说明磁准静态场方程是交流电路的理论基础。 对于方程式：两边取散度JH JH得0J(利用了书p.335最后一式)相应的积分形式是0SSdJ把它应用到交流电路的任一节点上，即得基尔霍夫第一定律：由电路中任一节点流出的总电流恒等于零，即0i（5-13）（5-14） 考虑磁准静态场中的RLC串联电路，如图5-1所示。由于在MQS近

7、似中传导电流是连续的，所以电路中任一时刻t的电流i(t)处处相等。电路中任一点的传导电流密度是ABCRL图5-1Ee)(eEEJEe是电源内部的局外场EJEe由tAE得JtAEe沿着导线由A到B积分ldJldldtAldEBABABABAe（5-15）（5-16）（5-17）ldJldldtAldEBABABABAe 由于局外场只存在于电源中，等式左端一项是电源电动势； 右端第一项忽略电容器极板间的距离近似于闭合积分，而m=lAdl是磁链，因而这一项是感应电动势。磁链又主要集中在电感线圈中，故该项应等于Ldi/dt。 右端第二项是标位梯度的线积分，积分数值与路径无关，可在电容器内部积分，所以这

8、一项等于极板间的瞬时电压：idtCCqu1 右端第三项的被积函数可写为 ，S是电流穿过的横截面积。沿线的电流i处处相等，线积分应等于包括电源内阻Ri，导线电阻r和电阻器电阻R在内的总电阻与i的乘积，即i（Ri+r+R）因此有SiJ）（）（RrRiidtCdtdiLti1RCLuuut）（ 例例5-2 用磁准静态场的方法处理同轴电缆内的电磁问题。书P.191例5-2,ab图5-2 解解：如图所示，假设同轴电缆内外导体是理想导体，电源到负载的距离远小于六分之一波长，忽略边缘效应，同轴电缆内外导体之间的电场、磁场强度分别是eUabEln（5-18）eIH2式中 是内外导体间的复电压， 是沿导体流过的

9、纵向复电流（相量）。UI 内外导体之间的坡印亭矢量是zabeIUHESln22同轴线传输的平均功率应是坡印亭矢量在内外导体之间的横截面S上的面积分，即RelnReln2Re2IUdIUdSIUPbaabSab（5-19）RelnReln2Re2IUdIUdSIUPbaabSab可见，用磁准静态场的理论计算同轴线传输功率与应用电路理论计算的结果一致。5-3 电准静态场与电荷驰豫 在导电媒质中，自由电荷体密度随时间衰减的过程称为电荷的驰豫过程5.3.1电荷在均匀导体中的驰豫过程 在电导率为，介电常数为的均匀导电媒质中，考虑到J=E和D=E，对于电准静态场的微分方程tDJH两边取散度0DtEH将ED

10、代入上式得0t（5-20）（5-21）这是一阶常微分方程，其解为etezyx/0),(式中0(x,y,z)为t=0时的电荷分布；e=/（单位为秒）称为驰豫时间。一般情况下，良导体的介电常数0，电导率在107 S/m的数量级上，所以e非常小。这表明，在导体内部，体电荷很快衰减至零，这个衰减过程就是自由电荷的驰豫过程。所以一般可认为良导体内部无自由电荷积累，电荷驰豫过程的电磁场可近似认为EQS场。E 在EQS近似下，由于 ，因此可引入电位函数0 E进而得到2考虑到 ， 则有 etezyx/0),(（5-22）（5-23）ete/02在同一种导电媒质的无限空间中，其解为eetVtezyxdVeRtz

11、yx/0/0),(4),(dVRzyxV4),(00式中 为t=0时的电位分布。这个结果表明，导体中的电位分布随时间也按指数规律衰减，其衰减的快慢同样决定于驰豫时间。对于点电荷情况，有 ， 而磁场处处、时时均为零。eteRq/04（5-24）（5-25）5.3.2电荷在分片均匀导体中的驰豫过程 在分片均匀导电媒质的分界面上，电场切向分量连续：2121ttEE电位移矢量的法向分量满足的关系：nnnnEEDD112212仍然成立。根据电荷守恒定律tJtqSdJS或不难导出012tJJnn以J1=1E1，J2=2E2，2E2n1E1n=代入上式，整理得0)()(11221122nnnnEEtEE（5

