第六讲解析函数与调和函数的关系

1、第六讲第六讲解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系 在在3.63.6我们证明了在我们证明了在D内的解析函数内的解析函数,其导数其导数仍为解析函数仍为解析函数,所以解析函数有任意阶导数。本节所以解析函数有任意阶导数。本节利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间的关系。的关系。内内 容容 简简 介介3.7 解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系.),()00:),(2222内内的的调调和和函函数数为为则则称称即即（方方程程续续偏偏导导数数且且满满足足内内具具有有二二阶阶连连在在若若二二元元实实变变函函数数DyxyxLaplaceDyx

2、 定义定义内的调和函数。内的调和函数。是是，内解析内解析在区域在区域若若DyxvvyxuuDyxivyxuzf),(),(),(),()( 定理定理证明：证明：设设f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域在区域D内解析，则内解析，则xvyuyvxuRC 方方程程由由xyvyuyxvxu222222从从而而有有xyvyxvyxvyxu 22.),(),(具具有有任任意意阶阶的的连连续续导导数数理理由由解解析析函函数数高高阶阶导导数数定定, 0 D2222 yuxu内有内有故在故在0 2222 yvxv同理有同理有0, 0 vu2222yx 其其中中即即u及及v 在在D内满足拉普拉斯内满足

3、拉普拉斯(Laplace)方程方程:内的调和函数。内的调和函数。是是，Dyxvvyxuu),(),( .D),(),(,xR.-C.内内的的共共轭轭调调和和函函数数在在区区域域称称为为中中的的两两个个调调和和函函数数方方程程内内满满足足在在区区域域yxuyxvvuxvyuyvuD定义定义:由上面的讨论说明：由上面的讨论说明：.部部的的共共轭轭调调和和函函数数内内解解析析函函数数的的虚虚部部是是实实D.),(),(),(),()(,的的共共轭轭调调和和函函数数必必为为内内在在内内解解析析在在即即yxuuyxvDDyxivyxuzf ., 一一定定解解析析内内就就不不在在则则内内的的两两个个调调和

4、和函函数数区区域域是是任任意意选选取取的的在在若若DivuDvu 现在研究反过来的问题：现在研究反过来的问题：.的的共共轭轭调调和和函函数数不不是是yxuyxv 如如不不解解析析）由由此此，方方程程，它它们们不不满满足足（ivuzfvuvuxyyx)(,.R.C11由由此此，的的共共轭轭调调和和函函数数必必须须是是方方程程，即即还还必必须须满满足足及及内内解解析析在在要要想想使使.,uvRCvuDivu 定理定理2 函数函数f(z)在区域在区域D内解析的充要条件是内解析的充要条件是: : v是是u的共轭调和函数的共轭调和函数. .),(),(ivuyxvRCyxu 从从而而构构成成解解析析函函

5、数数程程可可求求得得它它的的虚虚部部方方利利用用部部已已知知一一个个解解析析函函数数的的实实),(yxv虚虚部部),(yxu实部实部GreenGreen定理：定理：设设D D为平面上的单连通区域，为平面上的单连通区域，上上具具有有连连续续偏偏导导数数。在在DyxQyxP),(),(则以下命题等价：则以下命题等价：（1 1）对于）对于D D内的任意一条光滑（或分段光滑）闭曲线内的任意一条光滑（或分段光滑）闭曲线L L，LQdyPdx; 0与路径无关；与路径无关；曲线积分曲线积分LQdyPdx)2(;),() 3(QdyPdxdUyxUD，使得，使得上的可微函数上的可微函数存在存在;),(),(的

6、的原原函函数数为为的的全全微微分分，此此时时称称为为即即QdyPdxyxUyxUQdyPdx.)4(xQyPD内成立等式：内成立等式：在在0,),(,2222 yuxuDyxuD则则函函数数内内的的调调和和是是区区域域一一单单连连通通区区域域设设且且内内有有连连续续一一阶阶偏偏导导数数在在、即即,Dxuyu dyxudxyu ),(yxdvv)(),(),(),(00 cdyxudxyuyxvyxyxxuxyuyxuyvyuxv .)(),()(,),( 内内解解析析在在使使得得式式所所确确定定的的则则内内调调和和函函数数在在单单连连通通设设DivuzfyxvDyxu 定理定理求求偏偏导导，可

7、可得得、式式两两端端分分别别关关于于对对yx(*).方方程程满满足足RC .内内解解析析在在Divu A 公式不用强记！可如下推出：公式不用强记！可如下推出：dyxvdxyvdyyudxxuduRC 方方程程由由然然后后两两端端积积分分。由由求求其其共共轭轭调调和和函函数数已已知知：方方程程dyudxudyyvdxxvdvyxvyxuxyRC :),(),(类似地，类似地， 然后两端积分得，然后两端积分得，)(),(),(),(00 cdyvdxvyxuyxyxxyA 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中都有重要应用。本节介绍了调和函数与解问题中都有重

8、要应用。本节介绍了调和函数与解析函数的关系。析函数的关系。iifyxyxuivuzf 1)()(22由由下下列列条条件件求求解解析析函函数数例例1yxxuyv 2解解cdyyxdxxyyxvyx ),()0,0()2()2(),(曲线积分法曲线积分法dyyxdxxydyyvdxxvdv)2()2( xyyuxv 2cdyyxxdxyxo 0)2(cyxyx 22222)21221()()(2222cyxyxixyyxzf 故故iiciiiif 1)21(1)(2代代入入上上式式得得，iczi 2)211(21 c2)21()(2izizf ydyxdxxdyydx 22dyyvdxxvdv 又解又解cyxyxyxv 222),(22)21221()()(2222cyxyxixyyxzf 凑凑全全微微分分法法)22(222yxddxy dyyxdxxy)2()2( )( 2xyxv yxyv 2)21221()()(2222cyxyxixyyxzf 又解又解偏偏积积分分法法cxx 2)(2 cxyxyyxv 222),(