物理学毕业论文-弹簧振子振动的研究

1、 学 院 本科毕业论文（设计）题题 目目 弹簧振子振动的研究 院院 系系 物理与电子工程学院 专专 业业 物理学 姓姓 名名 学学 号号 学习年限学习年限 2007 年 9 月至 2011 年 7 月指导教师指导教师 申请学位申请学位 理学 学士学位 二 O 一一年五月二十三日 弹簧振子振动的研究 摘 要: 我们对存在恒定大小滑动摩擦阻力时弹簧振子的运动规律做了深入的研究. 对在粗糙水平面上作振动的弹簧振子通过解析计算分析及数值计算方法, 从能量的角度计算了存在滑动摩擦阻力时弹簧振子最后停止的准确位置, 并且精确计算出弹簧振子的振动总次数. 对弹簧振子停止的成因给出了动力学解释, 详细分析了振

2、动次数与停止点的关系. 从能量角度计算出每次振动振幅衰减的准确值, 并且给出了位移及速度随时间变化的关系曲线; 能量随时间及能量随位移变化的关系曲线.关键词: 弹簧振子; 滑动摩擦力; 数值计算 Research on vibration of Spring vibrator ABSTRACT: We exist constant sliding friction resistance, the size of the motion law of spring vibrator made a in-depth research. In the rough level surface and t

3、he spring vibrator for vibration by analytic calculation analysis and numerical calculation method, calculated from the Angle of energy when sliding friction resistance there last spring vibrator, and stop exact location precisely calculate spring vibrator vibration total number of spring vibrator s

4、top. The cause of the dynamic interpretation are analyzed in detail, vibration frequency and stop some relationship. From the Angle of energy each vibration amplitude attenuation calculated accurate values, and gives the displacement and speed changing with time relationship curves; Energy on time a

5、nd energy with the relation curves of displacement variation. KEYWORDS: Spring vibrator; Sliding friction; Numerical calculation 目 录引 言.11 滑动摩擦力大小恒定的弹簧振子.21.1 滑动摩擦力大小恒定的弹簧振子的模型 .21.2 受恒定大小滑动摩擦力作用的弹簧振子的运动方程 .22 滑动摩擦力大小恒定的弹簧振子变量的计算.42.1 振动周期的计算 .42.2 振子的停滞区 .52.3 振子的振幅、周期与停止点 .63 滑动摩擦力大小恒定的弹簧振子变量关系的分析

6、.93.1 质点的振幅与振动次数的线性关系 .93.2 质点的速度与时间关系 .113.3 质点的动量与位移关系 .143.4 能量时间关系及能量位移关系 .15总 结.21致 谢.21参考文献.21 1引引 言言振动在物理学中占有相当重要的位置, 简谐振动作为所有研究振动的基础其运动规律已为人们所熟知, 对于存在摩擦阻力时的振动的研究还存在有待深入的探讨的问题. 而这一类振动在现实中是非常常见的. 最近关于这类问题的研究引起人们关注, 1 5对这一问题的研究给出对在粗糙水平面上作振动的弹簧振子最后停止的位置, 估算了弹簧振子的振动总次数, 得出弹簧振子的相轨迹. 我们在此基础上, 从初始能量

7、的1减少等于克服阻力做功的观点, 精确计算出存在滑动摩擦阻力时弹簧振子最后停止的准确位置, 以及弹簧振子具有一定初始势能时所能够进行的振动次数. 在停滞区域弹簧振子为什么停止及停止后弹簧振子系统是否仍具有势能存储于系统中, 给出了明确的分析结果, 并且详细分析了初始振幅与振动次数及停止点的关系. 由每次振动摩擦阻力所做的功得出每次振动振幅衰减的精确值, 从而得出振动峰值与振动次数的关系曲线, 并且通过数值计算给出了位移及速度随时间变化曲线, 直接验证了解析结果; 并讨论了能量随时间的变化规律及特性及能量随位移变化的特性. 21 滑动摩擦力大小恒定的弹簧振子滑动摩擦力大小恒定的弹簧振子1.1 滑