12、-26）（5-27）（5-28）（5-29）此式表明，在时变电磁场中，位于导电媒质分界面上的全电流密度法向分量连续。现以双层有损介质的平板电容器为例，通过求解由上式给出的由电场法向分量对时间t的一阶微分方程，即可分析在导电媒质分界面上自由电荷的积累过程。 例例5-3 研究具有双层有损介质的平板电容器接至直流电压源的过度过程，如图5-3所示。书p.195例5-42 21 1baSUox图5-3 解：设电容器在t0-时处于零状态，极板上没有电荷，即E1(0-)=E2(0-)=0,u(0-)=0；t0+时，电容器的端电压被强制跃变，即u(0+)=U。根据电容的伏安关系dtduCi 0)()(1122

13、1122nnnnEEtEE电路中将出现冲激电流，极板上的电荷将发生跃变。此时位移电流相对较大，但因电容器中漏电流很小，磁感应强度B的变化绿 可以忽略不计，故电容器中的电磁场可按EQS场分析。tB/ 在EQS场中，t0+时)(21tubEaE再按前述分界面上的边界条件得0)()(22112211EEdtdEE2 21 1baSUox图5-3从上两式中消去E2，则有dtduuEabdtdEab22121121)()(这是关于E1的一阶非齐次微分方程，其通解形式为E1=齐次方程的解E1+稳态解E1”（5-30）（5-31）（5-32）（5-33）将稳态解代入（5-32），并因t时，uU，du/dt=

14、0，故有2121abUE（5-34）设E1=Aept，代入与式（5-32）对应的齐次微分方程0)()(121121EabdtdEab0)()(2121ptptAeabdtdAeab0)()(2121ptptAeababAep得特征根eababp12121e为驰豫时间2121ababe（5-35）综合以上结果（5-32）式的一般解是2121abUAeEetUabE2121)0(（5-36）为了得到E1的初始条件，将式（5-32）两边对时间t积分，取积分区间为0-0+，可得dudtudtEabdEab0020020012110021)()(由于E1(0-)=0，u(0-)=0，（b1+a2）E1与

15、2u为有限值，所以（5-37）这样，由式（5-36），当t=0+时可解得待定常数212212abUabUA因此，开关闭合后，E1的过渡过程为eetteabUeabUE2122121)1 (（5-38）（5-37）将上式代入（5-30），即得eetteabUeabUE2112112)1 (所以，分界面上的自由电荷面密度为)1 (2112212211eteUabEE（5-38） 由此可见，开始充电时，分界面上=0。随着时间t增加，分界面上的面电荷逐渐积累，直至电路达到稳态时，=常数。 以上结论可以推广到一般情况，即当对多导体区域充电时，在不同导电媒质的交界面上会产生自由面电荷的分布。由式（5-38

16、）可见，只有当相邻媒质满足21=12的条件时，交界面上面电荷=0，即不会有自由面电荷的积累。5-4集肤效应 将导电媒质放置在变化的磁场中，或在导电媒质中通以交变电流时，由于交变磁场产生的感应电场的作用，将使场量在导体表面分布密集，且沿其纵深方向衰减，呈现所谓集肤效应。本节讨论在交变情况下导体中电流的流动及其电磁场的分布特性。5.4.1 E、H和J的微分方程 在MQS近似中，设相对于传导电流可以忽略不计位移电流的影响，此时电磁场满足方程组0BDtBEJH（5-7）（5-8）（5-9）（5-10） 将式（5-7）两边取旋度，并运用恒等式FFF2)(将左边展开，得JHHH2)(再利用HBEJ，得：E

17、HB2)(1将（5-8）和（5-10）代入tHtBEH)(2tHH2即同理，可得tEE2（5-39）（5-40）式（5-40）推导过程：对（5-8）式两边取旋度tEHttHE)(运用恒等式FFF2)(0ED及（良导体内无自由电荷积累）EEEE22)(tEE2所以此式两边同乘以电导率，并考虑到J=E，得tJJ2（5-41）5.4.2集肤效应 从能量的观点很容易理解产生集肤效应的原因。由于导体的电导率，即电阻率0，所以其中有能量损耗，即有一部分电磁能转变成热能。因此，当电磁波进入导体内部时，随着与表面距离的增大，能量逐渐减少，从而引起电磁能量的逐渐减弱。对平板来说，场量按指数规律下降；对圆柱体来说

18、，衰减的规律比较复杂；若频率很高，电磁波透入导体的深度较圆柱体的曲率半径小得多时，则可把圆柱体近似地看成平板，因而它内部的电磁场量随距离的变化，也可看成是按指数规律衰减的。 集肤效应是由场量在导体内部的衰减形成的，而场量在导体内的衰减快慢又可用导体的透入深度d表示，因此，集肤效应和透入深度之间有着密切的关系。 设在如图5-4所示的半无限大导体（x0）中，正弦电流i沿y轴方向流动，电流密度J只有y分量并在yoz平面上处处相等，即yyeJJ而且只是x的函数，所以方程（5-41）简化后的复数形式为（5-42）yyJjdxJd22,xyz图5-4令： k2=j（5-44）（5-43）则上述二阶常微分方

