测量误差与数据处理(5)

1、武汉大学出版社2014年1月第5章 误差椭圆l点位真误差 图5.1 点位真误差PP 如图所示，A为已知点，假定其坐标值没有误差。图中P点为待定点的真位置，而 则是根据平差后求出该点的实际点位，两点位在平面上的距离为 ，称之为点P的真误差真误差，简称为真位差真位差。P 点位中误差 点位真误差 在两坐标轴上的分量为 和 ，有关系式：第5章 误差椭圆Pxyyyyxxx222yxp 设由 ， 计算出的中误差为 ， ，则点P的真位差 的方差为： 通常定义为点P的点位方差， 为点位中点位中误差误差222yxpxyxyP则有：2pp 横向误差和纵向误差图5.2 点位真误差 将点P的真位差 投影于AP方向和垂

2、直于AP的方向上，则得 和 ， 、 为点P的纵向纵向误差误差和横向误差横向误差，有：，有：Psusu222usp222usp 和 是点在AP的纵向和横向上的位差su第5章 误差椭圆 点位方差的计算点位方差的计算公式如下：xxxxQp202021yyyyQp202021222yxp)(20yyxxQQ =只要计算出了 和 以及单位权方差 ，就可以利用上式计算点P的点位中误差。xxQyyQ20第5章 误差椭圆 计算 和 的方法间接平差法：xxQyyQ 以平面网中待定点的坐标作为参数，按间接平差法平差时，法方程系数阵的逆阵就是参数的协因数阵，即： ssssisisssssssisisssssiiss

3、iiyyxyyyxyyyxyyxxxyxxxyxxxyyxyyyxyyyxyyxxxyxxxyxxxTXXQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQPBBQ111111111111111111111)( 待定点坐标的权倒数仍为相应的主对角线上的元素，而相关权倒数则在相应权倒数连线的两侧。（有S个待定点）第5章 误差椭圆 计算 和 的方法条件平差法：xxQyyQ 设待定点P的最或然坐标为 和 ，则：px py )()(LyyLxxpp对上式进行微分，得其权函数式：LdfydLdfxdypxpTyTxTyxxyTyTyTyyyyTxTxTxxxxfAPNAPffPfQfAPNAPffPfQf

4、APNAPffPfQ111111111111顾及观测值的平差值 的协因数阵：L1111APNAPPQTLL有：第5章 误差椭圆图5.4 任意方向上位差 P为待定点的真位置，而P点为经过平差所得的点位，点位真误差PP在 方向上的投影值为 ：PPPPPP cossincossinxxyy sincossincosyyxyyxxxQQQQQ由协因数传播定律可知：在方位 方向上的位差220Q202sinsincos22xyyyxxQQQ （）待定点P在方向 上的位差：第5章 误差椭圆 位差的极大值E和极小值F 第5章 误差椭圆 的大小与 有关，当方向 取上图中的 或AP方向以及垂直AP的方向时，相应方

5、向上的位差权倒数为 ， 和 。在众多方向的位差权倒数中，必有一对权倒数取得极大值和极小值，分别设为 和 ，而相应的方向分别设为 和 ，其中在 方向上的位差具有极大值，而在 方向上的位差具有极小值，很显然， 和 两方向之差为902yxyx,xxQyyQxxQyyQEEQFFQEFEFEF 极大值E和极小值F的计算第5章 误差椭圆设协因数阵（5.8）的特征值为 ，对应的特征向量为 ，则：X0)(XIQxx0yxQQQQyyxyxyxx即0yyxyxyxxQQQQ有：展开得关于 的一次方程，解此方程：4)()(2122,xyyyxxyyxxFEQQQQQ令：22()4xxyyxyKQQQ所以：)(2

