离散时间信号与系统的时域分析

1、1.1 1.1 模拟信号的数字处理方法模拟信号的数字处理方法1.2 1.2 离散时间信号离散时间信号1.3 1.3 离散时间系统离散时间系统1.4 1.4 离散时间系统的时域描述离散时间系统的时域描述差分方程差分方程 信号是信息的一种物理体现，它以某种信号是信息的一种物理体现，它以某种函数的形式传递信息。函数的形式传递信息。 一般将信号分为三类：连续时间信号、一般将信号分为三类：连续时间信号、离散时间信号和数字信号。离散时间信号和数字信号。 其中离散时间信号是指信号在时间上是其中离散时间信号是指信号在时间上是离散的，即只在某些不连续的规定瞬时给出离散的，即只在某些不连续的规定瞬时给出信号的函数

2、值，而在其他时间没有定义。信号的函数值，而在其他时间没有定义。 离散时间信号可以通过对连续时间信号离散时间信号可以通过对连续时间信号进行采样得到，也就是在采样瞬间保留了原进行采样得到，也就是在采样瞬间保留了原连续信号的幅度值，该信号也被称为采样数连续信号的幅度值，该信号也被称为采样数据信号，其特点是时间上离散、幅度上具有据信号，其特点是时间上离散、幅度上具有无限精度的连续量。无限精度的连续量。 为了对信号进行数字化处理，必须对其为了对信号进行数字化处理，必须对其幅度按要求的精度进行有限位的量化。幅度按要求的精度进行有限位的量化。 这种时间上离散、幅度上被量化的信号这种时间上离散、幅度上被量化的

3、信号被称为数字信号。被称为数字信号。 数字信号能用数字系统进行各种处理，数字信号能用数字系统进行各种处理，以达到分析、识别或使用的目的。以达到分析、识别或使用的目的。 信号是信息的一种物理体现，它以某种信号是信息的一种物理体现，它以某种函数的形式传递信息。函数的形式传递信息。 一般将信号分为三类：连续时间信号、一般将信号分为三类：连续时间信号、离散时间信号和数字信号。离散时间信号和数字信号。 其中离散时间信号是指信号在时间上是其中离散时间信号是指信号在时间上是离散的，即只在某些不连续的规定瞬时给出离散的，即只在某些不连续的规定瞬时给出信号的函数值，而在其他时间没有定义。信号的函数值，而在其他时

4、间没有定义。 “ “数字信号处理数字信号处理”，顾名思义，就是对，顾名思义，就是对数字信号进行分析、处理和加工，它主要包数字信号进行分析、处理和加工，它主要包括数字滤波和频谱分析两大方面。括数字滤波和频谱分析两大方面。 为了对数字信号处理有一个大致的概念为了对数字信号处理有一个大致的概念性了解，我们先从模拟信号的数字化处理谈性了解，我们先从模拟信号的数字化处理谈起。起。 本章作为数字信号处理的基础，将主要本章作为数字信号处理的基础，将主要介绍模拟信号的数字处理方法，离散时间信介绍模拟信号的数字处理方法，离散时间信号和系统的基本概念、基本分析方法。号和系统的基本概念、基本分析方法。 具体为：离散

5、时间信号的表示方法，典具体为：离散时间信号的表示方法，典型信号、线性时不变系统的因果性和稳定性，型信号、线性时不变系统的因果性和稳定性，系统的输入输出描述法，线性常系数差分方系统的输入输出描述法，线性常系数差分方程的解法。程的解法。1.1.1 采样采样1.1.2 理想采样及其频谱理想采样及其频谱1.1.3 时域采样定理时域采样定理1.1.4 采样的恢复采样的恢复1.1.5 采样内插公式采样内插公式 在绪论中我们已介绍了数字信号处理技在绪论中我们已介绍了数字信号处理技术相对于模拟信号处理技术的许多优点，那术相对于模拟信号处理技术的许多优点，那么什么是模拟信号的数字化处理？么什么是模拟信号的数字化