19、程的一般解是kxkxyeCeCJ21由于在x=+处电流密度为有限值，故应取C2=0，并假设x=0时， ，则0JJ （5-45）xjxyeeJJ0式中)1 (2jjk电场强度的解为xjxxjxyyeeEeeJJE00（5-46）（5-47）（5-48）由式（5-8）可求得磁场强度的解为xjxzeeEjkH0（5-49）由以上各式可见，电流密度、电场强度和磁场强度的振幅沿导体的纵深都按指数规律ex衰减，相位也随之改变。这说明，当交变电流流过导体时，靠近导体表面处电流密度大，愈深入导体内部，它们愈小。当频率很高时，它们几乎只在导体表面附近一薄层中存在，这种场量主要集中在导体表面附近的现象，称为肌肤效

20、应。 透入深度定义为场量振幅衰减到表面值的1/e时所经过的距离由1eed得21d（5-50）这个结果表明,频率越高,导电性能越好的导体,集肤效应越显著。下表是不同条件下，几种导体中的透入深度。媒质 d（mm）f（Hz）铜铁海水干燥土壤=5.8107西/米=102西/米=1西/米=107西/米=0=0=10000=05050104501099.350.0940.31030.7120.0071271.21030.7121037121037.121032.251052.2522 . 5关于透入深度，应该注意以下几点：书上说0.66m关于透入深度，应该注意以下几点： （1）透入深度d仅表示场强或电流密

21、度在该处已衰减到表面值的1/e，而在大于d的区域内，场强和电流密度继续衰减，但并不等于零。d愈小，表示电磁波衰减得愈快。 （2）投入深度与电导率、磁导率及频率的平方根成反比，所以、和值愈大，d愈小。从物理意义来看。、愈大，感应电势就愈大；而愈大，引起的感应电流就愈大，从而消耗的功率愈大。所以电磁波不易深入到导体内部区域。 （3）严格地讲，式(5-50)只适用于表面积很大的平面导体。但只要计算出来的d值比表面的曲率半径小得多，也可推广应用于其它形状的导体。5-5涡流及其损耗5.5.1涡流的概念 位于交变磁场中的导体，在其内部将产生与磁场交链的感应电流，由于感应电流自成闭合回路，称为涡流。涡流具有

22、与传导电流相同的热效应和磁效应，在大多数电器设备中，力求减小涡流及其损耗，但同时，涡流也有广泛的工业应用，例如：感应加热、无损检测、金属淬火等。因此，研究涡流问题具有重要的实际意义。 在MQS近似下，涡流问题中的电场强度E、磁场强度H和电流密度J同样遵守上一节导出的微分方程：tHH2tEE2（5-39）（5-40）tJJ2（5-41）所以，通常也将这些方程称为涡流方程，或磁扩散方程。它们是研究涡流问题的基础。5.5.2薄导电平板中的涡流Il图5-5 工频、音频(30Hz3KHz)变压器和交流电器的铁心通常均由相互绝缘的薄钢片叠成，以减少涡流损耗，如图5-5所示。以铁心中一薄钢片为例（如图5-6

23、所示），为了分析其中的电磁场分布，假设： (1)由于ha，la，故钢片截面内磁感应强度沿z轴方向，且是（x，t）的函数，与y和z无关； (2)由于外磁场B沿z方向，故薄片中的涡流无z分量，在平面内呈闭合路径，现忽略感应电场沿x方向的分量（y方向两端的边缘效应），则归结为E和J仅有y分量Ey（x，t）和Jy（x，t）。BzahBhaoxyz图5-6 设磁场随时间作正弦变化，且对y轴呈对称分布。忽略位移电流，铁心叠片中的涡流场可近似为MQS场，磁场强度满足一维扩散方程，即zzzHkHjdxHdtHH2222（5-51）通解为kxkxzeCeCH21（5-52）根据磁场的对称性22aHaHzz显然，

24、C1=C2=C/2，采用双曲函数可表示为)()(0kxchBkxchCHz)(0kxchBBz式中 是x=0处的场强。0B由 和 ，有：EBEJ)(0kxshkBEy)(0kxshkBJy（5-56）（5-55）（5-54）（5-53） 和 的模值分别为参阅冯慈璋电磁场（第二版）p.256zByJ)2cos()2cosh(210KxKxBBz)2cos()2cosh(210KxKxJJyy（5-58）（5-57）式中 。Bz，Jy随x的变化曲线如图5-7所示。2K书p.202 图5-7表示Bz和Jy在某一频率下的空间分布，可以看出，在薄片的中心出现B的极小值，这是涡流的去磁效应形成的，考虑到电

