大学微分方程

1、&微分方程初步微分方程初步v 微分方程：微分方程：含有未知函数的导数（微分）的方程。含有未知函数的导数（微分）的方程。一、微分方程的有关概念一、微分方程的有关概念v 常微分方程：常微分方程：未知函数是一元函数（即只有未知函数是一元函数（即只有一一v 偏微分方程：偏微分方程：未知函数是多元函数（即有两个未知函数是多元函数（即有两个个自变量）的微分方程；个自变量）的微分方程；或两个以上的自变量）的微分方程；或两个以上的自变量）的微分方程；微分方程微分方程 05352sin4)42422zzzxyyzxzxyyxxyyyx（常微分方程常微分方程偏微分方程偏微分方程v 微分方程的阶：微分方程的阶：微分

2、方程中所出现的未知函数的最微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。高阶导数的阶数。0cos22 yyxxyyxxexxy2dd02)(2 yyy三阶三阶微分方程微分方程.一阶一阶微分方程微分方程.三阶三阶微分方程微分方程.tECQdtdQRtQLsindd022二阶二阶微分方程微分方程. 都是常微分方程，前两个为一阶微分方程，最后一个是都是常微分方程，前两个为一阶微分方程，最后一个是二阶微分方程。二阶微分方程。22yx 23yxy340yyy练习：练习： xy 代入微分方程后，代入微分方程后，能使方程变为恒等式，则称能使方程变为恒等式，则称 xy v 微分方程的解：微分方程的解：如果函数

3、如果函数 为为微分方程的微分方程的解解不难看出，函数不难看出，函数 ， ， 及及 都是都是 的解。的解。2yx21yx26yx2yxC2yx 00|x xyy求微分方程满足初始条件求微分方程满足初始条件 的问题叫做求方的问题叫做求方程的程的特解特解例例1 一曲线通过点一曲线通过点(1, 2)，且在该曲线上任一点，且在该曲线上任一点M(x,y)处的切线处的切线的斜率为的斜率为 2 2x x，求这曲线的，求这曲线的方程方程.解解: 设曲线方程为设曲线方程为 ,2 xdxy即即,2Cxy 其中其中 C 是任意常数是任意常数.把把 x=1，y=2代入上式，代入上式， 于是所求曲线方程为于是所求曲线方程

4、为. 12 xy得得 C =1根据导数的几何意义，根据导数的几何意义，有有两端积分得两端积分得 )(xyy xxy2 dd 验证方程验证方程 的通解为的通解为 （C C为任意常数），并求满足初始为任意常数），并求满足初始条件条件 的特解。的特解。解：由解：由 得得 。将将 及及 代入原方程的两边，左边有代入原方程的两边，左边有而右边而右边 ，所以函数，所以函数 为方程的为方程的通解。通解。2yyx 2yCx1|2xy2yCx2yCx yy2yCx 22yCxx2yCx例例2再将初始条件再将初始条件 代入通解，得代入通解，得 ，故所求特解为故所求特解为 。1|2xy2C 22yx二、可分离变量的

5、微分方程二、可分离变量的微分方程形如形如的微分方程称为的微分方程称为可分离变量的微分方程。可分离变量的微分方程。)()(ygxfdxdy或或0)()()()(2211 dyygxfdxygxf xxdyyd（1）可分离变量的微分方程一定能写成可分离变量的微分方程一定能写成 xxfyygdd CxFyG（2）(2)称为微分方程称为微分方程(1)的的隐式解隐式解，也称为微分方程，也称为微分方程(1)的的隐式通解隐式通解.（1）的求解方法与步骤为：）的求解方法与步骤为： 分离变量，使方程变为：分离变量，使方程变为： xxyydfdg 两边积分：两边积分： 得通解：得通解：微分方程的这种解法称为分离变

6、量法微分方程的这种解法称为分离变量法 例例 3 求微分方程求微分方程xyxy2 dd解解,2xxyydd 12lnCxy 从而从而 12Cxy e. e2xCy 两端积分得两端积分得1CCe 令令将原方程分离变量得将原方程分离变量得21xCee 得通解为得通解为的通解的通解. 练习练习 求微分方程求微分方程08ydxxdy的通解的通解.解：解：xxyydd8 将原方程分离变量得将原方程分离变量得18Cxylnlnln两端积分得两端积分得从而从而 81xCylnln81xCy 1CC 令令. 8Cxy 得通解为得通解为解解 分离变量得分离变量得两边积分两边积分 ，得，得故方程的通解为故方程的通解

7、为 dyxdxyydyxdxydyxdx2211122yxC22xyC 练习练习 求微分方程求微分方程的通解的通解.分离变量得分离变量得 两边积分两边积分 得得 dyxydxdyxdxydyxdxy211ln |2yxC0|1xy 练习练习 求微分方程求微分方程的特解的特解.解：解：满足满足将初始条件将初始条件 代入上式得代入上式得故特解为故特解为 ，化简得，化简得0|1xy10C 21ln |2yx22xye 练习练习 求微分方程求微分方程xyxycosdd2满足条件满足条件的特解的特解.10 xy解：解： 分离变量得分离变量得xxyyddcos2 两端积分得两端积分得cxysin1通解为通

8、解为cxysin1将条件将条件10 xy代入得代入得C=-1，.sin11xy 所求特解为所求特解为解：解：两端积分两端积分,得得将原方程分离变量将原方程分离变量,即即 例例4 求微分方程求微分方程20 xy时的特解时的特解.的通解的通解,并求当并求当从而从而 得通解为得通解为:, 20 xy代入代入得得, 3C所以方程的特解为：所以方程的特解为：yyxyxyxydddd2xxyyyd11d12yyxyxyxydddd2xxyyyd11d12121ln1ln21Cxy222) 1(e11xyC22) 1(31xy解：解：两端积分两端积分,得得将原方程分离变量将原方程分离变量, ,11yxxyyxdeedee 即即,11yxyyxxdeedee ,11 yxyyxxdeedee 练习练习 求微分方程求微分方程 0