8、动摩擦力大小恒定的弹簧振子的模型滑动摩擦力大小恒定的弹簧振子的模型在粗糙水平面上的一个弹簧振子, 如图 1.1 所示, 物体质量为, 弹簧的劲度系数m为, 忽略其质量, 物体和水平表面之间的摩擦因数为. 假设物体沿一条直线运动,k其位置坐标为(当时, 弹簧没有伸缩), 且静摩擦因数和滑动摩擦因数相等. 起始x0 x 时物体的位置坐标为(), 且速度0 xA00A 为 0. 此为滑动摩擦力大小恒定的弹簧振子的模型. 对于此模型, 振子在运动过程中速度、振幅随振动次数的变化, 动量与速度的关系, 能量与位移、能量与速度的关系变化以及振子最终停止的地点. 本文将作出讨论并得出相应的结论.1.2 受恒

9、定大小滑动摩擦力作用的弹簧振子的运动方程受恒定大小滑动摩擦力作用的弹簧振子的运动方程受恒定大小滑动摩擦力的弹簧振子在运动过程中: 由于滑动摩擦力的大小与物体的运动速率无关, 但其作用的方向和物体的运动方向即速度方向始终相反, 因此弹簧振子的运动方程式必须依其速度方向而定.参照简谐振动的分析过程, 质点在线性回复力作用下围绕平衡位置的运动叫做 2简谐振动. 无滑动摩擦力的弹簧振子是简谐振动的典型例子.将振子视作质点, 弹簧自由伸展时质点的位置是平衡位置, 以此为坐标原点建立坐标系, 表示质点的位置坐标, 又等于相对于原点的位移, 也是弹簧的伸长(压缩)Oxx量. 很小时, 力与之间成线性关系,

10、即, 是弹簧的劲度系数. 弹簧弹性xxFxxFkx k力是弹簧振子做简谐振动的线性回复力.以表示滑块质量, 根据牛顿第二定律m (1.1)22d xmkxdt 用除上式两端, 并令, 上式可写作m20km图 1.1 粗糙水平面上受恒定大小滑动摩擦力的弹簧振子mx0AO 3 (1.2)2202d xxdt 式中的决定于弹簧的劲度系数和滑块的质量, 从而可知简谐振动中质点运动的动力0学方程式为: (1.3)22020d xxdt同理, 当振子受恒定大小的滑动摩擦力时, 设轴沿着物体的运动方向, 当x时,弹簧无伸缩, 在无摩擦的情况下, 原点为一平衡点. 物体的运动方程式可写为:0 x 当时 (1.

11、4)20fFxxm 0 x 当时 (1.5)20fFxxm0 x 其中为振子的质量, 为滑动摩擦系数, , , 为重力加速mfFmg0k mg度. 为该弹簧系统在无摩擦情况下的振动角频率.0为了统一两种运动的运动方程形式定义新变量, . 则式120fFxxm220fFxxm(1.4)和式(1.5)可改写为: (1.6)21010 xx (1.7)22020 xx这两式相当于在无摩擦情况下的简谐运动方程式, 换句话说, 滑动摩擦力对质点振动的影响可简化为造成平衡点的迁移:当时, 平衡点由无摩擦情况下的平衡点移至 0 x 0 x 2200fxFmg (或).10 x 当时, 平衡点由无摩擦情况下的

12、平衡点移至 0 x 0 x 2200fxFmg(或).20 x 42 滑动摩擦力大小恒定的弹簧振子变量的计算滑动摩擦力大小恒定的弹簧振子变量的计算2.1 振动周期的计算振动周期的计算弹簧振子在运动过程中, 受恒定大小的滑动摩擦力的作用, 因而其运动振幅fF(最大位移)随着时间的延伸而不断减小. 如果初始时振动速度为0, 位移为, 从能量0A守恒的观点考虑振动的振幅衰减即为弹簧势能的减少应等于滑动摩擦力所作的功, 所以根据功能关系当振子从运动到第一个负最大振幅时, 满足: 0A1maxx1maxx (2.1)2201max01max1122fkAkxFAx (2.2)01max01max01ma