6、处理？ 模拟信号的数字化处理就是先将模拟信模拟信号的数字化处理就是先将模拟信号转变为数字信号，然后用数字技术的处理号转变为数字信号，然后用数字技术的处理手段对该信号进行加工（例如数字滤波），手段对该信号进行加工（例如数字滤波），再将处理和加工后的信号还原为模拟信号。再将处理和加工后的信号还原为模拟信号。 上述整个过程称为模拟信号的数字化处上述整个过程称为模拟信号的数字化处理。理。 本节讨论如何把模拟信号转变成数字信本节讨论如何把模拟信号转变成数字信号。号。 “ “采样采样”是从连续时间信号到离散时间信是从连续时间信号到离散时间信号过渡的桥梁，它可以看作是数字化处理的号过渡的桥梁，它可以看作是数

7、字化处理的第一个环节。第一个环节。 所谓所谓“采样采样”，就是利用采样脉冲序列从，就是利用采样脉冲序列从连续时间信号中抽取一系列的离散样值，由连续时间信号中抽取一系列的离散样值，由此得到的离散时间信号通常称为采样信号，此得到的离散时间信号通常称为采样信号，以表示。以表示。 以后我们都以下标以后我们都以下标a a表示连续时间信号，表示连续时间信号，而以顶部符号（而以顶部符号（ ）表示它的采样信号。图）表示它的采样信号。图1-1-1 1为实现采样的原理框图。为实现采样的原理框图。 采样器可以看成是一个电子开关，设开采样器可以看成是一个电子开关，设开关每隔关每隔T T秒短暂地闭合一次，将连续信号接通

8、，秒短暂地闭合一次，将连续信号接通，实现一次采样。实现一次采样。 如果开关每次闭合的时间为如果开关每次闭合的时间为t t 秒，那么秒，那么采样器的输出将是一串周期为采样器的输出将是一串周期为T T、宽度为、宽度为t t 的的脉冲，而脉冲的幅度却是重复着在这段脉冲，而脉冲的幅度却是重复着在这段t t 时时间内信号的幅度。间内信号的幅度。 这个过程可以看作是一个脉冲调幅过程。这个过程可以看作是一个脉冲调幅过程。 被调制的脉冲载波是一串周期为被调制的脉冲载波是一串周期为T T、宽度、宽度为为t t 的矩形脉冲信号，即采样脉冲序列，而的矩形脉冲信号，即采样脉冲序列，而调制信号就是输入的连续信号。调制信

9、号就是输入的连续信号。 该采样过程可用图该采样过程可用图1-21-2表示，因而有表示，因而有 当采样脉冲序列为脉宽为当采样脉冲序列为脉宽为t t 的矩形脉冲的矩形脉冲时，称为矩形脉冲采样，也是实际采样，如时，称为矩形脉冲采样，也是实际采样，如图图1-2 (a)1-2 (a)所示；当脉冲宽度所示；当脉冲宽度t t 00时，得到时，得到的是理想采样，如图的是理想采样，如图1-21-2（b b）所示。）所示。 本节讨论理想采样。本节讨论理想采样。 理想采样就是假设采样开关闭合时间无理想采样就是假设采样开关闭合时间无限短，即限短，即t t 00的极限情况。的极限情况。 此时，采样脉冲序列为冲激函数序列

10、，此时，采样脉冲序列为冲激函数序列，这些冲激函数准确地出现在采样瞬间，而面这些冲激函数准确地出现在采样瞬间，而面积（即积分幅度）为积（即积分幅度）为1 1，采样后理想采样信号，采样后理想采样信号的面积则准确地等于输入信号在采样瞬间的的面积则准确地等于输入信号在采样瞬间的幅度。幅度。冲激函数序列为冲激函数序列为理想采样输出理想采样输出 下面讨论理想采样后，信号频谱发生的下面讨论理想采样后，信号频谱发生的变化。变化。 考虑到周期信号可以用傅里叶级数展开，考虑到周期信号可以用傅里叶级数展开，因此，冲激函数序列可用傅里叶级数表示为因此，冲激函数序列可用傅里叶级数表示为 则理想采样输出则理想采样输出 采

