第六章点的合成运动

1、12 前面我们研究点和刚体的运动，是以地面为参考前面我们研究点和刚体的运动，是以地面为参考体的，是相对于定参考系的运动，称为简单运动。然体的，是相对于定参考系的运动，称为简单运动。然而在实际问题中，还常常要在相对于地面运动着的参而在实际问题中，还常常要在相对于地面运动着的参考系上观察和研究物体的运动。例如，从行驶的汽车考系上观察和研究物体的运动。例如，从行驶的汽车上观看飞机的运动等，坐在行驶的火车内看下雨的雨上观看飞机的运动等，坐在行驶的火车内看下雨的雨点是向后斜落的等。研究物体相对于不同参考系的运点是向后斜落的等。研究物体相对于不同参考系的运动，分析物体动，分析物体相对于不同参考系运动之间的

2、关系，称相对于不同参考系运动之间的关系，称为复杂运动或合成运动。为复杂运动或合成运动。本章分析点的合成运动。分析运动中某一瞬时点本章分析点的合成运动。分析运动中某一瞬时点的速度合成和加速度合成的规律。的速度合成和加速度合成的规律。3本章内容本章内容6.1 6.1 绝对运动、相对运动和牵连运动绝对运动、相对运动和牵连运动6.2 6.2 点的速度合成定理点的速度合成定理6.3 6.3 点的加速度合成定理点的加速度合成定理46.1 6.1 绝对运动、相对运动和牵连运动绝对运动、相对运动和牵连运动MMjRoj沿直线轨道滚动的车轮沿直线轨道滚动的车轮5 二动点：二动点：所研究的点（运动着的点）。所研究的

3、点（运动着的点）。 一坐标系：一坐标系：1.1.定参考系：定参考系：把固结于地面上的坐标系称为定参考把固结于地面上的坐标系称为定参考 系，简称定系。系，简称定系。2.2.动参考系：动参考系：把固结于相对于地面运动物体上的坐把固结于相对于地面运动物体上的坐 标系，称为动参考系，简称动系。标系，称为动参考系，简称动系。 相对于某一参考体的运动可由相对于其它参考体相对于某一参考体的运动可由相对于其它参考体的几个运动组合而成，这种称为的几个运动组合而成，这种称为合成运动合成运动。几个概念与原则：几个概念与原则：6牵连点牵连点：在任意瞬时，动系中与动点相重合的点。：在任意瞬时，动系中与动点相重合的点。牵

4、连运动中牵连运动中, ,牵连点牵连点的速度和加速度称为的速度和加速度称为牵连速度牵连速度与与牵连加牵连加 速度速度evea相对运动中相对运动中, ,动点的动点的轨迹、轨迹、速度和加速度称为速度和加速度称为相对轨迹、相对轨迹、相对相对 速度速度 与与相对加速度相对加速度 。rvra绝对运动中绝对运动中, ,动点的轨迹、速度与加速度称为动点的轨迹、速度与加速度称为绝对轨迹、绝对轨迹、绝对绝对 速度速度与与绝对加速度绝对加速度 。aaav点的运动点的运动刚体的运动刚体的运动三三种运动及三种速度与三种加速度。三三种运动及三种速度与三种加速度。. .绝对运动绝对运动：动点相对定系的运动。：动点相对定系的

5、运动。. .相对运动相对运动：动点相对动系的运动。：动点相对动系的运动。例如：人在行驶的汽车里走动。例如：人在行驶的汽车里走动。. .牵连运动牵连运动：动系相对于定系的运动：动系相对于定系的运动例如：行驶的汽车相对于地面的运动。例如：行驶的汽车相对于地面的运动。在分析三种运动时，必须明确站在在分析三种运动时，必须明确站在什么地方什么地方看看什么物体什么物体的运动的运动7一般一般选择主动件与从动件的连接点，它是对两个坐标系都有运动选择主动件与从动件的连接点，它是对两个坐标系都有运动的点。的点。 动点对动系有相对运动，且相对运动的轨迹是已知的，或者动点对动系有相对运动，且相对运动的轨迹是已知的，或