25、流的流向在薄板的两边是相反的，所以电流密度的分布对称于原点。由图5-7还可以看出，在导体内部，电场及磁场的分布并不均匀，愈深入导体内部，场量愈小。也就是说，场的分布比较集中在导体表面附近，正是集肤效应的体现。aBB0oxJ11876543212345602Kx0BB图5-711876543212345602Kx0BB 应用B/B0对2Kx的关系曲线可以说明一些实际问题。对电工钢片来说，一般=10000，=107S/m，a=0.5mm。设f=50Hz，则，mmd715.027 .0da ，集肤效应不显著，可认为B还是沿截面均匀分布的。但当工作频率为f=2000zH时， ，其表面的磁通密度已达到其

26、中间部分量值的4.5倍。可见在4 .4da音频时，已不适宜采用厚度为0.5mm的钢片了，而应代之以0.050.1mm的钢片。在无线电频率时，即使钢片再薄，磁通沿钢片厚度的分布还是极不均匀，必须考虑集肤效应的影响。 下面计算钢片中的涡流损耗。在体积V中消耗的平均功率为dVJPyV21当频率较低，即a/d较小时，经计算得：VBaPzav222121（5-60）（5-59）式中Bzav是有效值的平均值，V是钢片的体积。由此可见，钢片的电导率及其厚度a愈大，损耗愈大。所以交流电器的铁心都由彼此绝缘的硅钢片组成。钢片间的绝缘从电的角度看，相当于使整块铁心变薄，而材料中加硅是为了增加材料的电阻率即减小其电

27、导率。此外，损耗随频率而增加，当频率高到一定程度以后，采用薄板形式就不适宜了，而应采用由粉状材料压制而成的铁心。5-6导体的交流内阻抗 导电媒质中时变电磁场的分布不同于恒定场的分布，因此，相应的等效电路的参数值也不同。在正弦时变场的情况下，可通过复数形式的坡印亭向量的面积分计算导体的交流内阻抗。)(2*jXRIIZI 设导体中通有总电流 ，它的等效交流电路参数为Z=R+Jx，则该导体消耗的复功率为I流入该导体的复功率，也使坡印亭向量的面积分dSHES)(*因此，得导体的等效交流电路参数的计算公式为2*)(IdSHEZS（5-61）2*)(IdSHEZS式中S为导体的表面，Z称为等效交流阻抗，由

28、于交流阻抗只计算了导体内部电磁场引起的阻抗，故称Z为导体的交流内阻抗。 例例 5-4 有一半无限大导体，如图5-8所示。试求图示斜线柱体体积（底面面积为ha）的交流内阻抗。书p.204例5-5yEzHSIxyahz图5-8 解解：导体位于x0的半无限大空间，其中电流、电场和磁场沿x方向的分布在5-4节中得到kxyeEJ0kxyeEE0kxzeEjkH0yEzHSIxyahz图5-8流过宽度为a、在x方向无限深的截面上的总电流是kEadxeEadSJIkxSy000由图可见，坡印亭向量沿x轴正向，并且其通量只在导体上底面（x=0处）才不为零。因此有20*2*)()(IahHEISdHEjXRZx

29、zyS20*2*)()(IahHEISdHEjXRZxzyS)1 (2jjk32200220kahjkEaeEjkahxkxk2=j)1()1(2)1(2)(2jdahjahjjahj故dahRdahXLi和（5-62）由此可见，随着频率的增大，该系统中的交流电阻也随着增大，但内阻却减少。同时，这一结论还可用来说明透入深度d的另一涵义，即当交流电阻相当于直流电流集中在某一范围内的直流电阻时，该范围的长度（纵深方向）便是透入深度。 例例5-5 求半径为a的圆截面导线单位长度上的交流电阻。假设半径a远远大于透入深度d。书p.205例5-6 解解：由于ad，所以可把导线看成是厚度无限大、宽度为导线截面周长2a的平面导体，因此，圆导线单位长度上的交流电阻是addaR21这相当于厚度为d（da）的圆管导体的直流电阻.圆导线单位长度上的直流电阻是2ahRd同一根圆导线的交流电阻与直流电阻的比值是daRRd2例如，当a=2103 m，f=3108Hz，=5.8107S/m时，2.26dRR这说明同一根导线的交流电阻比直流电阻大得多