11、样信号的频谱是频率的周期函数。采样信号的频谱是频率的周期函数。 如果信号如果信号x xa(a(t t) )是带限信号，并且其最高是带限信号，并且其最高频率不超过频率不超过s/2s/2，即，即 由此得出结论：为使采样后能不失真地还由此得出结论：为使采样后能不失真地还原出原信号，采样频率必须大于两倍信号最原出原信号，采样频率必须大于两倍信号最高频率，即高频率，即f fs2s2f fmaxmax，这就是奈奎斯特采样，这就是奈奎斯特采样定理。定理。 一般实际工作中，为了避免频谱混叠现一般实际工作中，为了避免频谱混叠现象发生，采样频率总是选得比两倍信号最高象发生，采样频率总是选得比两倍信号最高频谱更大些

12、，例如选到频谱更大些，例如选到3 34 4倍。倍。 同时为了避免高于折叠频率的杂散频谱同时为了避免高于折叠频率的杂散频谱进入采样器造成频谱混叠，在采样器前常常进入采样器造成频谱混叠，在采样器前常常加一个保护性的前置低通滤波器，阻止一切加一个保护性的前置低通滤波器，阻止一切高于高于s/2s/2所以这个模拟低通滤波器也称为所以这个模拟低通滤波器也称为“抗混叠滤波器抗混叠滤波器”。 如果采样满足奈奎斯特采样定理，即信号如果采样满足奈奎斯特采样定理，即信号最高频谱不超过折叠频率，我们可以将采样最高频谱不超过折叠频率，我们可以将采样信号通过一个理想的低通滤波器信号通过一个理想的低通滤波器G G(j(j)

13、 ) ，这，这个理想低通滤波器应该只让基带频谱通过，个理想低通滤波器应该只让基带频谱通过，因而其带宽应该等于折叠频率，即因而其带宽应该等于折叠频率，即ss|/2(j)0|/2TG 采样信号通过这个低通滤波器，就可得采样信号通过这个低通滤波器，就可得到原信号频谱，即到原信号频谱，即 因此在输出端可以得到恢复的原模拟信因此在输出端可以得到恢复的原模拟信号号 当然，一个理想的低通滤波器是不可实当然，一个理想的低通滤波器是不可实现的，但是总可以在一定精度范围内，用一现的，但是总可以在一定精度范围内，用一个可实现的网络去逼近它。个可实现的网络去逼近它。a( )( )y txtaaa1(j)(j)(j)(

14、j)(j)(j)YXGXGXT理想低通理想低通G(jG(j) )的冲激响应为的冲激响应为ss/2jj/21( )(j)eded22ttTg tGsssinsin22ttTttT根据卷积公式，低通滤波器的输出根据卷积公式，低通滤波器的输出aa( )( )( ) ()dy tx txg tan( )() ()dxnT g ta( ) ()()dnxg tnT aasin()() ()()()nntnTTxnT g tnTxnTtnTT即即 其中，其中，aasin()( )()()ntnTTxtxnTtnTTsin()()()tnTTg tnTtnTT 式（式（1-101-10）称为内插函数，它的波

15、形如）称为内插函数，它的波形如图图1-51-5所示，其波形特点为：在采样点所示，其波形特点为：在采样点nTnT上，上，函数值为函数值为1 1；其余采样点上，函数值为零。；其余采样点上，函数值为零。（1-91-9）（1-101-10） 式（式（1-91-9）称为采样内插公式，它的波形）称为采样内插公式，它的波形如图如图1-61-6所示，它表明了连续信号所示，它表明了连续信号x xa(a(t t) ) 如何如何由它的采样值由它的采样值x xa(a(nTnT) ) 来表达，即来表达，即x xa(a(t t) ) 等于等于x xa(a(nTnT) ) 乘上对应的内插函数的总和。乘上对应的内插函数的总和

16、。 内插结果使得被恢复的信号在采样点的内插结果使得被恢复的信号在采样点的值就等于值就等于x xa(a(nTnT) )，采样点之间的信号则是由，采样点之间的信号则是由各采样值内插函数的波形延伸叠加而成的。各采样值内插函数的波形延伸叠加而成的。 这也正是连续低通滤波器这也正是连续低通滤波器G G(j(j) )的响应的响应过程。过程。 例例1-1 1-1 已知某模拟信号已知某模拟信号x xa(a(t t)=e-1000)=e-1000t t，将它分别用不同的采样频率进行采样得，将它分别用不同的采样频率进行采样得到离散时间信号，试分析以下两种采样频率到离散时间信号，试分析以下两种采样频率对信号频谱的影