13、x2fFAxAxAxk (2.3)01max2fFAxk由此解得: (2.4)1max02fFxAk当振子从运动到第一个正最大振幅时, 满足:1maxx1maxx1maxx (2.5)221max1max1max1max1122fkxkxFxx (2.6)221max1max1max1max2fFxxxxk (2.7)1max1max2fFxxk 由此解得: (2.8)1max00242fffFFFxAAkkk 这说明在第一次振动完成后, 振幅减小. 同样当振动从到时, 满足如4fFk1maxx2maxx下关系: (2.9)221max2max1max2max1122fkxkxFxx (2.1

14、0)221max2max1max2max2fFxxxxk (2.11)1max2max2fFxxk由此得到: 5 (2.12)2max1max2fFxxk而从到的振动满足如下关系: 2maxx2maxx (2.13)222max2max2max2max1122fkxkxFxx (2.14)222max2max2max2max2fFxxxxk (2.15)2max2max2fFxxk 由此得到: (2.16)2max2max1max0022222442fffffffFFFxxxkkkFFFAkkkFAk 从此可以看出: 当完成第二次振动时, 振幅减小. 从而我们得到振动次后42fFkn的振幅为

15、(2.17)max04fnFxnAk 而能够完成的总振动次数应为 (2.18)04fANFk2.2 振子的停滞区振子的停滞区振子在单向运动一次时, 振幅减小, 可推出振子完全振动一次时, 振幅减小202g. 即: 设振子初始振幅为, 单向运动一次至反方向最大位移处振子振幅为204g0A. 振子在运动过程中受滑动摩擦力的作用, 克服摩擦力而做功, 从而使系统0202 gA能量转化为耗散功. 而当振子振幅小于时, 弹簧振子系统提供的恢复力不能克服20g摩擦力而继续运动, 即振子不能再向前运动, 停止于到的区间.20g20g当弹簧振子的振幅小于时, 弹簧振子便会停止于到区间. 从而可知 20g20g

16、20g 6弹簧振子的停滞区为.220022fxxFmg2.3 振子的振幅、周期与停止点振子的振幅、周期与停止点振子振动的周期数由初始振幅决定, 且满足公式. 假定弹簧振子满足: 0A2004ANg, 因此, . 则有恒定大小滑动摩擦力的 1,1mTkgs102s222kkgs弹簧振子运动过程中:计算主程序:clearm=1;k=(2*pi)2;omega0=sqrt(k/m);A0=1.01321;v0=0;f=2.0;N=A0*omega02*m/(4*f)即N=5.0000位移时间图的运行程序:t,x=ode45(funerxx,0:0.001:ceil(N),A0 v0,omega0,f

17、);plot(t,x(:,1),-k,t,f/m/omega02,:k,t,-f/m/omega02,:k,LineWidth,2)xlabel(fontsize16fontnameTime New Romant, Color,k)ylabel(fontsize16fontnameTime New Romanx, Color,k)grid on函数程序:function Q=funerxx(t,x,omega0,f) %x有两个元素x(1)和x(2)Q=x(2);-omega02*x(1)-f.*sign(x(2);程序中的取不同值时, 周期数不同并且最后停止点也不同. 可知, 取不同振幅0A

18、时, 周期及停止点的规律:, , 振子停止于原点; , , 振子停止于大00.4053Am2N 00.4559Am2.25N 于零的区域; , , 振子停止于等于零处; , , 00.5066Am2.5N 00.5573Am2.75N 7振子停止于小于零的区域; , , 振子停止于小于零的区域; 00.3546Am1.75N , , 振子停止于等于零的区域; , , 振子停于00.3040Am1.5N 0.2533Am1.25N 大于零的区域.00.511.522.53-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5tx图 2.1 时,位移时00.4053Am2N 间关系曲线,