6、者能直接看出的。能直接看出的。动点：动点：动系：动系：定系：定系： 四动点的选择原则：四动点的选择原则： 五动系的选择原则五动系的选择原则：AB杆上杆上A点点固结于凸轮固结于凸轮 上上固结在地面上固结在地面上8相对运动：相对运动：牵连运动：牵连运动：曲线（圆弧）曲线（圆弧）直线平移直线平移绝对运动：绝对运动： 直线直线9牵连速度：牵连速度：相对速度：相对速度：绝对速度：绝对速度：evrvav10牵连加速度：牵连加速度：aaeara绝对加速度：绝对加速度：相对加速度：相对加速度：11动点：动点：在圆盘上的在圆盘上的A点点动系：动系：固结于固结于OA摆杆上摆杆上定系：定系： 固结于固结于机架上机架

7、上绝对运动：绝对运动：曲线（圆周）曲线（圆周）相对运动：相对运动：直线直线牵连运动：牵连运动：定轴转动定轴转动动点动点：OA1 摆杆上的摆杆上的A1动系：动系：固结于固结于圆盘上圆盘上定系：定系：固结于机架上固结于机架上绝对运动：绝对运动：曲线（圆弧）曲线（圆弧）相对运动：相对运动：曲线曲线牵连运动：牵连运动： 定轴转动定轴转动12 注意注意 要指明动点在哪要指明动点在哪个物体上，但不能选在动个物体上，但不能选在动系上。系上。动点：动点： AB杆上的杆上的A点点偏心轮上的偏心轮上的A点点动系：动系：固结于偏心轮上固结于偏心轮上绝对运动：绝对运动：直线直线相对运动：相对运动：圆周（曲线）圆周（曲

8、线）牵连运动：牵连运动：定轴转动定轴转动固结于固结于AB杆上杆上曲线（未知）曲线（未知）圆周（红色虚线）圆周（红色虚线）平移平移若动点若动点A在偏心轮上时在偏心轮上时13六六. .绝对运动方程与相对运动方程绝对运动方程与相对运动方程 绝对运动方程：绝对运动方程： x=x(t) y=y(t) 相对运动方程：相对运动方程： x=x (t) y=y (t) Oxy相对于相对于Oxy的运动：的运动： xO=xO(t) yO=yO(t) =(t) xOyOxyr r OrM Ox Oyjjjsincos yxxxOjjcossin yxyyOxxyy146.6.2 速度合成定理速度合成定理 速度合成定理

9、将建立动点的绝对速度，相对速度和牵连速度速度合成定理将建立动点的绝对速度，相对速度和牵连速度之间的关系。之间的关系。rrrOMkjir zyxMM rr 图示瞬时有图示瞬时有则则kjirv zyxt ddr定系：定系：Oxyz动系：动系： 牵连点牵连点：M(在动系上，与动点在动系上，与动点M重合）重合）zyxO2815evrvav+kjikjirrv zyxzyxtOMdda故故 动点在某瞬时的绝对速度等于动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。度的矢量和。说明：说明：1、牵连运动是任意的牵连运动是任意的 2 2、三种速度具有瞬时性、三种速

10、度具有瞬时性 3 3、用投影式可求解、用投影式可求解大小大小方向六个元素中的方向六个元素中的两个未知量。两个未知量。速度平行四边形速度平行四边形kjirrvzyxtOMdde16例例1 桥式吊车桥式吊车 已知：小已知：小车水平运行，速度为车水平运行，速度为v平平，物块物块A相对小车垂直上升相对小车垂直上升的速度为的速度为v 。求物块。求物块A的的运行速度。运行速度。17 则物块则物块的速度大小和方向为的速度大小和方向为作出作出速度平四边形速度平四边形如图示，如图示，2222 Aaervvvvvv平，平平vv 1tan 由由速度合成定理：速度合成定理：解解：选物块选物块A为为动点动点，动系动系固

