复变函数钟玉泉第三版第四章第一节

1、4.1.1复数项级数复数项级数4.1.2复函数项级数复函数项级数4.1.3解析函数项级数解析函数项级数1.4 小结与思考小结与思考 4.1.0 4.1.0 复数列的极限复数列的极限1.1.定义定义0,( )N 如如任任意意给给定定相相应应地地都都能能找找到到一一个个正正整整数数 , nnN 使使在在时时: :成成立立 , 时时的的极极限限当当称称为为复复数数列列那那末末 nn 记作记作.lim nn . 收敛于收敛于此时也称复数列此时也称复数列n , ), 2 , 1( 其其中中为为一一复复数数列列设设 nn ,nnniba , 为一确定的复数为一确定的复数又设又设iba 2.复数列收敛的条件

2、复数列收敛的条件 (1,2,) nnnaibnaib 定定理理 复复数数列列收收敛敛于于的的充充要要条条件件是是lim,lim.nnnnaabb ,lim nn如如果果那末对于任意给定的那末对于任意给定的0 就能找到一个正数就能找到一个正数N, , 时时当当Nn ,)()( ibaibann证证,)()( bbiaaaannn从而有从而有.limaann 所以所以.limbbnn 同理同理.2,2 bbaann反之反之, 如果如果,lim,limbbaannnn , 时时那末当那末当Nn 从而有从而有)()(ibaibannn )()(bbiaann 该定理说明该定理说明: 可将复数列的敛散性

3、转化为判别两可将复数列的敛散性转化为判别两个实数列的敛散性个实数列的敛散性.lim nn所所以以证毕证毕, bbaann定理：数列收敛的定理：数列收敛的Cauchy准则准则 (1,2,) nn 复复数数列列收收敛敛的的充充要要条条件件是是: :0:NnNpN , , 0 0, ,当当时时, ,对对|npn 课堂练习课堂练习: :下列数列是否收敛下列数列是否收敛? 如果收敛如果收敛, 求出其极限求出其极限.;11)1(ninizn ;1)1()2( niznn.1)3(2innenz 1.定义定义(1,2,),nnnaibn 设设为为一一复复数数列列121 (4.1)nnn 表达式表达式称为复数

4、项级数称为复数项级数.（4.1）最前面）最前面 n 项的和记为项的和记为:nns 21称为级数的部分和称为级数的部分和.部分和部分和若部分和数列若部分和数列sn(n=1,2,)以有限复数以有限复数s为极限为极限,lim()nnss 4.1.1复数项级数复数项级数即若即若收敛与发散（敛散性）收敛与发散（敛散性）说明说明: 与实数项级数相同与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散判别复数项级数敛散性的基本方法是性的基本方法是:.lim ssnn 利用极限利用极限1nns 则称复数项无穷级数则称复数项无穷级数(4.1)收敛于收敛于s,且称且称s为为(4.1)的和的和,写成写成否则若复数列否则若复数列s

5、n(n=1,2,)无有限极限无有限极限,则称级则称级数数(4.1)为发散为发散.:,0 nnz级级数数例例如如1-21nnzzzs ,1时时由于当由于当 z, )1(11 zzznzzsnnnn 11limlim,11z .1时时级级数数收收敛敛所所以以当当 z 定理定理4.1 设设 n=an+ibn(n=1,2,),an及及bn为实为实数数,则复级数则复级数(4.1)收敛于收敛于s=a+ib(a,b为实数为实数)的充要的充要条件为条件为:11,nnnnab 分别收敛于分别收敛于a及及b. 证证 111:,nnnnknknkkkksAaBb 设设则则 sn=An+iBn (n=1,2,),由第

