第一章矢量分析

1、第一章第一章 矢量分析矢量分析 物理量的空间分布构成一个物理的“场”。标量场： 矢量场：本章内容： 标量场的梯度、矢量场的散度和旋度的定义 相关的运算法则和公式 一般正交曲线坐标系中的表达式 ),(tr),(trA1.1 标量场的梯度 1.1.1 方向导数标量场的方向导数描写标量函数在标量场中每一点上沿给定方向的变化率。 在点沿方向的方向导数为 ),(trllMMlll000lim)()(lim第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律 麦克斯韦提出了“涡旋电场”和“位移电流”两个假说，进而归纳出一组描述电磁场运动规律的基本方程，即麦克斯韦方程组，其正确性为日后的实验所确认，因而是分析解决

2、电磁场问题的理论基础。本章将回顾、总结电磁现象基本规律以及介质的极化和磁化规律，给出涡旋电场和位移电流的概念，在此基础上建立麦克斯韦方程组，并推导电磁场的边界条件，讨论电磁场的能量和能流。 2.1 真空中的静电场 2.1.1 库仑定律 电场强度库仑定律是静电现象的基本实验规律：真空中点电荷 对点电荷 的作用力为 （2-1-1） 31212012214rrrrqqF为真空的介电常数。 1q2q120108542. 8N/(C/m)2 、 为两个点电荷的位矢。 1r2r电荷之间的相互作用通过电场传递。电场强度定义为： （2-1-2） qFE位于 处的点电荷 在空间任一点 处产生的电场强度为 （2-

3、1-3）rr304)(rrrrqEq电场满足叠加原理。由分布在体积 中的全体电荷产生的电场强度： （2-1-4）VrrVrrrrE304d)()()(由分布在曲面 上的电荷产生的电场强度： （2-1-5） 由分布在曲线 上的电荷产生的电场强度： （2-1-6） SSrrSrrrrE304d)()()(LlrrlrrrrE304d)()()(VSL为电荷密度； 为面电荷密度； 为线电荷密度。Sl2.1.2 高斯定理 静电场的散度 高斯定理：真空中，静电场在任何闭合曲面上的通量仅由曲面内的电荷决定，而与曲面外的电荷无关： （2-1-7）VSVSEd1d0为证明，先介绍立体角：球面上的任一曲面面积

4、与球面半径 的平方之比与 无关。此比值定义为该曲面对球心所张的立体角：SRR2RS球面对球心的面积为 ，故知球面对球心的立体角为 。24 RS 4R任意曲面 对 的立体角等于在以 为心、任意半径的球面上的投影面积 对点 的立体角。SOOSO32|)(d|ddrrrrSrrS有向曲面对其正侧（即法矢量所指的一侧）的点立体角为负，而对其负侧的点则为正。rSd rO空间任一位矢 端点处的有向面元 对某位矢 端点 的立体角为任一规定了法向的有限曲面 对点 的立体角为 SOSSrrrrS3|)(dd)S(0)S(4|)(d3外在内在OOrrrrSSS若 为闭曲面，则有 推导高斯定理： 由 处的点电荷 产

5、生的电场 在任意闭合曲面 上的通量为 rqES)(0)(4d4d0030外在内在SqSqqqSrrrrqSESS按场的叠加原理，由 个点电荷产生的总电场在闭曲面 上的通量为 VSiniiniSiSVqqSESEd1141dd00101内nS证完。利用散度定理 ，可以写出高斯定理的微分形式： VASAVSdd0 E可见，电场强度在任一点的散度只取决于该点的电荷密度。 2.1.3 静电场的环路定理和旋度 在电磁学中已经由库仑定律证明了静电场的环路定理： ClE0d由斯托克斯定理 ，可得与上式相应的微分式：0ESCSAlAdd以上表明，静电场是无旋场。根据矢量场的唯一性定理，静电场的性质由其散度和旋度决