19、振子最终停止于原点00.511.522.53-0.4-0.200.20.40.6tx图 2.2 时,位移00.5066Am2.5N 时间关系曲线,振子最终停止于原点00.20.40.60.811.21.41.61.82-0.3-0.2-0.100.10.20.30.4tx图 2.3 时,位移时00.3040Am1.5N 间关系曲线,振子最终停止于原点00.511.522.53-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5tx图 2.4 时,位移00.4559Am2.25N 时间关系曲线,振子停止于大于零区域00.20.40.60.811.21.41.61.82-0.2-0.1

20、5-0.1-0.0500.050.10.150.20.250.3tx图 2.5 时,位移00.2533Am1.25N 时间关系曲线,振子停止于大于零区域00.511.522.53-0.4-0.200.20.40.6tx图 2.6 时,位移00.5573Am2.75N 时间关系曲线,振子停止于小于零区域 8即当周期为整数、半整数N时, 振子最终停止于原点; 当周0.5N 期为时, 振子最终停止于大于0.25N 零的区域处; 当周期为大于, xxN小于并且不等于时, 振5 . 0N25. 0N子最终停止于的区域; 当周期0 xx为时, 振子最终停止于小于零75. 0N的区域处; 当周期大于, xx

21、5 . 0N小于并且不等于时, 振子1N75. 0N最终停止于的区域.0 xx00.20.40.60.811.21.41.61.82-0.3-0.2-0.100.10.20.30.4tx图 2.7 时,位移00.3546Am1.75N 时间曲线,振子停止于小于零的区域 93 滑动摩擦力大小恒定的弹簧振子变量关系的分析滑动摩擦力大小恒定的弹簧振子变量关系的分析3.1 质点的振幅与振动次数的线性关系质点的振幅与振动次数的线性关系质点在每次振动完成后振幅减小相同, 均为, 所以振幅的衰减与振动次数4fFk成正比. 所以在图中每次振动的顶点相连成一直线, 对于的峰值的连线方ntx0 x 程为: (3.

22、1)004xAnf k而对于的峰值的连线方程为:0 x (3.2)004xAnf k 假定: , 因此, . 1,1mTkgs102s222kkgs图3.1图3.8给出了取不同值时, 直线、直线与曲线相交的情况.0A0 x0 xtx计算主程序:clearm=1;k=(2*pi)2;omega0=sqrt(k/m);v0=0;f=2.0;N=5.0 %N=5.0, 5.125, 5.25, 5.375, 5.5, 5.625, 5.75, 5.875n=0:0.1:ceil(N);A0=N*(4*f)/(omega02*m)t,x=ode45(funerxx,0:0.001:ceil(N),A0

23、 v0,omega0,f);plot(t,x(:,1),-k,n,(A0-n*4*f/k),:k,n,-(A0-n*4*f/k),-.k,LineWidth, 2) xlabel(fontsize16fontnameTime New Romant(s), Color,k)ylabel(fontsize16fontnameTime New Romanx(m), Color,k)set(gca,XTick,0:0.5:ceil(N) %给定x轴的刻度0.5set(gca,YTick,-1.25:0.25:1.25)legend(x, x_0,x_0 x0 x0 x0 x0 x0 x0 x0 x0图

24、 3.8 取,则01.1905Am时峰值与直线相交的情况. 5.875N 实线为位移曲线,点线为,点划线为0 x.0 x 12综上可知, 在第一个整周期中, 振子的速度变化曲线为类余弦曲线. 它是从开0始, 逐渐增大到负的最大值而后又减小到; 继续运动又逐渐增大到正的最大位移0(此最大值小于上次负最大值的绝对值)后, 又减小到, 整个变化曲线为类余弦曲线.0之后的每个振动过程中速度时间图亦为此规律.3.2.2 速度折点处与周期的关系速度折点处与周期的关系由于质点在通过 的峰值时, 由于摩擦阻力与速度方向相反, 所以在速度改变方x向时摩擦阻力的方向就要随之改变, 这将使得在这一点上速度的导数(加