11、结在小车上固结在小车上。相对运动相对运动: 直线运动直线运动;相对速度：相对速度：vr = v 方向方向牵连运动牵连运动: 平移运动平移运动; 牵连速度牵连速度: ve=v平 方向方向绝对运动绝对运动: 曲线曲线运动运动;绝对速度绝对速度va 的大小的大小,方向待求方向待求vr = vve= v平vareavvv18（ ）例例2 曲柄摆杆机构曲柄摆杆机构已知：已知：OA= r , , OO1=l图示瞬时图示瞬时OA OO1 求：摆杆求：摆杆O1B角速度角速度 1解：解： 取取OA杆上杆上A点为点为动点动点，动系动系固结在摆杆固结在摆杆 O1B上。上。绝对速度绝对速度 :va = r 方向方向

12、OA相对速度相对速度:vr = ? 方向方向/O1B牵连速度牵连速度: ve = ? 方向方向 O1B22sinlrrj222sinlrrvvaej11AOve22222112221lrrlrrlrAOve由速度合成定理由速度合成定理 作出速度平行四边形如图示。作出速度平行四边形如图示。reavvv19例例3 圆盘凸轮机构圆盘凸轮机构已知：已知：OCe , , （匀角速度）（匀角速度）图示瞬时图示瞬时, OC CA 且且 O、A、B三点共线。三点共线。求：从动杆求：从动杆AB的速度。的速度。e3R 取直杆上取直杆上A点为点为动点动点，动系动系固结于圆盘。固结于圆盘。解：解：绝对速度绝对速度va

13、 = ? 待求，待求，方向方向/AB相对速度相对速度vr = ? 未知，未知，方向方向 CA牵连速度牵连速度ve =OA=2e , 方向方向 OA 33230tan0evveaevAB332)(由速度合成定理由速度合成定理 作出速度平行四边形如图示。作出速度平行四边形如图示。reavvv2021由上述例题可看出，求解合成运动的速度问题的一般步骤为：由上述例题可看出，求解合成运动的速度问题的一般步骤为：（1） 选取动点，动系和定系。选取动点，动系和定系。（2） 三种运动的分析。三种运动的分析。（3） 三种速度的分析。三种速度的分析。（5）根据速度平行四边形，求出未知量。根据速度平行四边形，求出未

14、知量。（4） 根据速度合成定理根据速度合成定理 ，作出速度平行四边形。，作出速度平行四边形。reavvv恰当地选择动点、动系和定系是求解合成运动问题的关键。恰当地选择动点、动系和定系是求解合成运动问题的关键。必须注意：必须注意：作速度平行四边形时要使绝对速度成为平行四边形作速度平行四边形时要使绝对速度成为平行四边形 的对角线。的对角线。22动点、动系和定系的选择原则动点、动系和定系的选择原则（1）动点、动系和动点、动系和定定系必须分别属于三个不同的物体，否则绝系必须分别属于三个不同的物体，否则绝 对、相对和牵连运动中就缺少一种运动，不能成为合成运对、相对和牵连运动中就缺少一种运动，不能成为合成

15、运 动。动。（2）动点相对动系的相对运动轨迹易于直观判断（已知绝对运动点相对动系的相对运动轨迹易于直观判断（已知绝对运 动和牵连运动求解相对运动的问题除外）。动和牵连运动求解相对运动的问题除外）。23 分析：分析：两个物体的两个物体的接触点相对两个物体的位置都随时间接触点相对两个物体的位置都随时间而变化，因此两物体的接触点都不宜选为动点，否则相对运而变化，因此两物体的接触点都不宜选为动点，否则相对运动的分析就会很困难。这种情况下，需选择满足上述两条原动的分析就会很困难。这种情况下，需选择满足上述两条原则的非接触点为动点。则的非接触点为动点。例例 已知已知: 凸轮半径凸轮半径r , 图示时图示时

