导数的运算法则

1、第二节第二节 导数的运算法则导数的运算法则 用定义只能求出一些较简单的函数的导数，对于用定义只能求出一些较简单的函数的导数，对于比较复杂的函数则往往很困难。比较复杂的函数则往往很困难。 本节我们就来建立求导数的基本公式和基本法则，本节我们就来建立求导数的基本公式和基本法则，借助于这些公式和法则就能比较方便地求出常见的函借助于这些公式和法则就能比较方便地求出常见的函数数初等函数的导数，从而使初等函数的求导问题初等函数的导数，从而使初等函数的求导问题系统化，简单化。系统化，简单化。一、和、差、积、商的求导法则一、和、差、积、商的求导法则定理定理并且并且可导可导处也处也在点在点分母不为零分母不为零们

2、的和、差、积、商们的和、差、积、商则它则它处可导处可导在点在点如果函数如果函数,)(,)(),(xxxvxu).0)()()()()()()()( )3();()()()( )()( )2();()( )()( )1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu注注1、 （1）（）（2）可推广到任意有限个可导函数的情形）可推广到任意有限个可导函数的情形2、 作为（作为（2）的特殊情况）的特殊情况uccucv )(，则，则若若);( )(xfCxCf 或或即常数因子可以提到导数符号的外面即常数因子可以提到导数符号的外面3、作为（、作为（3）的一种特殊情况，）的一种

3、特殊情况，2)1(, 1vvvu 则则若若例题分析例题分析例例1 1.sin223的的导导数数求求xxxy 解解23xy x4 .cos x 例例2 2.ln2sin的的导导数数求求xxy 解解xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 .2sin1ln2cos2xxxx 例例3 3.tan的导数的导数求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即同理可得同理可得.csc)(cot2xx

4、例例4 4yxy 求求sec解解 xycos1xx2cos)(cos xxxxxtanseccos1cossin 同理可得同理可得xxxcotcsc)(csc 二、反函数的导数二、反函数的导数定理定理.)(1)(,)(,0)()(yxfIxfyyIyxxy且有内也可导在对应区间那末它的反函数且内单调、可导在某区间如果函数即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.例例5 5.arcsin的的导导数数求求函函数数xy 解解,)2,2(sin内内单单调调、可可导导在在 yIyx, 0cos)(sin yy且且内内有有在在)1 , 1( xI)(sin1)(arcsi

5、n yxycos1 y2sin11 .112x 同理可得同理可得.11)(arccos2xx ;11)(arctan2xx .11)cot(2xx arc三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则 前面我们已经会求简单函数前面我们已经会求简单函数基本初等函数经基本初等函数经有限次四则运算的结果的导数，但是像有限次四则运算的结果的导数，但是像12sin,tanln22 xxexx等函数（复合函数）是否可导，可导的话，如何求等函数（复合函数）是否可导，可导的话，如何求它们的导数它们的导数?先看一个例子先看一个例子例例8 yxy ，求求22)1(22)1(xy 4221xx 344xxy )1(4

6、2xx 这里我们是先展开，再求导，若像这里我们是先展开，再求导，若像10002)1(xy 求导数，展开就不是办法，再像求导数，展开就不是办法，再像521xy 求导数，根本无法展开，又该怎么办？求导数，根本无法展开，又该怎么办？我们从复合函数的角度来分析一下上例的结果。我们从复合函数的角度来分析一下上例的结果。22)1(xy 复复合合而而成成的的和和是是由由221xuuy uyu2 xux2 )1(4)2(22xxxuuyxu xy 再如再如xy2sin )cossin2( xxy)(cossincos)(sin2 xxxx)sin(cos222xx x2cos2 注意到注意到xy2sin xu

7、uy2,sin uyucos 2 xuuuyxucos2 x2cos2 xy 由以上两例可见：由由以上两例可见：由)(),(xuufy 复合复合而成的函数而成的函数)(xfy 的导数的导数xy 恰好等于恰好等于y对中间变量对中间变量u的导数的导数uy 与中间变量与中间变量u对自变量对自变量x的导数的导数xu 的乘积的乘积xuxuyy 这就是这就是链式法则链式法则定理定理).()(,)(,)()(,)(0000000 xufdxdyxxfyxuufyxxuxx 且其导数为且其导数为可导可导在点在点则复合函数则复合函数可导可导在点在点而而可导可导在点在点如果函数如果函数即即 因变量对自变量求导因变

8、量对自变量求导, ,等于因变量对中间变量等于因变量对中间变量求导求导, ,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则) )dxdududydxdyIxfyIxuIxIufyIxu 上上可可导导，且且有有在在则则复复合合函函数数上上可可导导在在上上可可导导，在在若若)(,)(,)()(11 注注链式法则链式法则“由外向里，逐层求导由外向里，逐层求导”推广推广),(),(),(xvvuufy 设设.)(dxdvdvdududydxdyxfy 的导数为的导数为则复合函数则复合函数 例例6 6.sinln的的导导数数求求函函数数xy 解解.sin,lnxuuy dxdud

9、udydxdy xucos1 xxsincos xcot 例例7 7.)1(102的导数的导数求函数求函数 xy解解)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx例例8 8.)2(21ln32的的导导数数求求函函数数 xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx例例9 9.1sin的导数的导数求函数求函数xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 注注1.基本初等函数的导数公式和上述求导法则基本初等函数的导数公式和上述求导法则是初等函数求

10、导运算的基础，必须熟练掌握是初等函数求导运算的基础，必须熟练掌握2.复合函数求导的链式法则是一元函数微分复合函数求导的链式法则是一元函数微分学的理论基础和精神支柱，要深刻理解，熟学的理论基础和精神支柱，要深刻理解，熟练应用练应用注意不要漏层注意不要漏层3.对于分段函数求导问题：在定义域的各个部对于分段函数求导问题：在定义域的各个部分区间内部，仍按初等函数的求导法则处理，分区间内部，仍按初等函数的求导法则处理，在分界点处须用导数的定义仔细分析，即分别在分界点处须用导数的定义仔细分析，即分别求出在各分界点处的左、右导数，然后确定导求出在各分界点处的左、右导数，然后确定导数是否存在。数是否存在。四、

11、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题1.常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( 2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc2.函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则设设)(),(xvvxuu 可导，则可导，则（1） vuvu )(, （2）uccu )(（3

12、）vuvuuv )(, （4）)0()(2 vvvuvuvu.( ( 是常数是常数) )C 3.复合函数的求导法则复合函数的求导法则).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或导导数数为为的的则则复复合合函函数数而而设设四、二阶导数四、二阶导数问题问题: :变速直线运动的加速度变速直线运动的加速度.),(tfs 设设)()(tftv 则瞬时速度为则瞬时速度为的的变变化化率率对对时时间间是是速速度度加加速速度度tva. )()()( tftvta定义定义.)() )(,)()(处的二阶导数在点为函数则称处可导在点的导数如果函数xxfxfxxfxf记作记作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 例例1010).0(),0(,arctanffxy 求求设设解解211xy )11(2 xy22)1(2xx )1(2(22 xxy322)1()13(2xx 022)1(2)0( xxxf; 0 0322)1()13(2)0( xxxf. 2 五、小结五、小结注意注意:)