17、响。对信号频谱的影响。 （1 1）采样频率）采样频率f fs=5000Hzs=5000Hz； （2 2）采样频率）采样频率f fs=1000Hzs=1000Hz1.2.1 序列序列1.2.2 常用基本序列常用基本序列1.2.3 序列的基本运算序列的基本运算1.2.4 任意序列的单位脉冲序列表任意序列的单位脉冲序列表示示 数字信号是将离散时间信号进行量化编数字信号是将离散时间信号进行量化编码得到的，因此对数字信号的处理与对离散码得到的，因此对数字信号的处理与对离散时间信号的处理的原理及方法是相同的。时间信号的处理的原理及方法是相同的。 离散时间信号只在离散时间给出函数值，离散时间信号只在离散时间

18、给出函数值，是时间上不连续的序列。是时间上不连续的序列。 通常，给出函数值的离散时刻间隔是均匀通常，给出函数值的离散时刻间隔是均匀的，若此间隔为的，若此间隔为T T，则以，则以x x( (nTnT) ) 表示此离散时表示此离散时间信号，这里间信号，这里n n取整数（取整数（n n=0,=0,1,1,2,2,）。）。1 1单位脉冲序列单位脉冲序列(n)(n) 单位脉冲序列也称单位采样序列或单位单位脉冲序列也称单位采样序列或单位冲激序列，其定义为冲激序列，其定义为 （1-111-11）10( )00nnn 该序列仅在该序列仅在n n=0=0时取值为时取值为1 1，其他均为，其他均为0 0。它类似于

19、模拟信号和系统中的单位冲激函数。它类似于模拟信号和系统中的单位冲激函数。但不同的是，在但不同的是，在t t=0=0时，取值无穷大；时，取值无穷大；t t00时时取值为零，对时间取值为零，对时间t t的积分为的积分为1 1。 单位脉冲序列和单位冲激信号如图单位脉冲序列和单位冲激信号如图1-111-11所所示。示。 由信号分析知识可以得到，序列表示的由信号分析知识可以得到，序列表示的意义是意义是1()0nknknk （1-121-12） 单位阶跃序列如图单位阶跃序列如图1-121-12所示。所示。 它类似于模拟信号中的单位阶跃函数它类似于模拟信号中的单位阶跃函数u u ( (t t) )。 但但u

20、 u( (t t) )在在t t=0=0时常不给予定义，而时常不给予定义，而u u( (n n) )在在n n=0=0时定义为时定义为u u(0)=1(0)=1。2单位阶跃序列单位阶跃序列u(n) （1-131-13） 式中为矩形序列的长度。式中为矩形序列的长度。 当当N N=4=4时，时，R R4(4(n n) ) 的波形如图的波形如图1-131-13所示。所示。3矩形序列矩形序列RN(n)以上三个序列具有以下关系以上三个序列具有以下关系 a a为实数为实数 （1-171-17） 如果如果| |a a|1|1|1，则称为，则称为发散序列；如发散序列；如a a 00，则序列正、负摆动。，则序列

21、正、负摆动。 4实指数序列实指数序列( )( )nx na u n (1-18) (1-18)式中，式中，w w为数字域频率。若，可得为数字域频率。若，可得 (1-19)(1-19)5复指数序列复指数序列(j)( )enx nj( )ecos()j sin()nx nnn 上式即欧拉恒等式。上式即欧拉恒等式。 也称为复正弦序列。也称为复正弦序列。 该序列在数字信号处理中有着重要的应该序列在数字信号处理中有着重要的应用，它不但是离散信号作傅里叶变换时的基用，它不但是离散信号作傅里叶变换时的基函数，同时也可作为离散系统的特征函数，函数，同时也可作为离散系统的特征函数，在以后的讨论中，会经常用到它。

