第十章图论及LTI电路的矩阵分析法

1、本章内容第10章 图论及LTI电路系统的矩阵分析法 图论的基本概念 电路系统的图矩阵表示方法、 支路方程和网络图矩阵间的相互关系 电路与系统方程的图矩阵分析法(自学）10.1 图论基础 电路分析中的分析模型都是用具有特定元件特性的二端元件所组成的网络，要完整的描述这样的网络，就必须知道支路间的连接特性、支路电压和电流的参考方向以及网络中元件的特性。而任何集中参数的电网络都可用基尔霍夫电压和电流定律（KVL和KCL）以及支路特性方程(VCR)来描述，因此只要着重讨论电路中各元件之间的连接关系，而不管支路元件的性质，则每一条支路都可以用一条有向的线段(线段的方向代表支路的电压、电流参考方向)来表示

2、，这样就可把一个复杂的电路抽象转换为一个由点和线段集合成的图形(拓朴图)。例如图8-1(a)所示网络，就可抽象为8-1(b)、(c)那样的拓朴图。1. 图论的基本概念l节点：一条线段的端点，或者一个孤立的点称之为节点，如右图中n1，n2，n3，n4均称之为节点，通常我们用ni表示第i个节点。l支路：与两个节点ni、nj相关联的线段，称为支路，图中b1，b2，b3，b4，b5，b6均称之为支路，通常用bi表示第i支路。 图8-1(b)l图：就是由有限个节点(节点集)和有限条支路(支路集)组成的集合，在该集合中每条支路恰好连接着两个节点，而支路仅在节点上相交。 ),(G 通常我们用G表示图。在一个

3、图里所有的支路构成支路集，用表示，即b1，b2，bB；而所有的节点构成节点集合，用表示， n1，n2，nN。这里B是支路数，N是节点数，因此一个图G可以用 表示。 无向图与有向图：如果图G中每条支路都不指明支路方向，则称之为无向图，用Gn表示，如图8-1(b)所示；如果图G中每条支路都规定一定的方向，则称之为有向图，用Gd表示，如下图所示。 ),(sssG子图：如果图 的节点集s是图G的节点集的子集，支路集s是支路集的子集，则称图Gs是图G的子图。例如图中，由s =n1，n2，n3和s =b1，b3，b5构成的图就是该图的子集，若子集仅由一个孤立的节点组成，则称蜕化子图。n1n2n3b5b1b

4、3子图l节点的维数：与一个节点相关联的支路的数目称为该节点的维数。例如上图中，节点n1，n2，n5，n6都是三维的，而节点n3，n4是四维的。而零维节点称为孤立点。l通路：长度为m的通路是m条不同支路与m+1个不同节点依次连接而成的一条路径，在这条路径中除始点与终点两个节点为一维外，其余各节点都是二维的。 如图中，支路集b4，b8，b9，b2在节点n1和n2之间构成通路，其相应节点为n1，n5，n4，n6，n2，其中n1和n2分别为始端节点与终端节点；而支路b5，b7，b10，b6就不能构成n1与n2之间的一条通路，因为在该支路集中节点n3的维数超过了二维。由此可以通俗地说：“通路就是两个节点

5、之间一条无叉道的路径。”l连通图与非连通图： 如果一个图，在它的任意两个节点之间，至少存在一条通路，那样这样的图为连通图。例如上图(a)是连通图，而图(b)是非连通图。l 回路：构成闭合路径的支路集，就是回路。回路是一个连通图。长度为m而始端节点与终端节点相重合的通路称为长度为m的回路，长度为1的回路称为自回路。 对于有向图给定的回路，常指定一顺时针方向，或逆时针方向作为回路的参考方向。l网孔：精确的定义为：若连通平面线图的一个回路内部不存在任何支路，则此回路称为网孔。 树：在一个连通图Gn中取一个子图Gs，当且仅当Gs满足下列三个条件时，则称子图Gs为Gn的树，记为T，这三个条件是： Gs是

6、连通图； Gs包含原图Gn中的全部节点； Gs中不包含任何回路。 如图8-4(a)所示的图Gn，它的两个树分别如图8-4(b)、(c)，但是8-4(d)和(e)则不是它的一个树，因为(d)中包含一个回路，而(e)是不连通的。同一连通图G具有许多不同的树l 树支、树余和连支：构成树的各条支路称为树支，图Gn中除去树以外的所有支路形成Gn的另一个子图，称为树余(反树)，属于反树的各条支路称为连支。例如图8-5中图Gn的树支如图8-5(b)实线所示，而(b)中虚线为连支。l树支数目和连支数目：一个连通图具N个节点和B条支路，则树T每两个节点之间至少有一条支路方能连在一起，如果要连通N个节点，要有N-