25、速度)不连续,从而导致速度曲线将不再是一条光滑的曲线. 不过其不光滑的程度应该与此时的 的x峰值大小有关, 因为 (3.3)2000ffFxmxxFxm 如果在速度改变时, 如果和属同数量级时, 速度曲线的不光滑就会非常明20 xfFm显.如图3.11取,在第一次速度方向改变时 01.1652 ,1Am N1max02fxAFk, , 此时的阻力, 速度曲线在此处不光滑非常明显. 0.1013m 1max4kxN2fFN如图3.12取, 在第一次速度方向改变时 00.6079 ,3Am N1max02fxAFk, , 此时的阻力, 速度曲线在此处不光滑并不明0.506m 1max20kxN2f

26、FN显. 但在第五次速度改变方向时, 此时振幅为第三次振动的负极大, , 此时的阻力仍为, 速度曲线3max020.1013fxAFkm 3max4kxN2fFN在此处不光滑非常明显.00.20.40.60.811.21.41.61.82-2-1.5-1-0.500.51tv图 3.9 时，速度00.3040 ,1.5Am N时间关系图00.511.522.53-2.5-2-1.5-1-0.500.511.52tv图 3.10 时，速度00.4053 ,2Am N时间关系图 13计算主程序:clearm=1;k=(2*pi)2;omega0=sqrt(k/m);v0=0;f=2.0;N=1.0

27、 %N=1.0, 3.0n=0:0.1:ceil(N);A0=N*(4*f)/(omega02*m)t,x=ode45(funerxx,0:0.001:ceil(N),A0 v0,omega0,f);plot(t,x(:,2),-k,t,x(:,1),:k,LineWidth, 2) xlabel(fontsize16fontnameTime New Romant(s), Color,k)ylabel(fontsize16fontnameTime New Romanv(m/s), Color,k)legend(v,x)grid onbox on函数程序:function Q=funerxx(t

28、,x,omega0,f) %x有两个元素x(1)和x(2)Q=x(2);-omega02*x(1)-f.*sign(x(2);00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.4t(s)v(m/s)vx图 3.11 取时速度01.1652 ,1Am N曲线(实线)在第一个位移曲线(点线)负极大时曲线不光滑的情况非常明显.00.511.522.53-4-3-2-10123t(s)v(m/s)vx图 3.12 取时速00.6079 ,3Am N度曲线(实线)光滑的情况. 显然在振幅(点线)减小时不光滑变得更加明显. 143.3 质点的动量与位

29、移关系质点的动量与位移关系以, 和, 为示例讨论动量位移关系, 利用5 . 1N00.3040Am2N00.4053AmMATLAB 做出图形, 并作出分析:主要运行程序:t,x=ode45(funerxx,0:0.001:ceil(N),A0 v0,omega0,f);plot(x(:,1),m*x(:,2),-k,f/m/omega02,-max(abs(x(:,2)-1:0.001:max(abs(x(:,2)+1,-k,-f/m/omega02,-max(abs(x(:,2)-1:0.001:max(abs(x(:,2)+1,-k,LineWidth, 2) xlabel(fontsi

30、ze16fontnameTime New Romanx, Color,k)ylabel(fontsize16fontnameTime New Romanp, Color,k)grid on -0.3-0.2-0.100.10.20.30.4-3-2.5-2-1.5-1-0.500.511.52xp图 3.13 时, 动量00.3040 ,1.5Am N与位移的关系曲线-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-3-2-10123xp图 3.14 时, 动量00.4053 ,2Am N与位移的关系曲线-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.150.20.25

31、0.3-1.5-1-0.500.511.5xp图3.15 , 动量00.2533 ,1.25Am N与位移的关系曲线-0.3-0.2-0.100.10.20.30.4-2-1.5-1-0.500.511.52xp图3.16 , 动量00.3546 ,1.75Am N与位移的关系曲线 15根据及相轨迹图形, 可知动量位移图亦为类椭圆形状. 该弹簧振子受恒定mvp 大小的滑动摩擦力, 因而振幅不断减小. 初始时刻, 振子处于正的最大位移即处, 0A此时速度为零, 动量亦为零, 可知起始点为处.0 ,0A第一次单向运动中, 振子向左运动, 当位移为零时, 速度达负的最大值, 此时动量亦为负的最大值;