22、在以后的讨论中，会经常用到它。j( )enx n 正弦型序列是包络为正弦、余弦变化的正弦型序列是包络为正弦、余弦变化的序列。例如序列。例如 （1-201-20） 式中是正弦型序列数字域的频率，单位式中是正弦型序列数字域的频率，单位是弧度，它反映了序列值周期变化快慢的速是弧度，它反映了序列值周期变化快慢的速率，或相邻两个样点的弧度数。率，或相邻两个样点的弧度数。 正弦型序列如图正弦型序列如图1-141-14所示。所示。6正弦型序列正弦型序列( )sin()x nn 对连续信号中的正弦信号进行采样，可对连续信号中的正弦信号进行采样，可得正弦型序列。得正弦型序列。 例如，连续信号为例如，连续信号为

23、它的采样值为它的采样值为 因为在数值上，序列值与采样信号值相因为在数值上，序列值与采样信号值相等，因此得到数字频率等，因此得到数字频率w w与模拟角频率与模拟角频率之间之间的关系为的关系为 (1-21)(1-21)a( )sin()xtta( )sin()sin()( )tnTxtnTnx nT 式（式（1-211-21）具有普遍意义，它表示凡是）具有普遍意义，它表示凡是由模拟信号采样得到的序列，模拟角频率由模拟信号采样得到的序列，模拟角频率与序列的数字域频率与序列的数字域频率w w成线性关系。成线性关系。 由于采样频率由于采样频率f fs s与采样周期与采样周期T T互为倒数，互为倒数，也可

24、以表示成下式也可以表示成下式 (1-22)(1-22) 即数字域频率相当于模拟域频率对采样即数字域频率相当于模拟域频率对采样频率的归一化值。频率的归一化值。 以后我们都一律以以后我们都一律以w w表示数字域频率，而表示数字域频率，而以以及及f f表示模拟域频率。表示模拟域频率。ss2fff 如果对所有如果对所有n n存在一个最小的正整数存在一个最小的正整数N N，使下面等式成立使下面等式成立 (1-23)(1-23) 则称序列则称序列x x( (n n) ) 为周期性序列，周期为为周期性序列，周期为N N，注意注意N N要取整数。要取整数。 下面讨论一般正弦型序列的周期性。下面讨论一般正弦型序

25、列的周期性。7周期序列周期序列( )()x nx nNn设设 那么那么 若若 k k为整数时，则为整数时，则 即即 0( )sin()x nAn000()sin()sin()x nNAnNAnN02Nk()( )x nNx n00sin()sin()AnAnN 在数字信号处理中，序列有下面几种运算，在数字信号处理中，序列有下面几种运算，它们是乘法、加法、移位、翻转及尺度变换。它们是乘法、加法、移位、翻转及尺度变换。 序列之间的乘法和加法，是指它的同序号序列之间的乘法和加法，是指它的同序号的序列值逐项对应相乘和相加，如图的序列值逐项对应相乘和相加，如图1-151-15所所示。示。1乘法和加法乘法

26、和加法 设某一序列设某一序列x(n)x(n)，m m为正整数，则为正整数，则x(n+m)x(n+m)表示序列右移（延时）；表示序列左移（超表示序列右移（延时）；表示序列左移（超前），这种超前运算在物理上是不可能实现前），这种超前运算在物理上是不可能实现的，只能非实时应用。的，只能非实时应用。 序列的移位如图序列的移位如图1-161-16所示。所示。2移位移位 当时当时y(n)=x(-n)y(n)=x(-n)，称，称y(n)=y(n)=是是x(n)x(n)的翻转的翻转序列，它是以序列，它是以n n=0=0的纵轴为对称轴左右翻转而的纵轴为对称轴左右翻转而得到的，如图得到的，如图1-171-17所示

27、。所示。3翻转及尺度变换翻转及尺度变换1.3.1 线性系统线性系统1.3.2 时不变系统时不变系统1.3.3 线性时不变系统输入输出的线性时不变系统输入输出的关系关系1.3.4 线性卷积的计算线性卷积的计算1.3.5 线性时不变系统的性质线性时不变系统的性质1.3.6 系统的因果性和稳定性系统的因果性和稳定性 例例1-3 1-3 判别判别 系统系统是否为线性系统。是否为线性系统。( ) ( )( )y nT x nnx n 式式(1-27)(1-27)说明，若一个离散时间系统对说明，若一个离散时间系统对x(n)x(n)的响应为的响应为y(n) y(n) ，如果，如果x(n)x(n)将延迟了将延