6、1)(21KQQQKQQQyyxxFFFyyxxEEE 极大值E和极小值F的计算第5章 误差椭圆)(21)(21202202KQQQFKQQQEyyxxFFyyxxEEFFEEQFQE00yyFFxyxyxxFFFyyEExyxyxxEEEQQQQQQQQQQQQtantan2202022)()(pyyxxFFEEQQQQFE位差的极大值和极小值：将上式开平方根，取正值得： 极大值E和极小值F对应的方向分别为 和 ：EF两个极值方向相互垂直： 用极值E、F,表示任意方向上的位差第5章 误差椭圆sincosFE以E轴为坐标轴， 为E轴顺时针方向转至某方向的方位角：由协因数传播定律得到：2sins

7、incos22EFFFEEQQQQ有：因为：0EFQ所以：22sincosFFEEQQQ以极值 、 表示任意方向 上的位差公式为：222222202sincos)sincos(FEQQFFEEEF 例5.1第5章 误差椭圆已知某平面控制网中待定点P的协因数阵的元素为：3806. 02082. 02082. 04494. 0yyxyxyxxPQQQQQ协因数的单位为2)/(cm单位权中误差0 .5 试求：最大位差方向 和最小位差方向 ，最大位差E和最小位差F,以及该点点位中误差EFpm 解第5章 误差椭圆4220. 0)2082. 0(4)3806. 04494. 0(22K6260. 0)42

8、20. 03806. 04494. 0(21EEQ2040. 0)4220. 03806. 04494. 0(21FFQ位差的极值方向：40411392082. 04494. 06260. 0tantan11xyxxEEEQQQ40413191804041139E404149F4041229F或：94. 36260. 00 . 5EEQE26. 22040. 00 . 5EFFQF54. 426. 294. 32222FEmp同理：或：（2）最大位差和最小位差：点位中误差：（1）E、F方向的协因数:（cm） （cm） （cm） 例5.2第5章 误差椭圆201815数据同上例5.1，试计算 这一

9、方向上的位差1552018154041139E9150.14)310sin2082. 0155sin3806. 0155cos4494. 0(0 . 52222m86. 39150.14m解:（1）由5.13计算位差因为所以（2）由5.25计算位差9149.14)201815sin2040. 0201815cos6260. 0(0 . 52222m86. 39150.14m（cm） （cm） 误差曲线的概念第5章 误差椭圆图5.6 点位误差曲线 如图所示，以待定点位极点， 轴为极轴， 为极角变量，相应的 为极径变量（或极大值E方向为极轴， 为极角变量，相应的 极径变量）确定的点的轨迹为一闭合曲

10、线。习惯上，将这条曲线称为点点位误差曲线位误差曲线（或点位精度曲线）它是关于两个极轴（E轴和F轴）对称的。 X图中直线OP的长度就等于 方向上的位差 误差曲线的作用第5章 误差椭圆图5.7 误差曲线如图所示，A、B和C点为已知点，为待求点P点的误差曲线图（1）坐标轴方向的中误差PaxPby（2）极大值和极小值PcE PdF （3）平差后的边长中误差点P和点B之间的边长中误差：PemPBS （4）平差后的方位角的中误差 先从图中量出垂直于PA方向上的位差，即PA边的横向误差PAum PAPAuSPgSmmPAPA因为 ，所以可得： PAuSmmPAPA 误差椭圆第5章 误差椭圆图5.8 误差椭圆

11、 如图5.8所示，而且可以证明，通过一定的变通方法，用椭圆代替点位误差曲线进行各类误差的量取，故将此椭圆称点位误差椭圆点位误差椭圆（习惯上称误差椭圆误差椭圆），而 、E、F称为点位误差椭圆的元素（参数）。实用上常以点位误差椭圆代替点位误差曲线。E作图方法：如图5.8所示，自椭圆作 方向的正交切线PD，P为切点，D为垂直，可以证明OD 相对误差椭圆第5章 误差椭圆 为了确定任意两个待定点之间相对位置的精度，需要进一步作出两个待定点之间的相对误差椭圆。 、 为两待定点ikikikikyyyxxxiikiikkkikiikkikiikkyxyxyxyxyxyyyyyyyyxxxxxxxxQQQQQQ