32、 振子继续向左运动, 直至达到负的最大位移即处, 但其绝对值1A小于初始最大位移, 并且差值为, 此时速度减小到零, 动量亦为零, 可知坐202 gA标为.0202,0gA在第二次单向运动中, 振子向右运动,当位移为零时, 速度达正的最大值, 此时动量亦为正的最大值; 振子继续向右运动,直到达到正的最大位移即处,而又知2A, 并且差值亦为, 此时速度又减小到零, 动量亦为零, 可知在图210AAA202gA 中坐标为.0 ,4200gA同理, 之后每一次单向运动或每一个整周期运动, 动量位移变化规律与此相同.对照位移时间图及简谐振动的相轨迹, 可知当时, 振子的动量变化三个半周期后5 . 1N

33、最终停止在原点即处; 当时, 振子的动量变化二个周期后最终停止在原点0 , 02N即处. 且每个半周期的曲线为类椭圆的上半边或下半边, 并且相邻半周期的曲线0 , 0交汇于处.0p从图3.133.16上同样看到在为整数或半整数时, 振动停止于零点, 此时系统的N全部初始势能用来克服阻力做功; 而在时振动分别停止在右和左停1.25,1.75NN止线, 此时系统的初始势能的一部分存储于系统中, 振动停止时系统的能量并不为零.3.4 能量时间关系及能量位移关系能量时间关系及能量位移关系 3.4.1 能量与时间的曲线及其凹向能量与时间的曲线及其凹向该系统的能量为: (3.4) 221122Ekxmvt

34、能量对时间的一阶导数为: (3.5) 20signfFdEtkxxmxxkxvmvakxvvxvdtm其中 16 (3.6) 10sign10vvv在速度变号处, 不光滑从而不存在. 为简单起见, 我们就时的情况dE dt22d E dt1N 绘制出能量与时间的曲线、能量的一阶导数与时间的关系及能量对时间的二阶导数与时间关系曲线对能量随时间的变化进行分析.计算主程序:clearm=1;k=(2*pi)2;omega0=sqrt(k/m);v0=0;f=2.0;N=1.0 %N=1.0, 3.0dt=0.0001;A0=N*(4*f)/(omega02*m)t,x=ode45(funerxx,0

35、:dt:ceil(N),A0 v0,omega0,f);E=0.5*k*x(:,1).2+0.5*m*x(:,2).2;dEdt=diff(E)/dt;ddEdt=diff(dEdt)/dt;plot(t,E,-k,LineWidth, 2) xlabel(fontsize16fontnameTime New Romant(s), Color,k)ylabel(fontsize16fontnameTime New RomanE(J), Color,k)set(gca,XTick,0:0.125:ceil(N) %给定x轴的刻度0.125set(gca,XTickLabel,0,T/8,T/4,

36、3T/8,T/2,5T/8,3T/4,7T/8,T)grid onbox onfigureplot(t(1:ceil(N)/0.0001),dEdt,-k,LineWidth, 2)xlabel(fontsize16fontnameTime New Romant(s), Color,k)ylabel(fontsize16fontnameTime New RomanE(J/s), Color,k)set(gca,XTick,0:0.125:ceil(N) %给定x轴的刻度0.125 17set(gca,XTickLabel,0,T/8,T/4,3T/8,T/2,5T/8,3T/4,7T/8,T)

37、grid onbox onfigureplot(t(1:ceil(N)/0.0001-1),ddEdt,-k,LineWidth, 2)xlabel(fontsize16fontnameTime New Romant(s), Color,k)ylabel(fontsize16fontnameTime New RomanE(J/s2), Color,k)set(gca,XTick,0:0.125:ceil(N) %给定x轴的刻度0.125set(gca,XTickLabel,0,T/8,T/4,3T/8,T/2,5T/8,3T/4,7T/8,T)grid on函数程序:function Q=fu