28、迟了k k个个单元，输出也相应延迟了单元，输出也相应延迟了k k个单元，则称该系个单元，则称该系统具有移不变性，所以时不变系统又称移不统具有移不变性，所以时不变系统又称移不变系统。变系统。 图图1-221-22形象说明了系统时不变的概念，形象说明了系统时不变的概念，不管输入信号作用的时间先后，输出信号响不管输入信号作用的时间先后，输出信号响应的波形形状均相同，仅是出现的时间不同。应的波形形状均相同，仅是出现的时间不同。 同时满足线性和时不变条件的离散系统称同时满足线性和时不变条件的离散系统称为线性时不变离散系统或线性移不变离散系为线性时不变离散系统或线性移不变离散系统，简称统，简称LSILSI

29、（Linear Shift-InvariantLinear Shift-Invariant）离）离散系统。散系统。 这种系统是应用最广泛的系统，它的重要这种系统是应用最广泛的系统，它的重要意义体现在：系统的处理过程可以统一采用意义体现在：系统的处理过程可以统一采用系统的特征描述之一即单位脉冲响应，以一系统的特征描述之一即单位脉冲响应，以一种相同的运算方式种相同的运算方式卷积运算，进行统一卷积运算，进行统一的表示。的表示。 该系统有许多优良的性能，在本书中，除该系统有许多优良的性能，在本书中，除特别说明外，系统一般指的是线性时不变离特别说明外，系统一般指的是线性时不变离散系统。散系统。 该式表明

30、，线性时不变系统的输出序列该式表明，线性时不变系统的输出序列等于输入序列和系统单位脉冲响应的线性卷等于输入序列和系统单位脉冲响应的线性卷积。积。 线性卷积又称作线性卷积又称作“离散卷积离散卷积”或或“卷积卷积和和”。 卷积运算有明确的物理意义，就是在一般卷积运算有明确的物理意义，就是在一般意义上描述了线性时不变离散时间系统对输意义上描述了线性时不变离散时间系统对输入序列的作用或处理作用。入序列的作用或处理作用。 线性卷积是一种非常重要的计算，它在线性卷积是一种非常重要的计算，它在数字信号处理过程中起着举足轻重的作用。数字信号处理过程中起着举足轻重的作用。 常在已知系统的单位脉冲响应时，用它常在

31、已知系统的单位脉冲响应时，用它来计算相应输入序列下的输出序列。来计算相应输入序列下的输出序列。 卷积的计算过程包括翻转（翻褶）、移卷积的计算过程包括翻转（翻褶）、移位、相乘、求和四个过程。位、相乘、求和四个过程。例例1-6 1-6 设设x x( (n n)=)=R R4(4(n n) )，h h( (n n)=)=R R4(4(n n) )， 求求 。( )( )( )y nx nh n1 1交换律交换律2结合律结合律3分配律分配律1 1因果系统因果系统 因果系统的因果性是指系统物理上的可因果系统的因果性是指系统物理上的可实现性。实现性。 如果现在的输出与将来的输入有关，这如果现在的输出与将来的输入有关，这样在时间上就违背了因果关系，系统物理上样在时间上就违背了因果关系，系统物理上无法实现，则称为非因果系统。无法实现，则称为非因果系统。 线性时不变系统具有因果性的充分必要线性时不变系统具有因果性的充分必要条件是条件是 （1-311-31）()0 ,0h nn2稳定系统稳定系统 在输入序列幅度有界的情况下，如果系在输入序列幅度有界的情况下，如果系统输出序列的幅度有界，这样的系统被称为统输出序列的幅度有界，这样的系统被称为稳定系统。稳定系统。 线性时不变系统具有稳定性的充分必要线性时不变系统具有稳定性的充分必要条件是系统的单位脉冲响应绝对可和，用公条件是系统的单位