16、 杆杆OA靠在凸轮上。靠在凸轮上。 求：杆求：杆OA的角速度。的角速度。;30 ,v24 , 方向vva方向未知 ,rvOA OCOCve , 方方向向 待待求求, ,未未知知 =,reavvv如图示。如图示。根据速度合成定理根据速度合成定理做出速度平行四边形做出速度平行四边形rvvrrve6333212 vvvae33tan（） ,2sinrrOCve= 又又解解: 取凸轮上取凸轮上C点为点为动点动点, 动系动系固结于固结于OA杆上。杆上。 绝对运动绝对运动:绝对速度绝对速度:直线运动直线运动,相对运动相对运动:直线运动直线运动,相对速度相对速度:牵连运动牵连运动:定轴转动定轴转动,牵连速度

17、牵连速度: 25例例5 曲柄滑块机构曲柄滑块机构解解：(1)取取O1A上上A为动点为动点; 动系固结于动系固结于BCD上上, 静系固结于机架上。静系固结于机架上。绝对运动：圆周运动绝对运动：圆周运动;相对运动：直线运动相对运动：直线运动;牵连运动：平动牵连运动：平动; ，水平方向水平方向AOrv11a , BCv /?,r?ev已知：已知： ; 图示瞬时图示瞬时 ; 求求: 该瞬时该瞬时O2E 杆杆 的角速度的角速度2 。EOAO21/hrAO,1126 根据根据 作出作出速度平行四边形速度平行四边形reavvv(2)再选再选BCD上上F点为点为动点动点 动系动系固结于固结于O2E上，上， 静

18、系静系固结于机架上固结于机架上 绝对运动：直线运动，绝对运动：直线运动， 相对运动：直线运动，相对运动：直线运动， 牵连运动：定轴转动牵连运动：定轴转动，)(sin1rvFa)(/ ?,2EOvFr)( ?,2EOvFesinsin1rvvae根据根据做出做出速度平行四边形速度平行四边形FrFeFavvv211sinsinsinsinrrvvFaFesin/,222hFOFOveF又312122sinsinsinhrhrFOveF）（aFvrFveFv276.6.3 加速度合成定理加速度合成定理 加速度合成定理将建立动点的绝对加速度，相对加速度和牵加速度合成定理将建立动点的绝对加速度，相对加速

19、度和牵连加速度之间的关系。连加速度之间的关系。一一. . 动参考系为定轴转动时，其单位矢量对时间的导数。动参考系为定轴转动时，其单位矢量对时间的导数。AAAtr=r=veddkrrOA)(ddddkrkrOeOttvOOOtrr=ddekket dd同理同理iiejje28二二. .点的加速度合成定理点的加速度合成定理kjira2 zyxt dd2rkjirra zyxtOM22edd)(2)(2ddre22akjiaakjikjikjirra zyxzyxzyxzyxtOM29reeeee2)(2)()()( 2)(2vkjikjikji zyxzyxzyxCreaaaaa而而故故点的点的加

20、速度合成定理：加速度合成定理：动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时的牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和。时的牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和。记做记做aC科氏加速度的计算科氏加速度的计算vasin2=reC: :大大小小方向：按右手法则确定。方向：按右手法则确定。0),/ ( 180 0Creav 时时或或当当reCre2), ( 90v=av 时时当当aC1430当当牵连运动为平移牵连运动为平移时，时，e=0，因此因此aC=0，此时有此时有reaaaa表明表明：当牵连运动为平移时，当牵连运动为平移时，动点在某瞬时的绝对加速度等动点在某瞬时的绝对