7、1条支路，又由于树T不能包含回路，所以N个节点间支路数也不可能多于N-1条，因此对于一个具有N个节点和B条支路的连通图，它的树T含有N-1条树支和B-(N-1)条连支。l割集：割集是连通图G的一个支路集合，把这些支路移去将使图G分离成二个部分，但是如果少移去其中一条支路，则图仍将是连通的。这就是说割集是把一个连通图G分成两个分裂的子图所需割断数量最少的一组支路。通常用Ci表示i第个割集。例如图8-6中，b1，b5，b6，b3构成一个割集，如图中虚线所示。但支路集b1，b5，b6和b2，b5，b1，b3则不是割集。l基本回路：若在选定的连通图G的树T加入一条连支则可得到一个且仅仅一个回路，若依次

8、加入所有的连支，则得到相应的各个回路Li，所有的这些回路称为基本回路；或者更简单地说基本回路就是单连支回路，例如图 (b)中的l1、l2、l3、l4就是基本回路。l基本割集：若选定连通图G的树T，每次割断T中一条树支和若干条连支可以得到一个且仅仅一个割集，依此方式，割断T中所有的树支，就得到相应的各个割集Ci，所有这些割集称为基本割集，或叫单树支割集。例如图(c)的c1，c2，c3，c4，c5均为基本割集。 因为对应于树T的每一条树支有一个基本割集、对应于每一条连支有一个基本回路，因此一个具有N个节点和B条支路的连通图Gn有N-1个基本割集、B-(N-1)个基本回路。10.2 电路系统的图矩阵

9、表示1.关联矩阵 (1) 增广关联矩阵。 如果一个由N个节点和B条支路组成的有向连通图Gd，其中增广关联矩阵是一个NB维的矩阵，用Aa表示，即BNkiaaA其中各元素aki的值为 不相连时与节点当支路时且支路方向指向节点连接节点当支路时且支路方向背离节点连接节点当支路kjkkjkkjkjnbnnbnnba 0,1,1 例如图8-8有向拓朴图GD，它的增广关联矩阵Aa为 111100000000101010000001110100010001000110000010100000000111 A65432110987654321annnnnnbbbbbbbbbb 有向图Gd的增广关联矩阵是反映图中

10、各节点与支路间相互联接关系的矩阵，它完整地把节点与支路的联结方式和支路参考方向表示了出来，其特点为 Aa的每一列向量仅有两个非零元素，一个是 “1”，另一个是“-1”，其余的元素全部是零， 矩阵Aa的任一行向量等其余各行向量之和，但 符号相反。(2) 关联矩阵 对于增广关联矩阵，如果将矩阵中所有的行相加到最后一行上，则得到一个元素全部为零的行，这意味着Aa中N行不是线性独立的，即Aa的秩小于N，Aa是一个奇异矩阵，但是Aa中去掉任一行(即把这一行对应的节点视为参考点)，Aa中的其余N行是线性独立的，秩rank(Aa)=N-1；因此在Aa中删去任一根据这些特点，任意给定一个增广关联矩阵，我们也就

11、可以画出它的有向拓朴图。行后得到一个(N-1)行的矩阵A，这就是关联矩阵，显然 A是一个非奇异矩阵，秩为rank(Aa)=N-1。 (3) 基尔霍夫电流定律(KCL)的矩阵形式1 考虑一个具有B条支路，N个节点的网络，选第N个节点作为参考点，用箭头指示每条支路中电流的方向，并且这样来规定电流的符号：对于一个节点，当电流指向它时为负，当电流离开它时为正。若支路bi中的电流用Ii表示，那么我们在第k个节点上应用KCL定律得) 1, 2, 1(01NkIaniiki 这里aki和前面Aa中定义的相同，对于其余节点的KCL方程也可以用同样的方法写出；现在我们将上式写成矩阵形式，则基尔霍夫电流定律(KC

12、L)的矩阵形式0bAI这个方程的右边是一个N-1维列矢量，它的元素全为零，而关联矩阵AB)(Nkia1AIb是一个B维列矢量，即 T21bbi ,i ,iI(4) 关联矩阵的分块形式 在有向拓朴图Gd中选取一个树T，用AT表示各列对应于该树的树支阵AT，用AL表示各列对应于树余L的连支阵，则关联矩阵A还可以表示为分块形式LTAAA 100010101011110100 AAA321321654LTnnnb b b b bb如图，其关联矩阵A可写为(选b4,b5,b6为树，n4为参考点)2. 基本割集矩阵(1) 增广割集矩阵 一个割集将一连通图分成两个不相连的子图，把其中一个子图流向另一个子图的