6、一章习题由第一章习题(一一)17 limsn=a+ib的充要条件为的充要条件为:limAn=a及及limBn=bnnn2.复数项级数收敛的条件复数项级数收敛的条件实数项级数实数项级数说明说明 该定理的作用是将复数项级数的审敛问题该定理的作用是将复数项级数的审敛问题 实数项级数的审敛问题实数项级数的审敛问题(定理定理4.1)111),nnnnab 分别收敛于分别收敛于a及及b.1()nnsaib 112),nnnnab 至至少少一一个个发发散散1nn 发发散散 )1(1 1是否收敛？是否收敛？级数级数 nnin解解; 1 11发发散散因因为为 nnnna . 1121收敛收敛 nnnnb所以原级

7、所以原级数发散数发散. . 课堂练习课堂练习11(2)(1)ninn 2 2级级数数 是是否否收收敛敛？ 2111;nnnan 因因为为 收收敛敛111.nnnbn 3 3 收收敛敛 所以原级所以原级数收敛数收敛. . 定理定理4.2 (Cauchy准则准则)复级数复级数(4.1)收敛的收敛的充要充要条件为条件为:对任对任给给0,存在正整数存在正整数N(),当当nN且且p为为任何正整数时任何正整数时 | n+1+ n+2+ n+p|.推论推论2 收敛级数的各项必是有界的收敛级数的各项必是有界的.推论推论1 收敛级数的通项必趋于零收敛级数的通项必趋于零:lim0nn (事实上，取事实上，取p=1

8、,则必有则必有|an+1|0,以及给定的以及给定的zE,存在正整数存在正整数N=N(,z),使当使当nN时时,有有|f(z)-sn(z)|0,存在正整数存在正整数N=N(z),当当nN时时,对一切的对一切的zE均有均有 |f(z)-sn(z)|0,存在正整数存在正整数N=N(),使当使当nN时时,对于对于一切一切zE,均有均有 |fn+1(z)+fn+p(z)| (p=1,2,).Weierstrass优级数准则优级数准则: 如果整数列如果整数列Mn(n=1,2,),使对一切使对一切zE,有有|fn(z)|Mn (n=1,2,),而且正项而且正项级数级数 收敛收敛,则复函数项级数则复函数项级数

9、 在点集在点集E上上绝对收敛且一致收敛绝对收敛且一致收敛: 这样的正向级数这样的正向级数 称为函数项级数称为函数项级数的的优级数优级数.1nnM 1( )nnfz 1nnM1)(nnzf定理定理4.6 设级数设级数 的各项在的各项在点集点集E上连续上连续,并并 且且一致收敛于一致收敛于f(z),则和数则和数 也在也在E上连续上连续.1)(nnzf1)()(nnzfzf定理定理4.7 设级数设级数 的各项在的各项在 曲线曲线C上连续上连续,并并 且在且在C上上一致收敛于一致收敛于f(z),则沿则沿C可以逐项积分可以逐项积分:1)(nnzf1)()(nncdzzfdzzf定义定义4.5 设函数设函

10、数fn(z)(n=1,2,)定义于区域定义于区域D内内,若若 级数级数(4.2)在在D内任一有界闭集上一致收敛内任一有界闭集上一致收敛,则称则称 此级数在此级数在D内闭一致收敛内闭一致收敛.定理定理4.8 设级数设级数(4.2)在圆在圆K:|z-a|R内闭一致收敛内闭一致收敛的的充要条件充要条件为为:对于任意正数对于任意正数,只要只要R,级数级数(4.2)在在闭圆闭圆K:|z-a| 上一致收敛上一致收敛. 证证 必要性 因为K,就是K 内的有界闭集. 充分性 因为圆K内的任意闭集F,总可以包含在圆K内的某个闭圆Kp上. 显然,在区域D内一致收敛的级数必在D内内闭一致收敛,但其逆不真.例如我们考察几何级数231nz zzz 当当|z|1时时,此级数收敛此级数收敛,但不一致收敛但不一致收敛.可是由例可是由例4.2知它在单位圆知它在单位圆|z|0,使闭圆使闭圆K:|z- z0 | 全含于全含于D内内.若若C为圆为圆K:|z-z0|0，使闭圆，使闭圆K:|z-z0| 全含于全含于D内内,K的边界是圆周的边界是圆周:|z-z0|= 故有定理