21、加速度等于该瞬时的牵连加速度与相对加速度的矢量和。于该瞬时的牵连加速度与相对加速度的矢量和。因为点的绝对运动轨迹和相对运动轨迹可能都是曲线，因因为点的绝对运动轨迹和相对运动轨迹可能都是曲线，因此点的加速度合成定理一般可写成如下形式：此点的加速度合成定理一般可写成如下形式：nrtrnetenataaaaaaa（牵连运动为平移）（牵连运动为平移）Cnrtrnetenataaaaaaaa（牵连运动为转动）（牵连运动为转动）31解：解：取杆取杆AB上的上的A A点为点为动点，动点， 动系动系与凸轮固连。与凸轮固连。 例例66 已知：凸轮半径已知：凸轮半径 求：求：j =60o时时, , 顶杆顶杆AB的

22、加速度。的加速度。ooavR,32由速度合成定理由速度合成定理做出速度平行四边形做出速度平行四边形,如图示。如图示。003260sinsinvvvvoerjjj 沿沿CA指向指向CRvarnr/2牵连加速度牵连加速度 ae=a0 绝对速度绝对速度va = ? AB ；绝对加速度绝对加速度aa=? AB（待求待求）相对速度相对速度vr = ? CA;相对加速度相对加速度art =? CA牵连速度牵连速度ve=v0 ;reavvv33因因牵连运动为平移牵连运动为平移，故有，故有作作加速度矢量图加速度矢量图如图示，如图示，将上式投影到法线上，得将上式投影到法线上，得nreaaaajjcossin60

23、sin/ )3460cos(sin/ )cos(200Rvaaaanreajj整理得整理得)38(33200RvaaaaABjnnrtreaaaaaRvRvRva34/)32(/ 20202rnr=其其中中大小：大小：? ? ? 方向方向: : 注注加速度矢量加速度矢量方程的投影是方程的投影是等式两端的投等式两端的投影，与影，与 静平衡静平衡方程的投影关方程的投影关系不同系不同34已知已知: OAl , = 45o 时，, ; 求求：小车的速度与加速度小车的速度与加速度j解解： 取取OA杆上杆上 A点为点为动点动点; 动系动系固结在滑杆上固结在滑杆上;OAl=v , a例例7 曲柄滑杆机构曲柄

24、滑杆机构牵连运动：平动；牵连运动：平动；绝对运动：圆周运动，绝对运动：圆周运动， 相对运动：直线运动，相对运动：直线运动，竖竖直直 ?,r =v水水平平 ?e, =v小车的速度小车的速度：ev=v做出速度平行四边形做出速度平行四边形, 如图示如图示)(coscos jllvvae2245reavvv根据速度合成定理根据速度合成定理(1) 速度分析速度分析j35将上式投影至将上式投影至x轴：轴：enatasincosa=a-all-l=a2)-(22=sin45cos452e（方向如图示）（方向如图示）小车的加速度小车的加速度：ea=a根据牵连运动为平移的加速度合成定理根据牵连运动为平移的加速度

25、合成定理做出速度矢量图如图示做出速度矢量图如图示。(2) 加速度分析加速度分析tnaa, 2a =la=lrenataaaaaj大小：大小： ? ?方向方向: : 其中：其中：36解解: 动点动点: 顶杆上顶杆上A点；点； 动系动系: 与凸轮固结与凸轮固结 。 绝对运动绝对运动: 直线直线; va=? 待求待求, 方向方向/AB; 相对运动相对运动: 曲线曲线; vr=? 方向方向 n; 牵连运动牵连运动: 定轴转动定轴转动; ve= r ， 方向方向 OA， 。例例8 已知：凸轮机构以匀已知：凸轮机构以匀 绕绕O轴转动，图示瞬时轴转动，图示瞬时OA= r ，A点曲率半径点曲率半径 , 已知。

26、已知。求：该瞬时顶杆求：该瞬时顶杆 AB的速度和加速度。的速度和加速度。)(tan tanrvvveaABcos/ cos/rvver根据速度合成定理根据速度合成定理reavvv做出速度平行四边形做出速度平行四边形37n2222rr=/=/cos ,av r2Cr= 2= 2/ cos ,av r作出作出加速度矢量图加速度矢量图如图示如图示(*)式向式向 n 轴投影：轴投影：Cnrea+cos=cosaaaa-cos/ )sec2/seccos(22222rrraaaAB)sec2/sec1 (232rrn2ee= , aa rtnaerrC (*)aaaaaCa大小：大小： ? ? 方向方向