13、电流方向取作割集方向，用虚线上的箭头标志它，规定支路方向和割集方向一致时取正号，支路方向与割集方向相反时取负号，若有向图Gd的B条支路用b1，b2，bB表示，它的割集用c1，c2，cc表示，则有向图Gd的增广割集矩阵为CB的矩阵，即 BGkjqaQ中不在割集当支路反向中而与在割集当支路同向中并与在割集当支路kjkkjkkjkjcbccbccbq011如图的增广割集矩阵为01101101101100010101011100001165432154321 Qaccccccbbbbb (2) 基本割集矩阵 具有N个节点的有向图的增广割集矩阵的秩是N-1，与增广关联矩阵相比，任意地选取N-1个线性独立

14、的行是不可能的。但是如果在有向图中任意选定一个树T之后，用树T中的一条树支结合树余中的连支构成一个割集，且规定割集的方向与树支的方向相同，这就是前面定义过的基本割集，或单树支割集，则这时的基本割集矩阵是一个（N-1）B维的矩阵。它的各行就是线性独立的，称之为基本割集矩阵QfBNkjq)1(fQ式中qkj与Qa元素定义相同。 0bfIQ(3) 广义基尔霍夫电流定律(KCL)的矩阵形式 广义的KCL表明对于任何集中参数元件所组成的网络，通过一个割集的所有支路电流的代数和应该等于零，因此用基本割集矩阵也可以将其表成矩阵形式，即0101000110010010100100010001432176543

15、21ccccbbbbbbb00007654321IIIIIII如下图，其基本割集的KCL为 (4) 基本割集矩阵Qf的分块形式 对有向拓朴图Gd任意选定了一个树T之后，则基本割集矩阵Qf也可以表为分块形式 FIQQQLTf式中Qf为(N-1) B维，QT是一个单位矩阵，由于树T有N-1条树支，所以QT是一个(N-1)(N-1)方阵，而QL=F是连支的(N-1)B-(N-1)的矩阵。3. 基本回路矩阵(1) 增广回路矩阵。 设一个有向拓朴图Gd，它具有B条支路和L个回路，用b1，b2，bB标记支路，用l1，l2，lL标记回路，并且给每个回路任意规定一个绕行方向（顺时针方向或逆时针方向），那么增广

16、回路矩阵Ba是一个LB的矩阵BLkjbaB中不在回路当支路反向中而与在回路当支路同向中并与在回路当支路kjkkjkkjkjlbllbllbb011 如图的增广回路矩阵为10111011101100132154321lllbbbbbaBl1l2(2) 基本回路矩阵 若有向图Gd具有N个节点B条支路，那么它的增广回路矩阵Ba的秩是B-(N-1)，在有向拓朴图中任意选定一个树T后，用树余中的一条连支结合树T中的一组树支构成一个回路，且规定回路的方向与连支的方向相同，则这时可以得到一个B-(N-1)B维的矩阵，它的各行就均是线性独立的，称这个矩阵为基本回路矩阵Bf，即 BNBkjb)1(fB式中qkj

17、与Qa元素定义相同。 (3) 基尔霍夫电压定律(KVL)的矩阵形式KVL表明：对于任一集中参数网络中的任一回路，在任一时刻，沿着该回路的所有支路电压的代数和为零。 如图的网络拓扑图中，选b1，b2，b3，b4，b5为树，则其基本回路的KVL方程写成矩阵方程的形式为 1000101010100000110010011100001110004321987654321llllbbbbbbbbb 0000987654321UUUUUUUUU于是网络的基本回路基尔霍夫电压定律KVL可表示为 0bfUB(4) 基本回路矩阵Bf的分块形式 对有向拓朴图Gd任意选定了一个树T之后，基本回路矩阵Bf也可以表为分

18、块形式 I-FBBBTLTf Bf为B-(N-1) B维，BL=I是 B-(N-1)B-(N-1)的方阵。4. 图矩阵间的关系A、Bf 、Qf 之间存在如下重要关系 00TTfABABf00TffTffBQQB5. 支路变量间的基本关系 设同一个连通图Gd具有N个节点、B条支路，选定树为T，按先树支后连支次序排列的A、Bf、Qf阵为 F IQIQI FIBB AAA|LfTTfLT而支路电流、电压为 LTbIIILTbUUU 上式中IT为树支电流，IL为连支电流；UL为连支电压，UT为树支电压。 对于一个具有N个节点、B条支路的连通网络，当选定参考节点后，则可以写出其余(N-1)个节点与参考节点的电位差，即(N-1)个节点的节点电压用向量表示为 )1(21NnUUUU0bAInTbUAUfB0bf