12、QQQQQQQ22yyEEyxyxxxEEEyyxxikyyxxikQQQQQQKQQFKQQEiktan)(21)(21202202因为所以： 和 的相对误差椭圆的三个参数：iPkP式中：224)(yxyyxxQQQKiPkP 相对误差椭圆第5章 误差椭圆绘制方法：可仿第二节中误差椭圆的方法进行。二者的不同之处在于：点位误差椭圆一般以待定点中心为极来绘制，而相对误差椭圆是以两个待定点连线的中心为极进行绘制。在测量工作中，特别在精度要求较高的工程测量中，往往利用点位误差椭圆对布网方案进行精度分析 ，当在适当的比例尺的地形图设计了控制网的点位以后，可以从图上量取各边边长和方位角的概略值，根据这些

13、可以算出误差方程的系数，而观测值的权则可根据需要事先加以确定。因此可以求出该网的协因数阵 XXQ 相对误差椭圆第5章 误差椭圆另一方面，根据设计中所选定的观测仪器来确定单位权中误差 的大小，从而估算出 、和 等数值，如果估算的结果符合工程建设对控制网所提出的精度要示，则可认为该设计方案是可采用的，否则，可改变设计方案，重新估算，以达到预期的精度要求。也可以根据不同设计方案的精度要求，同时考虑到各种因素，例如，建网的经费开支、施测工期的长短、布网的难易程度等，在满足精度要求的前提下，从中选择最优的布网方案。0EEF 例5.3 在某导线网有和两个待定点 和 。设用间接平差法平差该网，待定点坐标近似

14、值的改正数为 和 ，单位为分米。其法方程如下。试求（1） 和 点的点位误差椭圆元素，以及 和 点间的相对误差椭圆元素；（2）绘制 和 点的误差椭圆和它们之间的相对误差椭圆。第5章 误差椭圆1P2P11,yx22,yx1P2P1P2P1P2P006. 160.44425.6065.14217.172078.5225.6039.71664.17742.426040.4165.14264.17722.48607.107023.9417.17242.42607.10791.9062211221122112211yxyxyxyxyxyxyxyx 解：经平差计算，得单位权中误差为 。令 表示法方程式系数，

15、则未知参数的协因数为第5章 误差椭圆8 .00 mN0027. 00003. 00021. 00008. 00006. 00024. 00005. 00010. 00002. 00016. 01对称NQXX第5章 误差椭圆(1) 点的误差椭圆参数的计算1P0009. 00002. 04)0024. 00016. 0(4)(2221121111yxyyxxQQQK0024. 0)0009. 00024. 00016. 0(21)(211111KQQQyyxxEE0016. 0)0009. 00024. 00016. 0(21)(211111KQQQyyxxFF85750002. 00016. 0

16、0024. 0tantan111111yxxxEEEQQQ039. 001EEQmE（dm） 032. 001FFQmF（dm） 第5章 误差椭圆(2) 点的误差椭圆参数的计算（dm） （dm） 2P0008. 00003. 04)0027. 00021. 0(4)(2222222222yxyyxxQQQK0028. 0)0008. 00027. 00021. 0(21)(212222KQQQyyxxEE0020. 0)0008. 00027. 00021. 0(21)(212222KQQQyyxxFF84660003. 00021. 00028. 0tantan122221yxxxEEEQQQ042. 002EEQmE036. 002FFQmF第5章 误差椭圆(3) 和 点的误差椭圆参数的计算1P2P0006. 00003. 00006. 00005. 00002. 00035. 00008. 020027. 00024. 020017. 00010. 020021. 00016. 0222122111212211212211yxyxyxyxyxyyyyyyyyxxxxxxxxQQQQQQQQQQQQQ0022. 0)0006. 0(4)0035. 00017. 0(4)(2222yxyyxxQQQK0037. 0)0022. 00035. 00017. 0(21