27、: : 其中：其中：由由牵连运动为转动时的加速度合成定理牵连运动为转动时的加速度合成定理38解：解：r2reC22vv=a=r2Cr22= vavreavvv根据根据做出速度平行四边形做出速度平行四边形)cos(=sin=),sin(=cos=1ar1ae+rvv+rvv112e2cos)sinsin(cossin)sin(+=r+r=AOv=r+=v=a21r2Ccos)2sin(22方向：与方向：与 相同。相同。ev例例9 曲柄摆杆机构曲柄摆杆机构已知：已知：O1Ar , , j j , 1; 取取O1A杆上杆上A点为动点，动系固结点为动点，动系固结O2B上，上，试计算动点试计算动点A的科

28、氏加速度。的科氏加速度。B39例例10 摇杆滑道机构摇杆滑道机构O=OD=aOA;=OD=a指指向向 ?,2nete解解：动点动点:销子销子D (BC上上); 动系动系: 固结于固结于OA。绝对运动：绝对运动：直线运动，直线运动，相对运动：相对运动：直线运动，直线运动，沿，沿OA 线线牵连运动：牵连运动：定轴转动，定轴转动，a=a,v=vaa?,rr=avOA=OD=v?,ev=v=v,v=v=vsinsincoscosaraeh vhv=ODv=2ecos=)cos/(cos/（）avh,:已知已知 求求: OA杆的 , 。根据速度合成定理速度合成定理做出速度平行四边形做出速度平行四边形,如

29、图示如图示。rea+=vvv40(*)式投影至式投影至 轴：轴：Cteacosaa=a-a+hv=a+aacossincos2cos=22aCteha+hv=ODa=2222tecossin2cos（）根据根据牵连运动为牵连运动为转动的加速度合成定理转动的加速度合成定理tnaeerC (*)a = a +a+a +a223n22ecoscos()coshvva= OD=,hh大小：大小： ? ? 方向方向: : 其中：其中：aa = a22Crcossin= 2= 2vavh41解解: 取凸轮上取凸轮上C点为点为动点动点， 动系动系固结于固结于OA杆上，杆上， 绝对运动绝对运动: 直线运动，直

30、线运动， 相对运动相对运动: 直线运动，直线运动， 牵连运动牵连运动: 定轴转动，定轴转动，aavvaa ,OAavrr/ ? ?,方向OCve方向 ?,已知：凸轮半径为已知：凸轮半径为R，图示瞬时，图示瞬时O、C在一条铅直线上在一条铅直线上; 已知已知;求求: 该瞬时该瞬时OA杆的角速度和角加速度。杆的角速度和角加速度。av、 分析分析: 由于接触点在两个物体上的位由于接触点在两个物体上的位置均是变化的，因此不宜选接触点为置均是变化的，因此不宜选接触点为动点。动点。例例11 凸轮机构凸轮机构; ?2OOCane指向?,=OC=ate方向OC42转向由上式符号决定，转向由上式符号决定，0则，则

31、，0 则则sinsin/ ;, 0RvRvOCvvvvveaer）(做出速度平行四边形做出速度平行四边形,知知根据根据reavvv (*)tnaeerCa = a+ a+ a + a做出加速度矢量图做出加速度矢量图222(sin )sinsinneRvva= OC=, RR（*）式投影至）式投影至 轴：轴：a+a=ateneacossincosaa=aneatetan-2222sinsin/sin/sinRvRa=RRva=OCa=te- 故故大小：大小： ? ? 方向方向: : 其中：其中：20Cra =v =43例例12 刨床机构刨床机构已知已知: 主动轮主动轮O转速转速n=30 r/min,OA=15