38、nerxx(t,x,omega0,f) %x有两个元素x(1)和x(2)Q=x(2);-omega02*x(1)-f.*sign(x(2);从图3.17能量与时间的关系曲线可以看出, 能量随时间的变化不是线性的. 在开始时, 速度较慢, 阻力做的功在单位时间里比较小, 所以能量下降也比较缓慢. 随着时间增加, 接近速度变快, 单位4T时间阻力做的功增加, 此时能量下降变的比较快. 然后又随着时间接近速度逐2T渐变慢而变缓. 然后又逐渐加快, 到时能量下降的比较快, 然后在接近34T0T/8T/43T/8T/25T/83T/47T/8T00.10.20.30.40.50.60.70.80.9t(

39、s)E(J)图 3.17 时能量与00.2026 ,1Am N时间的关系曲线0T/8T/43T/8T/25T/83T/47T/8T-2-1.8-1.6-1.4-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.20t(s)E(J/s)图 3.18 时能量对00.2026 ,1Am N时间的导数与时间的关系曲线0T/8T/43T/8T/25T/83T/47T/8T-15-10-5051015t(s)E(J/s2)图 3.19 时能量对00.2026 ,1Am N时间的二阶导与时间的关系曲线 18时又逐渐变缓. 实际在每一次完成全部振动的过程中, 在起始点、和振动结束T2T的时间点, 能量随时间的变化率为零

40、. 在和振子位于平衡点时, 振子速度最4T34T快能量下降也最快. 由能量对时间的一阶导数曲线图3.18和二阶导数曲线图3.19, 可以看出能量随时间的变化曲线在每次振动起始到, 在这一段时间中能量与时间的关4T系曲线为上凸(能量对时间的二阶导数小于零), 从到, 此段时间中能量与时4T2T间的关系曲线为下凹(能量对时间的二阶导数大于零). 从到位曲线为上凸2T34T(能量对时间的二阶导数小于零), 从到的时间段为下凹(能量对时间的二阶导34TT数大于零). 并且由于在每次振动起始时刻、及结束时刻, 由于阻力方向突然变化, 2T使得能量对时间的导数在这些时刻不光滑, 从而能量对时间的二阶导数在

41、这些时刻不存在.3.4.2 能量与位移的曲线能量与位移的曲线振子系统的能量为 (3.7)221122Epkxm下面我们绘制能量与坐标的关系曲线. 在能量与坐标的关系曲线中, 当初始振幅取值使得为整数或半整数时, 振子停止于坐标零点, 此时初始时的势能完全用来克N服阻力做了功; 如果初始振幅取值使得不是整数或半整数, 则振子停止于停止区内N除零点以外的任一点, 这时虽然振动停止, 但系统中仍存储有一定的势能, 即初始时的一部分势能并没有用来克服阻力做功. 下面我们用几个特殊的值来说明这一情况.N能量与位移关系的计算主程序:clearm=1;k=(2*pi)2;omega0=sqrt(k/m);v

42、0=0;f=2.0;N=1.0 %N=1.0, 1.25, 1.5, 1.75dt=0.0001;A0=N*(4*f)/(omega02*m)t,x=ode45(funerxx,0:dt:ceil(N),A0 v0,omega0,f);E=0.5*k*x(:,1).2+0.5*m*x(:,2).2; plot(x(:,1),E,-k,f/m/omega02,0:0.001:0.9,-k,- 19f/m/omega02,0:0.001:0.9,-k,LineWidth, 2) xlabel(fontsize16fontnameTime New Romanx(m), Color,k)ylabel(fontsize16fontnameTime New RomanE(J), Color,k)grid onaxis(-0.25 0.25 0 0.9)函数程序:function Q=funerxx(t,x,omega0,f) %x有两个元素x(1)和x(2)Q=x(2);-omega02*x(1)-f.*sign(x(2);我们分别采用绘制图3.20, 绘制图3.21, 00.2026 ,1Am N00.2533 ,1.25Am N 绘制图3.22, 绘制图3.23. 在图中的两条00.3040 ,Am1.5N 00.3546